|
С. С. Державину удалось мастерски сочетать в одно органическое целое и прямолинейную тригонометрию и методы координат и дифференцирования.
Изложение курса выходит далеко за пределы привычной рутины, но не сходит с Платформы научной точности и везде дает заслуживающий подражания образец ясности, несмотря на сжатость.
Среди массы всевозможных работ, с которыми приходится знакомиться и большинство которых совсем не интересно, труд С. С. Державина представляет собою редкое, отрадное исключение. После такого блестящего изложения тригонометрии не захочется читать традиционные учебники.
Полагаем, что на работу С. С. Державина следует обратить особое внимание и рекомендовать для использования в старших группах школ II ступени, в техникумах и на рабфаках.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
§ 1. Понятие о функции 9
§ 2. Непрерывное изменение аргумента и функции 10
§ 3. Геометрическое представление функций 11
§ 4. Понятие о производной 13
§ 5. Механическое значение производной 14
§ 6. Измерение углов в радианах 15
Глава 1. Понятие о тригонометрических функциях и их изменении.
§ 7. Уравнение окружности, имеющей центр в начале координат 18
§ 8. Понятие о функциях sin# и cos# 19
§ 9. Положительное и отрицательное направление дуг 21
§ 10. Изменение функции sin# в связи с изменением дуги от 0 до Ф 2Ifn 22
§ 11. Таблица значений функции sin# 24
§ 12. Графическое представление изменения функции sin# 28
§ 13. Изменение функции cos# в связи с изменением дуги 29
§ 14. Графическое представление изменения функции cos# 30
§ 15. Понятие о функциях tg# и ctg# 31
§ 16. Изменение функции tg# в связи с изменением дуги от 0 до + кг 35
§ 17. Графическое представление изменения функции tg# 36
§ 18. Изменение функции ctg# в связи с изменением дуги от 0 до + 1с~ 37
§ 19. Графическое представление изменения функции ctg# 39
§ 20. Выражение tg # и ctg #, как функций от sin # и cos # 39
§ 21. Понятие о функциях sc # и esc# 41
§ 22. Изменение функций sc # и esc # в связи с изменением дуги от 0 до + 2к~ 42
§ 23. Формулы соотношений для sc # и esc # с другими тригонометрическими функциями 45
§ 24. Соотношение между элементами прямоугольного треугольника 47
§ 25. Решение прямоугольных треугольников 49
Глава II. Преобразование координат и вытекающие отсюда формулы тождественных тригонометрических преобразований.
§ 26. Соотношения между тригонометрическими функциями дуг
§ 27. Преобразование координат 53
§ 28. Формулы приведения для синуса и косинуса 54
§ 28а. Второй способ вывода формул приведения для синуса и косинуса 61
6 29. Формулы приведения для тангенса, котангенса, секанса и косеканса 66
§ 30. Понятие о круговых функциях 66
§ 31. Свойства круговых функций 69
§ 32. Общее выражение для дуг, имеющих один и тот же синус или косеканс 69
§ 33. Общее выражение для дуг, имеющих один и тот же косинус или секанс 70
§ 34. Общее выражение для дуг, имеющих один и тот же тангенс или котангенс 71
§ 35. Примеры 71
§ 36. Преобразование направления осей координат 72
§ 37. Синус и косинус суммы двух дуг 79
§ 38. Синус и косинус разности двух дуг 79
§ 39. Тангенс суммы и разности дуг 80
§ 40. Теорема 81
§ 41. Второй способ получения формул для синуса и косинуса суммы и разности двух дуг 82
§ 42. Обобщение формул для синуса и косинуса суммы и разности двух дуг 85
§ 43. Синус, косинус и тангенс двойных дуг 86
§ 44. Синус, косинус и тангенс половины дуги 86
§ 45. Приведение выражений к виду, удобному для логарифмических вычислений 88
§ 46. Приведение выражений к логарифмическому виду способом введения вспомогательного угла 91
Глава III. Таблицы значений тригонометрических функций и их логарифмов.
§ 47. Теоремы, на которых основывается вычисление значений тригонометрических функций для малых углов 93
§ 48. Приближенное вычисление sin 0,01 и cos 0,01 96
§ 49. Приближенное вычисление sin 1' и cosl' 97
§ 50. Формулы Симпсона; применение их к составлению таблиц значений тригонометрических функций 97
§ 51. Разложение sin t и cost в бесконечные ряды 100
§ 52. Разности последовательных значений синусов и косинусов 104
§ 53. Таблица логарифмов тригонометрических величин 106
§ 54. Нахождение логарифма тригонометрической функции данного угла 109
§ 55. Теорема 111
§ 56. Нахождение логарифмов синуса и тангенса для углов, близких к нулю, а также логарифмов косинуса и котангенса для углов, близких к прямому
§ 57. Нахождение угла по логарифму тригонометрической функции 119
§ 58. Нахождение угла по логарифму тригонометрической функции в случае большой табличной разности 121
§ 59. Производные тригонометрических функций 124
§ 60. Простое гармоническое движение 126
Глава IV. Решение косоугольных треугольников.
§ 61. Теорема 128
§ 62. Формулы Мольвейде 128
§ 63. Теорема 130
§ 64. Выражение тригонометрических функций углов косоугольного треугольника через его стороны 132
§ 65. Площадь треугольника 134
§ 66. Теорема 135
§ 66а. Следствия 136
§ 67. Решение косоугольных треугольников 138
§ 68. Численные примеры на решение треугольников 140
§ 69. Примеры более сложных случаев решения косоугольных треугольников 149
§ 70. Задача 153
§ 71. Решение правильных многоугольников 158
Глава V. Измерения на местности.
§ 72. Съемка; вертикальное и горизонтальное направление 161
§ 73. Обозначение и измерение линий на местности 162
§ 74. Измерение углов 163
§ 75. Проведение на местности взаимно-перпендикулярных и параллельных прямых с помощью эккера 165
§ 76. Определение относительных высот двух точек 165
§ 77. Приложение тригонометрии к производству различных измерений на местности 166
5 78. Определение высот '167
6 79. Определение недоступных расстояний 168
§ 80. Триангуляция 169
Глава VI. Вычисление
§ 81. Сложение и вычитание круговых функций 171
§ 82. Разложение по степеням 173
§ 83. Вычисление 175
Глава VII. Тригонометрические уравнения.
§ 84. Общие замечания 177
§ 85. Примеры тригонометрических уравнений с одним неизвестным 177
§ 86. Примеры на решение системы тригонометрических уравнений с двумя неизвестными 179
Таблицы 184
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Понятие о непрерывных функциях должно с самого начала курса математики трудовой школы постепенно внедряться в умы учащихся и иллюстрироваться соответствующими графиками.
Так как тригонометрические функции дают яркий и наглядный пример непрерывности, то изучение их должно быть начато по возможности ранее, тем более что они имеют большое практическое применение. Изучаемый материал не должен выделяться в самодовлеющую дисциплину, а должен стоять в неразрывной связи с теми сведениями, какие даются вообще на уроках математики. Исходя из этих соображений, функции синус и косинус мы рассматриваем в настоящем руководстве как прямоугольные Декартовы координаты точек окружности, при условии принятия радиуса ее за единицу длины, а центра ее за начало координат. Координаты эти (синус и косинус) выражаются как функции одного и того же переменного параметра (длины дуги, измеренной с помощью радиуса). Тождественные тригонометрические преобразования рассматриваются как следствия преобразования координат. Благодаря указанным приемам исследования достигается общность всех рассуждений, устанавливающих основные свойства тригонометрических функций. В настоящем руководстве видное место отведено графикам тригонометрических функций. Ими иллюстрируются все свойства тригонометрических функций и даже при помощи их выводятся формулы приведения для синуса и косинуса (§ 28а). Ввиду того, что изучение тригонометрических функций должно преследовать не только теоретический интерес, но и практические цели, в настоящем руководстве в самом же начале курса отводится место для решения прямоугольных треугольников. Так как теоремы §§ 40, 66 и 66а п. 1 не стоят в связи с остальным материалом курса, то они могут быть пройдены, при желании, одновременно с решением прямоугольных треугольников. Таким образом в самом же начале курса является возможность решать и косоугольные треугольники (в некоторых частных случаях) и производить некоторые измерения на местности. Что касается введения, то оно в большей своей части представляет повторение того, что должно еще ранее сообщаться на уроках математики.
ВВЕДЕНИЕ.
§ 1. Понятие о функции.
Если какая-либо из данных величин при решении какого-нибудь математического вопроса сохраняет одно и то же неизменное значение, то она называется постоянной величиной. Так, при установлении зависимости между длиной хорды и ее расстоянием от центра мы видим, что радиус данной окружности сохраняет одно и то же неизменное значение, в то время как длина хорды изменяется в связи с изменением ее расстояния от центра. Таким образом радиус данной окружности будет величина постоянная, а длина хорды и ее расстояние от' центра будут величины переменные.
Переменные величины могут находиться между собою в определенной зависимости, т.-е. каждому произвольно взятому значению одной из них соответствует определенное значение другой. Так, каждому произвольно взятому значению расстояния хорды от центра (лишь бы это расстояние было меньше радиуса) соответствует хорда определенной длины.
Переменная величина, которая может получать произвольные значения, называется независимой переменной или аргументом; величина же, значение которой определяется значением аргумента, называется зависимой переменной или функцией этого аргумента. Так, если расстоянию хорды от центра давать произвольные значения, то размеры хорды будут определяться этими значениями. Следовательно, расстояние хорды от центра будет независимая переменная, а величина хорды будет функцией этого расстояния.
Какую из двух переменных величин считать независимой переменной и какую зависимой, часто зависит от нашего выбора. Так, в рассматриваемом примере за независимую переменную можно принять длину хорды; тогда расстояние хорды от центра будет функцией этой длины.
До сих пор мы вели речь о функции одной независимой переменной; но бывают функции и двух, трех и более независимых переменных. Из геометрии, например, известно, что площадь треугольника S = 42oha, где а основание треугольника и кп его высота. Величины треугольника могут быть произвольными, и, следовательно, S есть функция двух переменных: гг и к
Мы указывали на существование функциональной зависимости между длиной хорды и величиной ее расстояния от центра, но как численно выражается эта зависимость, мы не указывали. Таким образом, ясного и точного представления о характере упомянутой функциональной зависимости мы еще не получили.
Если желательно иметь ясное и точное представление о характере функциональной зависимости, то необходимо указать формулу или уравнение, из которого можно было бы по данным произвольным значениям аргумента -определять соответствующие значения функции.
Известно, например что зависимость между объемом о газа, взятого при постоянной температуре, и его упругостью р выражается уравнением: гр — С (закон Бойля-Мариотта), где С есть постоянная величина. Пользуясь этим уравнением, можно для любого произвольно взятого значения р определить соответствующее значение объема газа.
Однако во многих случаях нет необходимости указывать точную числовую зависимость между аргументом и функцией, а достаточно бывает лишь установить наличие функциональной зависимости между рассматриваемыми величинами. В таких случах употребляют обыкновенно символическое обозначение для выражения функциональной зависимости. Например, если у есть некоторая функция ж, то это символически можно выразить так: у — Дж), где под f разумеют совокупность действий, которые надо произвести над значением переменной х для получения соответствующего значения у.
Если переменная у зависит от нескольких независимых переменных, например от гг и с. то это можно записать так: у - F(n, г).
|
