Исаак Моисеевич Яглом
Проблема тринадцати шаров
*** 1975 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
В книге в научно-популярной форме изложен ряд вопросов комбинаторной геометрии. Рассматривается проблема тринадцати шаров, интересовавшая еще И. Кеплера и И. Ньютона, а также многие важные результаты комбинаторной геометрии, полученные в последние годы. Обсуждаются нерешенные до настоящего времени задачи и проблемы, которые могут заинтересовать и юных математиков. Рассчитана на учащихся физико-математических школ. Книгой смогут пользоваться преподаватели математики и учащиеся старших классов общеобразовательных школ. ПРЕДИСЛОВИЕ Характерные для нашего времени глубокие изменения в математике, частично связанные с появлением электронных цифровых вычислительных машин и с созданием того направления математической мысли, которое обозначается собирательным термином «кибернетика», нашли своеобразнее отражение также и в столь, казалось бы, устоявшейся области математической науки как элементарная геометрия. На роль «элементарной геометрии XX века» начинает претендовать лишь недавно созданная комбинаторная геометрия изучающая экстремальные геометрические задачи (т. е. задачи на максимум и минимум), связанные с отысканием «самых лучших» (или, во всяком случае, «достаточно хороших») расположений конечного числа точек или фигур. Интерес к комбинаторной геометрии естественно связать с общим интересом к задачам на максимум и минимум, порожденным большим числом чисто прикладных задач, в которых ищутся оптимальные режимы работы отдельных механизмов или больших систем. Зта книга посвящена комбинаторной геометрии, она рассказывает об одной несложной по формулировке задаче, у истоков которой стоят Еелнкие имена Иоганна Кен лера (1571- 1630) и Исаака Ньютона (1643—1727). Наш рассказ о «проблеме 13 шаров» отнюдь не претендует на полноту. Основную роль в нем играют 16 задач, которые тематически связаны одна с другой, но математически доеольно независимы, что позволяет читателю просто опускать те из них, которые покажутся ему трудными или недостаточно его заинтересуют. Хочется обратить внимание читателей иа ряд сформулированных не решенных до сих пор задач, некоторые из которых вполне могут стать трамплином для самостоятельной работы в области комбинаторной геометрии. Отзывы и пожелания о содержании книги просим посылать по адресу: 252054, Киев, 54, Гоголевская, 7, Головное издательство издательского объединения «Вища школа», редакция литературы по математике и физике. Автор ГЛАВА I ЗАДАЧИ О КРУГАХ И ШАРАХ § 1. ЗАДАЧА НЬЮТОНА - ГРЕГОРИ Начнем изложение со слету ющей задачи: Задача 1. Какое наибольшее число кругов на плоскости можно приложить к равному им кругу Кр так, чтобы никакие дви из них не пересекались (но все они соприкасались с границей круга Кр, не пересекая его)? Решение. Если круг Кр\ приложен к равному ему кругу Кр, то он виден из центра О круга Кр под углом Ф = 60 Другими словами, проведенные из центра О к кругу Kpi касательные ОМ и ON образуют угол .ИОД' = = 60 (рис. I, а). Примем радиус г крута Кр за 1. Так как касательные, проведенные из точки О к любому другому приложенному к Кр кругу Кр2 радиуса I, не пересекающему круга Kpi, будут проходить вне угла MON, то всем приложенным к Кр непсрессчаннцимт кругам того же радиуса 1 будут соответствовать псперекрывающпеся утлы с общей вершимой О, каждый из которых будет равен 60'. Поэтому к кругу Кр можно приложигь не более, чем 060 : 60 = 6 равных Кр кругов, хдовлегроряющнх условию задачи (рис. 1,6). Задаче 1 родственна такая задача: Задача 2. Какое наибольшее число материальных (непе ресекающихся) шаров можно приложить к равному им шару Ш так, чтобы все они своей поверхностью соприкасались с поверхностью шара 111, не пересекая его? Попробуем эту задачу решить так же, как и задачу 1. Пусть единичный шар Ш,, т. е. шар, радиус R которого равен 1, соприкасаемся равным ему шаром Ш (рис. 2, а); тогда шар Ш\ виден из центра О шара Ш под «пространственным углом» (|, измеряемым величиной «сферического сектора» (или «сферической шапочки») о, гысекаемой из Но непересекающимся шарам, приложенным к шару Я/, должны соответствовать неперскрывающиеся «шапочки» аь а2, а3, поэтому ясно, что больше 14 (материальных) шаров, равных шару Ш, к этому шару приложить нельзя. А сколько же материальных шаров, равных шару Ш, мо ж и о приложить к нему? Нетрудно сообразить, что к III можно приложить 12 равных ему шаров. В самом деле, пусть шар III лежит па горизонтальной плоскости; приложим к нему G равных ему шаров (рис. 3). При этом сверху и снизу от шара III образуется по шесть выемок. Положим теперь в три несмежные из шести верхних выемок 3 равных шару 111 шара так, чтобы каждый из них касался трех нижних шаров — в том числе и шара Я/ (рис. 4, а). Если, далее, расположить подобным образом еще 3 шара снизу от Я/, то 111 окажется окруженным 12 равными ему шарами, каждый из которых касается Я/; при этом 3 шара снизу от 111 можно даже приложить двумя различными способами: в выемки, расположенные точно под занятыми верхними шарами выемками (рис. 4, б), или в три другие выемки (рис. 4, в). Подобное расположение тринадцати равных шаров впервые описано в 1611 г. одним из создателей современной астрономии и математики знаменитым Иоганном Кеплером; однако практически складывали таким образом одинаковые шары (образовывая из них «пирамиду»), вероятно, и ранее того времени, хотя биллиардных или крокетных шаров (не говоря уж о подшипниках!) в те годы, разумеется, еще не было и даже круглые пушечные ядра были тогда в новинку. Таким образом, если обозначить наибольшее возможное число материальных шаров, которые можно приложить к равному им шару Ш, через k3 или К3 (значение нижнего индекса 3 и произвольный выбор букв k или К станут ясны из последующего), то Что еще можно сказать об этом числе? Отметим, прежде всего, что число k3 не может быть равно 14! Доказательство этого утверждения помещено в следующем параграфе. Итак, можно утверждать, что Но какое из этих двух значений имеет в действительности число &3? Поставленный вопрос не является простым. В 1694 г. по этому вопросу разгорелась даже довольно оживленная полемика: известный естествоиспытатель того времени Дэвид Грегори утверждал, что к шару можно приложить i3 равных ему материальных шаров, а гениальный Исаак Ньютон — что нельзя, но доказать свою правоту, т. е. точно определить число кя ни одному из них не удалось. Первым, кому удалось решить эту задачу, а именно доказать гипотезу Ньютона, утверждающую, что был немецкий геометр Рудольф Гоппе; об этом сообщается в статье его соотечественника К. Бендера, опубликованной в 1874 г., т. е. через 180 лет после дискуссии Ньютон — Грегори. Годом позже доказательство Р. Гоппе усовершенствовал другой немецкий геометр С. Г ю н т е р; однако оно все еще оставалось очень сложным и запутанным. Многие специалисты, например, известный венгерский геометр Ласло Ф е й е ш Тот, считают даже, что первое безупречное доказательство равенства (1) (первое решение задачи 2) дали в 1953 г. (через 342 г. после того, как Н. Кеплер доказал, что кя 12 и через 259 лет после дискуссии Ньютона с Грегори) один из крупнейших алгебраистов XX века голландец Бартель Леенберт ван дер Варден и выдающийся немецкий логик Карл Ш ю т т е. Еще более простое доказательство того, что к шару нельзя приложить 13 равных ему материальных шаров предложил в 1956 г. англичанин Джон Лич — однако и это доказательство является довольно сложным. С проблемой 13 шаров тесно связана задача о самой плотной укладке равных кругов на плоскости и равных шаров в пространстве. Эта задача, открывшая новый большой раздел геометрии, называемый дискретной геометрией, вызывает сегодня очень большой интерес в силу обнаруженных за последние десятилетия неожиданных важных приложений ее «многомерного варианта» к вычислительной математике и теории связи. Предположим, что плоскость заполнена непересекающи-мися равными кругами; составим отношение суммарной площади тех кругов, которые целиком помещаются внутри круга 2 большого радиуса R, с центром в произвольной точке О плоскости) к площади nR2 этого круга. Предел, к которому стремится это отношение при R оо, называется плотностью рассмотренного расположения (укладки) равных кругов на плоскости; задача заключается в том, чтобы найти гну укладку кругов, плотность которой является самой большой из всех возможных. Аналогично формулируется и задача о самой плотной укладке равных шаров в пространстве. В замечательном тракте «О снежинке, или новогодний дар», составленном И. Кеплером в качестве подарка его другу королевскому советнику Вакгеру фон Вакген-фельсу по случаю наступления нового, 1611 года, были разобраны две укладки равных кругов на плоскости: в первой из них (рис. 5, а) центры кругов образуют сетку равных квадратов и каждый круг касается четырех соседних с ним, а во второй (рис. 5, б) — центры кругов образуют сетку правильных шестиугольников, и каждый круг касается шести соседних с ним. И. Кеплер считал, что вторая укладка шаров является наиболее плотной из всех возможных. Действительно, в то время как плотность первой укладки ~ « 78,54%, плотность второй укладки больше: она равна л^3 » 90,69%. Далее, в том же трактате Кеплер рассматривает вопрос об укладке равных шаров в пространстве. Самая плотная из таких укладок получает-3 ся следующим образом: на плоскости по схеме рис. 5, б укладываются равные круги, являющиеся «экваториальными кругами» равных шаров; при этом образуется «шестиугольный слой» шаров, в котором каждый шар касается шести соседних. Затем второй, такой же слой шаров, накладывается сверху на первый так, что шары верхнего слоя попадают в выемки шаров нижнего слоя, касаясь трех из нижних шаров (ср. рис. 4, а). Если затем продолжать накладывать таким же образом подобные слои шаров сверху и снизу от уже имеющихся, то получим заполнение всего пространства равными шарами, где каждый шар будет касаться двенадцати соседних с ним. Заметим, что поскольку каждый слой можно наложить на уже имеющийся двумя способами (ср. рис. 4, б и в), то фактически получается бесконечно много разных систем заполнений пространства равными шарами; однако, все эти укладки шаров имеют, очевидно, одинаковую плотность. Эта плотность равна С тех пор как Кеплер опубликовал свой трактат, прошло уже более 360 лет. За это время было предложено много различных укладок равных кругов на плоскости и шаров в пространстве, и никто никогда не сомневался, что найденные Кеплером укладки являются самыми плотными,— но доказать это оказалось Еовсе не просто. Считают, что доказательство того, что изображенная на рис. 5, б схема укладки равных кругов является самой плотной, впервые дал в 1892 г. выдающийся норвежский математик, один из основателей геометрических методов в теории чисел Адольф Т у э. Однако оригинальное доказательство А. Туэ не было опубликовано. Краткое резюме доклада на эту тему, прочитанного А. Туэ в 1892 г. на конгрессе математиков скандинавских стран, содержит смцественные и трудно восполнимые пробелы. Более убедительным является другое доказательство того же факта, опубликованное А. Туэ в 1910 г.,— но и это доказательство вряд ли может удовлетворить современным требованиям математической строгости. Полные доказательства соответствующего предложения (иногда называемого «теоремой Туэ») были даны в 1940 г. уже упоминавшимся выше Ласло Ф е й е ш е м Тотом и, независимо от него, в 1944 г.— известными специалистами по геометрическим методам в теории чисел итальянским математиком Беньямино С е г р е и немецким математиком Куртом Малером. Несколько доказа-тельств этой теоремы приведены в книге Л. Ф е й е ш а Тота [8] (см. литературу на стр. 84). Несмотря на всеобщее убеждение о том, что в пространстве не существует укладок равных таро в, плотность которых превосходила бы доказать это пока не удалось никому. Не решены также и многомерные аналогии соответствующей задачи, при этом не найдена даже величина плотности самой лучшей укладки (или нескольких самых лучших укладок) равных (многомерных) шаров. KOHEЦ ФPAГMEHTA |
