Решение математических задач в 1—3 классах

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      В предлагаемой книге автор, опираясь на опыт многих передовых учителей, попытался осветить наиболее эффективные методы активного обучения решению задач. Под активным обучением понимается усвоение учениками знаний в процессе напряженной мыслительной деятельности.
      Правильно организованная и проводимая работа в школе дает ученику широкие возможности не заучивать приемы решения задачи, а искать их. В этом поиске формируется структура рассуждений, приводящих к открытию решения, вырабатывается «гибкость мышления» и «математическая зоркость».
      Следует отметить, что активная работа мысли способствует развитию у школьника внимания, любознательности и значительно повышает его интерес к предмету.
      Учитывая сказанное, автор ставил своей целью дать в настоящем пособии наиболее рациональные подходы к разрешению стоящих перед учителем проблем при работе учеников с задачей.
      В пособии учитель найдет методические указания к использованию некоторых элементов программированного обучения, применение которых позволит ему более экономно и продуктивно использовать время детей и свое.
      Изложенные в книге методы и приемы обучения решению задач соответствуют современной программе и согласуются с методологией, положенной в основу новых учебников.
      Рецензентам А. С. Пчелко, Г. В. Бельтюковой, А. А. Кирюшкиной, А. Н. Турсункуловой, Н. Г. Уткиной, С. Н. Фирсову и О. Г. Абрамовой, сделавшим критический разбор первоначального варианта рукописи и внесшим ряд ценных предложений, что помогло усовершенствовать пособие, автор выражает глубокую благодарность.
      Автор заранее благодарит всех, кто пожелает дать свои замечания по содержанию этой книги.
      Автор.
     
      ЗАДАЧА И ЕЕ РОЛЬ В ОБУЧЕНИИ И ВОСПИТАНИИ ШКОЛЬНИКА
      Во второй половине текущего столетия математика проникла почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим стало жизненно необходимым усовершенствовать математическую подготовку подрастающего поколения. Следуя требованиям жизни, в 1971/72 учебном году был завершен переход начальных классов массовой школы на программы, обеспечивающие новое содержание обучения. Определенный этой программой курс математики I—III классов составляет часть общего курса математики средней школы.
      Основой указанного курса в начальных классах служит арифметический материал, а геометрическая и алгебраическая пропедевтика, органически связанная с основным материалом, способствует более высокому уровню усвоения понятия о числе, арифметических действиях, математических отношениях и позволяет знакомить детей с общими принципами, лежащими в основе изучаемых математических фактов.
      «Изучение арифметики натуральных чисел и нуля,— говорится в объяснительной записке к программе,— строится на системе целесообразных задач и практических работ. Это значит, что формирование каждого нового понятия всегда связывается с решением тех или иных задач, требующих его применения или помогающих уяснить его значение» (Программа восьмилетней школы. Начальные классы, 1975, с. 39). Из приведенной цитаты следует, что решение задач при изучении математики играет весьма существенную роль, так как с помощью задач рассматриваются основные теоретические положения в курсе математики. При изучении математики в I—III классах дети должны научиться самостоятельно находить пути решения простых’ и несложных составных задач, а для этого они должны овладеть элементарными общими л в то же время разнообразными приемами подхода к решению таких задач. .
      Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. В одной из первых бесед с первоклассником учитель, стремясь выяснить, каким жизненным опытом и знаниями располагает его ученик, обращается к простейшей задаче. Например: «У тебя 3 карандаша, и ты взял еще 2 карандаша. Сколько у тебя стало карандашей?»
      С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения, позволяет устанавливать разнообразные числовые соотношения в наблюдаемых явлениях. В то же время решение задач способствует развитию мышления ребенка.
      Какой же смысл вкладывают в понятие «математическая задача»? Математическая задача — это связный лаконичный рассказ, в который введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.
      Иногда в понятие задачи вкладывают более широкий смысл. Так, например, встречаются задачи без числовых данных, в которых требуется по указанным признакам и связям сделать логически выводимое умозаключение, или задачи, требующие выполнить доказательство на основе ранее известных определений и свойств.
      В начальных классах обычно рассматриваются математические задачи в более узком смысле, т. е. задачи, содержащие числовые значения величин, хотя в целях развития сообразительности полезно иногда предлагать задачу в виде логического вопроса.
      Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:
      1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.
      2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.
      3. Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.
      Нередко два первых элемента задачи называют ее условием, последний элемент — вопросом. Иногда все составные части задачи называют условием в отличие от решения задачи.
      Полное решение задачи состоит из анализа условия; плана, указывающего последовательность выполнения действий; пояснений, каким действием и почему именно этим действием находится то или иное значение величины; выполнения арифметических действий и ответа. К решению задачи также относят проверку и исследование пригодности полученного ответа. Следует отметить, .что полное письменное решение задачи весьма громоздко и отнимает у ребенка, слабо владеющего навыком беглого письма, много времени, поэтому в I—III классах применяется редко. Но устное полное пояснение к решению задачи в начальных классах следует практиковать.
      Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка. Роль решаемой задачи зависит от того, какую педагогическую цель ставит учитель, предлагая ту или иную задачу. Довольно часто рассмотрение и решение задачи выполняет роль трамплина, от которого должен оттолкнуться ученик, чтобы понять суть, практический смысл и значение изучаемого раздела теории. В этом случае решение задач способствует формированию математических понятий.
      Значительно чаще задача предлагается ученикам для пополнения их знаний, приобретения умений, для совершенствования и закрепления навыков. В этом случае цели решения задач шире и сводятся к следующим:
      1. Установить причинно-следственные связи и раскрыть функциональную зависимость между величинами, входящими в условие задачи.
      2. Научиться умению логически правильно рассуждать и делать обоснованные умозаключения при выяснении хода решения задач.
      3. Обоснованно выбирать арифметические действия и проводить их безошибочно.
      4. Ознакомиться с решением задач определенного вида.
      При этом работа с задачами преследует и широкие воспитательные цели:
      1. Задачи, раскрывающие достижения социалистического строительства, воспитывают любовь к Родине.
      2. Многие задачи готовят учеников применять в жизненной и учебной практике приобретенные ими знания.
      3. Поиск решения развивает настойчивость, воспитывает волю.
      4. Участие в творческом процессе открытия решения доставляет ученику эстетическое наслаждение и воспитывает его эстетически.
      5. Сюжет задачи и взятые из жизни числовые данные способствуют общему развитию ученика.
      Самостоятельное решение задач учеником используется не только для выработки у него умений и навыков, но и для установления обратной связи (ученик — учитель), что позволяет учителю наблюдать ход усвоения учеником изучаемого материала и контролировать его успехи.
      При контроле знаний задача позволяет судить о развитии мышления ученика, о его умении правильно выбирать нужные действия и выполнять их, о навыках в вычислениях.
      Понимая роль задачи и ее место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения ее обоснованно и четко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.
     
      ВИДЫ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ. ИХ ЗНАЧЕНИЕ
     
      В I—III классах ученики рассматривают и решают разнообразные задачи, большинство которых содержит числовые данные. Кроме того, ученики должны познакомиться с решением задач, в которых значения одной-двух величин выражены буквами. Эти задачи подводят учеников к более широким обобщениям и служат вводным материалом к изучению алгебры. Сюжет некоторых решаемых в начальных классах задач построен на геометрическом материале, т. е. в них идет речь о фигурах и протяженности. Большинство этих задач, назвать геометрическими в полном смысле этого слова еще нельзя, они обычно содержат величины, выраженные целыми или дробными числами.
      Таким образом, основное внимание в I—III классах обращается на рассмотрение задач с числовыми данными, при решении которых используют как арифметические, так и алгебраические методы. Среди математических задач различают задачи простые и составные.
      К простым задачам относят те, которые можно решить одним действием. Задачи, которые составлены из нескольких простых и поэтому решаются с помощью двух или более действий, называют составными задачами.
      К любой простой задаче можно составить две обратные задачи, т. е. две такие задачи, у каждой из которых в тот же сюжет искомое число из прямой задачи включено в виде одного из данных, а в качестве искомого выступает число, известное из условия прямой задачи. Так, например, к задаче «Во дворе играли 9 девочек. Две из них ушли домой. Сколько девочек осталось во дворе?» можно составить обратную задачу: «Во дворе играли девочки. Когда из них 2 девочки ушли домой, то во дворе осталось 7 девочек. Сколько девочек вначале играло во дворе?»— и вторую задачу: «Во дворе играло 9 девочек. Несколько девочек ушло домой, а осталось играть 7 девочек. Сколько девочек ушло домой?» Эта задача по отношению к первой, а также и ко второй является обратной. Но и первую задачу по отношению ко второй и третьей можно рассматривать как обратную им.
      Кроме того, среди простых задач выделяются задачи, выраженные в косвенной форме. К ним относится, например, следующая задача: «На столе 7 карандашей. Это на 4 карандаша больше, чем в коробке. Сколько карандашей лежит в коробке?»
      В условии, этой задачи сказано «больше», а задача решается вычитанием (7 — 4 — 3).
      Рассматривая виды простых задач, методисты дали несколько различных их классификаций.
      Для практического применения удобно следующее распределение основных видов простых задач:
      «1. Задачи, связанные с раскрытием смысла арифметических действий: на нахождение суммы, остатка, на нахождение суммы одинаковых .слагаемых, на деление (на равные части и «по содержанию»).
      2. Задачи на нахождение неизвестного компонента действия (слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя).
      3. Задачи, связанные с отношением «больше (или меньше) на несколько единиц (или в несколько раз); задачи на увеличение (или уменьшение) числа на несколько единиц (или в несколько раз), выраженные в прямой (или косвенной) форме; задачи на разностное (или кратное) сравнение чисел» (см.: Моро М. И. Обучение решению простых задач в курсе арифметики.—«Начальная школа». Сб. ст. М., «Просвещение», 1970, с. 90—91).
      Рассматривая различные подходы к классификации простых задач, Л. В. Занков замечает, что ни одна классификация не позволяет установить последовательность, в какой следует рассматривать их при обучении детей решению задач. Это является существенным недостатком различных классификаций. Однако, зная принципы классификации простых задач, учитель с меньшей затратой труда и времени научит школьников правильно находить, каким действием решается та или иная задача. Ученикам I—III классов давать и разъяснять какую бы то ни было классификацию простых задач не нужно, чтобы не обременять их память лишними сведениями чисто методического характера.
      Современная методика располагает достаточно обоснованными суждениями о значении и системе использования простых задач в начальных классах. Простые задачи всех видов нужны ученику для того, чтобы:
      1) ознакомиться со структурой математической задачи: с условием, данными, вопросом, искомым; понятиями; решение задачи, действие, вопрос, ответ — и с терминами «больше, меньше, столько же, равно, между и т. д.,», выражающими математические соотношения; t
      2) выработать у детей сознательное отношение к выбору действия, которое нужно произвести для нахождения ответа на вопрос задачи; задачи помогают раскрыть смысл действий;
      3) впервые увидеть элементарные функциональные зависимости между величинами, входящими в условие, понять связь между компонентами действий;
      4) связать различные математические упражнения с жизнью, это повышает у детей интерес к предмету, оживляет процесс овладения навыками;
      5) работа с изменением текста простой задачи позволяет ученику овладеть более отвлеченными математическими понятиями, переходить к обобщениям и абстрагированию. Так, например, задачу — «Маша купила 7 тетрадей. Тетрадь стоит 2 коп. Сколько денег уплатила Маша?»— можно видоизменить, вводя более отвлеченные понятия, как: «Цена тетради 2 коп. Узнать стоимость 7 тетрадей»;
      6) готовить ученика к пониманию решения разнообразных составных задач;
      7) закладывать в сознание ребенка основы математики, расширять его кругозор, развивать и дисциплинировать мышление, воспитывать волю, настойчивость.
     
      МЕТОДИКА РАБОТЫ С ПРОСТЫМИ ЗАДАЧАМИ
     
      § 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЗНАКОМСТВА УЧЕНИКОВ С ПРОСТЫМИ ЗАДАЧАМИ
     
      Согласно современной программе все основные виды простых задач на сложение и вычитание ученики решают в I классе, а во II — задачи на умножение и деление.
      В настоящее время сложилась определенная последовательность в знакомстве учеников с простыми задачами. Рассмотрим эту последовательность.
      Первые задачи, с которыми раньше всего встретится ученик, естественно, должны быть самыми доступными для их понимания. К таким задачам относятся задачи на нахождение суммы и остатка. Знакомство с решением этих задач целесообразно вести параллельно. Образцом этого вида задач могут служить следующие:
      1. Наташа сорвала 3 красных цветка, а потом 1 голубой. Сколько всего цветков сорвала Наташа?
      2. У Коли было 5 карандашей. Один карандаш он подарил сестре. Сколько карандашей осталось у Коли?
      Второй по сложности вид простых задач, решаемых в I классе,— это задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц. Приведем примеры задач этого вида:
      1. На двух полянах паслись гуси. На одной поляне Наташа насчитала 6 гусей, а на другой она насчитала на 1 гуся больше. Сколько гусей на второй поляне?
      2. У брата 5 книг, а у сестры на 2 книги меньше. Сколько книг у сестры?
      3. Дети нашли гнездо жаворонка. В нем лежало 4 яичка. На следующий день дети заметили, что число яичек в гнездышке увеличилось на одно. Сколько яичек стало в гнездышке?
      4. На ветке висело 6 яблок. На следующий день Егор заметил, что число яблок на этой ветке уменьшилось на 2. Сколько яблок осталось на ветке?
      Следующий, более сложный вид простых задач — нахождение неизвестного слагаемого. Приведем образец задачи этого вида: «В корзине лежало 6 подосиновиков и несколько белых грибов. Всего в корзине было 8 грибов. Сколько белых грибов находилось в корзине?» Решение таких задач связано с решением уравнений вида: 64 - х=8.
      Далее следуют два вида задач на разностное сравнение чисел с вопросами «на сколько больше?» и «на сколько меньше?» Приведем для примера следующую: «У Мити 8 кроликов, а у Гриши 6 кроликов. На сколько кроликов у Мити больше, чем у Гриши?» Второй вопрос к тому же условию можно сформулировать так; «На сколько кроликов у Гриши меньше, чем у Мити?»
      Задачи в косвенной форме ученики решают с большим трудом, чем в прямой, поэтому решение задач на увеличение и уменьшение на несколько единиц, выраженных в косвенной форме, относят на более поздний период (примерно к концу первого полугодия). Примерами таких задач будут следующие:
      1. Миша и Наташа готовили флажки к новогодней елке. Миша сделал 15 флажков. Он сделал на 3 флажка больше, чем Наташа. Сколько флажков сделала Наташа?
      2. Наташа сделала 12 флажков для елки. Она сделала на 3 флажка меньше Миши. Сколько флажков сделал Миша?
      Решение задач этого вида рекомендуется перемежать с решением задач на разностное сравнение, чтобы не допустить выбора действия учениками только на основе употребляемых в условии слов «больше», «меньше».
      Затем учеников I класса знакомят с решением задач на нахождение неизвестного уменьшаемого и неизвестного вычитаемого. Задачи этого вида предлагают первоклассникам как с отвлеченными числами, так и сюжетные. Сначала может быть решена задача: «Из неизвестного числа вычли 6 и получили 4. Чему равно неизвестное уменьшаемое?».
      Далее решают задачи сюжетные, например:
      1. На лугу паслось 12 гусей. Когда несколько гусей ушли в кусты, на лугу осталось 6 гусей. Сколько гусей ушло в кусты? (№ 327, учебник математики I класса).1
     
      1 Здесь и дальше указание на учебник I класса подразумевает книгу: Моро М И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В Математика. Учебник для 1 класса М., 1975.
      Ссылка на учебник 2 класса имеет в виду книгу: Моро М. И., Бантова М. А. Математика. Учебник для 2 класса. М., 1975.
      При ссылке на учебник III класса имеется в виду книга: Пчел ко Л. С., Бантова М А., Моро М И., Пышка ло А. М Математика. Учебник для 3 класса. М., 1975.
     
      2. В коробке лежало несколько кнопок. Когда взяли из нее 4 кнопки, то в коробке осталось 3 кнопки. Сколько кнопок было в коробке?
      В конце года первоклассники знакомятся с решением задач на нахождение суммы нескольких одинаковых слагаемых. Находят они эту сумму сложением.
      Во втором полугодии первоклассники одновременно с решением простых задач начинают рассматривать и решать несложные составные задачи — задачи в два действия.
      Знакомство детей с решением простых задач продолжается и во II классе. В начале учебного года при повторении материала в продолжение примерно 10 уроков учитель предлагает детям решать простые задачи того же характера, что и в I классе, но только с числами в пределах 100.
      Последовательность знакомства учеников II класса с решением простых задач новых для них видов такова. От решения задач на нахождение суммы нескольких одинаковых слагаемых переходят к решению задач этого вида не сложением, а умножением, иначе говоря, решают простые задачи на нахождение произведения, например № 170 (учебник математики II класса): «В столовой было 4 банки фруктового сока, по 3 л в .каждой банке. Сколько литров сока в этих банках?»
      Следом за задачами этого вида дети знакомятся с задачами на деление по содержанию и с задачами деления на равные части. Под № 163 (в той же книге) задача «У бабушки было 10 морковок. Она связала их в пучки по 5 морковок. Сколько получилось пучков?» содержит деление по содержанию, а задача № 191 решается делением на равные части: «12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей получил каждый?»
      Следующая по сложности группа задач — это задачи на нахождение неизвестного множителя, а затем на нахождение неизвестного делимого и делителя. Одновременно с задачами этого вида детям дают решать задачи, в которых используются простейшие функциональные зависимости между ценой, стоимостью и количеством, например № 315 (там же): «За 2 пачки соли уплатили 14 коп. По какой цене покупали соль?»
      Далее дети знакомятся с решением задач на кратное сравнение. Примером таких задач служат следующие (№ 432 и 440, учебник математики• II класса): «Над поляной летали 8 стрекоз и 2 бабочки. Во сколько раз было больше стрекоз, чем бабочек? Во сколько раз было меньше бабочек, чем стрекоз?» и «В столовой за день израсходовали 80 кг картофеля и 8 кг моркови. Во сколько раз больше израсходовали картофеля, чем моркови?»
      После этих задач второклассники знакомятся с решением простых задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в прямой, а затем в косвенной форме. Им предлагают peшать задачи следующего вида: «Попугаев 6, а голубей в 3 раза меньше. Сколько голубей?» (№ 381, там же) и «Сестре 8 лет, она в 2 раза моложе брата. Сколько лет брату?» (№ 488).
      С задачами на нахождение доли числа и обратными им ученики II класса знакомятся после изучения кратного сравнения чисел. Задачи с долями рассматриваются самые элементарные. Примеры таких задач: «В книге 60 страниц. Мальчик прочитал 1/3 книги. Сколько страниц прочитал мальчик?» и «Миша выучил половину стихотворения. Он выучил 18 строчек. Сколько всего строчек в этом стихотворении?».
      Затем дети знакомятся с решением простых задач на время. «Ученик вышел из дома в 8 ч 30 мин и пришел к школе в 8 ч 50 мин. Узнайте при помощи модели часов, сколько минут он потратил на дорогу?» (№ 878, там же).
      С задачами на изменение произведения и частного в зависимости от изменения одного компонента дети знакомятся в III классе. С решением каждого нового вида указанных простых задач учеников II и III классов знакомят на одном уроков, а после того как дети разберутся в решениях, задачи включают в составные.
     
      § 2. ОЗНАКОМЛЕНИЕ УЧЕНИКОВ СО СТРУКТУРОЙ ЗАДАЧИ
     
      На первом этапе знакомства детей с простой задачей перед учителем возникает одновременно несколько довольно сложных проблем.
      1) Нужно, чтобы в сознание детей вошли и укрепились вторичные сигналы (математические термины и другие неизвестные для них слова) к определенным понятиям, связанным с задачей (условие, вопрос, ответ и т. д.);
      2) выработать умение видеть в задаче данные числа и искомое число;
      3) научить сознательно выбирать действия и определять компоненты этих действий. Разрешение указанных проблем нельзя расположить в определенной последовательности. В занятиях с детьми довольно часто приходится добиваться результатов не одного за другим, а идти к достижению нескольких целей одновременно, постепенно развивая и расширяя достигнутые успехи в нескольких направлениях. При изложении методов и приемов работы мы расположим их в такой последовательности, чтобы осветить их наиболее ясно. Но в практической работе учителю нередко придется пользоваться этими приемами и методами в иной последовательности и даже сочетать некоторые из них в зависимости от материала, объясняемого детям.
      При знакомстве с задачами и их решением нельзя избежать (да и не надо избегать) специфических терминов, но дети должны ясно их понимать, чтобы осознавать смысл задачи. Работа с детьми по усвоению ими специфической терминологии начинается с первых дней занятий в школе и ведется систематически на протяжении всех лет обучения.
      Уже на одном из первых уроков учитель в беседе с детьми выявляет, как они понимают слова «больше — меньше — столько же», «длиннее — короче — такой же длины» и т. д. Ученикам, для которых эти понятия неясны, учитель, используя конкретные множества предметов, поясняет смысл указанных терминов. Например, он предлагает детям положить две палочки на книгу, а рядом на парту положить два листка и спрашивает: «Сколько палочек? Сколько листков? Чего больше: палочек или листков?» Затем предлагает увеличить число листков и снова задает те же вопросы. На данных и последующих, похожих на эти, упражнениях дети интуитивно усваивают понятие взаимно однозначного соответствия. Поэтому подобные приведенным упражнения с различными предметами нужно проделать неоднократно до тех пор, пока все дети не только поймут, но станут употреблять в своей речи введенные термины («столько же, меньше, больше, одинаково, увеличить» и др.) без ошибок. На последующих уроках к аналогичным упражнениям учитель возвращается, обращая особое внимание на соответствие (кружков столько же, сколько треугольников, и т. д.).
      Поясняя понятие «длиннее — короче», можно взять две линейки, одинаковые по ширине, но разной длины и попросить детей назвать, какая из линеек длиннее, какая короче. А выясняя понятия «шире — уже», использовать для иллюстрации две линейки, равные по длине, но различной ширины. Так же предметно рассматриваются понятия «ближе — дальше», «глубже — мельче», «толще — тоньше», «впереди — позади — посередине».
      Понятия «дороже — дешевле» выясняют, обращаясь к жизненному опыту детей; их следует спросить: «Сколько стоит тетрадь? Сколько стоит ручка? А что из них дороже? Что дешевле?»
      Работа с указанными и рядом других контрастных понятий не является кратковременной. Она сопутствует изучению счета и закрепляется при решении простых задач. При этом важно, чтобы с течением времени контрастные понятия употреблялись не только в связи с конкретным числовым материалом, но и выступали в абстрактном виде. Например, ученики должны ответить на вопросы: «Что выше — телевизионная башня или телеграфный столб? Где больше воды — в ведре или в стакане? Кто быстрее бежит—лошадь или черепаха? Что ближе— твоя квартира или спортивный зал школы?» и т. п. С рассмотренными понятиями ученики будут встречаться при решении задач. Так, в учебнике математики I класса помещены задачи с рисунками: «У Вовы... (нарисовано 5 игрушечных тракторов). У Миши на 4 больше. Сколько ... ?», «У Нины... (6 игрушечных слонов). У Иры на 4 меньше. Сколько ... ?» (№ 3, 4, с. 52.).
      Расположение этих задач одна вслед за другой подчеркивает, что их необходимо сопоставить. Рассматривая эти задачи, дети должны, раскладывая предметы или рисуя их и отвечая на вопросы учителя, понять, у кого игрушек меньше, а у кого больше; затем сообразить, что у Миши столько игрушек, сколько их у Вовы (5), и еще 4 игрушки, поэтому к числу игрушек Вовы (5) нужно прибавить 4. Сложив числа 5 и 4, дети найдут, сколько игрушек у Миши.
      Аналогично в другой задаче ученики, нарисовав 6 слоников, или 6 кружков, каждый из которых в их воображении будет слоником, и запомнив, что у Иры на 4 слоника меньше, должны будут отделить этих четырех слоников (вычесть). Они скажут: «У Иры столько же, сколько и у Нины, но без четырех слоников», — и произведут действие, изобразив его с помощью карточек:
      6 - 4 = 2
      При разборе этих задач полезно попросить учеников для одной из них придумать задачу про то же, но употребив слова «меньше», а для другой, наоборот, — «больше».
      Так, понятия «больше — меньше» находят свое применение при решении задач.
      После того как дети овладеют некоторыми навыками счета в пределах пяти, одновременно с продолжением его изучения, следует вести знакомство с задачами и решением их. Начать это знакомство полезно с задач-действий. Учитель берет со стола 2 тетради в левую руку и говорит: «В левой руке у меня 2 тетради», а затем берет в правую руку еще 2 тетради, говоря: «А в правой руке еще 2 тетради. Сколько тетрадей у меня в руках?» Задачи, аналогичные приведенной, ученики выполняют по указанию учителя: «Коля, возьми в шкафу 3 книги, возьми со стола еще 2 книги. Сколько книг ты взял?» Упражнения, помогающие изучению счета, полезно проводить ежедневно. Одновременно с этим можно перейти к составлению и решению задач по картинкам, а затем по картинкам и числам.
      Когда дети освоятся с решением задач-действий, после решения одной из них учитель может сказать: «Мы с вами решили задачу, а теперь решим еще одну задачу. Слушайте, я ее прочитаю», — и читает условие задачи, а дети решают ее.
      Чтобы дети поняли, как различать в задаче условие и как выделить вопрос, учитель дает им задачу: «Аня сорвала 3 гриба (показывает рисунок), а потом еще 2 гриба (показывает рисунок двух грибов)» — и предлагает детям сказать: «Что мож
      но узнать, или о чем можно спросить в этой задаче?» Ученики отвечают: «Сколько всего грибов сорвала Аня?» Так дети познакомятся с вопросом задачи. Учитель может подчеркнуть: «Это вопрос задачи. А как можно ответить на него, т. е. узнать, сколько всего грибов сорвала Аня?» Ученики должны ответить, что для этого надо к 3 прибавить 2 и сложить с помощью карточек:
      3 + 2 = 5
      Прочитав еще задачу, надо предложить одному ученику вопрос, что спрашивается в задаче, второму — повторить вопрос, третьему — что известно в задаче, а затем предложить нескольким учащимся повторить условие задачи. После таких упражнений дети поймут, как вычленять в задаче условие и вопрос.
      Определений понятий «условие», «действие», «задача», «вопрос», «решение», «ответ» учитель не дает. Эти понятия дети, усваивают практически. Названия указанных понятий (термины) следует отрабатывать также не на одном уроке, а постепенно. Ученики запоминают их в процессе занятий: сначала они только правильно соотносят названия соответствующих понятий, услышанные от учителя, а затем усваивают новые для них термины и включают их в свой словарный запас, т. е. дети в своей речи начинают употреблять эти слова осмысленно.
      На одном из последующих уроков ученики знакомятся с данными и искомым. Пользуясь иллюстрацией из учебника, рисунками на вывешенных листах или приготовленными заранее игрушками, учитель составляет задачу: «Плавали 5 рыбок (показывает 5 рыбок на рисунке или выставляет их на доске). Две из них попались на крючок (показывает их или отделяет 2 рыбки от остальных). Сколько рыбок осталось плавать?» При повторении учениками задачи по вопросам учитель употребляет выражения «Что мы знаем?», «Что нам известно?», «Что дано в условии?», а затем — «Что нужно найти?», «Что нужно узнать?», «Что неизвестно?». Обобщая повторение, учитель подчеркивает: «В этой задаче известно, или дано, — плавало 5 рыбок, из них 2 попались на крючок, но неизвестно, сколько рыбок осталось, — это надо узнать, об этом спрашивается в задаче».
      В цифровой кассе ученики сначала находят данные в условии числа (5 и 2). При этом учитель еще раз подчеркивает, что эти числа известны из условия — они даны. Потом спрашивает: «Что нужно сделать, чтобы найти неизвестное, т. е. узнать, сколько рыбок осталось плавать?». После обсуждения этого вопроса дети выкладывают из карточек:
      5 - 2 =
      Пользуясь иллюстрацией, они находят:
      5 - 2 = 3
      При знакомстве с задачей можно использовать обратный порядок, т. е. сначала познакомить учеников с данными и искомым, а затем уже с условием и вопросом.
      Введенные термины учитель употребляет в дальнейших занятиях, постепенно ими начинают пользоваться в своей работе и ученики.
      Пока первоклассники не умеют читать, учитель сам сообщает условия задач. При этом важно, чтобы учитель прочитывал условие задачи или рассказывал его ясно, выразительно, соблюдая логические ударения, подчеркивая голосом существенно важные для решения задачи выражения и данные числа. Чтобы приобрести навык читать задачу выразительно, учитель при подготовке к уроку сам должен прочитать ее вслух, а в некоторых случаях и не один раз, добиваясь четкого и ясного произношения каждого слова и соблюдения всех логических ударений. От детей при восприятии ими задачи на слух следует требовать сосредоточенного внимания, поэтому условие и вопрос простой задачи повторять несколько раз не рекомендуется; полезно добиваться, чтобы дети, после того как прослушали задачу, сами могли бы ее повторить, не упуская существенных деталей. Такое умение к детям приходит не сразу.
      Целесообразно параллельно работе с условиями задач и решением их время от времени предлагать детям с целью развития у них внимания следующие упражнения. Учитель вывешивает на доске рисунок (рис. 1), затем предлагает детям несколько секунд внимательно посмотреть на фигуры. После того как рисунок убран, учитель просит их нарисовать показанные им фигуры в том же порядке и приблизительно такой же формы и того же цвета. С течением времени вывешиваемые рисунки усложняются (увеличивается число фигур и усложняются их очертания). В последующих упражнениях учитель предлагает детям внимательно выслушать, что и в каком порядке он назовет, произносит: «Квадрат, три, треугольник, пять», — и дает ученикам задание: изобразить названные фигуры и числа в том порядке, как их называли. Можно назвать несколько чисел или показать их, а затем заставить повторить числа в указанном порядке. Внимание следует развивать и слуховое, и зрительное.
      Чтобы достичь полного внимания при восприятии условия и его понимания, учитель вначале после прочтения задачи организует воспроизведение условия по отдельным вопросам, обращенным к ученикам. Например, прочитав задачу № 3 (с. 54) из учебника математики I класса: «У Коли 7 марок, а у Саши на 3 марки больше. Сколько марок у Саши?», учитель спрашивает: «Кто по условию задачи собирал марки? Сколько марок у Коли? А что из условия задачи известно о марках Саши? Что нужно узнать? Как узнать, сколько марок у Саши?»
      Когда дети освоятся с повторением задачи по вопросам, можно переходить к более высоким требованиям; к повторению добавляются некоторые элементы анализа задачи. Учитель, прочитав задачу № 5 (с. 56 учебника математики I класса): «В саду росли 6 кустов малины, а смородины на 3 куста больше. Сколько кустов смородины росло в саду?», предложит ученикам указать, что в условии задачи известно и что нужно узнать — что неизвестно. А после этого попросит одного-двух учеников повторить задачу полностью.
      В дальнейшей работе с условием следует рассматривать с учениками задачи, формулировки которых различны по своей сложности. Первые задачи будут содержать данные, расположенные в порядке их записи в решении, и прямой вопрос в конце задачи. В последующих задачах расположение данных и вопроса будет варьироваться: то вопрос задачи поставлен в начале условия, то в середине, то данные расположены так, что вычитаемое стоит впереди уменьшаемого, и т. д.
      Дети в I классе постепенно приучаются во всех простых задачах, независимо от их структуры, сознательно выделять известные и неизвестные значения величин. Они должны после некоторых размышлений безошибочно указывать, что в задаче дано и что нужно отыскать. Это важно, так как для решения любой задачи надо понять связь между данными и вопросом задачи. Основываясь на психологических исследованиях, Н. А. Мен-чинская нашла, что в I классе дети не чувствуют необходимости в постановке вопроса к задаче (см.: Очерки психологии обучения арифметике. М., Изд-во АПН РСФСР, 1947). А как известно, мыслительный процесс обычно начинается с вопроса. С целью обострения сознания детей к важности вопроса в задаче полезно к одному и тому же условию ставить по очереди несколько разных вопросов. Например: «У Коли 3 тетради, а у Нины 4 тетради. На сколько тетрадей у Нины больше, чем у Коли?»
      Во втором варианте к той же задаче можно поставить вопрос: «Сколько тетрадей у Нины и Коли вместе?» или «На сколько тетрадей у Коли меньше, чем у Нины?» Такая вариация вопросов к задаче заставит ученика вникать в содержание задачи. Эта работа потребует от ученика в каждой задаче рассматривать связь между данными и искомым, а не упражняться в чисто механическом выборе действия, не обращая внимания на ситуацию, описанную в задаче и вопрос к ней, что у детей проявляется довольно часто.
      Еще до того, как дети научатся записывать цифры, учитель начнет обучать их «записывать» данные из условия задачи. Краткая запись простой задачи помогает ученику лучше понять содержание и структуру ее, яснее выявить взаимосвязи данных и искомого. Все это ведет к сознательному и правильному решению задачи, поэтому на запись задач учителю следует обратить особое внимание.
      Первые «записи» условия задачи представляют собой предметы, картинки или счетный материал (палочки, картонные кружки или квадратики), которые учитель одновременно с изложением содержания задачи выставляет для всеобщего обозрения на доске. Так, составляя задачу по рисунку (с. 28 учебника математики I класса), учитель скажет: «На дворе гуляло 2 гуся (выставляет на доске рисунок или вырезанные из картона фигуры двух гусей), к ним подошло еще 3 гуся (отдельно ставит рисунок или фигуры трех гусей). Сколько стало гусей?» После такой «записи» дети повторяют задачу, пользуясь иллюстрацией (рис. 2).
      Следующим этапом будет запись данных посредством счетного материала. Учитель читает задачу: «На ветке дуба растет 6 желудей (кладет на полочку доски 6 кружков). Два желудя созрели и упали (отодвигает 2 кружка). Сколько желудей осталось на ветке?» Повторяя задачу, дети смотрят на выставленные на доске кружки и, вспоминая слова учителя, передают содержание задачи, а затем переходят к ее решению.
      Сообщая следующую задачу, учитель может уже воспользоваться «комбинированной записью» данных — он выставит рисунок, соответствующий первому данному условия, а второе данное изобразит палочками. Полезно, чтобы дети по предложению учителя подобрали в цифровой кассе соответствующие данным числа и выставили карточки с числами под рисунком и под палочками.
      В последующих задачах учитель перейдет к «записи» данных посредством карточек с числами. После работы с несколькими такими задачами можно привлекать и самих учеников к «записи» данных условия посредством карточек с цифрами. (Такая запись ускоряет процесс работы, поэтому к ней можно иногда прибегать и позже, когда дети уже ознакомятся с написанием цифр.)
      Этот путь обучения краткой записи простой задачи построен на постепенном переходе от конкретной наглядности к отвлеченному представлению числа, записанного цифрами.
      Когда дети научатся писать цифры и ознакомятся с большинством букв алфавита, им следует показать, как записывать кратко задачу в одну строку с указанием наименований. Так, например, читая задачу: «У кормушки было 4 голубя», учитель записывает на доске «4 г.», а затем продолжает чтение: «к ним прилетели еще 2 голубя» — и пишет: «2 г.». Дальше задает вопрос: «Сколько стало голубей?» Повторяя условие, он указывает на запись «4 г.» и спрашивает: «Что вы знаете об этом числе из условия задачи?» (4 голубя было у кормушки.) «А что означает число «2 г.»?» (2 голубя еще прилетели к ним.) «Что в задаче требуется узнать?» (Сколько стало голубей?) Вызванный ученик по записанным на доске данным полностью повторяет условие, а второй ученик — вопрос. Затем дети решают п записывают решение.
      На последующих уроках подобная работа продолжается. Через несколько уроков запись краткого условия можно поручать самим ученикам, сначала наиболее успевающим, а позже и всем остальным.
      При такой записи задач рекомендуется использовать различные условные схемы. Так, в учебнике математики с I класса уже на странице 46 введена фигурная скобка, условно обозначающая объединение двух множеств. Ученикам нужно объяснить смысл этого символа и в дальнейшем широко им пользоваться при краткой записи задач. Следующим символом будет знак вопроса. Первоклассники еще незнакомы со знаками препинания, и поэтому для них знак вопроса требует особого толкования.
      Рассматривая па уроке иллюстрацию к задаче № 3 (с. 48 учебника математики I класса), учитель предложит ученикам рассказать, что они видят на этой картинке. Дети объяснят: «На земле сидят 3 голубя, а еще несколько голубей находятся в клетке». На вопрос учителя «Что означает число 6, поставленное на углу клетки?» дети должны сообразить, что это число указывает на то, сколько голубей находится в клетке. Дальше учитель обратит внимание детей на фигурную скобку под рисунком и знак вопроса под ней. Он скажет детям: «Скобка указывает, что число всех голубей надо объединить, сложить, а знак вопроса обозначает, что это общее число голубей неизвестно, его надо найти». Затем учитель сформулирует задачу: «В клетке находится 6 голубей, а на земле еще 3 голубя. Сколько всего голубей?» Он тут же кратко запишет эту задачу на доске в следующем виде: 6 г. 3 г. — и предложит по этой записи детям несколько вопросов: «Что означает число 6? Число 3? На что показывает скобка? Что означает знак вопроса?» (Он показывает, что неизвестно, сколько всего голубей.) К решению задачи дети приступят после полного повторения всей задачи.
      Спустя 2 — 3 недели учитель, повесив на доске иллюстрацию (рис. 4), попросит детей внимательно рассмотреть ее и даст задание составить к ней задачу. После этого учитель спросит:
      — Что означает число 8? Что показывает знак вопроса на второй коробке?
      — Неизвестное число карандашей в этой коробке.
      — Что еще записано на рисунке?
      — На 3 карандаша меньше, чем в первой коробке.
      — О чем же идет речь в данной задаче?
      — О коробках с карандашами.
      — Что известно об этих коробках и карандашах?
      — В первой коробке 8 карандашей, а во второй на 3 меньше.
      — Что надо узнать?
      — Сколько карандашей во второй коробке.
      — Теперь можно сказать всю задачу. Я начну, а вы продолжите. В одной коробке 8 карандашей... Продолжай, Петя!
      — А в другой на 3 карандаша меньше, чем в первой коробке.
      — Что можно спросить?
      — Сколько карандашей во второй коробке?
      — Запишем кратко задачу.
      Учитель на доске записывает:
      I — 8 к.
      II — ? на 3 к. меньше.
      — Каким действием нужно решать задачу?
      — Вычитанием.
      Дальше дети самостоятельно запишут и найдут: 8 — 3 = 5.
      Форма краткой записи простой задачи может быть различна. Выбор формы зависит от структуры и содержания задачи. Выбирая форму записи, данные и искомые стараются расположить так, чтобы зависимость между ними выступала наиболее ясно. Например, разобранную выше задачу удобнее записать в виде столбика, в этом случае запись ярче выявляет математический смысл, яснее выступает зависимость между данными и искомым. А в задаче «Петя поймал 4 рыбки, а Миша 5 рыбок. Сколько всего рыбок поймали дети?» краткую запись удобнее расположить в одной строке, объединив данные фигурной скобкой: 4 р. 5 р. Скобка и знак вопроса под ней в данном случае подчеркивают связь между данными и искомым.
      Показывая детям краткую запись задачи, нужно сказать о записи наименования рядом с данным. При записи действий наименование ставить не рекомендуется. Его следует указывать лишь в скобках в результате. Привычка записывать наименование у каждого компонента при выполнении действий может создать источник ошибок при решении уравнений, составленных по задаче.
      Большую роль в сознательном подходе ученика к решению задачи (а этого надо добиваться постоянно) играют различные преобразования задачи, взятой для решения. С этой целью может быть изменен вопрос к задаче (об этом уже говорилось выше), можно поменять местами данные, если они входят как слагаемые или множители, можно преобразовать задачу, изменив условие, но, использовав те же числа в качестве данных, можно преобразовать задачу в обратную (II класс), т. е. ввести в условие задачи искомое как данное, а одно из данных сделать искомым.
      Уже при знакомстве с условием и вопросом задачи, с выделением данных и неизвестного полезно предлагать детям задачи, преобразованные из первоначальной. Так, например, разобрав и решив задачу: «Барабан стоит 2 руб., а кукла дороже барабана на 3 руб. Сколько стоит кукла?», па доске будет записано 2 + 3 = 5. Тут же учитель может предложить детям задачу: «Барабан стоит 2 руб., а кукла 5 руб. Сколько стоят эти игрушки?» После решения этой задачи полезно предложить вторую видоизмененную задачу: «Кукла стоит 5 руб., а барабан дешевле куклы на 3 руб. Сколько стоит барабан?» Установив, что да-' но в этой задаче, что требуется узнать и как это сделать, дети запишут на доске решение: 5 — 3 = 2. Здесь учитель должен обратить внимание детей на решение всех трех задач. Он попросит учеников сказать, чем эти задачи похожи одна на другую, в чем сходство их решений. Выяснив сходство, устанавливают, чем одна задача отличается от другой.
      В соответствии с программой понятие обратной задачи вводится во II классе, поэтому ученикам I класса толкование этого понятия не дают и термин «обратная задача» не вводят. Однако иногда в целях более глубокого рассмотрения связей между
      данными и искомым учитель может (когда обратная задача не выходит за пределы знакомого детям материала) сформулировать условие обратной задачи и предложить ученикам решить ее.
      Преобразование задачи в обратные ей и решение их способствуют более глубокому осознанию зависимостей между величинами, входящими в задачу, и поэтому в процессе обучения во II и III классах этот прием следует практиковать довольно часто. С целью экономии времени решение большинства задач, преобразованных в обратные, можно выполнять устно.
     
      § 3. ВЫБОР ДЕЙСТВИЯ, КАКИМ РЕШАЕТСЯ ЗАДАЧА
     
      При решении простых задач ученики довольно часто допускают ошибки в выборе действия, посредством которого можно решить задачу. Причина этого рода ошибок в большинстве случаев кроется в недостаточном осмысливании содержания задачи, что является следствием отсутствия или неполного анализа задачи. Дети в некоторых случаях не вдумываются в смысл содержания задачи, а просто останавливают свое внимание на одном слове, выхваченном из текста задачи, и по этому слову выбирают (определяют) действие, которым и пытаются решить задачу.
      Чтобы ребенок, решая задачу, научился правильно находить нужное действие, он должен по содержанию задачи представить себе конкретную ситуацию, о которой рассказано в задаче, и понять взаимосвязь между искомым и данными. Для этого некоторые из учителей пользуются следующим приемом: познакомив учеников с задачей, они предлагают им закрыть глаза, чтобы отвлечься от всего постороннего, и постараться представить, о чем и что сказано в задаче. Это упражнение для многих учеников оказывается полезным, так как помогает им сосредоточить свои мысли только на данной задаче.
      Воссоздать ситуацию,, изложенную d задаче, помогают наглядные пособия и иллюстрации. Многие учителя готовят для занятий по математике в I классе различные картинки, нарисованные на плотной бумаге или картоне и имеющие прорези, в которые можно вставлять различные плоские предметы. Например, на рисунке изображено дерево и куст, а около них сделано несколько прорезей, в которые можно вставлять вырезанные из плотной бумаги и раскрашенные грибки (рис. 5). Картинка, как правило, не должна содержать деталей, отвлекающих внимание детей. Можно, хотя это для детей менее интересно, пользоваться простым наборным полотном, на котором нужно будет выставлять в отдельных кармашках соответствующие числа одинаковых предметов. Учитель читает задачу: «Девочка собирала грибы. Она нашла под деревом 4 гриба...» И тут же вставляет в прорезь на картинке или на полотно 4 гриба.
      Рис. 5
      «А около куста еще 3 гриба» — размещает на картинке под кустом 3 гриба. «Сколько всего грибов нашла и сорвала девочка?»
      Дети, наблюдая множества находящихся перед ними предметов, повторяют задачу. А учитель предлагает им сказать., что важно знать для решения этой задачи. Если кто-либо из детей укажет, что важно знать, чтобы грибы девочка нашла поддеревом и кустом, то учитель, привлекая других учеников, должен убедить всех в том, что в этой задаче существенно то, что найдено 4 гриба и 3 триба, а нужно знать, сколько всего найдено грибов — в этом суть задачи.
      При решении этой задачи учитель может обратиться к воображению учеников.
      — Дети, вот девочка нашла и сорвала 4 гриба (учитель вынимает грибки и кладет их в коробку), а затем подошла к кусту и сорвала еще 3 гриба и положила их в корзину. (Учитель снимает 3 гриба и кладет их в коробку.) Как изменилось число грибов у девочки после того, как она положила туда все сорванные у куста грибы? (Увеличилось, стало больше, прибавилось — скажут дети.) На сколько? (На 3.)
      Итак, чтобы ответить на вопрос задачи, что нужно сделать с числами 4 и 3? (Надо их сложить: к 4 прибавить 3.) Запишем это. Учитель записывает: 4 + 3 = 7.
      Дальше учитель попросит одного из учеников повторить условие и вопрос задачи. При этом на картинке снова выставляются грибки. Дети снова должны сказать, как решить задачу.
      — А теперь, дети, запишите решение задачи в тетради!
      Затем учитель читает задачу с измененным условием: «Девочка собирала грибы. Она нашла под деревом 3 гриба, а у куста 4 гриба. Сколько грибов нашла девочка?»
      Читая условие, учитель приводит иллюстрацию в соответствие с данными — выставляет под деревом 3 гриба, а под кустом 4.
      Дети, разбирая условие и рассматривая пособие, устанавливают, что и эта задача решается сложением, и находят: 3 + 4 = 7.
      После решения этих двух задач учитель обращает внимание детей на изменение данных в условии второй задачи, сравнив его с условием первой и сопоставив вопросы решенных задач.. При этом отмечают, что вопросы не изменились.
      Детей необходимо приучать подвергать простейшему анализу каждую из решаемых ими задач (выражение «анализ задачи» при решении простых задач ученикам не сообщать).
      Обучая детей анализировать задачу, полезно проделать на нескольких задачах следующую работу. Прочитав условие задачи, показать ученикам, как в тексте выделить отдельные смысловые части, соответствующие данным в условии. Например, прочитав задачу, заранее написанную на доске: «На рябину сели 5 дроздов. Затем прилетело еще несколько дроздов. Всего на рябину село 9 дроздов. Сколько дроздов село на рябину во второй раз?», ученики под руководством учителя выделят все, что сказано о первом данном, т. е. выделяют первую смысловую часть задачи и отделяют ее вертикальной чертой. Затем выделяют вторую и третью смысловые части условия. Задача оказывается разбитой на смысловые части так: «На рябину сели 5 дроздов.(Затем еще прилетело несколько дроздов.(Всего на рябину село 9 дроздов. (Сколько дроздов село на рябину?» Дальше дети найдут и подчеркнут в каждой выделенной части наиболее важные слова и числа, т. е. те из них, которые несут основную нагрузку. Ученики подчеркивают «сели 5», | «прилетело несколько».| «всего 9 дроздов», | «сколько село». После этого детям нетрудно записать задачу кратко;
      Сели 5.
      Прилетело — ?
      Всего 9.
      Краткая запись и сделанный анализ задачи помогут ученикам правильно выбрать действие. Они сообразят: чтобы узнать, сколько прилетело дроздов во второй раз, надо от 9 вычесть 5: 9-5=4.
      Для закрепления сознательного подхода при выборе действия при решении простой задачи целесообразно предложить детям несколько похожих задач, но решаемых различными действиями. Например:
      1. В вазе лежало 7 яблок. Дети съели 3 яблока. Сколько яблок осталось в вазе?
      Повторив задачу, дети выделят в ней смысловые части: «было 7», «съели 3», «сколько осталось». Выбирая действие, они будут рассуждать: «Когда 3 яблока съели, то яблок стало меньше, поэтому надо из 7 вычесть 3».
      Вслед за этой задачей ученикам предлагают задачу с другой ситуацией.
      2. В вазе лежали яблоки. Дети взяли из вазы 3 яблока, ив ней осталось 7 яблок. Сколько яблок было в вазе первоначально? (Эта задача похожа на обратную по отношению к первой, но не является таковой.) Рассматривая условие и вопрос задачи, ученики по предложению учителя выделяют смысловые части, кратко записывают задачу и, выбирая действие, рассуждают: «В вазе осталось 7 яблок, а 3 яблока из нее взяли. Если эти яблоки положить на прежнее место, то число яблок в вазе увеличится и окажется первоначальным. Значит, чтобы узнать, сколько яблок было в вазе первоначально, надо сложить данные числа — к семи прибавить три: 7+3=10. 10 яблок лежало в вазе первоначально». (До разбора условия следует выяснить, понятно ли детям значение слова «первоначально», и если не понятно, то разъяснить его смысл.)
      При поиске решения этой задачи можно обратиться к условно предметной наглядности, например, можно на лист бумаги или картона (это ваза) положить 7 кубиков (яблоки), а 3 кубика взять в руку (яблоки, которые взяли дети). В этом случае рассуждения детей могут быть такими: «Из вазы взяли 3 яблока, значит, там их было больше, чем осталось. Взяли 3 яблока, а осталось в вазе 7 яблок. Чтобы узнать, сколько было яблок в вазе первоначально, нужно к 7 прибавить 3 яблока».
      Следующая задача тоже похожа на две первые, но также не является обратной ни к одной из них.
      3. В вазе лежало 7 яблок. Дети взяли из нее несколько яблок, и в вазе осталось 3 яблока. Сколько яблок взяли дети?
      Простейший анализ задачи подсказывает ученикам решение: 7 — это 3 и 4. Задача решается вычитанием, потому что, когда из вазы взяли несколько яблок, их стало меньше — надо найти остаток.
      До того, как предложить детям решить задачу на сравнение чисел, им полезно выполнить ряд упражнений следующего вида:
      5 > 3, следовательно, 5 — х=3, или 5=3+x:, х=5 — 3, 4 < 7, следовательно, 4+х=7, или 7 — х — 4, х=7 — 4.
      Ознакомившись с условием следующей задачи: «Андрей и Юра собирали грибы. Андрей сорвал 4 гриба, а Юра нашел 7 грибов. На сколько больше грибов нашел Юра, чем Андрей?» — и разобрав ее условие, дети установят, что 7 больше 4. Дальше дети укажут: в задаче требуется узнать, на сколько одно число больше другого, а чтобы узнать это, нужно от большего числа вычесть меньшее, т. е. 7 — 4=3.
      После решения этой задачи вопрос в ней следует видоизменить и сформулировать так: «На сколько меньше грибов нашел Андрей, чем Юра?» Повторив условие и вопрос новой задачи, ученики должны сказать, кто нашел грибов меньше.
      — Откуда вам известно, что Андрей нашел грибов меньше, чем Юра? (Сказано в условии.) А можно ли сделать такой же вывод, сравнивая число грибов, которые нашел Андрей, с числом грибов, найденных Юрой? (Да.) Почему? (Потому, что четыре меньше семи.)
      Учитель предлагает записать одному из учеников на доске 4 < 7.
      — А каким действием можно узнать, на сколько 4 меньше 7? (Вычитанием.)
      Дальше дети самостоятельно под контролем учителя запишут: 7 — 4 = 3. Условия и вопросы двух последних задач полезно сопоставить, в результате чего на доске будет записано: 7д > 4, 4 < 7. При этом учитель обратит внимание детей на то, что для обоих этих неравенств вычитание дает возможность найти, на сколько одно число больше или меньше другого.
      Рассмотрение указанной пары задач позволит учителю впоследствии, прочитав только условие аналогичной задачи, предложить детям придумать различные варианты вопроса к данному условию. Это упражнение с изменением вопроса к определенному условию заставит ребенка осмыслить, что одно и то же явление, одну и ту же ситуацию можно рассматривать .с различных сторон.
      При решении простых задач, особенно при разборе нового для учеников вида задач, рекомендуется применять разнообразные наглядные пособия. Следует заметить, что частое применение при решении задач однообразных наглядных пособий искусственно задерживает у детей развитие способностей к мышлению, поэтому, применив описанное выше пособие при решении и преобразовании нескольких задач, полезно в дальнейшем перейти к применению более отвлеченной формы иллюстраций — к простейшему рисунку, а затем к схематическому рисунку и чертежу. Однако последовательный переход от предметной наглядности к абстрактной не означает, что один из видов наглядности полностью исключает все ему предшествовавшие. Различные формы наглядности иногда могут чередоваться. В зависимости от сложности изучаемого материала применяется более или менее сильное средство наглядности.
      Проследим, как можно использовать упрощенный рисунок при выяснении выбора действия, с помощью которого решается задача. Возьмем задачу: «Ваня сорвал с яблони 3 яблока. После этого он пересчитал на яблоне оставшиеся яблоки и насчитал 7 яблок. Сколько яблок вначале было на яблоне?» Прочитав условие, учитель на доске схематически нарисует яблоню с 7 яблоками и отдельно 3 яблока, сорванных Ваней, и попросит учеников ответить, сколько яблок осталось на яблоне, сколько яблок сорвал Ваня и что нужно узнать. Дети без особого труда ответят на эти вопросы и тем самым уяснят смысл задачи. Названные учениками числа учитель запишет под рисунком (рис. 6). Уяснив смысл задачи, дети по предложению учителя скажут: «Вначале на яблоне яблок было больше, чем после того, как Ваня сорвал 3 яблока, поэтому к яблокам, оставшимся на яблоне, надо прибавить сорванные, т. е. 7 + 3. Решение задачи дети могут выполнить дальше самостоятельно.
      На следующем уроке целесообразно взять, например, такую задачу: «На завтрак подали 9 помидоров. 6 помидоров съели. Сколько помидоров осталось?» К задаче можно дать схематическую иллюстрацию, изобразив помидоры кружками. Но если дети уже довольно легко справляются с такими задачами, то можно ограничиться лишь записью условия числами. Обращаясь к условию задачи, уместно спросить: «Сколько помидоров подали на завтрак? Сколько помидоров съели за завтраком? Что спрашивается в задаче?» Полезно при этом обратиться к воображению учеников: «Представьте, что за стол сели 6 человек, каждый из них съел по одному помидору. Было подано 9 помидоров. Первый взял 1 помидор, осталось 8, второй взял еще 1, третий тоже 1 и т. д. Как же узнать, сколько осталось помидоров?» Возможно, что один или несколько учеников ответят: «Нужно из 9 вычесть по одному 6 раз». Тогда учителю необходимо спросить: «А нельзя ли сделать короче?» Большинство учеников сообразят, что нужно из 9 вычесть 6 — это то же самое, что из 9 вычесть 6 раз по одному.
      Затем учитель может предложить ученикам такую задачу: «К завтраку подали помидоры. За завтраком съели 6 помидоров, а осталось 3 помидора. Сколько помидоров было подано к столу?» При разборе задачи внимание учеников следует обратить на то, что 6 помидоров, которые съели за завтраком, взяли из поданных к столу, а на столе осталось 3 помидора. Следовательно, чтобы дать ответ на вопрос задачи, можно мысленно положить обратно взятые 6 помидоров, т. е. к 3 помидорам прибавить 6.
      Работа с преобразованием вопроса в задаче и самих задач позволяет ученикам всесторонне рассмотреть описанную в задаче взаимосвязь величин и сознательно подходить к выбору действия, с помощью которого можно решить задачу.
      При обучении решению простых задач не рекомендуется рассматривать подряд несколько задач, аналогичных по своему содержанию и характеру действия, чтобы не вырабатывать у детей шаблонного автоматического подхода при выборе действия.
      С той же целью полезно время от времени предлагать ученикам решить несколько похожих задач с одинаковыми вопросами, но решаемых разными действиями. Например:
      1. На полке стояло 8 книг. Девочка сняла с полки 2 книги. Сколько книг стало на полке?
      2. На полке стояло 8 книг. Девочка поставила к ним 2 книги. Сколько книг стало на полке?
      По смыслу, задач дети довольно легко находят, что первая задача решается вычитанием (8 — 2), а вторая сложением (8+2), хотя вопросы этих задач совершенно одинаковы. Здесь важны указания в тексте задач: «сняла 2 книги» (первая задача), «поставила 2 книги» (вторая задача).
      При решении задач в косвенной форме целесообразно сопоставить решение пары задач, в тексте которых встречается одно и то же определяющее слово и один и тот же вопрос, например:
      1. Брюки стоят 14 руб., а куртка дешевле брюк на 6 руб. Сколько стоит куртка?
      2. Брюки стоят 14 руб., они дешевле куртки на 6 руб. Сколько стоит куртка?
      При рассмотрении смысловых частей первой задачи ученики должны установить, какая вещь дороже (брюки), какая дешевле (куртка) и на сколько. Только после этого они могут правильно определить действие (14-6).
      При анализе второй задачи, рассматривая смысловые части ее, также обязательно выяснить, что стоит дороже (куртка), что — дешевле (брюки) и на сколько. Установив это, ученики поймут, что задача решается сложением (14+6).
      Сопоставив условия и решения этих задач, дети должны понять, что одинаковый вопрос и одно и то же определяющее слово в тексте еще не указывает действие, что при разборе задачи обязательно рассмотреть, к какому предмету и числу относится это определяющее слово. Выбор действия обусловлен зависимостью искомого от данных, а правильно выбрать его помогает рассмотрение смысловых частей задачи и выявление зависимости между величинами, поэтому ученик должен внимательно рассмотреть всю задачу, чтобы обосновать выбор действия.
      Осознанность выбора действия учеником полезно проверять. При этом достаточно спросить, почему, например, данную задачу решили сложением, а не вычитанием. Ответ ученика на вопрос сразу обнаружит, случайно или сознательно выбрано действие.
      Работу с простыми задачами полезно перемежать задачами на соображение (не стандартными задачами). Например, могут быть предложены детям такие задачи:
      1. Над подъездом дома висит табличка — указатель квартир с числами 17 — 32. Можно ли в этом подъезде найти квартиры 15, 33, 31?
      2. Электропоезд состоит из 7 вагонов. Два мальчика решили поехать вместе в четвертом вагоне. Один мальчик сел в 4 вагон от начала, а другой — в 4 вагон от конца. В один ли вагон они сели?
      3. Два ученика решили сесть в 4 вагон электропоезда. Электропоезд состоял из 8 вагонов. Один ученик сел в 4 вагон от начала, а другой в 4 вагон от конца. В один ли вагон сели эти ученики?
      4. Алеша и Таня сорвали поровну орехов. Алеша из своих орехов дал Тане 4 ореха. На сколько орехов у Тани стало больше, чем у Алеши?
      Можно предложить детям несколько задач следующего характера:
      1. Мальчик поднялся на лифте на 6 этаж, а ему надо было подняться на 9 этаж. Сколько этажей ему нужно миновать, чтобы подняться по лестнице на 9 этаж?
      2. У каждого из трех учеников по 2 цветных карандаша: у Вани синий и красный, у Пети зеленый и красный, у Маши желтый и синий. Сколько карандашей разных цветов у этих детей?
      3. Нужно привезти 7 одинаковых станков. На одну машину можно погрузить только 3 таких станка. Сколько потребуется сделать рейсов на одной машине, чтобы перевезти все 7 станков?
      4. На автомашину ГАЗ-63 можно погрузить 4 бочки, а на машину ЗИС-6 — 8 таких же бочек. Какую из автомашин нужно заказать, если потребуется перевезти 5 бочек? А если 3 бочки?
      Иногда полезно предложить ученикам задачу, которую по данным условия решить нельзя. Например: «Мама дала Кате 7 слив, а Мише 3 сливы. Сколько слив получил Петя?» В некоторых случаях ученики решают эту задачу и находят сумму 7 + 3. Следует разобрать условие этой задачи коллективно и выяснить, почему ее нельзя решить. Бывают случаи, что задачу, которая имеет все данные для ее решения, некоторые ученики отказываются решать по аналогии с предшествующей задачей. В этом случае детям следует показать, что содержание каждой задачи нужно внимательно прочитать и только после этого установить, можно ли ее решить.
      Упражнения подобного рода заставляют детей более внимательно относиться к содержанию простых задач.
     
      § 4. РЕШЕНИЕ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
     
      Решение несложных уравнений в начальных классах не является каким-то неожиданным нововведением. Еще в дореволюционном сборнике задач по арифметике К. П. Арженикова (1862 — 1933) содержались упражнения вида 74+2 = ?, 7+?=10, ?+21 = 29 и т. д. В более поздних сборниках появились несколько видоизмененные упражнения, например, 3+…=4, …+2=8 или □+3=8, 5+□=7 (см.: Никитин Н. Н. и др.
      В настоящее время в учебниках математики в уравнениях знаки вопросов и другие символы заменены буквами, хотя на первом этапе знакомства с уравнениями некоторые символы сохранились.
      Решение простых задач с применением уравнений в I и II классах дается с целью показать детям практическое использование уравнений. Только в III классе программой предусмотрено решение задач с помощью составления уравнений, т. е. алгебраический прием решения задач.
      KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
     
     
      ЗАКЛЮЧЕНИЕ
      Реформа преподавания математики в школе вызвала изменение не только содержания обучения, но и методов обучения, так как составные части обучения (содержание обучения и методы обучения) тесно связаны между__ собой. Видоизменение одной из этих частей (в данном случае изменение содержания) неизменно вызывает изменение другой (методов).
      Приближение курса школьной математики к современной науке требует изменения уровня мыслительной деятельности ученика, что в свою очередь ведет к модернизации методов обучения. Обучение математике на современном уровне требует разработки и применения таких методов, которые вызывают наибольшую активность мысли ученика и оптимально способствует его умственному развитию.
      Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задач, что является одним из важнейших звеньев в цепи познания математики. Этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но прокладывает пути к глубокому пониманию ее. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи дает импульс к развитию мышления ученика. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углубленному изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира.
      Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей многие положительные качества характера и развивает их эстетически.
      Даже сравнительно несложная задача пробуждает у школьника любознательность, заставляет его изобретать. Решение задачи заставляют человека напрягать ум и волю, ведет его к открытию и позволяет насладиться радостью победы.
      Эмоции, возбуждаемые решением задачи, пережитые человеком в школьном возрасте, могут пробудить у него; вкус к умственной деятельности, оставить свой след в уме и характере человека на долгие годы, а может быть, и на всю жизнь.
      Учитель, предлагая детям задачи, соразмерные их знаниям, направляя ход мысли школьников при решении этих задач, сможет привить им вкус к самостоятельному мышлению, пробудить их любознательность, развить способности и умения.
      Умение решать задачи — одно из сложнейших умений. Формируя его, важны все этапы работы с задачей: чтение и понимание текста, вдумчивое рассмотрение содержания и ситуации, лежащей в основе задачи, краткая запись задачи и иллюстрация, установление связей и зависимостей между данными и искомым, расчленение составной задачи на простые, выбор действия, установление последовательности в действиях, вычисления и проверка решения.
      Для углубления понимания детьми структурных особенностей задач важно рассмотрение различных вариантов решений задач, систематическое составление задач самими учениками и упражнения в различных преобразованиях задач. Все это в значительной мере способствует и математическому и общему развитию детей.
      С этих позиций и следует подходить к каждой задаче, решаемой детьми. Учитель должен стремиться к тому, чтобы каждая задача стала наиболее разносторонним источником знаний и представлений, давала бы наиболее полный поток информации, поступающей в мозг ученика. Отсюда следует, что не нужно предлагать ученику решать как можно больше задач — этот путь не самый короткий и не самый совершенный. Значительно целесообразнее ориентировать ученика на то, чтобы при решении задачи он почерпнул из нее все возможные сведения, способствующие его развитию, его продвижению вперед по пути совершенствования мышления, по пути овладения новыми знаниями.
      Основное методическое правило при обучении решению задач: не спешить переходить к решению новой задачи, пока не исчерпаны все или почти все заложенные в ней возможности к развитию мыслительных способностей ученика, к приобретению им новых знаний.
      Это правило надо всегда помнить и неизменно им руководствоваться на протяжении всего курса обучения математике.