Леонид Викторович Ершов
Рудольф Борисович Райхмист

Построение графиков функций

для учителей

*** 1984 ***

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

Глава III       § 9. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФИКАМИ ФУНКЦИЙ       В этой главе мы рассмотрим графики функций вида у = [ф()], где ф (х) — любая из-основных элементарных функций, а / — любая из следующих операций над ними: прибавление к функции какого-либо числа, умножение функции на число, деление единицы на функцию, возведение функции в положительную степень, извлечение корня из функции, нахождение показательной функции от функции, логарифмирование функции, нахождение модуля функции, нахождение тригонометрических функций от функций.       Все указанные операции можно проводить непосредственно над графиками основных элементарных функций (понимая под этим выполнение операций над соответствующими координатами), поскольку эти графики известны. Как правило, график функции у — f Dp ()] трудно, а порой и просто невозможно построить, используя общую схему исследования функции (гл. II). В то же время эскиз такого графика легко нарисовать с помощью упрощенной схемы исследования, если использовать операции над графиками.       Схема построения графика указанной сложной функции следующая:       1) строим графйк функции yt — ф(х);       2) отмечаем на этом графике-характерные точки, т. е. нули и точки разрыва, находим граничные точки или соответствующие пределы и одну-две промежуточные точки;       3) производим заданные операции над ординатами выбранных точек, вычисляем соответствующие пределы и отмечаем полученные точки и предельные значения на рисунке, начерченном под графиком функции yi — ф(х) так, чтобы ось ух была продолжением оси у;       4) соединяем полученные точки сплошной - (в силу непрерывности элементарных функций всюду, где они определены) линией и учитываем (если она есть) симметрию графика относительно точки или прямой.       На самом деле полученные точки можно соединять не сплошной, а даже плавной линией, так как рассматриваемые в этой главе элементарные функции недифференцируемы лишь в отдельных, как правило, хорошо известных точках. Так, например, функция       у = | х | не имеет производной в точке х = 0, функция у = у г — 1 це имеет производной в точках х = I и х = — 1, й, следовательно, в этих Точках указанные функции недифференцируемы.         Таблицу умножения можно составлять и изучать как по постоянному множимому, так и по постоянному множителю. Для запоминания более удобна таблица умножения по постоянному множителю. Поэтому раньше, когда дети не изучали, а просто заучивали таблицу умножения, в школе рассматривалась Лишь единственная таблица умножения. Однако для изучения удобнее таблица умножения по постоянному множимому, так как умножение сводится к сложению равных слагаемых. Поэтому в настоящее время изучается (объясняется) таблица умножения по постоянному множимому, а окончательно запоминается детьми по постоянному множителю, в порядке простого переустройства (в конце изучения темы) ранее составленной таблицы умножения.       Первый, основной, прием составления таблицы умножения — это сложение, повторение равных слагаемых, счет равными группами на наглядных пособиях. Например, 6 кар + 6 кар. + 6 кар. + 6 кар.= = 24 кар. Или иначе: б кар. Х4 = 24 кар. Или просто 6X4 = 24. При этом следует применять для составления в каждом отдельном случае таблицы умножения данного числа один и тот же вид наглядности. Тогда объяснение ведется значительно успешнее, компактнее, так как каждый новый случай умножения связывается с предыдущим. Например, дети узнали, что 6 Х4 = 24. После этого случай 6x5 рассматривается так: 6+6+6+6+6= 24 + + 6 = 30. Значит, 6X5 = 30. Иначе говоря, при этом ведется последовательное присчитывание равных чисел, равных групп предметов. Если же применять различные виды наглядности, то в каждом отдельном случае умножения приходилось бы начинать счет равными группами с самого начала, что весьма нерационально, не говоря уже о том, что внимание учащихся при этом рассеивается на рассмотрение различных картинок или предметов. Разумеется, что для различных таблиц умножения (для различных множимых) целесообразно применять и различные виды наглядности. Поэтому у учителя должен быть набор наглядных пособий для изучения каждой таблицы умножения, например: карточки с картинками по 3, по 4 (по 10 карточек), изображение монет по 5 коп., по 10 коп., прямоугольники, разделенные на клетки, размером 6 X 10, 7 X 10 и т. д.       Второй прием составления таблицы умножения основан на распределительном свойстве умножения относительно суммы — м н о ж и т е л я. Например, чтобы 6 умножить на 7, достаточно 6 умножить на 5, 6 умножить на 2 и затем полученные неполные произведения сложить:       6X7 = 6 + 64-6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6X5 + 6X2 = = 30+12 = 42.       Как правило, первая половина таблицы умножения данного числа усваивается учащимися легко. Тогда вычисление результатов второй части этой таблицы сводится к двукратному применению результатов первой ее части. Этот прием применяется при умножении на 6, 7, 8, 9, 10.       Третий прием составления таблицы умножения основан на сочетательном свойстве умножения. Например, чтобы 7 умножить на 6, достаточно 7 умножить на 3, а полученный результат удвоить:       7X6 = 74-7 + 7 + 7 + 74-7 = 7X3X2=21 +21=42.       Этот прием особенно успешно применяется при умножении на 4 и на 8, а также на 6 и на 9. Удобно применять этот прием и при составлении таблицы умножения пяти, например:       5X6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5X2X3=10X3 = 30.       Рассмотренные три приема составления таблицы умножения не только научно выдержаны, но и, что не менее пажно, вполне доступны учащимся II класса, так как основаны на смысле действия умножения, а также на операторном смысле множителя ив конце концов на более удобном счете       равных слагаемых. Применение этих приемов являет ся вполне достаточной основой для составления таблицы умножения, причем здесь осуществляется постепенный переход от конкретного и наглядного счета равными группами к овладению учащимися более отвлеченными приемами табличного умножения. Этими приемами учителю на практике можно и ограничиться при объяснении таблиц умножения.       Четвертый прием составления таблицы умножения основан на переместительном свойстве умножения. Например, новый случай 7X6 рассматривается как равнозначный ранее изученному случаю 6X7 = 42. Значит, 7X6 — тоже 42. В научном отношении этот прием безукоризненный. Однако для детей восьми лет он по существу недоступен, так как не непосредственно основан на смысле самого действия умножения. Для детей случаи:       7 +7 + 7 + 7 + 7-f7 и 64-6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6       совершенно различны. Совпадение результатов умножения в этих случаях для детей имеет случайный, не вполне осмысленный ими характер. Правильность результата 7X6 = 42 второклассник при первоначальном изучении на основе переместительного свойства умножения проверить не может, а воспринимает его лишь формально, на основании общего, абстрактного для него правила; причем, это „общее“ правило само разбирается лишь на двух-трех частных примерах в пределе 20, однако применяется к новым случаям в расширенной области целых чисел, что является неправильным в научном отношении. Кроме того, как показывают наблюдения, учащиеся II класса, даже отличники, не понимают, что, например, сумму 6+ 6 + 6+6 для вычисления можно заменить известной им суммой 4 + 4 + + 44-4 + 4 + 4 (т. е. что 6 X 4 = 4 X 6). Т олько после того как эта сумма записана в виде произведения 6X4, учащиеся догадываются, что здесь возможно применить перестановку сомножителей. Этот факт лишний раз свидетельствует о формальности применения переместительного свойства умножения при изучении табличного умножения во II классе начальной школы.       Все это свидетельствует о том, что переместительное свойство умножения во II классе использовать для составления новых таблиц умножения весьма нецелесообразно. Поэтому практически желательно обходиться без этою приема составления таблицы умножения. Правда, его можно с успехом использовать в конце изучения темы, при повторении и обобщении пройденного, с целью более легкого и прочного запоминания учащимися табличных результатов.       П я т ы й прием составлений таблицы умножения основан на распределительном свойстве умножения относительно разности множителя (прием округления множителя). Например, чтобы 7 умножить на 8, достаточно семь умножить на 10, 7 умножить на 2 и из первого произведения вычесть второе произведение:       7 Х8 = 7Х(Ю-2) = 7 X 10-7X2 = 70 — 14 = 56.       Этот прием особенно успешно применяется при умножении на 9.       Шестой прием табличного умножения основан на распределительном свойстве умножения относительно суммы — м н о ж и м о г о. Например, чтобы 8 умножить на 4, достаточно 5 умножить на 4, 3 умножить на 4, а затем сложить полученные произведения:       8Х4 = (5 + 3)Х4 = 5Х4 + ЗХ4 = 20-}-12 = 32.       Этот прием хорош в том отношении, что его полно еиспользование свело бы изучение всей таблицы умножения лишь к таблице умножения чисел до пяти Именно это и учитывается, например, в польском задачнике для II класса. Однако этот прием для учащихся менее понятен, чем второй, разобранный выше, так как здесь расчленяется само одинаковое слагаемое, множимое, и теряется нозое качество: не остается впечатления, что изучается таблица умножения, например, именно восьми. Поэтому при изучении новых таблиц умножения применение этого приема нежелательно. Однако при повторении пройденного полезно использовать и этот прием умножения для показа, как можно восстановить забытый результат на основе только первой части таблицы умножения. Данный прием полезно использовать при повторении таблиц умножения шести, семи, восьми, девяти.       Седьмой прием табличного умножения основан на распределительном свойстве умножения относительно разности — множимого (прием округления множимого). Например, чтобы 8 умножить на 6, достаточно 10 умножить на 6, 2 умножить на 6, а затем из первого произведения вычесть второе произведение:       8X6 =(10 — 2) X 6 = 10X6 -2X6 = 60 — 12 = 48.       Этот прием особенно успешно можно применять при умножении восьми и девяти. Однако он имеет те же недостатки, что и шестой прием; поэтому его целесообразно применять лишь при повторении пройденного.