|
СИСТЕМА И МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ТАБЛИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
В этой книге излагается вопрос о новом варианте совместного изучения табличного умножения и деления во II классе начальной школы, который разработан мною и проверен на опыте многих учителей школ Сталинградской области в 1955/56 и в 1956/57 учебных годах.
Цель книги — обмен опытом работы по изучению основной темы арифметики из программы второго года обучения
Книга состоит из двух частей. В первой части дан краткий разбор как достоинств, так и в особенности недостатков той системы изучения табличного умножения и деления, которая представлена в стабильном задачнике для II класса, а также выяснены пути устранения этих недостатков: изложена сущность нового варианта совместного изучения табличного умножения и деления. Вместе с тем здесь же описываются приемы, методы изучения табличного умножения и деления, которыми мы пользуемся в своей практике. В заключение первой части приведены обобщенные данные из опыта работы учителей вторых классов, которые принимали наиболее активное участие в проверке новой системы изучения табличного умножения и деления.
Во второй части приводятся наши планы и конспекты уроков по изучению табличного умножения и деления, а также дано содержание контрольных работ по решению задач и примеров, в частности по устному счету на таблицы умножения и деления.
Таблицы деления на равные части как по своему содержанию, так и по приемам их составления у нас коренным образом отличаются от соответствующих общепринятых таблиц. Приемы составления таблиц умножения у нас более разнообразны, чем обычно встречающиеся на практике; здесь мы используем приемы, разработанные выдающимися русскими методистами прошлого, но не всегда применяемые на практике учителями в настоящее время. В нашем опыте работы остается достаточное количество времени (10 час.) на обобщение и повторение табличного умножения и деления. Много внимания уделяется и устному счету.
Уроки по изучению новых видов задач на умножение и деление, а также некоторые уроки по изучению таблиц умножения и деления по содержанию взяты из опыта работы заслуженной учительницы школы РСФСР Кузнецовой М. Ф. (с. Ленинск).
В заключение второй части указывается на значение арифметического домино и лото при изучении табличного умножения и деления, приводятся наборы карточек для этих игр как при изучении отдельных таблиц, так и на все таблицы совместно с другими действиями (для повторения).
Автор считает своим долгом выразить благодарность заведующему кабинетом начальной школы Сталинградского областного ИУУ Щербаковой А. А., а также дирекции этого института за организацию широкой опытной проверки нашей системы изучения табличного умножения и деления в школах области. Автор выражает также свою благодарность учителям начальной школы, принимавшим активное участие в этой опытной проверке: Геровской А. И., Орловой Е. Н., Кузьминой Т. И., Шатиной М. А., Красильниковой Н. Ф., Жуковой Т. К., Степановой Ф М., Меньших В. Г. (с. Ленинск), Донсковой Н. С. (Водинская начальная школа Ворошиловского района), Слышкиной А. Ф. (г. Михайловка), Погодиной П М. (Иловленская средняя школа), Брунилиной Т. А. (Ново-Григорьевская семилетняя школа), Титовой М. А. (Сурови-кинская средняя школа), Павловой Р. М. (Букановская средняя школа), Голуб Ф. А. и Бурденко П. В. (средние школы № 1 и № 2 г. Краснослободска).
Автор был бы весьма признателен учителям, которые пожелали бы сделать критические замечания о данной книге, а также прислать сообщения о результатах применения изложенных в ней методических приемов в своей практике.
Замечания и пожелания можно направлять по адресу: Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, Учебно-педагогическое издательство, редакция математики.
А. КОТОВ
Ленинск Сталинградской области, 15 марта 1957 г.
ВВЕДЕНИЕ
Табличное умножение и деление, а вместе с тем и решение задач различных видов на умножение и деление составляет главное содержание в программе по арифметике для II класса начальной школы. На эту тему отводится 87 уроков из общего количества 198 уроков в год.
Прочное знание учащимися таблицы умножения и деления является основой дальнейшего изучения внетабличного умножения и деления во II классе, а также письменного умножения и деления многозначных чисел в III классе. Поэтому от качества усвоения учащимися данного раздела арифметики во многом будут зависеть успех и темпы дальнейшей работы.
Качество и прочность усвоения учащимися таблиц умножения и деления определяются главным образом системой и методами изучения данной темы. Разумеется, не последнюю роль при этом играет и педагогическое мастерство самого учителя.
Было время, когда в школах учащиеся не изучали таблиц умножения и деления, а просто-напросто заучивали („зазубривали") их. В некоторых капиталистических странах и в настоящее время таблицы умножения и деления заучиваются учащимися без какого-либо их объяснения. В этом случае процесс обучения имеет формальный характер, а знания учащихся недостаточно прочны и не осознанны. Однако стечением времени в школах большинства демократических стран стали именно изучать табличное умножение и деление, естественным результатом чего было непроизвольное запоминание учащимися этих таблиц. Процесс усвоения новых знаний стал носить сознательный характер, а сами знания учащихся стали более глубокими и прочными. В этом случае особое
значение приобрели система и методы изучения нового материала.
Существуют две принципиально различные системы изучения табличного умножения и деления: система ра з д е л ь н о г о и система совместного изучения табличного умножения и деления. Каждая из этих систем имеет по нескольку существенно отличных друг от друга вариантов.
Считая доказанным меньшую педагогическую целесообразность применения системы раздельного изучения табличного умножения и деления в условиях работы нашей советской начальной школы, а потому и не останавливаясь на этом вопросе, мы разберем лишь вопрос о возможных вариантах совместного изучения табличного умножения и деления; причем и здесь мы рассмотрим не все варианты, которые применяются в настоящее время у нас в стране и в зарубежных странах, а лишь три из них: вариант, который был представлен в ранее применявшемся у нас стабильном задачнике Н. Н. Никитина, Г. Б. Поляка и Л. Н. Володиной; вариант, который сейчас представлен в стабильном задачнике А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка; и, наконец, вариант, который разработан мною. Этого будет вполне достаточно, чтобы увидеть, как можно усовершенствовать систему совместного изучения табличного умножения и деления.
Из методов изучения табличного умножения и деления мы кратко рассмотрим как общепринятые, так и в особенности те, которые можно применять, работая по новой системе. Наконец, в доказательство преимуществ новой системы изучения табличного умножения и деления мы приведем некоторые обобщенные данные и выводы из опыта работы учителей.
Часть I
СИСТЕМА И МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ТАБЛИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
Глава I
О СИСТЕМЕ ИЗУЧЕНИЯ ТАБЛИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
Четыре года назад учителя И. класса нашей начальной школы работали по стабильному задачнику Н. Н. Никитина, Г. Б. Поляка и Л. Н. Володиной, который теперь заменен учебником арифметики А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка. В этих двух пособиях представлены два существенно отличных друг от друга варианта совместного изучения табличного умножения и деления.
В задачнике Н. Н. Никитина, Г. Б. Поляка и Л. Н. Володиной табличное умножение и деление изучалось в следующем порядке: таблица умножения трех, таблица деления на 3 равные части, таблица деления по 3. (...)
Затем аналогично шло изучение таблиц умножения и деления четырех, пяти ит. д. до девяти. Таким образом, изучение таблиц умножения и деления ве лось совместно, причем совместно в том смысле, что умножение данного числа и два вида деления на это число изучались последовательно одно за другим примерно в течение недели. Тем самым обеспечивалась возможность совместного решения задач на умножение и два вида деления — одна из главных особенностей системы совместного изучения табличного умножения и деления.
Однако в способах изучения самих таблиц умножения и деления здесь не наблюдается совместности, совместности в том смысле, чтобы таблицы деления изучались на основе соответствующей таблицы умножения. В самом деле, таблица деления, например, на 3 равные части не имеет логической связи с таблицей умножения трех, хотя и изучается вслед за ней. Поэтому таблица деления в смысле деления на равные части рассматривалась независимо от соответствующей таблицы умножения данного числа. Эта таблица деления рассматривалась вполне самостоятельно и изолированно,а составлялась она на основе наглядности, специально подобранного дидактического материала, подобно тому, как составлялась и таблица умножения данного числа.
При такой системе изучения таблицу деления на равные части нельзя проверять на основе ранее изученной таблицы умножения. Следовательно, изучая новое, дети не могли применять ранее приобретенные ими знания. Тем самым таблица умножения данного числа несколько забывалась учащимися. Кроме того, все изучение таблиц умножения и деления велось лишь на основе наглядности, что в некоторой мере тормозило развитие их логического мышления.
Таблица деления на данное число в смысле деления по содержанию логически связана с соответствующей таблицей умножения данного числа, и ее можно было бы изучать на основе таблицы умножения. Однако эта возможность ранее мало использовалась учителями, так как таблица деления по содержанию изучалась лишь в третью очередь. Поэтому и эта таблица зачастую объяснялась учителями тоже изолированно от таблицы умножения, лишь на основе дидактического материала. Если же учителя и связывали эту таблицу деления с соответствующей таблицей умножения, то уже они никак не могли связать ее с соответствующей таблицей деления на равные части. Значит, пока шло изучение таблицы деления по содержанию, таблица деления на равные части применения не имела, а потому несколько забывалась учащимися.
Таким образом, систему изучения табличного умножения и деления, представленную в задачнике Н. Н. Никитина, Г. Б. Поляка и Л. Н. Володиной, вернее называть не системой совместного, а системой „параллельного" изучения табличного умножения и деления. Для целей совместного решения задач на умножение и деление эта система была удовлетворительной, однако для целей более прочного и связного изучения самих таблиц умножения и деления эта система оказалась не рациональной. При изучении же раздела „Табличное умножение и деление" главным является как раз именно наисолее осознанное и прочное усвоение учащимися самих таблиц умножения и деления. Значит, главная цель при этом достигалась недостаточно эффективно.
§ 2
В стабильном учебнике арифметики для II класса А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка система изучения таблиц умножения и деления несколько усовершенствована. Главное преимущество этой системы состоит в том, что каждая новая таблица деления основана на соответствующей таблице умножения. Это обеспечивает как более осознанное и прочное усвоение учащимися новых таблиц, таблиц деления, так и более прочное усвоение ими ранее изученных таблиц, таблиц умножения.
Изучение табличного умножения и деления в новом учебнике ведется в следующем порядке: таблица умножения трех, таблица деления но 3, таблица умножения на 3, таблица деления на 3 равные части. (...)
Затем аналогично идет изучение таблиц умножения и деления четырех, пяти и т. д. до девяти.
Таблица деления, например по 3, логически связана с таблицей умножения трех (по постоянному множимому); она-то и изучается теперь во вторую очередь. Составление этой таблицы деления можно выполнить, не прибегая к наглядности, а лишь основываясь на знании учащимися первой таблицы, таблицы умножения трех. Если же учитель и применяет при ее составлении дидактический материал, то при закреплении ее проверка результатов деления делается все-таки на основе таблицы умножения.
Таблица деления на 3 равные части логически связана с таблицей умножения на 3 (по постоянному множителю), и ее составление можно также выполнить, не прибегая к наглядности, а лишь на основе третьей таблицы, таблицы умножения на 3. Если же учитель и применяет при ее составлении дидактический материал, то при ее закреплении проверка результатов деления делается опять-таки на основе соответствующей таблицы умножения.
Таким образом, изучение новых таблиц деления основано здесь на ранее усвоенных учащимися таблицах умножения. Все изучение таблиц умножения и деления становится более связным . При этом обеспечивается возможность не только совместного решения задач на умножение и деление, но и действительно совместного изучения самих таблиц, правда, попарно, а не в целом.
Однако система изучения табличного умножения и деления, представленная в новом стабильном задачнике, имеет и существенные недостатки в логическом, методическом и практическом отношении.
Во-первых, здесь и зу ча ют с я (объясняются) не три, а четыре таблицы умножения и деления. Таблицы умножения, например, трех и на три воспринимаются учащимися как совершенно различные таблицы: хотя соответственные результаты здесь и одинаковые, но повторяющиеся слагаемые (м н о-ж и м ы е) здесь совершенно различны; а это важнее, чем результаты, так как вычисление самих результатов ведется сложением равных чисел. При такой системе работы затрачивается много лишнего времени на объяснение нового материала и, следовательно, остается меньше времени на закрепление всего ранее
пройденного, в частности, мало времени остается на решение задач. Кроме того, при этом перегружается память учащихся необходимостью заучить четыре таблицы, хотя на самом деле нет нужды учащимся знать именно четыре таблицы умножения и деления, а только три. В этом состоит практическое несовершенство данной системы изучения табличного умножения и деления.
Во-вторых, в этой системе два вида табличного деления связываются с двумя различными таблицами умножения. А между тем два вида задач на деление являются обратными для одной и той же задачи на умножение, и, следовательно, можно изучать оба вида табличного деления на основе одной и той же таблицы умножения. Кроме того, здесь две таблицы деления на данное число логически не связаны между собой, между тем как в задачах два вида деления являются взаимно обратными, т. е. связанными между собой. Значит, данная система изучения табличного умножения и деления не вполне совершенна и в логическом отношении.
В-третьих, в данной системе таблица умножения по постоянному множителю самостоятельного значе-ная не имеет: она составляется лишь для того, чтобы на ее основе составить соответствующую таблицу деления на равные части. Однако эта третья, по существу вспомогательная, таблица все-таки составляется, изучается. Таблицы умножения на 3 и на 4 здесь составляются на основе дидактического материала, а начиная с умножения на 5 все таблицы умножения по постоянному множителю составляются на основе переместительного свойства умножения, которое предварительно объясняется детям. Однако доступность учащимся II класса переместительного свойства умножения никем еще по существу не обоснована. По мнению многих учителей и методистов, это свойство детям восьми лет недоступно в такой степени, чтобы на его основе можно было бы вести изучение нового, еще не известного учащимся материала. Да и в программе по арифметике это свойство умножения отнесено лишь к IV классу. Кроме того, при изучении таблиц умножения на 3 и на 4 приходится здесь забегать далеко вперед, разбирая случаи 7X3, и 8X3, 9X3, 6X4, 7X4, 8X4, 9X4. В применении переместительного свойства умножения также много непоследовательности: например, случаи 6X5, 7X5, 8X5, 9X5 сначала рассматриваются на основе этого абстрактного для детей свойства умножения, а позже (при изучении таблиц умножения шести, семи, восьми, девяти) эти же случаи снова и з у ч а юте я, но уже по всем правилам методики, т. е. на основе дидактического материала и других вполне доступных детям приемов. Ту же непоследовательность здесь приходится допускать и при изучении таблиц умножения на 6, на 7, на 8 (случаи 7X6, 8 X 6, 9X6, 8X7, 9X7, 9X8).
В этой системе изучения табличного умножения и деления имеются также недостатки в подборе числовых данных при решении задач на приведение к единице: при изучении таблиц умножения и деления на 3 и на 4 в этих задачах числа берутся лишь в пределе 20, при изучении таблиц умножения и деления на 5 — лишь в пределе 25, затем — лишь в пределе 36,49,64,81 (в пределе квадрата числа, на которое делим,). Например, при изучении таблиц умножения и деления на 6 здесь не могут быть решены такие задачи: „В 6 одинаковых бидонах 42 л молока (48 л, 54 л). Во скольких таких бидонах 28 л молока (32 л 36 л)?и Первое действие (42 л: 6=7 л) дети могли бы выполнить, но для второго действия (28 л: 7 л - 4) они еще не знают таблицы деления по 7 (по 8, по 9). Значит, делимым первого действия могут быть лишь такие числа: 12,18, 24,30, 36, так как деление по 2, по 3, по 4, по 5, по 6 к этому времени изучено. Однако случаи деления на 6 чисел 42, 48 и 54 являются, как известно, наиболее трудными для усвоения детьми, и именно их-то и следовало бы чаще включать не только в примеры, но и в задачи.
Подобно этому при изучении таблиц умножения и деления на 7 в задачи на обратное приведение к единице нельзя включать случаев, например 56 кг . 7, 63 л: 7, а они-то как раз и являются наиболее трудными для усвоения детьми, и, значит, их-то именно и следовало бы чаще включать не только в примеры, но и в задачи.
Все это свидетельствует о недостатках данной системы изучения табличного умножения и деления и в методическом отношении. Таким образом, к системе изучения табличного умножения и деления, представленной в стабильном задачнике для II класса, учителю следует подходить критически: она имеет ряд преимуществ по сравнению с другими известными системами изучения табличного умножения и деления, но она не лишена и многих существенных недостатков. Самым слабым местом в этой системе является сам факт изучения (объяснения) вспомогательной таблицы умножения по постоянному множителю, а в особенности приемы этого изучения.
Возникает естественный вопрос: нужно ли вообще изучать эту вспомогательную таблицу умножения по постоянному множителю? Может быть, проще таблицу деления на равные части изучать независимо от таблицы умножения, т. е. так, как это делалось раньше, например, в задачнике Н. Н. Никитина, Г. Б. Поляка и Л. Н. Володиной? Известный методист Н. С. Попова, учитывая все несовершенства системы изучения табличного умножения и деления, представленной в новом стабильном задачнике, предлагает даже просто вернуться к системе раздельного изучения этих действий.
Однако есть и другой, более целесообразный путь: оказывается, все-таки возможно разработать систему действительно совместного изучения табличного умножения и деления, обладающую всеми теми достоинствами, которые присущи системе, представленной в стабильном задачнике, но вместе с тем такую систему, которая лишена отмеченных выше недостатков в логическом, методическом и практическом отношении.
§ 3
Основная идея новой системы изучения табличного умножения и деления состоит в том, что обе таблицы деления связываются с одной и той же таблицей умножения. Следствием этого является и тот важный факт, что сами таблицы деления в таком случае оказываются связанными и между собой. Таким
образом, все три таблицы умножения и деления оказываются взаимно связанными. А отсюда вытекают все логические, методические и практические преимущества этой системы изучения табличного умножения и деления.
Мы уже видели, что таблица деления на данное число (по постоянному делителю) в смысле деления на равные части логически не связана с таблицей умножения данного числа (по постоянному множимому). Значит, если мы хотим изучать табличное умножение и деление в полной взаимосвязи, то нам придется отказаться от изучения (объяснения) традиционной таблицы деления на равные части по постоянному делителю. Какой же таблицей ее придется заменить?
Для уяснения логических взаимосвязей между таблицей умножения и двумя вытекающими из нее таблицами деления рассмотрим простую задачу на умножение и две обратные ей задачи на деление, а затем сделаем обобщение.
1) На одно платье идет 3 м ткани.
Сколько метров ткани идет на 8 таких же платьев?
2) На одно платье идет 3 м ткани.
Сколько таких платьев можно сшить из 24 ж ткани?
3) Из 24 м ткани сшили 8 одинаковых платьев.
Сколько метров ткани идет на одно платье?
Вот решение этих задач: 1) 3 ж X 8 = 24 ж;
2) 24 ж : 3 ж = 8; 3) 24 ж : 8 = 3 ж.
Если же сделать обобщение по множителю при постоянном множимом, то получим три взаимно связанных между собой таблицы умножения и деления.
зх 1= з 3-7-3= 1 3: 1=3
зх 2= 6 6-|-3= 2 6: 2 = 3
ЗХ 7=21 21-|-3= 7 21 : 7 = 3
ЗХ 10 = 30 30 -р 3 = 10 30: 10 = 3
Итак, с таблицей умножения по постоянному множимому одновременно связаны две таблицы деления: таблица деления на Данное число (по постоянному делителю)в смысле деления по содержанию и таблица деления на равные части по постоянному частному (а не делителю!).
Значит, именно эти две таблицы деления необходимо и достаточно изучать (объяснять, составлять) в системе действительно совместного изучения табличного умножения и деления. Обе они могут быть составлены без применения наглядности, лишь на основе знания учащимися таблицы умножения. Разумеется, при этом можно применять и наглядность. Однако роль наглядности здесь совершенно иная, чем, например, при изучении таблицы умножения: она применяется здесь главным образом лишь для конкретизации смысла деления (на равные части или по содержанию), а не исключительно только для получения результатов деления; при составлении же таблицы умножения наглядность применяется главным образом для получения результатов умножения.
При изучении таблиц деления здесь учащиеся постоянно применяют ранее усвоенные ими знания о таблице умножения. Это делается как при составлении таблиц деления, так и при закреплении (проверка). Следовательно, учащиеся никогда не прекращают работы над усвоением таблицы умножения — главного во всем этом разделе арифметики. Больше того, и работа над усвоением таблиц деления здесь тоже никогда не прерывается таблица деления на равные части можег быть проверена не только на основе таблицы умножения, но и на основе соответствующей таблицы деления по содержанию, и наоборот. Например, 24:8 = 3, так как если по 3 взять 8 раз, то будет 24; или же: так как если 24 разделить по 3, то будет 8.
Таким образом, рассмотренные нами таблицы умножения и деления составляют триединство: любая из них связана с двумя другими, любые две из них вытекают из третьей.
Все удобства новой системы изучения табличного умножения и деления вытекают из того, что это изучение таблиц ведется в строгой логической последовательности. Кроме того, дети все время здесь оперируют одним и тем же рядом чисел, например троек: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, то составляя его из равных слагаемых (из троек), то разлагая его на те же равные слагаемые (по 3 или же на равные части с результатом опять-таки по 3). Последний фактор имеет немаловажное значение в процессе усвоения и запоминания учащимися таблиц умножения и деления. В других же системах изучения табличного умножения и деления учащиеся одновременно вынуждены один и тот же ряд чисел разлагать при делении на различные слагаемые, что тормозит быстрое и прочное усвоение изучаемых таблиц деления да и таблицы умножения.
При работе по новой системе изучения табличного умножения и деления нет необходимости в применении переместительного свойства умножения в качестве основы для изучения кикой-либо таблицы. Здесь также нет случаев необоснованного забегания вперед, как это делается при работе по стабильному задачнику. При решении задач на приведение к единице мы имеем возможность закреплять изученные таблицы в полном объеме. Все это составляет преимущества новой системы в методическом отношении.
Здесь изучается (объясняется) лишь три таблицы, причем само усвоение таблиц учащимися проходит более успешно. Поэтому остается много времени на решение задач, устный счет и другие тренировочные упражнения. В этом состоят преимущества новой системы изучения табличного умножения и деления в практическом отношении.
К концу изучения темы учащиеся непроизвольно, т. е. без затраты дополнительного времени и усилий, прочно знают и таблицу умножения по постоянному множителю и таблицу деления на равные части по постоянному делителю, так как эти таблицы являются всего лишь следствием тех таблиц умножения и деления, которые уже изучены и усвоены учащимися. Окончательное запоминание учащимися таблиц умножения и деления как раз и производится в последней форме, т. е. по постоянному множителю и делителю.
К концу изучения темы мы даем учащимся понятие о переместительном свойстве произведения на многих конкретных примерах табличного умножения с тем, чтобы облегчить (почти наполовину) запоминание (а не изучение!) всей таблицы умножения, а также для того, чтобы в дальнейшем случаи, подобные 3X24 и 60X364, учащиеся выполняли в том порядке, как это удобнее делать.
О системе решения задач на умножение и деление мы не говорим здесь, так как она сохраняется полностью в том виде, в каком разработана в стабильном задачнике. Правда, числовое содержание задач, особенно задач на деление на равные части, изменяется коренным образом. В задачи на приведение к единице мы имеем возможность включать все, в том числе и наиболее трудные для детей случаи табличного деления. В соответствии с новой системой нужно существенно изменить и подбор примеров для закрепления таблицы деления на равные части. Иначе говоря, для успешной работы по новой системе изучения табличного умножения и деления следовало бы переработать стабильный задачник для II класса. Однако на первых порах можно будет пользоваться тем же задачником, но дополнительно руководствоваться особой поурочной разработкой (см. вторую часть данного пособия).
Между прочим, анализ дореволюционной методической литературы по арифметике, начиная со времен Л. Ф. Магницкого, а также изучение задачников таких стран, как Болгария, Польша, Чехословакия, Китай, Германия, Франция, Англия, США, показал, что идея действительно совместного изучения табличного умножения и деления частично использовалась и используется некоторыми методистами и применяется на практике в некоторых зарубежных школах. В задачнике К. П. Арженникова при изучении таблиц умножения и деления имеются упражнения не только, например, на умножение четырех, на деление по 4, но и на деление с постоянным результатом по 4. В современном польском задачнике, например, из наглядного факта (...) Как видим, и К. П. Арженников использовал в частных случаях принцип взаимно связанного изучения таблицы умножения и двух вытекающих из нее таблиц деления; и в польском задачнике это имеет место. Но ни в том, ни в другом случае этот принцип не был положен в основу всей системы изучения табличного умножения и деления, а использовался лишь с единственной целью: раскрыть взаимосвязь между действием умножения и двумя видами деления, сама же система изучения табличного умножения и деления там совершенно иная, чем у нас. В школах США табличное умножение и деление в особую тему не выделяется, но тем не менее при изучении умножения и деления многозначных чисел рассматриваются соответствующие таблицы, в том числе и таблица деления на равные части с постоянным частным.
Таким образом, введенная нами третья таблица-таблица деления на равные части по постоянному частному, а не по постоянному делителю — является не только логическим завершением принципа действительно совместного изучения табличного умножения и деления, но и имеет практическое применение в массовой школе отдельных зарубежных стран. Наш же опыт подтверждает наибольшую рациональность новой системы изучения табличного умножения и деления и в наших условиях, в условиях советской начальной школы.
§ 4
Выше был разобран вопрос о том, какие именно две таблицы деления необходимо изучать на основе одной и той же таблицы умножения данного числа. Тем самым намечена система действительно совместного изучения табличного умножения и деления. Однако этим еще не вполне исчерпан вопрос о системе изучения табличного умножения и деления. Дело в том, что далеко не безразлично, в какой последовательности изучать сами таблицы умножения данного числа. Например, одно дело, когда мы изучаем таблицы умножения в натуральной последовательности (двух, трех, четырех и т. д. до девяти), и совсем другое дело, если изучать их в так называемой генетической последователо-сти (десяти, пяти, двух, четырех, восьми, трех, шести, девяти, семи).
По стабильному задачнику для II класса в настоящее время у нас таблицы умножения изучаются в натуральной последовательности. В этой же последовательности сейчас изучают таблицу умножения в школах Китая, Болгарии. Однако в школах Польши, Чехословакии, Германской Демократической Республики принят совсем иной порядок изучения таблиц умножения. В двадцатых-тридцатых годах и у нас в стране в начальной школе таблицы умножения изучались не в натуральной, а в генетической последовательности. То же былой в дореволюционное время.
Наблюдения показывают, что учащиеся II класса неодинаково прочно усваивают таблицы умножения того или иного числа. Например, ими легко запоминается таблица умножения трех, пяти, зато труднее всего усваивается таблица умножения семи. Очевидно, что при изучении.таблицы умножения трех ма-л о новых случаев, по сравнению с уже известным и усвоенным в I классе (лишь 7X3, 8X3, 9X3), причем все эти результаты заключены в пределе лишь одного, третьего, десятка; при изучении таблицы умножения пяти новых результатов больше, но зато они удобны для их получения и запоминания (25, 30, 35, 40, 45); при изучении же таблицы умножения семи и новых результатов много (семь), и для получения этих результатов приходится выполнять чаше всего сложение с переходом через десяток, и для запоминания эти результаты менее удобны.
Таблицу умножения того или иного числа можно изучать или независимо от ранее изученных таблиц умножения, или же в связи с ранее изученными таблицами, особенно с теми, с которыми можно установить наиболее непосредственную связь. Например, таблица умножения четырех имеет связь с таблицей умножения двух, а таблица умножения восьми с таблицей умножения четырех; таблица умножения пяти имеет связь с таблицей умножения десяти; с таблицей умножения трех имеют связь таблица умножения шести и таблица умножения девяти; таблица умножения семи занимает особое место: она не имеет непосредственной и очевидной связи ни с одной из других таблиц умножения.
Учитывая то, что изучено в I классе, в настоящее время в наших условиях во II классе, пожалуй, лучше всего было бы изучать табличное умножение в такой последовательности: умножение двух и десяти (повторение), умножение пяти, затем умножение четырех и восьми, позже умножение трех, шести, девяти и, наконец, умножение семи. Соответственно этому изучались бы и таблицы деления.
Однако и в этом варианте совместного изучения табличного умножения и деления имеются свои недостатки. Например, таблица умножении и деления семи усваивается детьми хуже всего, а изучалась бы она в последнюю очередь. Следовательно, на ее закрепление оставалось бы мало времени, так как после этого нужно переходить к изучению внетаб-личного умножения и деления. Кроме того, в прочности усвоения учащимися различных таблиц умножения и деления не такая уж большая разница, чтобы из-за этого нарушать более естественный порядок изучения таблиц умножения и деления. Например, в одном из наших вторых классов (где я лично вел уроки в прошлом учебном году) таблицы умнохсения и деления шести, семи, восьми и девяти усвоены с такими показателями: (...)
Как видно, разница в количестве ошибок в ответах учащихся не превышает 4°/0. Значит, табличное умножение и деление вполне возможно изучать совместно в натуральной последовательности. При этом на закрепление знания учащимися таблицы умножения и деления семи имеется вполне достаточное количество времени, и к концу изучения темы учащиеся хорошо знают всю таблицу полностью. В пользу такой системы изучения табличного умножения и деления во II классе говорит и тот факт, что таблица умножения и деления трех усваивается учащимися все-таки лучше, чем таблица умножения и деления пяти. Значит во II классе изучение табличного умножения целесообразнее начинать не с таблицы умножения пяти, а именно с таблицы умножения трех. А раз начало выбрано, то и вся дальнейшая последовательность изучения табличного умножения и деления определяется вполне однозначно.
§ 5
Мы выяснили вопрос о наиболее рациональной системе изучения табличного умножения и деления во II классе начальной школы. При этом мы исходили из главной цели этого раздела арифметики — наиболее логичного и легкого изучения самих таблиц умножения и деления, наиболее легкого и прочного запоминания этих таблиц учащимися, а также из принципа совместного решения задач на умножение и деление.
Однако и в I классе начальной школы тоже изучается таблица умножения и деления (в пределе 20). Может быть, и там следовало бы изучать таблицу умножения и деления совместно, как это делается во II классе? Нет, этого не следует делать: в противном случае мы допустили бы грубую методическую ошибку. Дело в том, что в I классе совершенно иная цель изучения табличного умножения и делениягтам не столько изучают табличное умножение и деление, сколько впервые дают понятие о действии умножения, о действии деления. Разумеется, что эти новые действия изучаются на базе табличного умножения и деления в пределе 20. Однако главным и решающим здесь является уяснение новых понятий, а не табличных результатов. Но, как известно, различные новые понятия разъясняются детям не одновременно, не совместно, а в разное время, раздельно. Лишь значительно позже делаются сопоставления и сравнения, а также обобщения понятий. Поэтому умножение и деление в первом классе необходимо изучать раздельно, как это у нас и делается в настоящее время. Усвоение же таблицы умножения и деления на 2, а также части таблиц умножения и деления на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, заключенной в пределе 20, составляет в I классе лишь второстепенную, попутную цель.
Между прочим, как к системе изучения табличного умножения и деления в I классе нельзя подходить на основе принципов изучения этого вопроса во II классе, так и к системе изучения табличного умножения и деления во II классе нельзя подходить на основе принципов изучения этого вопроса в I классе: все зависит от условий, места и времени. И если в I классе является наиболее целесообразной система раздельного изучения табличного умножения и деления, то это совсем еще не значит, что именно эта же система должна быть перенесена и во II класс, как на этом настаивает, например, Н. С. Попова. Как известно, подход к решению любого вопроса должен быть конкретным, с учетом всех особенностей и условий, влияющих на выбор методов решения проблемы. Поэтому только правильно определив главную цель изучения табличного умножения и деления во II классе и полностью учитывая конкретные знания, уже имеющиеся у учащихся к моменту изучения этой темы, возможно разработать наиболее рациональную систему изучения табличного умножения и деления во II классе начальной школы.
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
