Успешность изучения обновленного школьного курса математики в значительной мере зависит от того, какими средствами и методами ведется обучение. Опыт показывает, что идеи, заложенные в действующей программе и учебниках, не усваиваются учащимися с должной глубиной, если само обучение математике не строится на основе возбуждения познавательной активности школьников, а ведется по старинке: пусть даже при весьма активной деятельности учителя, но пассивной деятельности учащихся.
Одним из важнейших средств интенсификации обучения математике является эффективная организация и управление поисковой деятельностью школьников в процессе решения различных математических задач и упражнений.
Важно то, что при решении задач в процессе обучения математике возможно самым естественным образом формировать у школьников творческую активность наряду с реализацией одной из основных целей обучения математике — формированием той системы математических знаний, умений и навыков, которая предусмотрена программой и отражена в учебниках математики.
Если термин «задача» понимать достаточно широко (в частности, включить в число задач и любое вычислительное упражнение, и любую теорему, способ доказательства которой предстоит установить и изучить, установление тех или иных признаков изучаемого математического понятия и отбор среди них тех, которые характеризуют это понятие, и т. п.), то можно утверждать, что изучение математики осуществляется в процессе решения задач. Между тем умение решать математические задачи проявляется в настоящее время недостаточно, хотя именно это умение наиболее ярко характеризует состояние математических знаний учащихся и уровень их математического развития. Во многом это происходит потому, что школьные математические задачи, которые предлагаются учебниками, как правило, ограничены одной темой, требуют для своего решения определенных знаний, умений или навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала, не предусматривают широких связей между разделами курса математики. Роль и значение таких задач исчерпываются в течение того непродолжительного периода, который отводится на изучение этого вопроса программы. При этом функция таких задач в изучении теоретического материала не является секретом ни для учащихся, ни для учителя: иллюстрировать изучаемый теоретический вопрос, разъяснить его смысл, помочь усвоить изучаемый факт через простейшие упражнения, выполняемые по образцу, продиктованному теорией, и т. п.
Естественно, что в системе задач школьного курса математики необходимы задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения, задачи, связанные с отработкой того или иного математического навыка, т. е. те задачи, которые являются обычными для школьного курса. Однако место, которое они должны занимать в обучении математике, должно быть четко определено, а время, затрачиваемое на их решение, должно быть соразмерно с планируемым результатом обучения и его значимостью во всей системе математической подготовки учащихся. То учебное время и та «учебная энергия» школьников, которые могут высвободиться в результате должного ограничения числа традиционных задач и упражнений, могут быть использованы с большей пользой на другие цели, в частности на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Понятно, что для этого необходима постановка учебных математических задач проблемного характера, обучение учащихся общим приемам решения задач (деятельности поискового характера) на разнообразном конкретном материале, использование задач для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, овладения ими методами научного познания явлений реальной действительности.
Задачи указанной целевой направленности могут быть весьма разнообразны (по форме, в которой они поставлены;, по той дидактической цели, которой они служат; по месту в процессе обучения). Постановка конкретной задачи, возникшей либо в самой математике, либо в других науках или в трудовой практике, для решения которой недостаточно известных учащимся знаний, вызовет естественный интерес к новой теме, сознание необходимости ее изучения и настрой к преодолению предстоящих трудностей.
Особое внимание со стороны учителей математики и учащихся должно быть направлено на осознание ими того факта, что всякая математическая задача школьного курса математики является учебной. Всякая задача, которая предлагается учащимся, должна научить их чему-либо, связанному с изучаемым ими программным материалом или с общенаучной математической деятельностью; решение каждой задачи должно быть шагом вперед в их обучении, обогащать их знания и опыт и учить их ориентироваться в различных заданных ситуациях.
Информация различного рода, получаемая учащимися в процессе решения задач, должна быть критически оценена не только учителем, но и учащимися. Из нее следует выделить наиболее важное и полезное. Школьников нужно научить отдавать себе отчет, чему они научились, решая ту или иную задачу, что имеет смысл сохранить в памяти, а о чем можно забыть.
В материалах XXV съезда КПСС прямо указывается на необходимость в процессе школьного обучения «... прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации». Одним из путей реализации этого указания является приобщение школьников к самостоятельной творческой работе в процессе решения задач, направленных на усвоение программного материала.
Настоящий сборник задач по математике для IV и V классов подготовлен сотрудниками сектора обучения математике НИИ школ МП РСФСР. Перед тем как выйти в свет в настоящем виде, он прошел экспериментальную проверку во многих школах РСФСР. Основное назначение сборника — предоставить в распоряжение учителя заданный материал нестандартного характера, который можно использовать в рамках действующей программы, дополнительно с задачами из учебных пособий.
В сборнике представлены разнообразные задачи, связанные с учебным материалом по математике для IV — V классов.
Многие задачи сборника предназначены для внеклассных занятий, для математического кружка IV — V классов, для индивидуальной работы с лучшими учащимися. Часть задач сборника может быть использована и на самом уроке.
Не претендуя здесь на классификацию учебных математических задач, мы считаем нестандартной (поисковой) ту задачу, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение. Иными словами, учащиеся в ходе решения таких задач должны провести поиск плана решения задачи, установить, какой теоретический материал дает ключ к тому или иному решению. В отличие от поисковых, мы считаем задачу стандартной, если ее решение требует от учащихся применить тот или иной известный им алгоритм или воспользоваться тем выводом по аналогии, который в практике обучения называется решением по образцу.
Задачи, представленные здесь, как правило, нестандартные. Они могут использоваться для введения изучения новой темы, для самостоятельного установления школьниками какого-либо факта, подлежащего изучению, для иллюстрации этого факта, для более глубокого усвоения теоретического материала, для выработки некоторых необходимых умений и навыков в целях контроля и самоконтроля, для возбуждения и развития интереса к математике, для приобщения учащихся к деятельности творческого характера,
Материалы XXV съезда КПСС. М., Политиздат, 1976, с. 77.
развития у школьников математического мышления, а также в целях воспитания. В сборник включены как отдельные задачи, так и серии задач (обозначенные обычно одним номером). Каждая задача (или серия задач) сопровождается решением и методическими замечаниями, помещенными во второй части книги. В этих замечаниях наряду с характеристикой роли и места данной задачи в соответствии с программой и учебником математики приводятся ориентировочные указания о том, как она может быть использована. Однако окончательное суждение о полезности, месте и времени использования той или иной задачи в обучении математике в IV — V классах, естественно, может сделать лишь учитель, использующий этот сборник.
В сборнике имеется ряд задач, по типу, идее или содержанию которых учитель (или ученик) может составить аналогичные, если это представится ему полезным. В ряде случаев авторы оговорили это в методических замечаниях.
Представленные в сборнике задачи можно предлагать для решения в любом порядке; понятно, что все задачи, идущие под рубрикой «IV класс», можно решать и в V классе (особенно задачи последнего раздела). Заметим сразу, что некоторые задачи посильны лишь отдельным школьникам. Это, однако, не должно исключать возможности попытаться предложить их другим учащимся. Большая часть задач сборника предназначена средним (и даже слабым) учащимся. Учителю предстоит самому убедиться, насколько правы авторы сборника и в этом предположении. Зная, как загружено основное время учащихся IV — V классов изучением программного материала, решением задач и упражнений из учебника математики, авторы еще раз напоминают, что основное назначение сборника — помочь учителю в проведении внеклассных (кружковых и индивидуальных) занятий.
Заметим также, что при использовании данного сборника задач в практике, учителю следует учесть коррективы, внесенные в программу по математике для IV — V классов (см. ж. «Математика в школе», 1979, № 3, с. 22).
Ю. М. Колягин
Отзывы и предложения просим направлять по адресу: 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Издательство «Просвещение», редакция математики или 109044, Москва, Крутицкий вал, 24, НИИ школ МП РСФСР, сектор обучения математике.
О НЕКОТОРЫХ МЕТОДИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМАХ ПРИМЕНЕНИЯ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Глубокое и прочное усвоение школьниками основ современного курса математики чрезвычайно важно для формирования их математической культуры. Вместе с тем формирование высокой математической культуры выпускников современной школы необходимо предполагает принципиально иную организацию собственной познавательной деятельности школьников, в процессе которой у них формируются умения изучать математику самостоятельно и творчески, а следовательно, создаются предпосылки к активному применению математических знаний в дальнейшем.
Активизация самостоятельной познавательной деятельности школьников при изучении курса математики способствует более эффективному использованию системы учебных задач, которые являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний и способов деятельности, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из эффективных средств их математического развития.
От эффективности использования задач в обучении математике во многом зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся средней школы, но и степень их практической подготовленности к последующей за обучением деятельности в любой сфере производства, народного хозяйства, культуры, личных и общественных взаимоотношений.
Изменение содержания обучения математике повлекло за собой, в основном, лишь изменение математического содержания учебных задач; их внутренняя структура, технология их постановки в обучении, практически реализуемые ими функции не унифицированы, не подвергались необходимым в этом плане существенным изменениям. По-прежнему отбор математических задач к изучению многих тем курса математики нередко носит субъек-
тивный характер; некоторые задачи школьного курса математики либо слишком тривиальны, либо излишне сложны; в изложении некоторых тем курса математики не удалось найти адекватного отражения реализуемым в них ведущим идеям в содержании и методике решения задач и т. д.
Между тем (как и ранее) в практике современного обучения математике на решение задач отводится большая часть учебного времени как на уроках, так и при выполнении школьниками домашних заданий. Неэффективность использования этого учебного времени отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом, на качестве подготовки учащихся к практической деятельности в условиях современного производства.
В связи с этим уместно напомнить высказывание известного педагога математики Д. Пойа:
«Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.
Поэтому первая и самая главная обязанность курса математики средней школы состоит в подчеркивании методической сто-роны процесса решения задач».
Пойа Д. Математическое открытие. М., «Наука», 1970, с. 16.
Перечень актуальных вопросов методики применения задач в обучении математике, ответы на которые имеют большое практическое значение, достаточно обширен. Так, предстоит четко определить функции задач в обучении математике; выявить систему задач, реализующую идею развивающего и воспитывающего обучения математике; определить ориентировочный количественный и качественный минимум задач, необходимых для реализации через них той или иной конкретной цели обучения математике. Разрабатывая конкретную методику обучения школьников решению математических задач, следует установить основные мыслительные умения, которые могут и должны быть сформированы у учащихся в процессе решения задач; выделить общие приемы и методы решения задач, ознакомление школьников с которыми возможно и полезно; разработать должным образом методику обучения школьников применению к решению задач математических методов (метода уравнений, векторного и координатного методов, метода геометрических преобразований); определить параметры системы задач, контролирующих степень обученности, обучаемости и математического развития школьников на каждом этапе обучения математике; разработать методику обучения математике через задачи и т. д.
Выскажем некоторые общие соображения, которые, на наш взгляд, необходимо учитывать при разработке любого из названных выше аспектов данной проблемы.
1. В практике обучения математике или конкретно-методических исследованиях, говоря о роли и месте задач в школьном обучении математике, как правило, подразумевают только обучающий аспект решения задач. Решение определенных типов математических задач либо выступает в качестве локальной цели обучения математике, либо рассматривается как средство сознательного усвоения школьниками программного материала. Лишь в отдельных случаях (в основном на внеклассных или факультативных занятиях; в школах и классах с углубленным изучением математики) задачи выступают в явном виде как средство целенаправленного математического развития учащихся, формирования у них познавательного интереса и самостоятельности, развития математических способностей, средство формирования диалектико-материалистического мировоззрения, воспитания нравственных качеств личности.
Таким образом, роли и месту математических задач в системе воспитания, в формировании математического развития учащихся в практике массового обучения математике придается второстепенное, вспомогательное значение. Последнее особенно ярко просматривается в процессе использования задач как средства контроля и оценки знаний. Задачи выступают в качестве ведущего средства контроля и оценки фактических математических знаний, умений и навыков и почти не используются для контроля других компонентов математического развития или элементов воспитания.
Система задач, представленная в действующих учебниках математики, также не обладает, на мой взгляд, должной полнотой и последовательностью, необходимыми для обеспечения, наряду с реализацией конкретных целей обучения математике, эффективной реализации целей воспитания и развития учащихся.
Между тем, значимость математических задач в школьном обучении может быть раскрыта по существу лишь тогда, когда будут выявлены роль и место задач во всей системе школьного математического образования в единстве реализуемых при этом целей обучения, воспитания и развития учащихся средней школы.
Проблема целенаправленного математического развития школьников правомерно оказалась в числе важных проблем современной педагогической психологии, дидактики и методики математики.
В опыте работы передовых учителей новизна в методах обучения математике (да и вообще — любому учебному предмету) проявляется прежде всего в том, что основной акцент ставится не на запоминание школьниками учебной информации, а на ее глубокое понимание, сознательное и активное усвоение, на формирование у школьников умения самостоятельно и творчески применять эту информацию в рамках учебной практики.
Именно эту мысль имел в виду один из известных советских специалистов по технической кибернетике А. А. Фельдбаум, говоря о том, что «накопление знаний играет в процессе обучения немалую, но отнюдь не решающую роль. Человек может забыть многие конкретные факты, на базе которых совершенствовались его качествам Но если они достигли; высокого уровня, то человек справится со сложнейшими, задачами, а это и означает, что он достиг высокого уровне культуры мышления.
Эффективность, развиваюддшхь обучения математике,, в: свою очередь, во многом зависит от его связи с воспитанием школьников.
Важность существенного повышения качества воспитания учащихся-в процессе школьного обучения отмечена в материалах XXV съезда КПСС. Поэтому очевидна необходимость более аффективного использования процесса решения, учебных задач для реализации целей воспитания учащихся через изучение математики в. самых широких его аспектах: прикладной направленности обучения, его»мировоззренческой направленности воспитания интереса, творческих задатков, нравственных качеств личности и т. д.
Выявление роли и места, задач: в. современномгобучешш математике диктует целесообразность разработки; дидактически направленной характеристики; важнейших компонентов математического развития учащихся- которые должны формироваться в процессе школьного обучения выявления осщцшых: функций, задач в системе развивающего и воспитывающего обучения математике; характеристики самого понятия учебной задачи а психолого-дидактических особенностей процесса ее решения и т. д.; то есть целесообразность специального исследования целого комплекса: вопросов возникающих на пути решения поставленной проблемы.
Вот почему в системе: современных методов и форм обучения математике задачам отводится, важнейшая роль.
Характерная для настоящего времени тенденция к повышению роли проблемного» обучения» свидетельствует, о том, что решение задал правомерно занимает все белее ведущее место в» обучении математике,, нередко; определяя- его. формы и методы, в: которых основной- аспек г ставится: на самостоятельное и- творческое усвоение школьниками-учебного материала, на формирование их математического развития.
Задачи-призваны играть большую роль в реализации через обучение математике важнейших воспитательных целей. Элементы воспитания школьников», осуществляемые через- решение, задач, также-доджны быть определенным образом запрограммированы учителем (и учебником); в процессе решения задач должно быть обеспечено их выявление и осознание самими школьниками (по возможности — самостоятельно).
Фельдбаум А. А. Процессы обучения людей и автоматов Сб. «Методы оптимизации автоматических систем». М., «Энергия», 1972, с. 113.
В практике обучения математике воспитывающие функции задач редко выступают в качестве ведущих (в отличие от функций обучающих, развивающих или контролирующих). Однако тот или иной элемент воспитания может и должен обязательно иметь место (и быть осуществлен) в каждой задаче: либо в ней самой (например, через фабулу), либо при ее постановке, либо в процессе ее решения, либо в процессе изучения результата решения.
К числу важнейших воспитывающих функций задач относятся формирование у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, познавательного интереса и творческих задатков, воспитание чувства патриотизма, эстетическое воспитание и т. д.
Говоря о воспитании диалектико-материалистического мировоззрения, в процессе решения задач удается наиболее ярко продемонстрировать учащимся политехнический характер математики, прикладную направленность математических абстракций. Иллюстрируя, в частности, процесс применения математики к решению любой практической задачи, можно показать школьникам, что математика, отражая явления реальной действительности, является мощным средством ее познания.
Предлагая учащимся задачу с избыточной или неполной информацией, мы воспитываем у них готовность к практической деятельности. Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи, мы способствуем эстетическому воспитанию школьников.
Реализация воспитывающих функций способствует также решению задач, фабула которых связана с планированием развития народного хозяйства на пятилетку, с достижениями отечественной науки, техники и культуры. Полезна в этом отношении и постановка задач «с исторической фабулой» и т. п.
Формирование у школьников интереса к решению задач является важнейшим средством формирования у них интереса к математике и к ее изучению и вместе с тем эффективным средством приобщения школьников к учебной математической деятельности творческого характера. Имеется возможность и существует необходимость проведения такой работы не только во внеурочное время, но и в ходе непосредственного изучения школьниками программного материала. Для этого в процессе обучения математике необходимо систематически ставить определенные задачи (или серии задач), которые легко конструируются на базе задач, помещенных в учебниках математики. Использование задач, разбивающих творческие способности учащихся, является важным условием повышения качества математической подготовки школьников.
Ю. М. Колягин
|
