Самодельные
наглядные пособия
по математике

DjVu

      УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПОСОБИЕ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
      Конструкция И. К. Середы
      Универсальное пособие по стереометрии предназначено для демонстрации моделей к теоремам и задачам по всем разделам школьного курса стереометрии.
      Ценным качеством этого пособия является возможность рассматривать на нем модели тел (многогранников и круглых тел) в динамике, наблюдать преобразование одних видов многогранников в другие. Подвижность линейных элементов моделей и возможность изменения их угловых элементов способствуют усвоению учащимися основных геометрических понятии, развитию пространственных представлений более глубокому уяснению идеи движения.
      Универсальное пособие по стереометрии может быть изготовлено как демонстрационное, так и индивидуальное - для каждого учащегося.
     
      ДЕМОНСТРАЦИОННОЕ ПОСОБИЕ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ (табл. 1-17)
      Демонстрационное пособие по стереометрии (рис I) состоит из следующих основных деталей: складывающейся
      Рис. 1
      панели (основания), контрольного листа для разметки отверстий в панели под пружинные гнезда, фиксатора, укрепляющего плоскости складывающейся панели под углом, пружинных гнезд, в которые вставляются стержни с надетыми на них трубками, необходимые для построения высот и ребер призм и пирамид.
      Назначение и изготовление отдельных деталей и узлов
      Складывающаяся панель (табл. 1, 2) состоит из двух одинаковых разъемных плоскостей 1. Используется как основание при сборке моделей и при моделировании двугранных углов. Разъемные плоскости изготовляются из оргстекла толщиной 4 5 мм, можно сделать их из непрозрачного материала — фанеры, картона, гетинакса.
      К плоскостям панели на заклепках крепят створки петель 2 При сборке панели в отверстия, имеющиеся на створках петель, ввинчивают пружину 3.
      Плоскости 1 панели выпиливают ножовкой по металлу или пилой с мелким зубом по размерам, указанным на чертеже дет. 1. Кромки плоскостей зачищают напильником или шкуркой. В каждой плоскости просверливают 4 отверстия диаметром 4 мм под заклепки для крепления створок петель к плоскостям.
      Створки петель вырезают из жести и приклепывают к панели заклепками диаметром 4 мм.
      Затем вытачивают два винта 5, на которые неподвижно закрепляют пружины 3. Для изготовления пружин кусок стальной проволоки диаметром 1,5 мм навинчивают на цилиндрический стержень диаметром 6,5 мм. Витки пружины, снятой со стержня, разводят так, чтобы шаг пружины был равен 2 мм. Пружину навинчивают на винт 5 на 2 — 3 витка, последний виток обжимают плоскогубцами на винте. Затем пружину, закрепленную на винте, пропускают в отверстия обеих створок петель (табл. 1).
      з
      Контрольный лист (табл. 3) используется для разметки отверстий на панели под пружинные гнезда, а также для выбора соответствующих отверстий на панели при монтаже моделей. Контрольный лист представляет собой лист обычной плотной бумаги такого же размера, как и плоскость панели, на нем нанесены контуры фигур, являющиеся основаниями монтируемых моделей. Вершины этих фигур, а также некоторые их характерные точки пронумерованы: точка О — центр окружности, центр правильного шестиугольника, центр симметрии прямоугольника и т. д.; точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 — вершины правильного шестиугольника, вписанного в окружность с центром в точке О,
      » 2,7, 5, 8 — вершины ромба;
      » 7, 9, 8, 10 — вершины прямоугольника;
      » 1, 11, 4, 12 — вершины квадрата, вписанного в окружность с центром в точке О;
      » 2, 7, 5 — вершины правильного треугольника, центр которого находится в точке 13; точки 4, 3 и О являются серединами сторон этого треугольника;
      » 7, 8, 9, — вершины прямоугольного треугольника;
      » 8, 16, 15, 5 — вершины квадрата, центр которого находится в точке 17;
      » 5, 7, 8 — вершины тупоугольного треугольника;
      » 8, 2, 3, 5 — вершины прямоугольной трапеции;
      » 8, 2, 3, 9 — вершины равнобедренной трапеции.
      Если панель изготовляется из оргстекла, то одну из ее плоскостей накладывают на контрольный лист так, чтобы их контуры совпали, и на плоскости размечают центры двадцати одного отверстия под пружинные гнезда (табл. 7), затем отверстия рассверливают до диаметра 5,2 мм. Если плоскости непрозрачны, то контрольный лист накладывают на одну из плоскостей панели и центры будущих отверстий панели накалывают.
      Для иллюстрации свойств двугранного угла и решения некоторых задач по геометрии в плоскости могут быть дополнительно просверлены отверстия.
      Фиксатор (табл. 4) предназначается для фиксации плоскостей складывающейся панели при построении двугранных углов (рис. 2). Он состоит из двух одинаковых ножек 1, заканчивающихся упругими лапками-захватами. Ножки фиксатора соединены заклепкой 3 с прокладкой между ними упругой шайбы 2, которая обеспечивает возможность сохранения положения, приданного фиксатору.
      Двустороннее пружинное гнездо (табл. 5) используется для крепления стержней при демонстрации прямых, пересекающих плоскость. В комплект входит 8 гнезд.
      Каждое пружинное гнездо состоит из двух пружин 1, закрепленных на винтах 2 и 4 при помощи гаек 3 и 5. Для крепления пружины на винте один виток пружины надевается на головку винта, как указано на чертеже, затем этот виток прижимается гайкой к головке винта.
      При сборке пружинного гнезда на панели винт 2 с пружиной 1 и гайкой 3 пропускается через отверстие панели и на выступающий его конец навинчивают винт 4, на котором предварительно гайкой 5 закрепляется вторая пружина 1. Под гайку 3 при сборке пружинного гнезда может быть подложено гнездо 6, служащее для крепления трубки со штифтом 7, которая может быть закреплена в гнезде 6 в любом положении на панели.
     
      Сборные модели пирамиды (табл. 6, 7)
      Стержни 1 (табл. 6) с наде тыми на них трубками 2 используются для построения боковых ребер пирамид. С одной стороны стержня на длине 5 мм нарезается резьба М3 и навинчивается шарик 3, которым стержень 1 крепится при сборке модели в пружинном гнезде панели (см. сборочный чертеж на табл. 6).
      Трубки 2 берут готовыми или изготовляют из жести протяжкой. Для протяжки трубок используется специальная стальная пластинка с отверстиями на выходе диаметрами 6 — 7 мм и 4,5 мм и стальной стержень длиной 300 мм, диаметр которого на 0,2 — 0,3 мм больше диаметра стержней 1. Заготовку из жести размером 260 ммУ.11 мм выравнивают на плите и надевают на стержень. Один из ее концов обжимают плоскогубцами на стержне, конец стержня с обжатой частью вставляют в большее отверстие пластинки. Стержень с обжатой частью заготовки захватывают плоскогубцами с другой стороны пластинки и протягивают через это отверстие. Затем полученную трубку с находящими в ней стержнем протягивают через меньшее отверстие пластины, после чего трубку на стержне доводят молотком до необходимого диаметра, снимают со стержня и от нее отрезают недеформированный кусок длиной 220 мм. Один из концов полученной трубки расплющивают и обрезают так,
      чтобы образовалось ушко, показанное на чертеже. В ушке просверливают отверстие диаметром 1,5 — 2 мм. При сборке пирамид ушки трубок, надетых на стержни, надевают на пружинную головку 11, которая условно изображает вершину пирамиды.
      В комплект должно входить 12 трубок и 12 стержней с шариками указанных размеров.
      Пружинное гнездо (табл. 7) предназначено для крепления стержней с трубками на панели, оно состоит из винта 7 с укороченной головкой, на которую надета цилиндрическая пружина 6, закрепленная на винте гайкой 5.
      Цилиндрическая пружина 6 изготовляется из стальной проволоки диаметром 1 мм. Внутренний диаметр пружины определяется диаметром шарика 3, навинчиваемого на стержень 1. Шарик 3 должен входить в пружину с небольшим усилием и удерживаться в ней при перемещении трубки 2 вдоль стержня 1.
      При монтаже пружинного гнезда (см. табл. 7) винт 7 с пружиной 6 и гайкой 5 продевают в отверстие плоскости панели и закрепляют с другой ее стороны гайкой 4.
      Высоту пирамиды (табл. 7) изготовляют из трубки 9. С одной стороны трубки забивают шпильку 8. При сборке трубку вставляют в соответствующее отверстие панели шпилькой и закрепляют гайкой 4, навинчиваемой на шпильку. В трубке свободно ходит стержень 10 с надетой на него пружинной головкой И. Пружина закрепляется гайкой 5.
      Трубку 9 изготовляют, как указано на стр. 4, или берут готовую.
      При сборке пирамид после крепления на панели стержней, изображающих боковые ребра пирамид, ушки трубок, надетых на стержни, нанизывают на пружинную головку 11 (табл. 7), при сборке моделей пирамид, вписанных в шар, высотой пирамиды служит стержень 10 (табл. 7), а вершиной — надеваемая на этот стержень пружинная головка 11.
      Сборная модель призмы (табл. 8)
      Ребрами призм служат стержни 1 с шариками 2, навинчиваемыми на оба конца каждого стержня (в комплект входит 12 стержней). Стержни крепят на панели в пружинных гнездах. Верхнее основание призмы составляется из одинарных или двойных пластин 3, соединенных между собой в местах шарнирных соединений пружинными гнездами. В них при сборке моделей вставляют шарики, навинченные на концы стержней.
      Двойные пластины изготовляют из пластин 3 и неподвижно соединяют заклепками 4.
      Контур нижнего основания призм обведен на модели цветными резиновыми шнурами 5.
      Сборная модель шара (табл. 9 — 11)
      Основание модели шара опирается на подставку 1 (табл. 9), на которой фланцем 3 с шайбой 2 двумя гайками 5, навинчиваемыми на шпильки 4, зажимаются четыре стальные ленты 6.
      Подставку вырезают из оргстекла. В ней имеются два отверстия диаметром 3,2 мм с раззенковкой под гайку 5. В эти отверстия при сборке основания проходят шпильки 4, запрессованные во фланец 3.
      Во фланце сверлят два отверстия диаметром 2,5 мм и выбирают пазы под ленты 6. В оба отверстия фланца запрессовывают шпильки 4 с предварительно нарезанной на одном конце каждой шпильки резьбой М3. В центре фланца сверлят отверстие 0 5 мм и нарезают резьбу М5 под стержень 11, который изображает в собранной модели диаметр шара.
      Диск 8 (табл. 11) с восемью запрессованными в него крючками служит для крепления при сборке модели шара концов лент 6.
      При сборке модели шара (см. табл. 9) сначала собирают основание: на подставке 1 устанавливают шайбу 2 и фланец 3, все детали закрепляют гайками 5, навинчиваемыми на шпильки 4; затем в пазы фланца, закрепленного на подставке 1, продевают четыре стальные ленты 6 (табл. 11). Ленты прижимают к шайбе 2 стержнем 11, ввинчиваемым в центральное отверстие фланца 3. На другой конец стержня навинчивают диск 8 крючками вверх, концы лент 6 надевают на крючки, после чего на стержень 11 навинчивают фасонную гайку 7, закрепляющую ленты на диске.
      При моделировании изображений сечений шара (см. рис. 8) на стержень 11 предварительно надевают муфту 9 (табл. 9), закрепляемую на соответствующем расстоянии от основания модели винтом 10.
      Пружинную головку (табл. 7) при сборке вписанных в шар пирамид продевают через отверстия всех стержней, сходящихся в вершине пирамиды, и надевают на ось шара — стержень И (табл. 9, 11).
      Панель изготовляют из оргстекла или текстолита и используют для построения сечений пирамиды, сечений шара плоскостью и плоскости, касательной к шару. На панели прочерчивают иглой циркуля-измерителя окружность диаметром 250 мм с центром в точке О (точка О — точка пересечения диагоналей панели, имеющей форму прямоугольника), затем на панели прорезают равномерно восемь отверстий размером 8X3 мм. В эти прорези при сборке модели шара с сечением его плоскостью продевают стальные ленты. Прорези зачищают надфилем.
      На панели вычерчивают чертилкой пятиугольник, как это указано на чертеже. Затем в вершинах пятиугольника и центре панели сверлят шесть отверстий диаметром 7 мм, в которые при сборке моделей продевают стержни, изображающие боковые ребра и высоту пирамиды.
      Сборные модели цилиндра и конуса (табл. 13 — 17)
      Модели цилиндра и конуса собирают на той же подставке, что и шар (табл. 9.). В подставку ввинчивают стержень 8 (табл. 13), на который предварительно надевают нижнее ос нование 6 (табл. 14) цилиндра или конуса и закрепляют муфтой 9. Верхнее основание поддерживается пружиной 11, надетой на стержень 8 и опирающейся на муфту 9, закрепляемую на стержне винтом 10 (узел I).
      Основание цилиндра и конуса вырезают из текстолита, фанеры или картона толщиной 4 мм (этот же круг использует ся для иллюстрации сечения шара плоскостью). В основании 6 делают по окружности 24 прорези глубиной 5 мм и шириной 3 мм (см. табл. 16). Предварительно по окружности основания выбирают круговой паз, в который, после того как сделаны прорези, помещают кольцо из проволоки толщиной 1 мм. В образовавшиеся таким образом отверстия при сборке моделей цилиндра или усеченного конуса вставляют головки спиц 7 (табл. 14, см. сборку на табл. 13), изображающих образующие этих фигур.
      Для построения модели конуса вначале собирают модель усеченного конуса (табл. 15), затем на стержень 8 надевают колпачок 13. Развертка колпачка 13 и соединение даны на табл. 16.
      Все детали пособия хранят в ящике (табл. 17). Основания цилиндра и конуса закрепляют в нем на винте 9 гайкой 10. Мелкие детали хранят в секциях, длинные стержни укладывают в пазы перегородок 7.
     
      ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ПОСОБИЕ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ (табл. 18 — 29)
      Индивидуальное пособие состоит из тех же деталей и узлов, что и демонстрационное, и отличается от него только размерами и некоторыми приемами изготовления. Описание назначения и изготовления отдельных узлов приводится ниже.
      Складывающаяся п а н е л ь (табл. 18) состоит из двух соединенных петлями одинаковых плоскостей 1, изготовляемых из оргстекла (фанеры, картона, гетинакса). Плоскости панели представляют собой основание модели, на котором монтируют модели многогранников и круглых тел. Кроме того, панель может быть использована для построения моделей двугранных углов.
      Плоскости панели изготовляют по размерам, данным на табл. 18 способом, описанным на стр. 3. В каждой плоскости 1 просверливают четыре отверстия диаметром 2,2 мм под заклепки для крепления створок петель.
      Створки 2 петель вырезают из жести, в них просверливают отверстия под заклепки и соединяют их пружиной 3, продеваемой в предварительно просверленные отверстия в створках петель (рис. 2). Каждая створка петли крепится к плоскости панели на двух алюминиевых заклепках диаметром 2 мм.
      Контрольный лист (табл. 19) или шаблон представляет собой лист плотной бумаги, имеющий такие же размеры, как и развернутая панель, на котором нанесены контуры фигур, используемых при монтаже моделей. Вершины этих фигур, а также некоторые характерные их точки пронумерованы так же, как на контрольном листе демонстрационного пособия по стереометрии (стр. 4)
      Фиксатор (табл. 20). Устройство фиксатора описано на стр. 4.
     
      Сборная модель пирамиды (табл. 21)
      Стержни 1 с надетыми на них трубками 2 используются при построении боковых ребер призм и пирамид и наклонных к плоскости. Каждый стержень представляет собой часть велосипедной спицы с головкой общей длиной 215 мм (для изготовления стержней отбирают спицы с головками одного диаметра).
      Трубки 2 изготовляют из жести протяжкой. Для протяжки трубок используется стальная пластина с отверстиями диаметрами 4 — 6 мм и 3,5 мм на выходе и стальной стержень длиной 300 мм, диаметр которого на 0,2 — 0,3 мм больше диаметра спиц. Трубки изготовляют из заготовок, вырезанных из жести размером 240X8 мм, способом, описанным на стр. 4.
      В комплект должно входить 10 трубок и стержней, изготовленных по размерам, указанным на чертежах. Кроме того, изготовляют еще две трубки 3 длиной 200 мм, в один конец каждой трубки запрессовывают шпильки 8. Затем в трубки вставляют стержни 1 с надетыми на них пружинками 4, изготовленными из проволоки диаметром 1 мм. Эти трубки со стержнями служат высотами пирамид в собранных моделях.
      Пружинное гнездо (табл. 22), предназначенное для крепления стержней с трубками на панели, состоит из цилиндрической пружины 6, винта 7 с уменьшенной головкой и гайки 5.
      Цилиндрическая пружина изготовляется способом, описанным на стр. 5. При изготовлении пружинного гнезда вначале подбирают стержни с головками одного диаметра, а затем диаметр стержня, на который навинчиваются пружины. Так, например, при диаметре головки спицы, равном 3,95 — 4,05 мм, и диаметре проволоки, равном 1 мм, диаметр стержня, на который навивается пружина, должен быть равен 3,4 мм. Пружину навивают по всей длине стержня, а затем разрезают на части но 6 — 8 витков каждая. Для жесткого закрепления пружины 6 на винте 7 этот винт ввинчивается головкой на один виток пружины, который затем обжимается у головки винта плоскогубцами. Крепление стержня в пружинном гнезде и высоты пирамиды на панели показано на чертеже.
      Сборная модель пирамиды (табл. 22)
      Описание изготовления стержней 1 и трубок 2 приводится на стр. 4.
      Головка 3 (табл. 22) представляет собой коническую пружину. Она служит для крепления концов трубок при сборке пирамид. Пружину 3 навивают на конической оправке. При соединении концов трубок при сборке пирамид ушки трубок надевают на головку 3 на 1 — 2 витка.
      Сборная модель призмы (табл. 23)
      Шарнирный многоугольник служит для изображения на моделях контура верхнего или нижнего основания призмы. Он состоит из шести пластин 1, соединенных специальными заклепками 3, к которым после соединения пластин припаивают пружины 4 с внутренним диаметром 2 мм (узел I).
      Боковыми ребрами моделей призм служат стержни 6 с трубками 5. Головки стержней закрепляются в пружинных гнездах панели так же, как и при сборке пирамид (табл. 21).
      Модель шара собирается на подставке 8 (табл. 24), изготовляемой из оргстекла толщиной 5 мм, в которой просверлены два отверстия диаметром 3,5 Мм с цилиндрической раззенковкой под гайку 9.
      Шайба 7 представляет собой диск цилиндрической формы, в котором сделаны цилиндрическая выборка диаметром 15 мм и глубиной 4 мм и три паза глубиной 4 мм, проходящие через ось цилиндра. В центре шайбы имеется отверстие с резьбой М3, в которое при сборке шара ввинчивается стержень 3, изображающий диаметр шара. Для крепления шайбы 7 к подставке 8 в шайбу туго насажены две шпильки 10 с резьбой М3, на которые при сборке подставки навинчиваются гайки 9.
      Фланец 2 с шестью крючками предназначается для крепления свободных концов лент 4. В центре фланца просверлено отверстие и нарезана резьба М3. На поверхности фланца по окружности диаметром 18 мм сверлят 6 отверстий диаметром 1,2 мм. В эти отверстия запрессовывают куски проволоки длиной 10 мм, концы проволок слегка отгибают к центру фланца, образуя таким образом крючки.
      При сборке модели шара фланец 2 с крючками навинчивают на стержень 5 (табл. 24), а концы лент 4 надевают на крючки.
      Прижимная гайка 1 служит для зажима концов стальных лент 4, надеваемых на крючки фланца 2 при сборке шара.
      Стальные ленты 4 (табл. 24) используются как меридианы каркасной модели шара; диаметры отверстий на концах лент должны быть примерно на 0,5 мм больше диаметра крючков.
      Муфта 6 с винтом 5 служит опорой для сечений шара. Для установки сечения шара на заданном расстоянии от центра муфту 6 надевают на стержень 3 и закрепляют на нем винтом 5 на требуемой высоте.
      Сборка каркасного шара. В пазы шайбы 7 (табл. 25), закрепленной на подставке 8, продевают три стальные ленты 4; стержень 3 ввинчивают в центральное отверстие шайбы 7 и прижимают ленты к подставке 8. На другой конец стержня 3 навинчивают фланец 2 крючками вверх, на которые надевают свободные концы лент 4. После этого на стержень 3 навинчивают прижимную гайку 1.
      Панель для сечений (табл. 26)
      Панель изготовляют из текстолита или другого материала и используют при построении параллельных сечений пирамиды, сечения шара плоскостью и построения плоскости, касательной к шару.
      Панель для сечений изготовляется по размерам, указанным на чертежах, способом, описанным на стр. 6.
      Сборные модели цилиндра и конуса (табл. 27 — ?8),
      Основаниями конуса и цилиндра является круг (табл. 28) диаметром 140 мм, вырезанный из текстолита (фанеры или картона толщиной 2 мм). Этот же круг используется для иллюстрации сечения шара плоскостью. В круге по окружности диаметром 135 мм просверливают восемь отверстий диаметром 3 мм, центры которых являются вершинами правильного шестиугольника и квадрата. В центре круга просверливают отверстие диаметром 4,2 мм.
      Развертку боковой поверхности цилиндра 4 (табл. 28) вырезают из использованной фотографической или любой другой достаточно плотной и прозрачной пленки. Фотографическую пленку предварительно отмывают в теплой воде от эмульсии и просушивают. В случае необходимости пленка может быть склеена ацетоном.
      Вырезанную развертку боковой поверхности цилиндра свертывают и склеивают вдоль образующей.
      Для скрепления развертки боковой поверхности цилиндра с его основаниями до склеивания развертки по краям делают
      шесть прорезей (по три с каждой стороны) размером 1,5X5 мм. С целью придания конструкции большей прочности перед прорезкой отверстий в этих местах приклеивают прямоугольные пластинки 3 из того же материала.
      При сборке модели цилиндра держатели 2 вводят в прорези боковой поверхности цилиндра и захватывают ими основание цилиндра. Модель цилиндра, вписанного в шар, показана на рис. 3.
      Боковую поверхность конуса 5 (табл. 28) изготовляют и крепят к основанию конуса так же, как и поверхность цилиндра.
      Ящик для хранения деталей изготовляют по размерам, указанным на табл. 29 (рис. 4).
      Рис. 3
      Для иллюстрации ниже приводится пример построения пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник и вершина которой проектируется в одну из вершин основания На складывающейся панели в точках 7, 8, 9 (см. табл. 19) закрепляют пружинные гнезда (рис. 5). В точке 10 устанавливают
      Рис. 4
      стержень переменной длины. В пружинные гнезда вставляют стержни с трубками, ушки трубок надевают на 1 — 2 витка головки конической пружины так, чтобы свободный конец стержня переменной длины находился внутри головки.
      Контур прямоугольника 7, 9, 8, 10 обводят резиновым
      шнуром.
      На рис. 6 — 9 представлены изображения некоторых моделей, собранных из деталей индивидуального пособия по стереометрии.
     
      СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЯЩИК (табл. 30 — 34)
      Конструкция С. И. Кузнецова
      Прибор предназначен для моделирования фигур как в классных условиях, так и дома. Он помещается в портативном ящике размером 230X170X36 мм.
      Ящик и колпачки 8 для соединения стержней заполняют пластилином, который хорошо удерживает стержни в необходимом положении (рис. 10 — 11).
      Для построения фигур, расположенных по обе стороны плоскости (например, проекции отрезка прямой на пересекающую его плоскость), из картона или прозрачного материала изготовляется плоскость 10, крепящаяся на угольнике 11 и пластине 15 к ящику.
      Детали и узлы стереометрического ящика даны на табл. 31 — 32.
      К стереометрическому ящику дополнительно изготовляют плоские фигуры (табл. 33 — 34), которые используются как сечения или как верхние и нижние основания моделируемых фигур.
     
      КАРКАСНЫЕ ПРОВОЛОЧНЫЕ МОДЕЛИ
      Конструкция В. И. Ковалева
      Изготовление проволочных моделей плоских фигур
      Для изготовления моделей плоских фигур на бумаге в натуральную величину выполняют чертеж соответствующей фигуры и прикрепляют его к деревянной или фанерной дощечке. В соответствии с размерами отдельных элементов стержень переменной длины. В пружинные гнезда вставляют стержни с трубками, ушки трубок надевают на 1 — 2 витка головки конической пружины так, чтобы свободный конец стержня переменной длины находился внутри головки.
      Рис. 6
      Рис. 7
      Контур прямоугольника 7, 9, 8, 10 обводят резиновым шнуром.
      На рис. 6 — 9 представлены изображения некоторых моделей, собранных из деталей индивидуального пособия по стереометрии.
     
      СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЯЩИК (табл. 30 — 34)
      Конструкция С. И. Кузнецова
      Прибор предназначен для моделирования фигур как в классных условиях, так и дома. Он помещается в портативном ящике размером 230X170X36 мм.
      Ящик и колпачки 8 для соединения стержней заполняют пластилином, который хорошо удерживает стержни в необходимом положении (рис. 10 — 11).
      Для построения фигур, расположенных по обе стороны плоскости (например, проекции отрезка прямой на пересекающую его плоскость), из картона или прозрачного материала изготовляется плоскость 10, крепящаяся на угольнике 11 и пластине 15 к ящику.
      Детали и узлы стереометрического ящика даны на табл. 31 — 32.
      К стереометрическому ящику дополнительно изготовляют плоские фигуры (табл. 33 — 34), которые используются как сечения или как верхние и нижние основания моделируемых фигур.
     
      КАРКАСНЫЕ ПРОВОЛОЧНЫЕ МОДЕЛИ
      Конструкция В. И. Ковалева
      Изготовление проволочных моделей плоских фигур
      Для изготовления моделей плоских фигур на бумаге в натуральную величину выполняют чертеж соответствующей фигуры и прикрепляют его к деревянной или фанерной дощечке. В соответствии с размерами отдельных элементов чертежа заготовляют необходимое число кусков проволоки диаметром 2 — 3 мм, проволоку выравнивают и концы ее зачищают напильником. Спаиваемые места очищают паяльной кислотой (раствор цинка в соляной кислоте) или расплавленной канифолью и покрывают тонким слоем третника (сплав, содер-1 9
      жащий -g- олова и свинца). Куски проволоки прикрепляют к дощечке мелкими гвоздями или скобочками по линиям чертежа. Затем в места соединения проволок нагретым жалом паяльника наносят 2 — 3 капли расплавленного третника.
      После остывания третника полученную модель снимают с дощечки и излишки третника удаляют с мест пайки напильником. Деталь промывают в воде, просушивают и окрашивают масляной краской.
      В тех случаях, когда при изготовлении модели приходится накладывать два отрезка проволоки один на другой, рекомендуется в месте их пересечения делать пропилы на половину толщины проволоки (рис. 12). При изготовлении модели окружности соединяемые концы проволоки для большей прочности запиливают так, как указано на рис. 13.
     
      Изготовление моделей пространственных фигур
      Для изготовления каркасной модели пространственной фигуры делают эскиз, определяют, из каких плоских узлов она должна состоять, и вычерчивают их в натуральную величину Узлы изготовляют тем же способом, что и модели плоских фигур. Изготовленные узлы соединяют в модель.
      На рис. 14 и 15 даны общий вид и два узла модели правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар. Два боковых ребра модели припаиваются после соединения узлов.
     
      РАЗБОРНЫЕ КАРКАСНЫЕ МОДЕЛИ (табл. 35 — 78)
      Конструкция В. И. Ковалева
      Разборные каркасные модели предназначены для иллюстрации сечений пространственных фигур плоскостями и установления наглядными средствами соотношений между элементами некоторых фигур.
      В комплект, кроме разборной модели, входят модели сечений различными плоскостями и модели тел, вписанных в соответствующие пространственные фигуры или описанных около них.
      Разборная правильная четырехугольная пирамида (табл. 35 — 38)
      Модель правильной четырехугольной пирамиды с откидными боковыми гранями собирается из пяти узлов. Боковые грани крепят к сторонам основания пирамиды на обоймах 4 (табл. 38), что обеспечивает подвижность граней. В собранном виде боковые грани удерживаются в нужном положении кольцом 6. На рис. 16 показана четырехугольная пирамида в развернутом виде.
      Для изготовления модели вначале вырезают 8 заготовок обойм, изготовляют отдельные детали и детали узлов. Перед сборкой каждого узла детали тщательно подготовляют к пайке и затем паяют.
      После изготовления всех узлов и необходимых деталей переходят к сборке модели. Для этого сначала берут восемь заготовок обоймы 4: плоскогубцами слегка загибают концы, вставляют в них соответствующие детали соединяемых узлов и плотно обжимают обоймы так, чтобы узлы могли свободно поворачиваться относительно соответствующих стержней узла основания пирамиды.
      Затем в сборочную шайбу 4 основания (табл. 36) ввинчивается высота 5 пирамиды (табл. 38). Грани пирамиды закрепляют кольцом 6.
      К разборной каркасной модели четырехугольной правильной пирамиды изготовляют семь сечений пирамиды плоскостями (черт. 39 — 40): сечение 1 диагональное (рис. 17); сечение 2, проходящее через диагональ основания параллельно боковому ребру (рис. 18); сечение 3, проходящее через середины двух смежных сторон основания параллельно боковому ребру (рис. 19); сечение 4, проходящее через сторону основания перпендикулярно противоположной боковой грани (рис. 21); сечение 5, проходящее через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру (рис. 20); сечение тремя плоскостями 6, 7, 8 (рис. 22, табл. 40), параллельными плоскости основания пирамиды, делящими высоту пирамиды на четыре равные части. Плоскости сечения удерживаются в нужном положении тонкостенными трубками, надеваемыми на высоту пирамиды; два сечения 9 плоскостями, проходящими через противоположные стороны
      основания и образующими между собой прямой угол (рис. 23, табл. 40).
      Многоугольники, изображающие сечения пирамид, вырезают из оргстекла, картона или тонкой фанеры толщиной не более Змм. В сечениях 3 — 8 просверливают, как указано на чертежах, отверстия, через которые проходит высота пирамиды. В сечениях 9 делают прорези, обеспечивающие возможность сборки модели. Все сечения окрашивают в цвета, отличные от окраски модели пирамиды; в каждом сечении проводят тушью или краской линии симметрии, указанные на чертежах.
      Дополнительно к разборной модели правильной четырехугольной пирамиды изготовляются каркасные модели пространственных фигур, вписанных в эту пирамиду.
      Куб вписанный (табл. 41 — 42)
      На табл. 41 (рис. 24) представлен куб, вписанный в пирамиду так, что четыре его вершины располагаются на апофемах пирамиды, а остальные вершины лежат в плоскости его основания.
      После изготовления всех деталей модели оба основания куба паяют на чертеже, укрепленном на фанерном листе, затем между основаниями впаивают четыре стойки 1. Основание 3 паяют из целого куска проволоки. Перед сгибанием квадрата в местах сгиба напильником делают пропилы примерно на половину диаметра проволоки.
      Пирамида, вписанная в куб (табл. 43)
      Пирамида вписывается в куб (табл. 42), который в свою очередь вписан в пирамиду (рис. 25). При изготовлении модели вначале собирают основание пирамиды, затем все стержни 1 припаивают к втулке 5; имеющиеся на стержнях срезы позволяют установить стержни при пайке под определенным углом к оси втулки. После этого свободные концы стержней припаивают к основанию.
      Для обеспечения соосности отверстий втулки 5 и шайбы 2 основания оба узла перед пайкой надевают на стержень, который затем вынимают.
      Цилиндр вписанный (табл. 44, рис. 26)
      При изготовлении оснований цилиндра концы проволоки, согнутой в окружность, запиливают так, как указано на рис. 13, и паяют. Затем к основаниям припаивают радиусы 4, предварительно соединенные с шайбой 2.
      Шар вписанный (табл. 45, рис. 27)
      Четыре куска проволоки диаметром 3 мм и длиной 155 мм каждый сгибают в дуги (окружность наружного радиуса 51 мм) полученные дуги вставляют концами в гнезда двух шайб 2 так, чтобы каждая дуга соединяла обе шайбы. Для сохранения соосности шайбы предварительно насаживают на стержень. Затем дуги припаиваются к шайбам, образуя таким образом две окружности большого круга шара. На эти окружности надевают малую окружность 3 так, чтобы ее плоскость была перпендикулярна общей оси отверстий шайб, и места соединения пропаивают.
      Четыре куска проволоки диаметром 3 мм и длиной 83 мм сгибают в дуги. Конец каждой дуги вставляют в соответствующие гнезда сборочной шайбы 2. Места соединения пропаивают (см. сборку). Затем изготовляют окружность 3 диаметром 115 мм с двумя взаимноперпендикулярными диаметрами. К ней припаивается окружность полусферы с радиусами Собранный узел припаивают к основанию 4.
      Шар описанный (табл. 47, рис. 29)
      В две сборочные шайбы 2 вставляют четыре дуги 1, места соединений пропаивают. При сборке в отверстия шайб продевают стержень диаметром 3 мм. На соединенные таким образом две окружности надевают малую окружность 3 так, чтобы плоскость ее была перпендикулярна общей оси отверстий шайб. Затем припаивают хорду 5 и в отверстие нижней шайбы запрессовывают штырь 4.
      На табл. 48 — 70 представлены разборные модели треугольной пирамиды, цилиндра, конуса и четырехугольной призмы. Они изготавливаются так же, как модель четырехугольной пирамиды (см. стр. 11).
      Разборная правильная треугольная пирамида (табл. 48 — 53) с сечениями и моделями вписанных в нее фигур: конуса (табл. 51), шара (табл. 52), правильной треугольной призмы (табл. 53)
     
      Сечения правильной треугольной пирамиды
      1) Плоскость сечения, параллельная плоскости основания, отсекающая от данной правильной треугольной пирамиды правильную треугольную усеченную пирамиду (табл. 50, дет. 1 — равносторонний треугольник.)
      2) Сечение, проходящее через сторону основания пирамиды перпендикулярно к противоположному ребру (табл. 50, дет. 2 — равнобедренный треугольник).
      3) Сечение, проходящее через высоту пирамиды и одну из вершин основания (табл. 50, дет. 3 — разносторонний треугольник).
      4) Сечение, проходящее через центр основания параллельно двум непересекающимся ребрам пирамиды (табл. 50, дет. 4 — прямоугольник).
      Разборная модель цилиндра (табл. 54) с сечениями (табл. 55) и набором моделей вписанных в него фигур: правильной четырехугольной призмы (табл. 56), правильной треугольной призмы (табл. 57), правильной шестиугольной призмы (табл. 58), правильной четырехугольной пирамиды (табл. 59), правильной треугольной пирамиды (табл. 60), правильной шестиугольной пирамиды (табл. 61)
     
      Сечения цилиндра
      1) Осевое сечение цилиндра (табл. 55, дет. 1 — прямоугольник)
      2) Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его оси (табл. 55, дет. 2 — круг).
      3) Сечение цилиндра плоскостью, наклонной к его оси (табл. 55, дет. 3 — эллипс).
      4) Сечение, проходящее через диаметр основания цилиндра под некоторым углом к плоскости его основания (табл 55 дет. 4). ’
      5) Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра на некотором расстоянии от нее (табл 55, дет. 6 — прямоугольник).
      Разборная моделькуба (табл. 62 — 63) ссечениям и (табл. 64 — 65) и моделями вписанных в куб фигур: октаэдра (табл. 66), усеченной пирамиды (табл 67) и усеченного конуса (табл. 68)
     
      Сечения куба
      1) Плоскость сечения, проходящая через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания куба (табл. 64, дет. I — прямоугольник).
      2) Сечение, проходящее через две противоположные вершины верхнего и нижнего оснований и через какую-нибудь точку, взятую на боковом ребре, не исходящем ни из одной из этих вершин (табл. 64, дет. 2 — параллелограмм).
      3) Сечение, проведенное через две противоположные вершины верхнего и нижнего оснований и через середину бокового ребра, не исходящего ни из одной из этих вершин (табл. 64, дет. 3 — ромб).
      4) Сечение, проходящее через середины трех боковых ребер (табл. 64, дет. 4 — квадрат).
      5) Сечение, проходящее через диагональ основания и через одну из противоположных вершин верхнего основания (табл. 64, дет. 5 — равносторонний треугольник).
      6) Сечение, проведенное через диагональ основания и через какую-нибудь точку, взятую на противоположном боковом ребре (табл. 65, дет. 6 — равнобедренный треугольник).
      7) Сечение, проходящее через три точки, взятые на ребрах, исходящих из одной вершины и расположенных от нее на разных расстояниях (табл. 65, дет. 7 — разносторонний треугольник).
      8) Сечение, проведенное через диагональ нижнего основания и через какую-нибудь точку, взятую на одной из сторон верхнего основания (табл. 65, дет. 8 — равнобедренная трапеция).
      9) Построение в кубе сечения, имеющего вид пятиугольника (табл. 65, дет. 9 — пятиугольник).
      10) Построение в кубе сечения, имеющего вид разностороннего и правильного шестиугольников (табл. 65, дет. 10, дет. 11 — правильный шестиугольник).
      Разборная правильная четырехугольная призма (табл. 69) с сечениями (табл. 70)
     
      Сечения правильной четырехугольной призмы
      1) Сечение, проходящее через середины двух смежных сторон основания и пересекающее три боковых ребра (табл. 70, дет. 1 — пятиугольник).
      2) Построение в призме сечения, имеющего вид ромба (табл. 70, дет. 2 — ромб).
      3) Сечение, проходящее через диагональ основания и диагональ боковой грани, исходящие из одной вершины (табл. 70, дет. 3 — равнобедренный треугольник)
      4) Сечение, проведенное через сторону нижнего основания и через противоположную сторону верхнего основания (табл. 70, дет. 4 — 5 прямоугольник).
      5) Диагональное сечение (табл. 70, дет. 5 — прямоугольник).
      6) Сечение, проведенное через середины двух смежных сторон основания и через середину оси (табл. 70, дет. 6 — шестиугольник).
      Разборная модель конуса (табл. 71)
      После того как из проволоки диаметром 4 мм спаяно кольцо, изображающее основание конуса 3, на нем напильником делают четыре круговые проточки шириной 4 мм для образующих. Образующие 2 с одного конца расплющивают на длине 10 мм до толщины 1,5 мм. Расплющенную часть обрезают до ширины 4 мм и обжимают на проточках основания так, чтобы они могли свободно на них вращаться.
      В собранной модели конуса образующие сверху удерживаются кольцом 1.
      К разборной модели конуса дополнительно изготовляются сечения (табл. 72) и модели вписанных в него правильной треугольной призмы (табл. 73), правильной шестиугольной призмы (черт. 74), правильной четырехугольной пирамиды (табл. 75), правильной треугольной пирамиды (табл. 76), правильной шестиугольной пирамиды (табл. 77), цилиндра (табл. 78).
     
      Сечения конуса
      1) Осевое сечение конуса (табл. 72, дет. 1 — равнобедренный треугольник).
      2) Сечения конуса плоскостями, параллельными основанию и отстоящими друг от друга на расстоянии одной трети высоты конуса (табл. 72, дет. 2 — круг большой и дет. 3 — круг малый).
      3) Сечение, проходящее через вершину конуса и отсекающее от окружности основания дугу «а» (табл. 72, дет. 5 — равнобедренный треугольник).
      4) Сечение конуса плоскостью, наклоненной к оси под некоторым углом (табл. 72, дет. 6 — эллипс).
      5) Сечение конической поверхности плоскостью, параллельной образующей конуса (табл. 72, дет. 9 — парабола).
      6) Сечение конической поверхности плоскостью, параллельной оси конуса (табл. 72, дет. 8 — гипербола).
     
      КОМБИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ ПОДВИЖНЫХ ПРИЗМ, ПИРАМИД И УСЕЧЕННЫХ ПИРАМИД
      Конструкция В. Е. Федотова
      Модели призм, пирамид и усеченных пирамид, в основании которых лежит прямоугольник (табл. 79 — 87)
      Модель состоит из основания ], верхнего и нижнего оснований призм и пирамид 2, 3, стоек для изображения высот 4, 5, с фиксатором 6 и шайбами 7, кольца 8, резиновых шнуров 9 для изображения боковых ребер. Описание назначения и изготовления деталей модели приводится ниже.
      Основание 1 модели (табл. 79) изготовляют из плотного картона или непрозрачного оргстекла и оклеивают с обеих сторон чертежной бумагой С обеих сторон основания черной тушью (толщина линии 1 — 2 мм) вычерчивают прямоугольники со сторонами 100 мм и 70 мм и диагоналями. Контуры прямоугольников должны совпадать. В вершинах прямо-
      угольников прокалывают или просверливают отверстия, в которые при сборке продевают резиновые шнуры, изображающие боковые ребра моделей. Кроме того, в основании имеются два отверстия диаметром 2,1 мм под фиксаторы, запрессовываемые в дополнительно изготовляемые сечения пирамид и призм (табл. 81, 82). Отверстие диаметром 3,1 мм в центре прямоугольника основания модели предназначено для крепления стоек 4 или 5, изображающих высоты моделируемых фигур.
      Верхнее основание 2 призмы изготовляют из прозрачного оргстекла толщиной 3 мм. На нем тушью наносят прямоугольник таких же размеров, что и на основании 1, и просверливают семь отверстий: четыре отверстия диаметром 2,1 мм в вершинах прямоугольника, одно отверстие диаметром 3,1 мм в центре прямоугольника под стойку 4 и два отверстия диаметром 2,1 мм под фиксаторы сечений.
      Верхнее основание 3 усеченной пирамиды изготовляют из прозрачного оргстекла толщиной 3 мм. Начерченный на нем прямоугольник должен быть подобен прямоугольнику основания 1 модели. Назначение и диаметры семи отверстий такие же, что и для верхнего основания 2 призмы.
      Стойка 5 с фиксатором 6 изображает высоту пирамид в собранных моделях. Стойку изготовляют из металлической трубки с наружным диаметром 4 — 5 мм. С одного конца трубки в нее наглухо укрепляют фиксатор 6, который при сборке модели входит в отверстие диаметром 3,1 мм в центре прямоугольника из оргстекла на основании модели. С другой стороны трубки делают четыре продольных надреза на глубину 2 — 3 мм и образовавшиеся концы отгибают и опиливают, как указано на чертеже детали.
      Стойка 4 служит для изображения высот призм и усеченных пирамид. Она изготовляется из металлической трубки диаметром 3 мм. С обеих концов трубки на нее туго посажены две шайбы 7, являющиеся упорами для оснований призм и усеченных пирамид.
      Кольцо 8 предназначено для крепления резиновых шнуров 9 при сборке модели. Изготовляется оно из стальной проволоки диаметром 1 мм.
     
      Сборка модели
      Два резиновых шнура 9 пропускают через отверстия в вершинах верхнего 2 и нижнего 1 оснований призмы и из основания 3 усеченной пирамиды. Для прочности узлы пропитываются лаком. Затем шнуры закрепляют на кольце 8.
      Сечения модели:
      а) для призмы: диагональное сечение 3 прямой призмы, диагональное сечение 2 наклонной призмы, сечение 5 прямой призмы, проходящее через противоположные стороны верхнего и нижнего оснований призмы;
      б) для усеченной пирамиды: диагональное сечение 1 пирамиды, имеющей равные боковые ребра, сечение 4 пирамиды, проходящее через противоположные стороны верхнего и нижнего оснований;
      в) для пирамиды: диагональное сечение б пирамиды, имеющей равные боковые ребра; диагональное сечение 7 пирамиды, две боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания пирамиды; сечение 8 пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания и удаленной от основания на 70 мм; сечение 9 плоскостью, проходящей через нижнюю сторону основания перпендикулярно противоположной боковой грани.
      Все сечения изготовляют из оргстекла толщиной 4 мм, на них черной тушью в соответствии с чертежами сечений проводят линии, изображающие в собранных моделях диагонали сечений или многогранников, а также отмечают углы сечений, в некоторых случаях (табл. 85, 86, 87) на сечения наносятся окружности, изображающие сечения вписанных в многогранник сфер.
      Для крепления сечений в моделях в предварительно просверленные отверстия в торцах сечений забивают металлические фиксаторы 6 (табл. 80), представляющие собой цилиндры диаметром 2 мм и высотой 5 мм. При сборке моделей с сечениями фиксаторы входят в соответствующие отверстия оснований.
      Сечения, плоскости которых параллельны плоскости оснований многогранников, устанавливают на металлические трубки соответствующей длины и диаметров, надеваемые на стойки (высоты).
      Модели многогранников, в основании которых лежат многоугольники (квадрат, параллелограмм, ромб и т. д.), изготовляют аналогично. Чтобы можно было использовать часть сечений первой модели, размеры многоугольников, вычерчиваемых на основании новых моделей, берутся такими, как указано на чертежах контуров оснований ‘призм и пирамид (табл. 83 — 84). На табл. 83 даны многоугольники, вычерчивае- мые на основаниях призм, на табл. 84 — многоугольники, вычерчиваемые на верхних основаниях усеченных пирамид. На табл. 83, 84 отверстия Си А относятся только к параллелограмму и прямоугольнику, отверстия А и В на правом рисунке относятся к треугольнику. На табл. 85 — 87 даны сечения к моделям, в основаниях которых лежит квадрат, параллелограмм, ромб, правильный треугольник, правильный шестиугольник, прямоугольный треугольник.
      Для моделей, в основании которых лежит квадрат, диагональ квадрата 1, 7, 3, 8 (табл. 83) должна быть равна диагонали прямоугольника 1, 2, 3, 4. Следует также выдержать расположение отверстий А и В под фиксаторы. Это даст возможность использовать ряд сечений модели с прямоугольным основанием.
      Контуры квадратов верхнего и нижнего оснований призм и усеченных пирамид, их диагонали и одну из апофем вычерчивают черной тушью.
      К модели изготовляются следующие сечения:
      а) для призмы: диагональное сечение правильной призмы; диагональное сечение наклонной призмы;
      б) для пирамиды: диагональное сечение правильной пирамиды; диагональное сечение пирамиды, две боковые грани
      которой перпендикулярны плоскости основания; сечение правильной четырехугольной пирамиды с вписанным в нее шаром, плоскостью, проходящей через высоту пирамиды перпендикулярно боковой грани;
      в) для усеченной пирамиды: диагональное сечение.
      Для моделей, в основании которых лежит параллелограмм, меньшая диагональ параллелограмма 1, 5, 3, 6 (табл. 83) должна быть равной диагонали прямоугольника 1, 2, 3, 4 первой модели. Следует выдержать расположение отверстий А и В под фиксаторы и просверлить отверстия CuD.
      К модели изготовляются следующие сечения:
      а) для призмы: диагональное сечение прямой призмы; диагональное сечение наклонной призмы; сечение, которое может быть также использовано при выводе формулы объема прямого параллелепипеда; сечение наклонного параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной плоскости основания и одной из сторон основания;
      б) для пирамиды: диагональное сечение пирамиды, вершина которой проектируется в центр основания; диагональное сечение в пирамиде, две боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания (табл. 82).
      в) для усеченной пирамиды: диагональное сечение.
      Для моделей, в основании которых лежит ромб и равно-„ бедренная трапеция, размеры ромба 1, 9, 3, 10 (табл. 83 84) и равнобедренной трапеции 1, 11, 3, 6 выбираются так, чтобы диагонали ромба и трапеции были равны диагоналям прямоугольника 1, 2, 3, 4 первой модели.
      Для моделей, в основании которых лежит правильный треугольник, треугольник I, III, V, лежащий в основании призм и пирамид, выбирается таким, чтобы радиус описанного около него круга был равен половине диагонали прямоугольника 1, 2, 3, 4, лежащего в основании первой модели.
      Контур треугольника, его высоту и вписанную в него окружность вычерчивают черной тушью.
      К этой модели изготовляют следующие сечения:
      а) для призмы: сечение, проходящее через боковое ребро
      и высоту треугольника, лежащего в основании прямой призмы и наклонной призмы; сечение плоскостью, проходящей через сторону основания перпендикулярно противоположному боковому ребру;
      б) для пирамиды: диагональное сечение с изображением сечения шара, вписанного в пирамиду; сечение плоскостью, проходящей через сторону основания перпендикулярно противоположному боковому ребру; сечение пирамиды, одно боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания, плоскостью, проходящей через это ребро перпендикулярно противоположной стороне основания;
      в) для усеченной пирамиды: сечение правильной усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро и высоту пирамиды.
      Для моделей, в основании которых лежит правильный шестиугольник, большая диагональ шестиугольника I, II, III, IV, V, VI (табл. 83 и 84) должна быть равна диагонали прямоугольника 1, 2, 3, 4, лежащего в основании первой модели.
      Контуры шестиугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей вычерчивают черной тушью.
      К модели изготовляются следующие сечения:
      а) для призмы: диагональные сечения прямой и наклонной призм; сечение, проходящее через противоположные стороны верхнего и нижнего оснований;
      б) для пирамиды: сечения правильной пирамиды, проходящие через ее высоту; сечение пирамиды, проходящее через ребро, перпендикулярно плоскости основания; сечение плоскостью, проходящей через высоту пирамиды, с изображением на ней сечения шара, вписанного в эту пирамиду;
      в) для усеченной пирамиды: диагональное сечение правильной пирамиды.
      Ко всем моделям могут быть изготовлены поверхности цилиндров и конусов, вписанных в соответствующие многогранники или описанных около них (размеры многогранников и их сечений можно брать по своему усмотрению).
      KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА