В настоящей книге изложены примеры рассуждений, исследований, приводящих к открытию путей и средств решения разнообразных математических задач. Таким образом, имеется возможность видеть, как найдено решение той или иной задачи, каков был процесс поисков этого решения. Попутно с этим в соответствующих местах пособия будут встречаться методические указания, полезные в той или иной мере при решении математических задач вообще.
В пособии предлагаются задачи и для самостоятельных упражнений. Эти задачи напечатаны петитом.
Разумеется, вы не станете думать, что в этом пособии дается гарантированный метод, позволяющий догадываться о путях решения задачи в любых случаях. Такого метода нет и быть не может. Решение трудной задачи — крайне сложный процесс. Никакие методические указания не могут исчерпать многообразия его сторон. Любое указание обязательно будет неполным, схематичным. Поэтому для решения трудной задачи нужны, кроме теории, методических указаний, еще и догадки, изобретательность.
Теперь примите к сведению некоторые рекомендации, которыми полезно пользоваться при решении задач всегда.
1. В первую очередь необходимо изучить текст задачи до полного понимания. Не следует суетливо приниматься за решение задачи, не поняв всех условий задачи и той цели, которая должна быть достигнута. Перед тем как приступить к решению задачи, вы должны уметь ответить на такие вопросы: Что дано? В чем состоят условия задачи? Что надо найти или что надо доказать?
Решение задачи надо начинать лишь тогда, когда задача стала ясной и прочно запечатлелась в вашем сознании. Но чтобы решить задачу, надо иметь еще и желание ее решить и быть готовым проявить для этого необходимую настойчивость.
2. Если с задачей связана какая-либо геометрическая фигура, то надо сделать чертеж и указать на нем (если это возможно) данные и искомые величины, выбирая для их обозначения наиболее подходящие и удобные символы. Помните, что неправильный или неточный чертеж может иногда направить вас на ложный путь и привести к неверным заключениям. Если первый чертеж оказался почему-либо неудачным, сделайте що более вдумчиво заново.
Однако необходимо знать, что все же не чертеж, а логические связи являются основой для заключений в ходе решения задачи. Поэтому решение задачи невозможно подменить никаким даже очень точным чертежом.
К чертежу как средству наглядности полезно прибегать в некоторых случаях и при решении не геометрических задач.
3. Решая задачу, контролируйте каждый свой шаг, т. е. каждую выкладку и вычисление, каждое построение. Помните, что вы обязаны уметь доказать правильность каждого совершенного вами действия.
4. В процессе решения задачи не забывайте следить за тем, все ли условия или данные задачи вами уже использованы.
5. Если, решая задачу, вы остановились и не знаете, что делать дальше, сопоставьте то, что вы уже получили, с тем, что требуется получить. Во многих случаях одно такое сопоставление бывает достаточным, чтобы увидеть правильный путь дальнейших действий.
6. Обратим внимание еще на одну, правда, редко встречающуюся ситуацию. Представьте себе, что по ошибке или даже преднамеренно вам предложили доказать ложное утверждение, разумеется, не предупредив вас, что оно ложное. Конечно, в действительности такая задача не имеет смысла, и ее невозможно решить. Если вы заметите, что утверждение ложное, и докажете его ложность, то это доказательство заменит собой несуществующее решение задачи и будет означать, что вы правильно ответили на ложно поставленную задачу, т. е. справились с этой задачей. Но если вы не заметите, что утверждение ложное и станете его доказывать, то ваши усилия не приведут к цели. Однако они могут оказаться не непрасны-ми, если в процессе этих усилий вы обнаружите ложность утверждения. Приведем пример.
(...)
В течение долгого времени не удавалось найти никаких путей исследования этой проблемы. Некоторые математики пытались даже путем проверки на примерах натолкнуться на противоречащий случай, но такая проверка не дала результата. Тщетные попытки решить проблему Эйлера—Гольдбаха привели к тому, что в начале XX века сложилось пессимистическое мнение относительно возможности ее решения. Один из лучших знатоков теории чисел начала XX столетия Ландау сказал на Международном математическом конгрессе 1912 года следующие слова: «Проблема Эйлера—Гольдбаха превосходит силы современной математики».
Леонард Эйлер (1707—1783) — великий математик, член Петербургской Академии наук.
Христиан Гольдбах (1690—1764) — математик, тоже член Петербургской Академии наук.
Но в 1937 году действительный член Академии наук СССР И. М. Виноградов доказал эту проблему для всех достаточно больших чисел, а именно для всех чисел, больших, чем 3 в 316 ст. Таким образом, проблема Эйлера—Гольдбаха осталась не доказанной лишь для конечного числа случаев. Но это конечное число 3 столь велико, что совершить: проверку проблемы для такого числа случаев практически невозможно. Относительно числа 3 в 316 ст. можно сказать образно, что оно неизмеримо больше числа атомов в галактике. Несмотря на это, достижение И. М. Виноградова признано у нас и за рубежом одним из крупнейших в теории чисел первой половины текущего столетия.
Такие проблемы, как проблема Эйлера—Гольдбаха, проблема о совершенных числах, великая теорема Ферма, относятся к теории чисел. На первый взгляд может показаться, что проблемы теории чисел могут иметь только чисто теоретический интерес, что для практики они бесполезны. Однако такое представление о теории чисел является глубоко ошибочным. В настоящее время методы и результаты теории чисел применяются при создании помехоустойчивых кодов, при изучении шифров, при исследованиях в теории вероятностей, в ткацком производстве и при решении многих других практических задач.
Наряду с такими математическими проблемами, которые в свое время были поставлены, но которые до настоящего времени не решены, существует много и таких, которые на протяжении столетий и даже тысячелетий не удавалось решить, но которые в конце концов оказались решенными. Приведем несколько примеров.
а) Задача о построении циркулем и линейкой квадрата, равновеликого данному кругу (задача о квадратуре круга), и задача о делении произвольного угла на три равные части (задача о трисекции угла) оставались не решенными на протяжении четырех тысячелетий. Все попытки решить эти задачи оставались бесплодными. Наконец, в 1837 году французский математик Ванцель доказал, что деление произвольного угла на три равные части с помощью циркуля и линейки невозможно. А в 1887 году немецкий математик Линдеман доказал, что число л (отношение длины окружности к своему диаметру) является трансцендентным, т. е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Этим самым он доказал, что с помощью циркуля и линейки невозможно построить квадрат, равновеликий данному кругу. Таким образом, обе эти классические задачи, восходящие к древнегреческой математике, оказались решенными лишь в XIX веке.
б) Уравнения 3-й и 4-й степени в общем виде были решены лишь в XVI веке итальянскими математиками Кардано, Тарталья, Феррари.
в) Неразрешимость уравнений степени выше четвертой в общем виде была доказана лишь в XIX веке норвежским математиком Абелем и молодым французским математиком Галуа.
г) В 1900 году на Международном математическом конгрессе один из крупнейших математиков XX века Гильберт поставил 23 математические проблемы. Большинство из этих проблем Гильберта к настовдему времени решены. Причем решение многих из них принадлежит советским математикам А. Н. Колмогорову, А. О. Гельфонду, Л. С. Понтрягину, В. И. Арнольду.
В заключение остановимся еще на том, как пользоваться пособием. Прочитав текст задачи, решенной в пособии, не переходите сразу к чтению поисков решения и решения. Сначала попытайтесь, хотя бы на протяжении нескольких минут, придумать самостоятельно план ее решения. И если увидите, что это вам не удается, переходите к чтению и изучению поисков ее решения и самого решения, изложенных в пособии.
Усвоив решение задачи, обязательно задумайтесь над тем, почему вам не удалось решить ее самостоятельно: то ли потому, что вы забыли необходимую теорему или формулу, то ли потому, что прочитали текст задачи поверхностно и просто не поняли задачу, или потому, что сочли задачу непосильной и не стали даже £е решать; наконец, может быть потому, что не проявили достаточную настойчивость. И если вы сумеете всякий раз правильно ответить на этот вопрос, то и это будет повышать в некоторой мере ваше умение решать задачи самостоятельно.
Вспомните, не было ли в вашей практике таких случаев, когда вы, узнав правильное решение задачи (или доказательство теоремы), все же оставались неудовлетворенными и ставили перед собой такой вопрос: «А каким образом найдено или раскрыто это решение (или это доказательство)? Каков был процесс поисков этого решения (или этого доказательства)? «Возникновение таких вопросов у каждого вдумчивого и любознательного читателя, изучающего математику, вполне закономерно и естественно. Ведь такой читатель хочет научиться решать задачи самостоятельно.
Вот по этой причине главное место в этом пособии уделяется поискам решения задачи. Эти поиски воспринимайте не пассивно, а активно, критически; задавайтесь всякий раз вопросом, а не могли бы вы решить эту задачу иначе, и даже может быть лучшим способом. Усвоив поиски решения и решение задачи, постарайтесь выделить и закрепить в свой памяти все то, что оказалось для вас новым и поучительным в этом материале. Приобретенный опыт проверяйте и закрепляйте, решая задачи, предназначенные для самостоятельных упражнений.
«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательным и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы» (Д. Пойа. Как решать задачу, стр. 5).
Большая часть задач, содержащихся в данном пособии, предлагалась на конкурсных экзаменах в различные вузы и на олимпиадах. Имеются еще и задачи, заимствованные из журналов.
КОНЕЦ ПРЕДИСЛОВИЯ
|
