С. В. Филичев
Сборник упражнений
по теоретической
арифметике
*** 1948 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ УЧИТЕЛЬСКИХ ИНСТИТУТОВ ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей СОДЕРЖАНИЕ 1. Различные системы счисления... 3 2. Четыре действия с натуральными числами в различных системах счисления... 4 а) Сложение и вычитание... 4 б) Умножение и деление... 6 3. Делимость чисел... 3 4. Дробные числа... 14 5. Смешанные упражнения... 19 Контрольное задание № 1 (а, b и с) 62 Контрольное задание № 2 (а, b и с) 63 1. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ I Сколько находится чисел между 10 и 100? 100 и 1000? 2. В многозначном числе вправо от цифры 8 стоят две цифры, влево от неё поставлены два нуля и влево от них стоит цифра 5. Что означают цифры 8 и 5? 8. Число iV=429]0 написать по пятиричной системе счисления. 4. Число ./V=572t0 написать по двенадцатиричной системе счисления. Примечание. Для числа 10 примем знак а, для числа 11 — знак Ь, а прочие знаки оставим те же, что и в десятичной системе. 6. Написать первые двадцать чисел натурального ряда по двоичной системе счисления. в. Найти число, которое по пятиричной системе счисления -изображается так: 32045. 7. Число ЬааЛ2 обозначить по десятичной системе счисления. 8. Число 1891,2 представить по десятичной системе счисления. 9. Числа: 32457 ; 32245; 3ab12 представить в виде суммы нескольких слагаемых. 10. Число 234в выразить по троичной системе счисления. 11. Какие числа но семиричной системе счисления оканчиваются на нуль, на два нуля, на три нуля и т. д.? 12. Написать по шестиричной системе счисления числа: б2; 63; б1: 6. 13. Найти х (основание системы счисления), если 2345610 = — 125246. 14. Найти х, если 33258= 10103. 15. Что и на сколько больше: единица 3-го разряда пятиричной системы или единица 4-го разряда четверичной системы счисления? 16. Что сделается с цифрами числа 2345, если это число увеличить в 5 раз? в 25 раз? в 125 раз? 17. Что сделается с числом 2342б, если вставить между цифрами 3 и 4 один нуль, два нуля? 18. По какой системе счисления число 46 изобразится теми же цифрами, но в обратном порядке? 19. Найти двузначное число, которое по десятичной и четверичной системам записывается одними и теми же цифрами, но в обратном порядке. 20. Число имеет 17 цифр. Каков его высший разряд? 21. Сколько цифр в числе, если наивысшие его единицы сотни секстиллионов? 22. Пишется подряд натуральный ряд чисел по десятичной системе счисления, причём числа не отделяются никакими знаками; сколько цифр потребуется для изображения такого ряда от 1 до 9, до 99, до 999 и т. д.? 23. Пишется подряд натуральный ряд чисел по пятиричной системе счисления, причём числа не отделяются никакими знаками; сколько понадобится цифр для изображения всех чисел, заканчивая двузначными? 24. В книге 300 страниц. Сколько надо отлить цифр, чтобы пронумеровать все страницы? Каждая цифра не употребляется для нумерации более одного раза. 25. Сколько страниц в книге, если для перенумерования её, страниц потребовалась 6681 цифра? 26. В книге по пятиричной системе 12105 страниц. Сколько цифр надо отлить, чтобы пронумеровать все страницы по указанной системе? 27. Написать натуральный ряд чисел по десятичной системе счисления; узнать, какая цифра стоит на 18347-м месте. 28. Пишут все числа от 1 до 999999. Сколько раз напишется каждая значащая цифра, например 1? 2. ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ а) Сложение и вычитание 29. Сложить: 1) 62357 +34637; 2) 13425+14321в+3245; 30. Вычесть: 1) 62357 — 34637; 2) 50329 — 2106»; 3) 5874212 — — 89а612 31. При какой системе счисления справедливо такое равенство: 241+134=430г? 32. При какой системе счисления справедливо такое равенство : 236 — 145 — 61? 33. Показать, что всякое число можно представить в виде суммы различных степеней числа 2. 34. Найти д:=23485 — 4328-f-1584 — 3990 — 435, не выполняя указанных действий вычитания. 35. На окружности расположены три числа. Если передвигаться по окружности в одном и том же направлении, то последовательные суммы чисел, взятых по два, будут 23, 27 и 30. Найти эти числа. 36. Сколько раз можно складывать различные числа, взятые. по два, чтобы составилась одна и та же сумма 53? 37. Что сделается с разностью двух чисел, если уменьшаемое будет уменьшено числом, равным найденной разности? 38. На сколько увеличится трёхзначное число, если к нему слева будет приписана цифра 5, влево от неё цифра 3 и влево от последней цифра 2? 39. Шестизначное число написано различными цифрами, а для изображения другого числа те же самые цифры написаны в обратном порядке. Что означает во втором числе цифра, стоящая в первом числе на четвёртом месте? 40. Сколько раз можно вычитать 48. из различных двузначных чисел, чтобы в остатках получались также двузначные числа? 41. Найти суммы четырёх четырёхзначных чисел, если в двух из них сумма единиц каждого разряда равна 8, а в двух остальных сумма единиц каждого разряда равна 9. 42. На сколько увеличится разность двух чисел, из которых уменьшаемое содержит пять цифр, а вычитаемое — четыре цифры, если к каждому из них будет приписана слева цифра 6? 43. Во что обратится разность 26385 двух пятизначных чисел, если в них будут зачёркнуты крайние цифры справа: 3 в уменьшаемом и 8 в вычитаемом? 44. Найти разность двух чисел, зная, что они содержат одну и ту же значащую цифру, находящуюся в каждом числе три раза, и что в одном числе влево от средней значащей цифры два нуля и вправо от неё три нуля, а в другом числе влево от средней значащей цифры три нуля и вправо от неё два нуля. 45. Сумма, полученная от сложения нескольких чисел, оказалась неверной, потому что в одном из слагаемых цифра 3 поставлена по ошибке на пятом месте, цифра 7 — на четвёртом и цифра 6 — на третьем, а в данном числе цифра 7 стоит на пятом месте, цифра 6 — на четвёртом и цифра 3 — на третьем. Каким образом должно поправить ошибку в полученной сумме? 46. В одном из двух данных чисел недостаёт до 1 сотни тысяч столько, сколько в другом числе недостаёт до 1 десятка тысяч. На сколько первое данное число больше или меньше второго? 47. Что сделается с разностью двух шестизначных чисел, если каждая из цифр, стоящих в уменьшаемом на первом, третьем и пятом местах, а в вычитаемом — на втором, на четвёртом и шестом местах, будет увеличена на 1? 48. По разности двух чисел 2746 найти разность двух дру- гих чисел, из которых большее число на .732 меньше уменьшаемого первого вычитания, а меньшее число на 317 больше вычитаемого первого вычитания. 49. Сумма двух чисел больше суммы двух других чисел на 2437 и первое слагаемое большей суммы больше первого слагаемого меньшей суммы на 689. На сколько второе ела-1 гаемое большей суммы- должно быть больше или меньше второго слагаемого меньшей суммы? 50. Имеется 10 гирь весом 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 г. Показать, что с помощью таких гирь можно взвесить любые тяжести, меньшие 1024 г. 51. Имеется 5 гирь по 1 г, 5 гирь по 10 г, 5 гирь по 100 г и т. д. Показать, что этими гирями можно взвесить тяжести в какое угодно число граммов. 52. Имеем ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... , в котором каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предшествующих. Показать, что 1) сумма п членов ряда, увеличенная на единицу, равна (и+2)-му члену того же ряда; 2) сумма членов нечётного порядка равна следующему после последнего-чётного порядка члену этого ряда без единицы; 3) сумма членов чётного порядка равна члену, следующему, за последним членом этого ряда; 4) сумма членов нечётного порядка без суммы членов чётного, содержащихся внутри первой группу, равна последнему чётном члену без 1. б) Умножение и деление 153. Умножив 1) 635,Х215,; 2) 34125Х21«; 3) 70628Х 5048; 4) 109013 X 5с, г; 5) 1101,ХИЮ1,. Р 54. Разделить: 1) 33356,: 137; 2) 14320135:4436; 3) 11039112:5851a;f4) 110012:10002. 55. Выполнить указанные действия, сохраняя данную систему счисления: [(10?+13?+1027):557 + 2647]Х377. 56. Что сделается с произведением 15X26, если увеличить первый множитель на 4 единицы, а второй на 6? 57. Что сделается с произведением 15X26, если уменьшить первый множитель на 4 единицы, а второй на 6? 58. Как изменится произведение двух чисел, если к большему из них а прибавим т единиц, а от меньшего b отнимем т единиц? 59. Сколько получится цифр в произведении двух многозначных чисёл: а) если в каждом из них крайняя цифра слева равна 9; б) если эта крайняя цифра равна 2? 60. Каково число цифр в произведении: 1) 4 двузначных чисел? 2) 4 однозначных? 3) 4 трёхзначных? 61. Найти произведение числа. 12345679 на 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 и указать приём для непосредственного определения произведения. 62. Найти произведение двух чисел 327 X 875, взяв вместо второго множителя его дополнение. 63. Как должно помножить число 80203 на пятизначное число, не содержащее нулей, чтобы получилось наименьшее число частных произведений? 64. Чтобы найти произведение двух данных чисел, множимое помножено на 6 и затем найденное произведение вычтено из числа, которое в 100 раз больше этого произведения. Найти множитель. 65. Во сколько раз уменьшится произведение двух данных чисел от уменьшения данного множителя в 35 раз и от замены данного множимого 10419 числом 453? 66. Как объяснить, что разность двух чисел увеличится вдвое, если-каждое из них будет увеличено вдвое? 67. Объяснить, что произведение какого-нибудь числа на 975 можно найти следующим образом: к данному множимому надо приписать справа два нуля, затем полученное число разделить на 4 и, наконец, найденное частное вычесть из произведения данного множимого на 1000. 68. Показать, что сумма всех чисел таблицы Пифагора есть точный квадрат. 69. Составить таблицу умножения по шестиричной системе. 70. На какие цифры оканчиваются следующие выражения: 1) 176 9; 2) 43528; 3) 53438; 4) 31918; 5) 136,5Х7858? 71. Число 2345 увеличить в 125 раз, не вычисляя неполных произведений. 72. Возвысить 5 в шестую степень, не прибегая к действию умножения. 73. Не производя умножения, найти сумму 54-52-f 5--54-f---55+56. 74. Если к произведению двух последовательных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего. 75. Произведение трёх последовательных чисел, увеличенное на среднее из них, даёт куб среднего. 76. Произведение четырёх последовательных чисел, увеличенное на 1, есть точный квадрат. 77. Произведение четырёх последовательных чётных чисел, увеличенное на 16, есть точный квадрат. 78. Чтобы разделить данное число на другое данное число, делимое помножено на 8 и затем найденное произведение разделено на 2000. На сколько следовало по заданию разделить данное делимое? 79. От деления данного числа на другое данное число получилось в частном 457 без остатка. -Сколько получится в частном и сколько в остатке от деления данного делимого на число, которое в 10 раз больше данного делителя? 80. От деления данного числа на другое данное число получился остаток и в частном получилось число, содержащее одной цифрой больше числа цифр данного делителя. Почему от деления данного делимого на найденное частное получится тот же самый остаток, который получился от первого деления? 81. Деление данного числа на другое данное число дало остаток, равный найденному частному. Сколько получится в частном и сколько в остатке от деления данного делимого на частное, полученное от первого деления? 82. От деления числа на 204 получился остаток 145. Что сделается с полученным частным и сколько получится_в остатке, если данное, делимое разделить на 68? 83. Объяснить, что частное, полученное от деления данного числа на другое данное число, не изменяется от увеличения данного делителя на 1, 2, 3, 4 и т. д., если из остатка от деления можно вычитать произведения найденного частного на -числа 1, 2, 3, 4 и т. д. 84. Найти частное и остаток от деления 4927 на 3. 5. 8, не отыскивая делителя. 85. Доказать, что всякое нечётное, число может быть приведено к одному из следующих видов: 86. Доказать, что всякое натуральное число имеет одну форм: 87. Можно ли и на сколько увеличить или уменьшить делимое, чтобы частное не изменилось? 88. При каком условии увеличение делителя на 1 не меняет частного? 89. Сколько единиц можно прибавить к делимому и делителю, чтобы частное не изменилось? 90. Какое наибольшее число, от прибавления которого к делимому частное не изменится? 91. При каком условии делитель и частное могут обменяться местами? , 92. Если число N умножить на 31, то оно увеличится на 6600. Найти число N. 93. Найти частное и остаток от деления 23456 на 36j0 кратчайшим способом. 3. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ Н0" 94. От деления данного числа 448 получилось в остатке 252. Разделится ли данное делимое на 28? 95. Число 217 требуется помножить на такое число, чтобы в произведении получилось кратное чисел 5, 7 и 9. Найти это произведение. 96. В таблице умножения найти четыре числа взаимнопростых, из которых каждое должно быть составным числом. 97. На сколько разделится сумма пяти чисел, если одно из них делится на 12, каждое из двух следующих чисел — на 15 и каждое из двух остальных — на 21? 98. Может ли сумма делиться на такое число, на которое не делится ни одно слагаемое? 99. Не производя деления, найти остатки, полученные от деления чисел 63062, 97317, 61793, 813759 на 4 и на 5. 100. Почему сумма двух чисел делится на их разность, если одно из них на 2 единицы больше другого? 101. Остаток, полученный от деления нечётного числа \на число нечётное, должен быть числом чётным,- если соответствующее частное — число нечётное, или должен быть числом нечётным, если соответствующее частное — число чётное. 102. Чтобы сумма делилась на 2, достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на 2. Почему это условие только достаточно, а необходимости в нём нет? 103. Если одно из двух слагаемых делится на какое-нибудь число, то для того, чтобы сумма разделилась на то же число, необходимо и достаточно, чтобы другое слагаемое делилось на то же число. Почему это условие и необходимо и достаточно? 104. К числу 6157 приписать справа и слева по одной цифре, чтобы образовалось число, делящееся на 45. 105. На сколько должно делиться каждое из чисел 7368 и 21 636 и на сколько должна разделиться их сумма? 106. Почему два числа 948 и 289 не могут иметь общим делителем число, которое больше 81? 107. Какое требуется условие от числа, оканчивающегося тремя нулями, чтобы оно могло разделитьсА на 625? 108. Найти два числа, которые делились бы на их разность. 109. Дана сумма 10944 чисел 2709, 5103, 3132, из которых каждое делится на 9. В данных слагаемых требуется сделать такие поправки, не изменяя суммы, чтобы каждое из образовавшихся чисел разделилось на 8. 110. От деления данного числа на 8 получилось в остатке 4, и деление найденного частного на 3 совершилось без остатка. Почему от деления данного числа на произведение данных делителей 8 X 3 = 24 получится тот же самый остаток 4? 111. Деление данного числа на 12 совершилось без остатка, и от деления найденного частного на 8 получилось в остатке 2. Объяснить, что от деления данного числа на произведение данных делителей 12X8 = 96 в остатке получится произведение остатка 2 на 12. 112. Почему разность двух чисел делится на 9, если эти числа «изображены одними и теми же цифрами, но расположенными в одном числе не в том же самом порядке, в каком , они поставлены в другом числе? 113. Зная, что 1001=7X11X13, вывести признак делимости на 7, 11 и 13. 114. Признак делимости на 37 состоит в том, что данное число делится от правой руки на грани по 3 цифры в каждой; если при этом сумма чисел, получившихся в этих гранях, разделится на 37, то и данное число разделится на 37. Доказать. 115. Найти каноническое разложение чисел 1000; 588000; 3780: 116. Составить таблицу простых чисел, меньших 200. 117. Пары простых чисел, отличающихся друг от друга на 2, называются „близнецами". Сколько таких пар от 1 до 200? 118. Чтобы узнать, есть ли данное число простое или составное, достаточно делить его на простые числа 2, 3, 5, 7,... в том порядке, в котором эти числа следуют одно за другим, и продолжать эти пробы до тех пор, пока в частном не получится число, меньшее делителя; если ни одно из этих делений не совершится без остатка, то данное число есть простое. Узнайте, будет ли число 983 простое или составное? 119. Всякое достаточно большое нечётное число есть сумма трёх простых чисел. Убедитесь в этом на примерах. 120. Всякое простое число, кроме 2 и 3, имеет вид 6л zt L 121. Доказать, что число 144- будет точным квадратом во всякой системе счйсления. 122. Доказать, что число. 1331 будет точным кубом во всякой системе счисления. 123. Найти по двоичной системе счисления признаку делимости на 2, 4, 8. 124. Вывести признак делимости на 3 в семиричной системе счисления. 125. Вывести признак делимости на 4 и- 6 в пятиричной системе счисления. 126. Показать, что два последовательных нечётных числа суть числа первые между собой. 127. Найти всех делителей числа 180. 128. Найти число делителей чисел 12 и 931. 129. Найти сумму всех делителей числа 12600. 130. Числа, равные сумме своих настоящих (правильных) делителей, называются „совершенными". Настоящим, или правильным делителем числа п называется всякий его делитель, отличный от самого числа п. Проверить, что числа 6, 28, 496, 8128 совершенные. 131. Два числа тип называются „дружественными", если каждое из них равно сумме правильных делителей другого. Показать, что два числа 284 и 220 будут дружественными. 132 Найти всёх общих делителей чисел 990 и 630. 133. Узнать, получится ли число простое или составное от сложения простых чисел, которые меньше 100 и оканчиваются цифрой 7, с числами, которые меньше 100 и оканчиваются цифрой 9. 134. Применяя алгоритм Евклида, найти общий наибольший делитель чисел 2993219 и 1 114417. 136. Чтобы найти последовательным делением общий наи- . больший делитель чисел 17595 и 9660, они заменены для сокращения действий числами 1173 и 644, для которых найден общий наибольший делитель. Чему равен общий наибольший делитель данных чисел? 136. Сколько раз общий наибольший делитель двух чисел содержится в каждом из них, если при последовательном делении получились по порядку частные 1, 1, 2, 2 и соответствующие им остатки 720, 288, 144 и нуль? 137. При отыскании общего наибольшего делителя двух чисел последовательным делением получились следующие частные: 1, 3, 2, и найдено было, что общий наибольший делитель равен 5. Найти эти числа. 138. Найти два числа, общий наибольший делитель которых равен 24, а общее наименьшее кратное равно 2496. 139. Найти два числа, произведение которых равно 840, а их, общий наибольший делитель равен 2. 140. Найти два числа, зная их произведение 12 600 ча наименьшее общее кратное 6300. 141. Найти два числа, зная их отношениеи общий наибольший делитель 28. 142. Найти два числа, зная их отношение и наименьшее общее кратное 3960. 143. Найти два "Числа, зная их сумму 168 и общий наибольший делитель 24. 144. Найти четырёхзначные числа, которые одновременно делятся на 2, 3, 4, 5, 6 и 7. 146. Найти двузначное число, которое имеет наибольшее число делителей. 146. Составить три числа из простых делителей 2, 3, 5 таким образом, чтобы каждое число содержало 24 всевозможных делителя. 147. Чтобы найти наименьшее кратное трёх чисел, надо разделить каждое из них на их общий наибольший делитель, -потом найти наименьшее кратное полученных частных и помножить общий наибольший делитель на найденное наименьшее кратное. На примере показать, почему образовавшееся произведение будет наименьшим кратным данных чисел. KOHEЦ ФPAГMEHTA |
