Русские счёты
и их использование в школе

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ

      «В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора профессий приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению»
      Выполняя эти директивы, школа должна принять решительные меры к улучшению преподавания математики и повышению уровня подготовки учащихся к практической деятельности. В этих целях преподавание всех изучаемых в школе математических дисциплин — арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии — должно быть поставлено так, чтобы учащиеся умели не только логически правильно выводить формулы и доказывать теоремы, но и осмысленно применять их на практике. В частности, ученик должен уметь твердо и уверенно производить вычисления как в устной и письменной форме, так равно и с. помощью различных вспомогательных средств вычисления: таблиц, логарифмических линеек, счётов и т. п.
      Существующая школьная программа по математике из всех доступных школе счётных инструментов предусматривает ознакомление учащихся лишь с логарифмической линейкой и игнорирует многие другие счётные приборы, в том числе и русские счёты.
      К сожалению, многие учителя математики также недооценивают русские счёты и в силу этого не принимают мер. к широкому их использованию в школе.
      Вследствие такого положения оканчивающие даже десятилетку не владеют техникой вычислений на счётах.
      Иногда против употребления русских счётов в школе выдвигаются и необоснованные «принципиальные положения», что якобы «вычислительная сила» счётов слишком ограничена и, следовательно, в век изобретения многих самых совершенных вычислительных машин нет смысла культивировать в школе навыки вычислительной техники на счётах.
      На самом же деле «русские торговые счёты в значительной степени механизируют выполнение действий сложения и вычитания. Уже при небольшом навыке эти действия выполняются на счётах почти столь же быстро, как и на арифмометре. Этот простой и широко распространённый прибор облегчает не только выполнение сложения и вычитания, но и других действий» (В. Б р а д и с, Теория и практика вычислений, вып. 1, 1933).
      В книге же Н. П. Юрьева «Счётная техника» (Госстатиздат, 1952) русским счётам даётся такая характеристика (стр. 52): «При доста-
      1 Директивы XIX съезда партии по пятому пятилетнему плану развития СССР на 1951—1955 годы, Госполитиздат, 1952.
      точном навыке счёты могут заменить вычислительную машину при любых арифметических действиях».
      Следует заметить также, что несмотря на век изобретения самых совершенных вычислительных машин, русские счёты до сих пор не потеряли своей практической ценности и широко ещё используются среди многих массовых профессий: продавцов, счетоводов, бухгалтеров, статистиков и др.
      Настоящее пособие имеет своей целью, во-первых, содействовать более широкому и массовому использованию счётов на уроках математики (и тем самым содействовать привитию учащимся полезных практических навыков вычислительного характера) и, во-вторых, помочь учителю, не владеющему вычислительной техникой на счётах, самому ознакомиться с ней по доступному пособию.
      При описании способов и приёмов вычислений на счётах в книге приводятся примеры, иллюстрирующие эти способы и приёмы, а также иногда поясняющие и технику вычислений на счётах.
      В тексте многих параграфов имеются в достаточном количестве методические замечания для учителя по использованию того или иного приёма в школе.
      Кроме того, в конце книги помещены два специальных параграфа, один из которых имеет отношение к организации работы на счётах в классе (§ 15) и другой содержит примерный план использования счётов в V классе параллельно с изучением теоретического курса арифметики (§ 16).
      При составлении пособия использована следующая литература:
      В. М. Брадис, Средства и способы элементарных вычислений, АПН РСФСР, М, 1948.
      В. Брадис, Теория и практика вычислений, вып. 1, Учпедгиз, М., 1933..
      П. П. Андреев и Н. С. Беленький, Элементарный курс хозяйственных вычислений, Госфиниздат, М., 1937.
      Ф. Д. Лившиц, Хозяйственные вычисления, Госстатиздат, 1951.
      Н. И. Цагикян, Арифметика на счётах.
      В. П. Юрьев, Счётная техника, Госстатиздат, 1952.
      Автор
     
      § 1. О ПРОИСХОЖДЕНИИ СЧЁТОВ
     
      Русские торговые или конторские счёты — древнего происхождения. Они изобретены ещё при Иване III. Первоначальная их форма на Руси — так называемый «дощатый счёт», т. е. доска или рама с «чётками» (шариками), надетыми на шнуры или верёвки. Дощатый счёт, подобно нынешним торговым счётам, употреблялся в народе часто. «Им всякий торговый счет сочтет и сошной и померной и весчей и денежной всякой счет по всяким статьям и в долях». Так о «дощатом счёте» отзывались наши предки.
      Сто с лишним лет назад русские старинные счёты проникли и за границу. Рассказывают, что французский математик Понселе, служивший офицером в наполеоновской армии и попавший в плен к русским в 1812 г„ вывез счёты во Францию после своего освобождения и обучил соотечественников пользованию этим оригинальным и весьма удобным счётным прибором.
      Русские счёты с давних пор были известны также и немцам, которые называли их «русской счётной машиной».
      Они широко применялись в качестве наглядного пособия в прежних русских и иностранных школах.
      В настоящее время русские счёты получили широкое распространение среди работников . многих массовых профессий: продавцов, счетоводов, бухгалтеров, статистиков, экономистов и т. п., поэтому советская школа должна приучать учащихся с первых лет обучения к использованию при вычислениях столь простого и доступного во всех отношениях счётного прибора, . как русские счёты.
      К сожалению, наши семилетние и средние школы часто игнорируют употребление счётов при обучении детей не только в старших, но и в младших классах, и тем самым устраняются от привития учащимся полезных практических навыков вычислительного характера.
     
      § 2. УСТРОЙСТВО СЧЁТОВ И ИХ РАЗНОВИДНОСТИ
     
      Современные счёты представляют собой прямоугольную раму, между большими сторонами которой натянуты проволоки параллельно меньшей стороне рамы и на одинаковом расстоянии друг от друга. На каждой проволоке помещены круглые косточки, которые можно свободно передвигать вправо и влево.
      По своим размерам счёты делаются разной величины и с разным числом проволок, но обыкновенно в торговых счётах их бывает не более 15. Бывают и классные счёты для школьного употребления, изготовляемые по образцу торговых, но только больших размеров и на специальной подставке.
      В современной! практике встречаются счёты нескольких разновидностей: а) обыкновенные счёты прежнего образца, б) обыкновенные счёты современного образца, r) обыкновенные десятичные счёты и г) специальные счёты, изготовляемые по особому заказу.
      Обыкновенные счёты прежнего образца перешли к нам из дореволюционной России. Эти счёты состоят из двух частей: верхней и нижней, причём к нижней части обычно относят четыре последние (нижние) проволоки.
      На каждой проволоке помещено по 10 косточек, кроме нижней части, где на первой и четвёртой проволоках помещается по 4 косточки. Все косточки обычно окрашены в один и тот же цвет, за исключением двух средних (5-й и 6-й на проволоках, имеющих по 10 косточек, 2-й и 3-й на проволоках, имеющих по 4 косточки), которые окрашены иным цветом (чаще чёрным).
      Нижняя часть предназначается для мелких именованных чисел, например копеек, а верхняя для именованных и отвлечённых чисел любых разрядов (рис. 1).
      Устройство обыкновенных счётов современного образца отличается от описанных счётов прежнего образца только тем, что их нижняя часть состоит только из трёх проволок, причём 4 косточки имеет лишь одна третья снизу проволока (рис. 2).
      Десятичные счёты совсем не имеют проволок с четырьмя косточками. У них на каждой проволоке по десяти косточек, поэтому в таких счётах нет нужды, выделять верхнюю и нижнюю части (рис. 3).
      Специальные счёты могут иметь различное устройство в зависимости от их назначения. Например, если на заводе или на фабрике приходится учитывать рабочее время, то для этой цели полезно иметь такие счёты, чтобы у них на нижней проволоке было 10 косточек для отсчёта минут, на второй 6 — для десятков минут, а на третьей 8 — для учёта человеко-часов в пределах одного рабочего дня. На остальных же проволоках можно иметь и по 10 косточек для подсчёта человеко-дней (рис. 4).
     
      § 3. ОБЪЯСНЕНИЕ СЧЕТОВ
     
      Объяснение счётов начнём с обыкновенных десятичных. В этих счётах каждая проволока соответствует разрядам .чисел, т. е. единицам, десяткам, сотням и т. д., а каждая группа из трёх проволок, начиная снизу, соответствует определённому счётному классу. Так, например, первые три проволоки снизу могут соответствовать классу единиц, вторая тройка — классу тысяч, третья — классу миллионов и т. д.
      Но можно назначение проволок распределить и иначе: первую — третью проволоки снизу отнести к классу тысячных долей, четвёртую — шестую к классу единиц, седьмую — девятую к классу тысяч и т. д. (рис. 5).
      Косточки на проволоках соответствуют единицам каждого разряда, й. так кйК едйййц в каждом разряде по 10, то столько же косточек и на каждой проволоке.
      Очевидно, при таком устройстве счётов 10 косточек каждой проволоки равны по своему значению 1 косточке следующей верхней проволоки, а каждая косточка данной проволоки равна по своему значению 10 косточкам ближайшей нижней проволоки.
      Средние косточки на проволоках обычно окрашиваются в чёрный цвет и служат для более лёгкого отсчитывания костей. Для той же цели первые слева косточки на «тысячной», «миллионной» и т. д. проволоках также окрашиваются в чёрный цвет, что облегчает чтение чисел, отложенных на счётах.
      Перед началом вычислений все косточки сдвигаются к правой стороне счётов. В процессе вычисления косточки передвигаются от правой руки к левой или наоборот. В первом случае это называется «класть» или «положить» косточки, а во втором, случае «сбросить» или «скинуть».
      В обыкновенных счётах прежнего и нового образца проволоки, имеющие по 10 косточек, также соответствуют разрядам чисел, а косточки — единицам каждого разряда, но только в этих счётах распределение проволок по счётным разрядам целесообразнее начинать с нижней проволоки верхней части счётов (рис. 6).При этом условии две проволоки нижней части, имеющие по 10 косточек, могут быть использованы для откладывания десятых и сотых долей единицы.
      Проволоки нижней части, содержащие по 4 косточки, имеют особое назначение. Так например: в счётах прежнего образца, где таких проволок две — первая и четвёртая снизу, при счёте рублями и копейками рубли откладывают в верхней части, а копейки — в нижней, на проволоках, имеющих по 10 косточек. Самая же нижняя проволока, содержащая 4 косточки, в этом случае предназначается для откладывания 1/4, 2/4, 3/4 копеек (что теперь встречается редко, поэтому в счётах нового образца эта проволока и отсутствует), а четвёртая — с таким же числом косточек используется для откладывания 1/4, 2/4, 3/4 рублей. Косточки этих проволок могут быть использованы также для счёта четвёртых долей и других единиц измерения.
      Если на десятичных счётах производятся товаро-материальные вычисления в метрических мерах, то:
      1) при вычислении веса на первых трёх проволоках снизу можно откладывать граммы, на трёх следующих кверху — килограммы, далее — тонны или же: на первых откладывают килограммы, затем—тонны;
      2) при вычислениях с мерами длины на нижних трёх проволоках откладывают миллиметры, на следующих трёх — метры, на дальнейших — километры;
      3) при вычислениях с мерами жидких и сыпучих тел на первых трёх проволоках откладывают тысячные доли литров, а выше — литры и килолитры.
      На обыкновенных же счётах прежнего и нового образца для таких вычислений можно использовать верхнюю часть счётов.
      В школе учитель должен тщательно объяснить ученикам и изучить с ними счётное значение каждой проволоки (её класс, разряд) и другие условия, связанные с целевым назначением проволок и их косточек.
     
      § 4. НУМЕРАЦИЯ НА СЧЁТАХ
     
      Ознакомление учащихся V класса с нумерацией на счётах лучше всего проводить при повторении темы «Устная и письменная нумерация многозначных чисел», пройденной в начальной школе.
      Именно здесь очень уместно ознакомить учащихся с нумерацией на счётах и показать им, что нумерация на счётах во многом подобна письменной нумерации с той лишь разницей, что на бумаге число изображается горизонтально (от левой руки к правой) с помощью цифр, а на счётах — вертикально (сверху вниз) с помощью косточек. Но в обоих случаях числа изображаются в том же порядке, как и произносятся, т. е. начиная с единиц наивысшего разряда. Затем на счётах, как и при письме, последовательно откладываются единицы следующих низших разрядов на соответствующих им проволоках, причём отсутствие единиц данного разряда, изображаемое при письме цифрой 0, на счётах изображается тем, что на проволоке, соответствующей этому разряду, не передвигается влево ни одной косточки. Такая проволока иногда называется «пустой».
      Приучая учеников изображать числа на счётах, следует обратить особенное внимание на «пустые» проволоки, т. е. на нули.
      Параллельно с откладыванием чисел на счётах следует приучать учеников и читать изображённые с помощью косточек числа. При упражнении учащихся в чтении чисел, уже отложенных на счётах, важно приучать учеников правильно ,определять наивысший разряд числа, используя окрашенные в иной цвет начальные косточки некоторых проволок.
      Таким образом, в результате изучения нумерации на счётах ученик должен приобрести навыки двух видов: во-первых, уметь отложить заданное число на счётах, т. е. правильно набрать это число из косточек в правой части счётов и передвинуть их вплотную к левой стороне рамы, и, во-вторых, уметь правильно прочитать отложенное учителем на счётах число.
      С первых же шагов изучения вычислений на счётах полезно знакомить учеников и с общепринятой техникой обращения со счётами, с рациональными приёмами откладывания косточек, с правилами использования пальцев рук при откладывании косточек и т. п.
      Вот несколько таких полезных указаний (из книги Ф. Д. Лившица «Хозяйственные вычисления»):
      1) При откладывании чисел необходимое количество косточек на каждой проволоке набирается не по одной, а в один приём, т. е. сразу «захватывается» всё необходимое их количество, например: 2 косточки, 3 косточки и 5 косточек, если надо отложить число 235.
      2) При работе счёты должны лежать против правой руки вычислителя, несколько наискось так, чтобы верхняя часть рамы была много сдвинута влево против нижней (рис. 7). Передвижение косточек справа налево при откладывании чисел производится средним пальцем правой руки, передвижение косточек слева направо, или сбрасывание косточек, производится большим пальцем той же руки. Откладывание двух или более одинаковых цифр числа, например 66 или 333, производится сразу ребром руки, т. е. одним движением.
      3) По окончании каждого очередного вычисления возвращают все косточки на место, т е. опять придвигают их вплотную к правой кромке рамы. Обычно для этого приподнимают левой рукой левую кромку рамы, вследствие чего все ранее отложенные налево косточки сами механически сдвигаются направо, до упора.
      Выше было сказано о назначении окраски отдельных косточек в иной цвет. Покажем теперь на некоторых примерах, как этим пользоваться.
      Пусть нам нужно на какой-либо проволоке «положить» 5 косточек из 10, имеющихся на этой проволоке справа. Тогда необходимая для нас группа косточек легко определяется первой косточкой чёрного цвета.
      Захватив её пальцем и передвигая вправо, мы вместе с ней передвигаем и ещё 4 светлые косточки, предшествующие чёрной. Всего же будет «положено» на место 5 косточек.
      Если нужно взять 3 косточки, то и в этом случае чёрная косточка поможет легко отделить требуемую группу косточек, так как для этого достаточно не дойти до чёрной на одну светлую косточку.
      С помощью чёрных средних косточек без затруднений определяются также и группы косточек, содержащие 6, 7, 8, 9 единиц данного разряда.
      Изучение нумерации на счётах поможет учащимся глубже уяснить и принцип десятичной нумерации, состоящий в том, что мы единицы числа при счёте организуем в разряды по 10 единиц в каждом, а разряды в свою очередь объединяем в классы по три в каждом, что в практическом отношении даёт нам возможность в устной нумерации называть натуральные числа с помощью небольшого запаса слов, а в письменной — изображать любое натуральное число с помощью всего десяти цифр (используя поместное значение цифры в числе и 0).
      Занятия нумерацией на счётах параллельно с повторением устной и письменной нумерации многозначных чисел не потребуют и нового сборника задач и примеров для упражнений на счётах. Нужные задачи и примеры учитель может черпать из стабильного «Сборника задач и упражнений по арифметике» Е. С. Березанской, производя лишь некоторую, перефразировку условий в соответствии с поставленной целью. Вот несколько таких примеров для образца (пользуемся изданием 1946 г.):
      1. Пример № 6 (стр. 4) можно предложить учащимся в таком виде:
      «Сперва отложить на счётах, а затем написать и прочитать числа, состоящие:
      а) из шести единиц второго разряда третьего класса, двух единиц третьего разряда второго класса и пяти единиц второго разряда первого класса;
      б) из двух единиц первого класса, девяти десятков второго класса и восьми единиц третьего класса.
      Отложив на счётах и написав каждое число, назовите, единицы каких разрядов отсутствуют в этом числе и как отсутствие этих единиц обозначено в записанном числе и отложенном на счётах».
      Аналогично можно поступить с задачами № 9, 12 и многими другими того же раздела.
      2. Условие примера № 45 можно изложить так: «Отложить на счётах и написать обычными цифрами следующие числа: III, XX, VII, XIII, XXIII, LII, LXXIII, CCI, ССП, DCCC, MDXXII, MDCCLXXI, MDCXVIII».
      Так же можно поступить и с задачей № 47.
      Полезно упражнять учащихся и в изображении на счётах составных ^именованных чисел метрической системы, в превращении и раздроблении этих мер.
     
      § 5. СЛОЖЕНИЕ НА СЧЁТАХ
     
      Сложение принадлежит к числу наиболее простых действий на счётах и обычно быстро усваивается учащимися. Оно не требует от ученика особого умственного напряжения и не вызывает сколько-нибудь заметного утомления с его стороны.
      Но всё же при обучении учащихся этой операции учитель должен соблюдать постепенный переход от простого к сложному. Для соблюдения этого принципа рекомендуется рассмотреть три возможных на практике случая сложения в следующей последовательности.
      Случай 1. Сумма цифр во всех одноименных разрядах слагаемых менее 10.
      В этом случае поступают так: а) на основе изученной нумерации откладывают влево первое слагаемое, б) затем набирают из оставшихся справа косточек второе слагаемое и передвигают его вплотную к первому слагаемому, в) наконец, прочитывают образовавшееся слева новое число; оно и будет искомой суммой двух данных слагаемых.
      Очевидно, что указанный приём сложения применим-к любому числу многозначных слагаемых, суммы цифр одноименных разрядов которых удовлетворяют поставленному выше условию. Так, например, для трёх слагаемых 304 732+51 024+2 143 на счётах слева будем иметь следующую последовательность чисел: сперва 304 732 (первое слагаемое), затем 304 732+51 024 =355 756 и наконец: 355 756+2 143=357 899. Последнее число 357 899 и будет искомой суммой трёх данных слагаемых.
      Случай 2. Сумма цифр в некоторых одноименных разрядах слагаемых равна 10.
      Поясним этот случай сначала на примере двух слагаемых: 47 302+61 738. Как и в первом случае сложение начинаем с того, что откладываем на счётах первое слагаемое 47 302, а затем прибавляем к нему второе по разрядам от высшего к низшему. Особенность этого случая будет состоять в следующем:
      а) на пятой проволоке снизу (имеются в виду десятичные счёты) будем иметь 4+6=10 косточек, которые немедленно сбрасываем (возвращаем на исходное положение вправо) и заменяем их одной равнозначной им косточкой на ближайшей сверху шестой проволоке (пятая проволока остаётся «пустой»);
      б) на четвёртой проволоке получим 7+1=8 косточек, которые и оставляем слева;
      в); на третьей проволоке будем иметь 3+7=10 косточек, которые также немедленно сбрасываем и заменяем одной новой косточкой на ближайшей сверху четвёртой проволоке, в результате чего на четвёртой проволоке будет 8+1=9 косточек, а третья остаётся «пустой»;
      г) на второй проволоке получим 04~3=3 косточки, а на первой 2-1-8=10 косточек, которые сбрасываем все вправо и заменяем новой косточкой на второй проволоке, в результате чего на второй проволоке будет 3+1=4 косточки, а первая остаётся «пустой».
      Таким образом, поразрядный характер прибавления второго слагаемого к первому в нашем примере отобразится на счётах в виде следующей последовательности чисел: 47 302+60 000=107 302, 107 302+1 000 = 108 302, 108 302+700=109 002, 109 002+30=109 032, 109 032+8=109 040. Последнее из чисел этой последовательности и будет искомой суммой.
      Следовательно, особенность процесса сложения во втором случае состоит в том, что если при сложении единиц некоторых одноименных разрядов будут положены влево все 10 косточек на одной и той же проволоке, то их надо немедленно скинуть, заменив равнозначащей одной косточкой ближайшей верхней проволоки.
      Разобранный способ сложения не зависит от числа слагаемых.
      Случай 3. Сумма цифр в некоторых одноименных разрядах слагаемых превышает 10.
      Прежде чем знакомить учеников с этим случаем сложения, полезно дать им понятие об арифметическом дополнении хотя бы только для однозначного числа: «Число, которое дополняет данное однозначное число до 10, называется арифметическим дополнением его» Так, для 7 арифметическое дополнение будет 3, для 9 будет 1, для 6 будет 4 и т. д. Понятие арифметического дополнения значительно упростит объяснение третьего случая сложения.
      Пусть надо найти на счётах сумму 84 356+43 938, тогда, отложив на счётах первое слагаемое и прибавляя второе по разрядам, начиная с высшего, будем иметь:
      а) на пятой проволоке из оставшихся справа 2 косточек нельзя отложить влево 4 косточки. В таком случае отложим на ближайшей сверху (шестой) проволоке 1 косточку влево, а на пятой скинем дополнение- 4 до 10, 1 е. 10—4=6 косточек из имеющихся слева 8 косточек первого слагаемого. В результате этой двойной операции (откладывания одной новой косточки на шестой проволоке и сбрасывания 6 косточек на пятой) будем иметь на шестой проволоке 1 косточку, а на пятой 8—6=2 косточки. Счёты же покажут сумму 84 356+40 000 = 124 356;
      б) на четвёртой проволоке получим 4+3=7 косточек, которые пока и оставляем в левой части. Счёты же покажут сумму 124 356+3 000=127 356;
      в) на третьей проволоке опять нельзя из оставшихся там справа 7 косточек (после первого слагаемого) набрать 9 косточек. Тогда отложим 1 новую косточку на четвёртой проволоке, а на третьей сбросим 10—9=1 косточку, которая служит арифметическим дополнением 9 до 10. В результате будем иметь на четвёртой проволоке 7+1=8 косточек, а на третьей 3—1=2 косточки. Счёты же покажут сумму 127 356+900=128 256;
      г) на второй проволоке получим 5+3 = 8 косточек, следовательно, предыдущая сумма увеличится на 30 (128 256+30=128 286);
      д) на первой же проволоке будем иметь опять невозможный случай, где из 4 оставшихся справа косточек надо набрать 8. Используя и здесь арифметическое дополнение 8 до 10, получим на второй проволоке 8+1=9 косточек, а на первой 6—2=4 косточки. Окончательный результат сложения будет 128 286 +8 =128 294.
      Обобщая приёмы всех трёх случаев, можно ученикам дать следующее правило сложения на счётах: «Отложив первое слагаемое, набираем каждое следующее из остающихся направо косточек. Если косточек, остающихся на данной проволоке, недостаточно для непосредственного прибавления требуемых m косточек, то прибавляется 1 косточка на ближайшей высшей проволоке и одновременно на данной сбрасывается (10—m) косточек, т. е. дополнение числа m до 10. Образующиеся на проволоках полные десятки косточек (как в случае 2) заменяются единицами следующей высшей проволоки» (Лившиц, Хозяйственные вычисления).
      Проверка сложение на счётах производится так же, как и в устной или письменной арифметике, т. е. используя свойство переместительности суммы.
      Примеры для упражнений с учащимися в сложении на счётах можно заимствовать из сборника Е. С. Березанской (раздел II, стр. 7, № 49—60).
      Но для работы со счётами уместно также использовать журнальный, газетный материал, который иногда трудно поддаётся арифметической обработке с помощью устных или письменных вычислений.
      Приведём пример.
      В приведенной ниже таблице дано движение промышленно-производственных (основных) средств некоторого промышленного предприятия за отчётный год (в тысячах рублей):
      а) с помощью счётов заполните последний столбец и последнюю строку;
      б) запишите в рублях итоговые суммы каждого столбца.
      По какому признаку можно видеть, что итоговая сумма третьего столбца найдена правильно?
      На этом примере ученики особенно хорошо увидят преимущества сложения на -счётах перед приёмами письменного сложения, так широко распространённого в школьной практике.
     
      § 6. ВЫЧИТАНИЕ НА СЧЁТАХ
     
      Вычитание на счётах производится как действие, обратное сложению, т. е. сперва откладывается уменьшаемое, а затем сбрасывается с него (передвигается слева направо) вычитаемое по разрядам, от высшего к низшему. Для лучшего уяснения учащимися приёме® вычитания рекомендуется рассмотреть их в следующей поел ед ов а те л ь н о ст и.
      Случай 1. Во всех разрядах вычитаемого цифры меньше, чем в одноименных разрядах уменьшаемого. В этом случае вычитание сводится к последовательному сбрасыванию косточек на каждой из проволок, начиная с высшего разряда вычитаемого.
      Так, в примере 7 354—232, отложив уменьшаемое и сбрасывая затем на третьей снизу проволоке 2 косточки, на второй 3 и на первой 2, получим на счётах остаток 7 354—232=7 122.
      Случай 2. В некоторых разрядах цифры вычитаемого больше цифр уменьшаемого.
      В этом случае вычитание производится так: на ближайшей верхней проволоке к той, где вычитание невозможно, скидывают 1 косточку, равнозначащую 10 косточкам данной проволоки, затем на- последней прикидывают 18
      число косточек, дополняющих до 10 число косточек, подлежащих сбрасыванию, т. е. прикидывается:
      2 косточки, когда вычитается 8
      3 » » » 7
      4 » » » 6
      5 » » » 5 и т. д.
      Поясним это на примере. Пусть требуется найти разность 82 645 — 7 382. Отложив уменьшаемое 82 645 и приступая к вычитанию единиц тысяч вычитаемого из соответствующего разряда уменьшаемого, мы будем иметь случай, когда с 2 косточек четвёртой проволоки надо сбросить 7 косточек, что явно невозможно. Теперь и обращаемся к указанной выше двойной вспомогательной операции, т. е. сбрасываем 1 косточку на ближайшей верхней пятой проволоке и откладываем 3 косточки влево на четвёртой проволоке, где вычитание было невозможно. В результате будем иметь на счётах число 82 645—7 000 = 75 645.
      Сбрасывание косточек на третьей проволоке происходит без затруднений, так как имеем случай 6—3=3 косточки. После этого на счётах будем иметь 75 345.
      Затруднение на второй проволоке опять легко преодолевается с помощью «двойной операции» или арифметического дополнения, в результате чего на третьей проволоке останется 3—1=2 косточки, а на второй будет 4+2 = 6 косточек. Счёты же покажут промежуточный результат 75 345-—80 = 75 265.
      Вычитание на первой проволоке снизу выполняется без затруднений 5—2=3 косточки, после чего на счётах получим окончательный результат 75 265—2=75 263.
      Здесь важно обратить внимание учащихся на характер «двойной операции»: она аналогична той,которая применялась при сложении, но порядок её выполнения обратный.
      Случай 3. Некоторые цифры уменьшаемого нули.
      Здесь хотя и имеем частный случай предыдущего, но ввиду его некоторой особенности (наличие «пустых» проволок в изображении уменьшаемого) полезно разобрать его с учащимися отдельно на нескольких отличающихся друг от друга примерах.
      Сначала надо взять такие числа в качестве уменьшаемого,. в которых нет подряд двух и более нулей, и пока-2* 19
      зать, что в этом подслучае можно поступить точно так же, как во втором случае.
      Затем следует перейти к примерам, где в уменьшаемом встречаются два и более нулей подряд. В этом подслучае в каждой группе «пустых» проволок, следующих одна за другой, поступают так: сбрасывают 1 косточку на той верхней проволоке, где косточки впервые имеются вслед за «пустыми» проволоками, и откладывают влево все 10 косточек самой нижней из «пустых» проволок этой группы, на всех же остальных «пустых», проволоках данной группы откладывают влево по 9 косточек, а затем поступают, как в случае 2, причём это преобразование уменьшаемого лучше производить в самом начале действия. Так, если требуется найти.разность 800 074 — 231, то, отложив на счётах уменьшаемое, производим сперва указанное выше преобразование уменьшаемого на счётах и получаем: 800 074—231 = 799 (10) 74—231, где (10) означает наличие слева 10 косточек на третьей проволоке снизу.
      Теперь отчётливо видна польза произведённого преобразования, ибо нахождение разности свелось к самому простому — первому случаю. Она будет 799 843.
      Случай 4. Иногда рекомендуется рассмотреть с учащимися и случай 4, когда цифры уменьшаемого и вычитаемого некоторых одноимённых разрядов равны между собой. В этом случае при вычитании цифр этих разрядов соответствующие им проволоки окажутся «пустыми», так как все косточки уменьшаемого будут передвинуты вправо.
      Так как вычитание производится поразрядно, то ради общности приёма можно вычитание начинать с тех разрядов, которые имеют одинаковые цифры в уменьшаемом и вычитаемом, после чего вычитание сведётся к случаю 3.
      Например, для разности 764 382—362 384 с учётом изложенных выше преобразований в случае наличия нулей в уменьшаемом, будем иметь на счётах: 764 382 — — 362 384 = 704 002 — 302 004 = 402 002 — 4 = 4 019 (10) 2 — 4 = 401 998, где (10) означает цифру, соответствующую 10 единицам второго разряда.
      В заключение можно дать учащимся следующее общее правило вычитания на счётах:
      «Отложив уменьшаемое, последовательно сбрасываем с него по разрядам, от высшего к низшему, каждое вычитаемое, одно за другим, если их несколько.
      Если косточек, остающихся в уменьшаемом, на какой-либо проволоке недостаточно для непосредственного сбрасывания ni косточек, то снимается 1 косточка на следующей высшей проволоке и одновременно на данной прибавляется (10—т} косточек» (Ф.Д. Лившиц, Хозяйственные вычисления).
      Проверка вычитания, как и в письменной арифметике, делается двояко: сложением вычитаемого с разностью или вычитанием полученной разности из уменьшаемого. Вычитание будет правильным, если в первом случае (при сложении) получим данное уменьшаемое, а во втором (при вычитании) будем иметь данное вычитаемое.
      Для упражнений на счётах в производстве действия вычитания можно использовать примеры и задачи из сборника Е. С. Березанской (раздел II, № 61—85).
      Но для использования счётов можно рекомендовать и более сложные случаи вычислений. Например, дать учащимся хотя бы следующую ведомость планирования прибыли от реализации продукции некоторым предприятием по оптовым ценам (в тысячах рублей) и предложить им с помощью счётов определить прибыль от намеченной планом реализации продукции по оптовым ценам как в тысячах рублей, так и в рублях.
      ТАБЛИЦА…
      Этот пример поучителен и тем, что не все данные подлежат суммированию в том и другом столбце, как обычно привыкли поступать ученики при решении многих задач. Кроме того, компоненты плана под римскими цифрами I и II складываются, а под цифрой III вычитаются из предыдущей суммы. (Ответ: 144 тыс. руб.).
     
      § 7. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ВОПРОСУ ОБ УМНОЖЕНИИ НА СЧЁТАХ В ШКОЛЕ
     
      Умножение принадлежит к более трудным и трудоёмким вычислительным процессам на счётах, но зато оно в большей степени, чем сложение и вычитание, побуждает вычислителя к находчивости, сообразительности, к творческому подходу в части применения арифметических знаний для нахождения произведения данных чисел с наименьшей затратой сил, труда и времени.
      При обучении математике в школе эта сторона умножения на счётах заслуживает внимания со стороны учителя и может быть им использована с воспитательной целью. Занимаясь умножением на счётах, ученик сам убедится в необходимости искать пути экономии времени за счёт применения наиболее рациональных приёмов вычисления.
      При умелом же подходе учителя к делу ученик будет искать преодоления трудностей в более сознательном применении теоретических знаний к процессу вычислений (законов произведения), в более прочном усвоении им некоторых искусственных приёмов вычислений и приёмов быстрого устного счёта, в приобретении и закреплении целого ряда устных практических навыков счёта.
      В чём же кроются трудности умножения на счётах? Основная из них заключается в том, что для нахождения произведения мы не можем практически использовать при производстве действия во всех случаях определение умножения как частного случая сложения равных слагаемых (...) Например, если надо умножить 378 на 3, то, откладывая трижды множимое, легко получим 378 X 3 = 378 X 378 X 378 = 1 134, но в случае умножения 378 на 57 такой путь умножения привёл бы к неоправданной затрате труда и времени со стороны вычислителя.
      Вот это обстоятельство и заставляет вычислителя искать более рациональные пути умножения, для чего обычно широко используются некоторые вспомогательные приёмы вычислений, а также многие всевозможные упрощения умножения, основанные на свойствах последнего.
      Рассмотрим сначала те из них, которые потребуются нам при изучении умножения на однозначное число.
      1) Умножение натурального числа на 10, 100, 1000...
      В арифметике такой случай умножения сводится к тому, что к множимому приписывается справа столько нулей, сколько их имеется в множителе.
      При умножении же на счётах это значит, что отложенное на счётах множимое надо перенести выЩе на столько проволок, сколько нулей в множителе. Например, при отыскании произведения 248Х100 надо, отложив число 248, перенести его выше на две проволоки, т. е. для получения произведения надо 2 косточки с третьей проволоки перенести на пятую, 4 косточки со второй — на четвёртую и 8 косточек с первой проволоки перенести на третью. В результате такого перенесения множимого и получим на счётах произведение 248X100 = 24 800. Но можно было и сразу отложить множимое 248 на две проволоки выше обычных.
      Очевидно этот способ можно применять и при умножении натурального числа на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.
      Отличие будет состоять только в том, что отложенное множимое придётся переносить не выше, а ниже на столько проволок, сколько нулей в дробном множителе впереди 1, считая и нуль целых, или сразу откладывать множимое ниже обычных проволок в зависимости от количества нулей множителя.