К. У. Шахно

Сборник задач по математике

Пособие для учителей 8—10 классов

*** 1952 ***

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

В сборник включено 564 задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии, в основном, повышенной трудности.       При подборе задач автор старался учесть замечания относительно недостатков подготовки по математике оканчивающих среднюю школу, высказанные за последнее время в периодической литературе. Поэтому в сборник включено большое число задач на доказательства, геометрические построения, неравенства, обратные тригонометрические функции и графики. Новым является отдел вопросов. В нем помещены те вопросы теории, которые, как показывают приемные экзамены в вузы, часто остаются непонятыми учащимися.       Всем этим предлагаемый сборник существенно отличается от стабильных задачников по математике и может послужить учителю дополнительным пособием при работе в классе, для индивидуальных заданий учащимся, особо интересующимся математикой, и отчасти для внеклассной кружковой работы.       При составлении сборника я пользовался материалами, накопившимися у меня за много лет моего участия в приемных экзаменах в вузы, и задачами, предлагавшимися на математических олимпиадах в Ленинграде и Москве. Эти задачи и составляют основное содержание сборника. Дополнительно я пользовался отделом задач журнала „Математика в школе", а также различными пособиями и задачниками для средней и высшей школы.       Я. Шахно.             СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.       91. Пассажирский поезд идет из А в В и после 5 мин. остановки в В идет далее в С. Спустя 14 мин. после того, как он покинул By ему встречается скорый поезд, скорость которого вдвое больше скорости пассажирского поезда. Скорый поезд выехал из С в ,тот момент, когда пассажирский поезд был на расстоянии 25 км от А. Кроме того, известно, что скорому поезду нужно 2 часа, чтобы пройти расстояние СВ, и что если он из А сразу возвратится, то прибудет в С на 8Д часа позже прибытия пассажирского поезда. Сколько километров в час делает каждый поезд и как удалены друг от друга пункты А, В и С?       92. Несколько человек взялись вырыть канаву и могли бы окончить работу за 24 часа, если бы делали ее все одновременно. Вместо этого они приступили к работе один за другим через равные промежутки времени, и затем каждый работал до окончания всей работы. Сколько времени они рыли канаву, если первый, приступивший к работе, проработал в 5 раз больше, чем последний?       93. От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих т кг и п кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало, одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?       94. Объем А составляет т-ую часть суммы объемов В и С, а объем В — п-ую часть суммы объемов Л и С. Какую часть суммы объемов А и В составляет объем С?       96. Дети делят орехи. Первый взял а орехов и п-ую часть остатка; второй — 2а орехов и п-ую часть нового остатка; третий — За орехов и п-ую часть нового остатка и т. д. Оказалось, что таким способом разделены все орехи поровну. Сколько было детей?       96. „Мне вдвое больше лет, чем Вам было тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам" теперь; когда Вам будет столько       лет, сколько мне теперь, тогда сумма наших возрастЬв будет равна 63 годам". Сколько лет каждому?       97. Когда старшему брату было столько лет, сколько сейчас среднему, тогда младшему было 10 лет. Когда среднему будет столько, сколько сейчас старшему, тогда младшему будет 26 лет. Сколько лет каждому брату, если сумма лет старшего и среднего братьев в день рождения младшего была в два раза больше числа лет младшего в настоящее время?       98. Сплав из двух металлов весом в Р кг, будучи погруженным в воду, теряет в своем весе А кг. Такой же вес первого из двух составляющих металлов, погруженного в воду, теряет В кг, а второй — С кг. Найти вес составляющих сплав металлов и исследовать возможность решения задачи в зависимости от величины Р, А, В и С.       99. Некоторое количество денег было разложено на п кучек. После этого из первой кучки переложили во вторую -i- часть бывших в первой кучке денег. Затем из второй кучки — часть оказавшихся в ней после перекладывания денег переложили в третью кучку. Далее, часть денег, получившихся после этого в третьей кучке, переложили в четвертую и т. д. Наконец из п-ой кучки — часть оказавшихся в ней после предшествующего перекладывания       денег переложили в первую кучку. После этого в каждой кучке стало А рублей. Сколько было денег в каждой кучке до перекладывания?       100. Двое рабочих взялись сжать ржаное поле в течение одного дня, причем каждый обязался сжать половину поля. Первый начал работу на 2 часа 16 мин. раньше второго. В полдень, когда ими уже было сжато 0,4 поля, они приостановили работу для обеда и       отдыха на 1 у часа. Первый окончил свою часть в 7 час. 54 мин., а второй в 8 час. 10 мин. пополудни. В котором часу начал работать каждый?       101. Из точек А и В одновременно начали двигаться два тела навстречу друг другу. Первое в первую минуту прошло 1 м,       а в каждую последующую проходило на у м больше, чем в предыдущую. Второе тело проходило каждую минуту по 6 м. Через сколько минут оба тела встретились, если расстояние между А и В равно 117 м?       102. Часы показывают в некоторый момент на т мин. меньше, чем следует, хотя и спешат. Если бы они показывали на п мин. меньше, чем следует, но уходили бы в сутки на t мин. больше, чем уходят, то верное время они показали бы на сутки раньше, чем покажут. На сколько минут в сутки эти часы спешат?       103. Из пункта А в пункт В выехала машина с почтой. Через t мин. за ней выехала другая. Двигаясь со скоростью v км/час, она нагнала первую и, передав забытый срочный пакет, повернула назад.       В пункт А вторая машина прибыла одновременно с прибытием первой в пункт В. С какой скоростью двигалась первая машина, если расстояние между А и В равно d км?       104. Из Тулы по направлению к Вязьме вышел товарный поезд. Спустя 5 час. 5 мин. по той же дороге вышел из Вязьмы в Тулу пассажирский поезд. Оба поезда встретились на промежуточной станции. От этой станции товарный поезд шел до Вязьмы 12 час. 55 мин., и от той же станции пассажирский поезд шел до Тулы . 4 часа 6 мин. Сколько времени употребил каждый поезд на прохождение всего пути между Вязьмой и Тулой?       106. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?       Л 106. Поезд вышел со станции А по направлению к В в 9 часов. .В 15 час. он остановился из-за снежного заноса. Через 2 часа путь был расчищен, и машинист, чтобы наверстать потерянное время, повел поезд на остальном пути со скоростью, превышающей скорость поезда до остановки на 20%. Но поезд все же пришел с опозданием на 1 час. На следующий день поезд, шедший по тому же расписанию, тоже попал в занос, но на 150 км дальше от А, чем первый поезд. Простояв 2 часа, он тоже пошел со скоростью на 20% выше прежней, но нагнал лишь полчаса и пришел в В с опозданием на 1 у часа. Найти расстояние между А и В.       107. Из двух населенных пунктов одновременно выходят навстречу друг другу два курьера и встречаются в некоторой точке Мх. Если бы первый курьер вышел на час раньше, а второй на полчаса позже, то они встретились бы на 18 мин. раньше, чем в действительности. Если бы второй вышел на час раньше, а первый на полчаса позже, то они встретились бы в точке, отстоящей от Мг на 5600 метров. Найти скорости обоих курьеров.       108. Сосуд, наполняемый последовательно двумя жидкостями, плотности которых d и D, весит, соответственно, q и Q кг, включая сюда и вес самого сосуда. Найти вес сосуда и его объем. Найти условия возможности задачи.       109. Сферический баллон с толщиною стенки е, изготовленный из материала плотности d, наполнен жидкостью плотности 8. Каков должен быть внутренний радиус R баллона для того, чтобы при погружении его в жидкость плотности А имело место равновесие? Какому, условию должны удовлетворять плотности d, 8 и А, чтобы задача была возможна?       110. Средний годовой процент прироста населения из года в год остается постоянным. Если бы годовой процент прироста увеличился       на ky то через л лет численность населения была бы в два раза больше, чем при нормальных условиях. Определить годовой процент прироста населения.       111. В шахматном турнире двое из участников выбыли, сыграв только по три партии каждый. Поэтому на турнире было сыграно всего 84 партии. Сколько было участников первоначально?       112. Два поезда выезжают одновременно из А и В навстречу друг другу и встречаются на расстоянии р км от В. Через t час. после встречи второй поезд, Сновав пункт А, находился в q км от него, а первый в это время, миновав пункт В, находился от второго поезда на расстоянии в два раза большем, чем расстояние между пунктами А и В. Найти скорости поездов и расстояние между А и В.       113. Число х в т раз больше разности чисел у и z, а число у в л раз больше разности чисел х и z. Найти зависимость между /лил, если известно, что z в два раза больше разности чисел X и у.       114. На участке реки от А до В течение так медленно, что его можно принять равным нулю. На участке же от В до С оно достаточно быстро. Лодочник проплывает расстояние от А до С за 3 часа,       а обратно от С ясГА (вверх) за Зу часа. Если бы на всем протяжении от А до С течение было такое же, как от В до С, то на весь путь от А до С потребовалось бы 2 часа. Сколько времени понадобилось бы в этих условиях, чтобы подняться вверх от С до А?       KOHEЦ ФPAГMEHTA