С чего начинается решение
стереометрической задачи

DjVu

      Значение чертежа при изучении геомефии очень велико, в частносги при решении задач со взаимосвязанными между собой элементами фигуры, в том числе с дополнительными построениями.
      Запись условия теоремы или задачи с помощью чертежа позволяет охватить, причем в наглядной форме, все условие целиком, лучше усвоить и яснее понять его, что существенно облегчает анализ теоремы или задачи, поиски путей доказательства или решения. Чертежам пространственных фигур принадлежит первостепенная роль в развитии пространственного воображения, пространственного мышления, так необходимого в условиях научно-технического прогресса. Решение более или менее сложной стереометрической задачи начинается с выполнения правильного чертежа, так как без него трудно, а в ряде случаев невозможно усвоить условие задачи, проанализировать и решить ее.
      При изучении математики решение задач играет огромную роль. И не только потму, что необходимо выработать умение применять полученные знания на практике (а ведь это одна из основных целей изучения математики в школе). Без решения задач нельзя овладеть и теорией. Именно в процессе решения задач математические понятия, аксиомы и теоремы, формулы и правила, геометрические фигуры предстают перед нами в самых разнообразных ракурсах, не в застывшем виде, а в движении, в различных связях и взаимозависимостях, которые отображают диалектику самой действительности. Подобно тому как грамматическими правилами можно овладеть лишь в процессе живой языковой практики, так и математическую теорему, определение, формулу можно усвоить по-настоящему, научиться применять на практике только в процессе решения задач.
      Стереометрические задачи имеют свои специфические особенности, которые обусловливают ряд трудностей при их решении.
      Решая задачу по планиметрии, мы обычно сравнительно легко изображаем фигуру, о которой идет речь в условии, без труда строим отдельные элементы. Построенная фигура с точностью до подобия (в определенном масштабе) отображает фигуру, данную в условии задачи. Все свойства фигуры, расположенной в плоскости чертежа, сохраняются, правильность изображения зависит только от тщательности, с какой чертеж выполняется.
      Иное дело в стереометрии. Ведь здесь, решая задачу, мы пользуемся обычно не пространственной моделью, а изображением фигуры на плоскости (в школьной практике — в параллельной проекции). В связи с этим возникают две трудности: во-первых, нужно уметь правильно изображать фигуру (с учетом ее свойств и свойств параллельной проекции); во-вторых, нужно уметь правильно представить пространственную модель фигуры по ее условному изображению. В самом деле, на таком изображении прямоугольный в оригинале треугольник редко бывает прямоугольным; скрещивающиеся прямые изображаются пересекающимися или параллельными и т. д.
      Специфика решения стереометрических задач связана также с особенностями геометрических построений в пространстве. Если в планиметрической задаче говорится, например, о перпендикуляре, опущенном из середины боковой стороны трапеции на ее большее основание, то мы берем в руки циркуль и линейку или угольник и без лишних слов строим этот перпендикуляр. Никаких особых обоснований при этом не требуется — они заключены в самом способе построения.
      Совсем иное дело — построения в пространстве. Пусть, например, в условии задачи дано расстояние от основания высоты пирамиды до ее боковой грани. Чтобы решить задачу, нужно опустить из основания высоты пирамиды перпендикуляр на указанную боковую грань. Но в стереометрии это делается не циркулем и линейкой (или угольником), а теоретическим обоснованием такого построения, включающего и указание на то, где именно на боковой грани окажется основание опущенного перпендикуляра.
      Анализ геометрической задачи направлен прежде всего на то, чтобы выявить свойства фигуры, непосредственно связанные с ее условием; уяснить зависимости между данными и искомыми элементами, включить те и другие в состав вспомогательных плоских фигур (чаще всего треугольников), рассмотрение которых даст возможность в определенной последовательности выразить искомые элементы через данные. В стереометрических задачах этот последний этап также имеет свою специфику; отсюда и дополнительные трудности. ----
      Любую сложную задачу (и соответствующее построение) можно расчленить на ряд элементарных задач. При этом обнаруживается, что сложные задачи — это различные комбинации ограниченного числа элементарных задач (и соответственно элементарных построений). Хорошее владение способами решения элементарных задач, выполнения и обоснования элементарных построений (и их изображений на чертеже) вооружает для решения задач сложных. Вот почему в этой книге основное внимание уделено способам построения отдельных элементов пространственных фигур, обоснования этих построений и их изображения на чертеже в параллельной проекции.
      В книге, таким образом, рассматривается не методика решения задач разных типов, а методика построения и изображения на плоскости стереометрических фигур и их элементов при решении задач. В связи с этим материал сгруппирован не но типам задач, а по видам построений, которые могут встретиться при решении всевозможных стереометрических задач. Условия задач на вычисление приводятся полностью, однако в книге рассматривается лишь первый этап их решения — построение и обоснование свойств соответствующих фигур и их элементов.
      Сначала каждое построение рассматривается отдельно, а затем его применение иллюстрируется на примере задач, которые, кроме рассматриваемого, включают и другие построения. При этом последовательность выполнения чертежей к таким задачам нередко лишь указывается, полное обоснование предоставляется читателю, так как оно сводится к уже рассмотренным обоснованиям элементарных задач и построений.
      Для иллюстрации рассматриваемых построений и изображений использованы задачи, однотипные с задачами из школьного учебника, а также конкурсные задачи для поступающих в высшие технические учебные заведения.
      Приведенные в книге пояснения и обоснования к соответствующим построениям нельзя рассматривать как некие обязательные, стандартные образцы, тем более, что во многих случаях обоснование свойств фигур и построений предоставляется самому читателю. Хочется побудить читателя самостоятельно искать и находить решения эадач.
      Выше говорилось о важной роли чертежа при доказательстве теорем и решении задач. Но следует научиться относиться к чертежу критически. Ведь при изображении фигуры, особенно в стереометрии, мы допускаем ряд условностей, в результате чего чертеж обычно не полностью соответствует условию задачи. Например, нередко не равнобедренный треугольник на чертеже выглядит равнобедренным, и это направляет наши рассуждения на ложный путь. Поэтому необходимо обратить внимание учащихся на очень важное указание академика А. В. По-горелова — автора учебного пособия «Геометрия. 6 — 10»: «При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее».
      Это указание в полной мере относится к задачам, особенно стереометрическим, при решении которых фигуры на чертеже очень часто предстают перед нами в искаженном виде.
      В школьном преподавании изображение геометрической фигуры является важным, но отнюдь не основным, а лишь вспомогательным этапом решения задачи. Вот почему следует отводить этому этапу возможно меньше времени (конечно, не в ущерб правильности и наглядности изображения). Достичь этого можно, выработав у себя прочные навыки выполнения чертежа ог руки, без чертежных инструментов (за исключением шаблонов эллипсов и циркуля при изображении тел вращения). Незначительные погрешности при делении на глаз отрезка в данном отношении, проведении параллельных и перпендикулярных прямых на бумаге, не разлинованной в клетку, и т. п. не считаются ошибками.
      В заключение заметим, что предлагаемое пособие во многом носит характер справочника, поэтому в нем не даются задачи для самостоятельного решения, тем более, что в процессе изучения курса стереометрии учащимся приходится выполнять многочисленные упражнения из учебных пособий и других источников. Кроме того, в данной книге выполнение ряда чертежей и обоснование построений и свойств фигур полностью или частично возлагаются на читателя. При этом надо иметь в виду, что, доказывая утверждения, нужно использовать определения, аксиомы и теоремы, рассмотренные и доказанные в учебном пособии «Геометрия. 6 — 10» А. В. Погорелова. Если применяются другие теоремы, они должны быть доказаны при обосновании решения задачи.
     
      Глава I. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР В ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
     
      § 1. Определение параллельного проектирования и его свойства
      Решая задачу или доказывая теорему из курса стереометрии, мы пользуемся, как правило, не пространственной моделью соответствующей фигуры, а ее изображением на плоскости, чертежом, то есть, как иногда говорят, ее графической моделью. Тот, кто хочет научиться решать стереометрические задачи, должен прежде всего научиться правильно изображать пространственные фигуры на плоскости — на листе бумаги или на классной доске.
      В чем же сущность проектирования пространственных фигур на плоскость, позволяющего получить наглядные изображения этих фигур?
      Для получения таких изображений пользуются чаще всего двумя методами — параллельным проектированием и центральным проектированием (перспективой). Второй из этих методов более соответствует аппарату человеческого зрения, но он очень сложен и поэтому не пригоден для наших целей. Ведь рисунок при изучении стереометрии играет вспомогательную роль. К рисунку предъявляются требования не только верности оригиналу и наглядности, но и простоты и быстроты выполнения. Этим требованиям вполне отвечает параллельная проекция.
      В ясный солнечный день мы видим на тротуарах, на гладких стенах четко очерченные тени предметов. Это солнечные лучи проектируют эти предметы на плоскость тротуара или стены. А ведь солнечные лучи исходят не из точечного источника света. Их излучает вся огромная светящаяся поверхность Солнца, огромно и расстояние Солнца до Земли, поэтому солнечные лучи можно считать практически параллельными. Вполне возможно, что идея параллельного проектирования подсказана математикам именно механизмом образования солнечных теней, так же, как идея перспективы — строением аппарата человеческого зрения.
      Несомненно, каждый наблюдал солнечные тени каркасных геометрических фигур на гладкой стене. Изменяя
      положение фигуры, можно получить разные ее изображения — от наглядных до таких, на которых фигуру невозможно узнать: треугольник может отразиться в виде отрезка, а тетраэдр — в виде треугольника. Такое же изменение формы и размеров тени можно наблюдать, не меняя положения фигуры. Но для этого нужно набраться терпения и подождать, пока Солнце заметно продвинется по небосклону и соответственно изменится направление солнечных лучей. На этом примере мы видим, что изображение в параллельной проекции фигуры зависит не только от самой фигуры, но и от взаимного расположения плоско-
      Ознакомимся ближе с параллельным проектированием.
      Пусть в пространстве заданы некоторая плоскость а (будем называть ее плоскостью проекций) и пространства. Через эту точку проходит только одна прямая, параллельная прямой (то есть только одна проектирующая прямая), пересекающая плоскость проекций а в некоторой точке, которую обозначим буквой М (без штриха). Эту точку назовем проекцией точки М' на плоскость а при проектировании параллельно прямой, или просто параллельной проекцией точки АГ. Изданного определения следует, что точки, принадлежащие плоскости а, совпадают со своими проекциями на эту плоскость.
      Таким образом, параллельное проектирование является отображением пространства на плоскость проекций. Это отображение не обратимое, так как все точки М лежащие на одной и той же проектирующей прямой, проектируются в одну точку Л1. Однако, при изображении прямых, не являющихся проектирующими, и плоских фигур, не расположенных в проектирующей плоскости, между точками этих фигур и их проекциями существует взаимно однозначное соответствие. Проектирующей называется любая плоскость, параллельная направлению проектирования.