Спасибо за урок, дети!

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
     
      Проблемы обычного школьного урока привлекают к себе в последнее время особенно пристальное внимание. О них спорят на страницах газет и журналов, им посвящаются книги. От школы и от учителя требуют не только дать знания, сформировать программные умения и навыки у всех ребят, но главное, научить школьников творчески распоряжаться ими. Но к сожалению, урок математики, как и впрочем любой другой, часто сводится лишь к «прохождению» программы, причем преимущественно с использованием объяснительно-иллюстративного метода: делай как я (посмотри — повтори — запомни).
      Может поэтому наши ученики на занятиях бойко анализируют условие задачи, решают ее, а на контрольной значительная часть класса не может решить ей аналогичную, не говоря уж о задаче, требующей творческого подхода. И это понятно: на уроке они ориентировались на указания учителя, а самостоятельно организовать свои действия не умеют. Учителя порой объясняют неудачи своих учеников лишь ленью, нежеланием учиться, недостаточным их умственным развитием. Думаю, что ситуация изменилась бы, если бы мы все умели работать на высоком профессиональном уровне! В это понятие я вкладываю не только знание приемов, методов обучения, разумное их применение, но и постоянный поиск сверхзадачи урока, стремление к достижению которой добавило бы уроку значительность, возвышенность, праздничность.
      Дети идут на урок чаще всего за общением с друзьями, с учителями. Наивысшую радость и удовлетворение они испытывают от работы, позволяющей им открывать себя: свои способности, возможности. Их глазки загораются и в тот момент, когда их учат чему-то значительному, важному для жизни вообще, а не для получения отметки. Последние годы работы убедили меня в том, что нельзя идти на урок лишь со знанием какой-то теоремы и набором задач, пусть даже прекрасных.
      И сама теорема и задачи лишь материал, который может способствовать раскрытию личности ребенка. Я сказал может. Да, многое тут зависит от способа подачи материала, от способа организации труда школьников на уроке. Для меня поиск и выбор способа ведения урока связан с работой по формированию умений наблюдать, анализировать, обобщать, конкретизировать, строить гипотезы, делать выводы, задавать вопросы, спорить, отстаивать свою точку зрения, оперировать не только маленькими порциями учебного материала, но и знаниями, полученными при изучении темы целиком.
      Известно, что между знаниями и умениями существует непосредственная связь: невозможно добиться глубины и прочности знаний, если не заниматься формированием умений. Поэтому в четвертом классе я учу ребят наблюдать. Умения наблюдать, строить гипотезы, делать выводы отрабатываются и в пятом классе. Особенно успешно это получается у меня на геометрическом материале. В шестом классе эта работа получает как бы второе дыхание на уроках геометрии при исследовании свойств фигур на плоскости и в пространстве. А на уроках алгебры мы учимся приемам конкретизации и обобщения. Обо всем этом рассказано на страницах этой книги. Читатель познакомится с моими способами организации и проведения зачетов, уроков устной контрольной работы, уроков-«бенефисов». Умению конструировать урок посвящена глава, в которой показано шесть способов построения урока по одной теме. Хочу сказать, что хотя в работе мало ссылок на работы дидактов и психологов, но все удачи, если они были, немыслимы для меня без знакомства с трудами ученых П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной, В. В. Давыдова, И. Я. Лернера, Л. В. Занкова, Ю. К. Бабанского, М. Н. Скаткина.
      Я не стремился описать подробно ту систему преподавания, которой придерживаюсь, но на конкретных примерах, взятых из практики моей работы, попробовал показать то, что, как мне кажется, удалось, и разобрать причины неудачно построенных уроков, подумать о возможности их избежать. Эта книга — копилка. В ней собраны приемы и способы, позволяющие построить урок так, чтобы он доставил радость и детям, и мне. Надеюсь, что они будут полезны и вам, коллеги, в вашей работе, помогут отыскать новые пути совершенствования обычного школьного урока.
     
      ПОИСК СВОЕГО УРОКА
     
      Позади уже двадцать пять лет работы в школе, удивительной по насыщенности, интенсивности, по обилию радостных эмоций, сомнений, тревог и волнений. Учительское дело сложное, и, сколько бы ни работал, каждый новый учебный год для меня будто бы опять первый. Особенно трудно начинать работать в школе. Ничего не получалось. Но руки не опускались. Помогала молодость, всегда хорошее настроение и ощущение радости от каждого дня, проведенного в школе.
      В первый год я вел математику в десятом и пятых классах. Учил сразу 300 учеников одной из школ Ленинградской области. В десятом классе из 12 человек — 9 девочек. Я был немногим их старше. На уроках они, казалось, внимательно слушали мои объяснения, все понимали, поэтому с урока я уходил удовлетворенный. Но первая же контрольная работа озадачила меня. Класс 45 минут тихо писал что-то, когда же я предложил сдавать работы, девчонки заревели и сдать отказались. Я просто не знал, что делать. Рев стоял и на следующих контрольных.
      И все равно в школе мне было хорошо: никакие проблемы психологии, дидактики меня не волновали, просто наслаждался процессом обучения. Нравилось объяснять, учить, видеть заинтересованные глаза ребят. Рядом трудились опытные педагоги. Они меня восхищали спокойствием, мудростью и умением постоянно добросовестно выполнять свою работу. Временные неудачи их не смущали, они умели видеть перспективу в своей работе. В школе мне было хорошо — я получал радость от общения с детьми и коллегами.
      Я сказал, что проблемы дидактики и психологии меня не волновали. Но одна дидактическая проблема все же не давала мне покоя — проблема структуры урока. Не мог строить одинаковые по конструкции уроки, просто стыдно было перед ребятами начинать урок так же, как это было в прошлый раз. Вечерами, при подготовке к уроку, мучительно долго придумывал, в какую форму организовать материал следующего занятия.
      Наверняка приемы, придуманные мною в первые годы работы, звучали бы для моих коллег наивно, но все же они помогали мне держать внимание класса. Помню, как-то на шестом уроке в пятом классе писал цифры на доске цветными мелками и очень был доволен своей находкой. Потом придумал еще один прием: после урока, на котором объяснялось действие сложения дробей, выпускал из класса пятиклассника только в том случае, если он удачно складывал две дроби. Конечно, примеры подбирал самые простые, чтобы каждый школьник ощутил успех в усвоении материала.
      Память хранит урок, который давал в присутствии завуча и который завалил напрочь, хотя готовился к нему целый вечер, перечитал массу книг, но не мог придумать новой необычной конструкции. Повторить же старую было для меня невозможно. В тот период все старался изобрести сам.
      Откровением был разговор с учительницей, признанным мастером педагогического труда. После своего открытого урока она рассказала о тех главных задачах, которые ставила при работе в шестых классах.
      Тогда я впервые задумался о том, что надо не просто давать урок за уроком, а необходимо, если ты хочешь быть настоящим учителем, знать сверхзадачу своей работы — тот главный стержень, вокруг которого строится весь процесс обучения. И эту сверхзадачу надо осознать самому. Отсюда может быть и начинается творческое отношение к педагогической работе. Но чтобы понять это, нужно время, свой опыт.
      Уроки шли один за другим. Я был доволен тем, как преподаю. И вдруг в школу приезжает инспектор. Учителя уже знали его как опытного, серьезного, чрезвычайно требовательного человека.
      Ко мне на урок он пришел вместе с учительницей, о которой я уже упоминал. Урок для меня прошел быстро и, как мне показалось, хорошо. Но каково же было мое удивление, когда инспектор передал мне слова учительницы математики: «Не трогайте его сейчас, не ругайте. У него все потом получится».
      Значит, было плохо. Но что было плохо, я тогда так и не узнал. Сейчас же думаю, что было плохо все, кроме темпа, контакта с классом, желания дать урок хорошо.
      Инспектор не только не стал меня ругать, но сказал слова, которые Запомнились мне навсегда: «Много инспекторов будет посещать ваши уроки. Каждый будет выдвигать свои требования к вам. Вы всех слушайте, все записывайте, обдумывайте, но к действию принимайте только то, что не противоречит вашим принципам, вашей системе преподавания».
      Потом настали годы работы, когда на первом плане было углубленное изучение предмета. Преподавал я в то время в математической школе. Подбор учеников, специальная программа заставляли много времени уделять изучению предмета. Конечно, и тогда думал о том, как подать материал, но при подготовке к уроку больше занимала проблема, как это ни странно для меня сейчас, что я должен делать на уроке. Может, настрой был дан такой еще в институте, когда методисты говорили, что урок удался, если вы почувствовали, что ваша спина вспотела от напряжения. Деятельность же детей была для меня очевидна. Они должны были отвечать на вопросы, решать задачи, писать контрольные работы. Я учил — дети должны были научиться. Не очень тогда размышлял — чему? Конечно, отработке специальных умений (решать уравнения и т. д.) было уделено основное внимание. Но кто-то учился хорошо, кто-то плохо. Для тех, кто учился плохо, было шаблонное объяснение: ленится, не хочет, а то и не может учиться. Не я не могу научить, а он не может научиться. Для математической школы это звучало довольно убедительно.
      Но вот я опять работаю в обычной школе. У меня восьмой класс. Впереди экзамены. Хотелось учить ребят так, чтобы не было стыдно перед коллегами, чтобы каждый ученик мог самостоятельно справиться с экзаменационным заданием. Каково же было мое настроение, когда выяснилось, что половина класса не может, зная скорость и время движения, найти путь. Что ни придумывал, как ни изощрялся, научить этому не мог. Вспоминались учителя, которые работали со мной в первые годы. Теперь уже мне надо было терпеливо искать выход из создавшейся ситуации. Во-первых, решил сделать общее настроение ребят радостным. Вспомнил даже такую, казалось бы, мелочь, но для учителя важную деталь, что в класс надо входить с улыбкой. Так всегда входила в наш класс любимая наша учительница английского языка. Вот и я старался каждый урок начинать с улыбки.
      Для сильной части класса организовал кружок, провел математическую декаду. К ее подготовке подключил почти всех учеников, так как объявил необычайный для них конкурс на лучший графический портрет Карлсона, Чебурашки и Крокодила Гены. Получил колоссальное наслаждение от этих творческих работ. Некоторые из них содержали до сорока графиков. Никакой силой не удалось бы заставить ребят выполнить такой объем работы в качестве домашнего задания. Кроме заданных портретов ребята придумали много своих рисунков и дали их графическое описание. Один самый трудный мальчишка попытался изобразить себя. «Вот такой вот я человек» была подпись под этим рисунком.
      А ко дню первого апреля мы выпустили газету, в которой были ответы ребят на вопросы анкеты: за что ты любишь школу? Снится ли она тебе? Что такое лень? Как ты представляешь школу будущего? И т. д. Газету готовили «всем миром». Кто писал, кто рисовал, кто клеил. Пришел и Саша, который математикой совсем не интересовался. Когда я спросил его: «Ну, что ты будешь делать?» — он сказал: «Ничего. Я для создания хорошего настроения пришел». А Петя на аналогичный вопрос ответил так: «Я давно хочу нарисовать медведя. Это моя мечта. Можно я его нарисую в газете?»
      Первого апреля вся школа толпилась около газеты. Особенно удивило сообщение о том, что тем, кто получил двойки, в столовой выдают мороженое, чтобы грусти не было.
      Но все же один вопрос меня мучил постоянно: «Как научить всех? Как заставить работать ребят дома?» В это время мой друг, тоже учитель математики, предложил почитать книгу «Управление познавательной деятельностью учащихся» (под ред. П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной.— М., 1972). Уже само название меня поразило: оказывается, познавательной деятельностью учащихся можно управлять. Эту первую книгу по теории обучения читал долго, так как почти каждая страница будоражила ум и помогала в поиске приемов преподавания.
      Авторы упомянутой книги любое человеческое действие представляют как систему, включающую три части: ориентировочную, исполнительскую и контрольную.
      Вот первую-то, составную часть любого человеческого действия я долгое время в своей работе не принимал во внимание, да и просто не знал о ее существовании. Показывал, подробно объяснял пример за примером, решал одну задачу за другой, а половина класса все равно их не решала. Это и понятно: я не ставил перед собой задачу сформировать у ребят полную систему ориентиров для правильного выполнения действия. Каждый раз объяснял тот или иной пример, но что-то недоговаривал, какую-то операцию, для меня давно освоенную и выполняемую автоматически, не отрабатывал с ребятами. Наверное, считал, что она отработана у них в результате житейских наблюдений, жизненного опыта. Так было и с одним из основных элементов решения задач — составлением уравнения. Механизму составления уравнений я не учил: Петя или Маша догадывались, как его составить, и весь класс записывал это уравнение. Урок шел гладко, но процесса обучения не было: Петя, Маша и без меня умели ее решать, а для Васи как была она загадкой, так и осталась.
      Теория П. Я. Гальперина позволила мне совсем по-другому организовать процесс обучения решению задач. Теперь я задавал следующую систему вопросов:
      1) О каких процессах идет речь в данной задаче?
      2) Сколько процессов описано в условии задачи?
      3) Какими величинами характеризуется каждый процесс, описанный в задаче?
      Затем мы читали каждую фразу задачи и выясняли, о каких величинах идет речь. Всю полученную информацию заносили в таблицу и выясняли условие, которое лежит в основе уравнения. При помощи него и решалась задача.
      Приведу пример задачи курса VII класса:
      Дее бригады, работая вместе, закончили заготовку леса за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из бригад для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой?
      1) Процесс — работа.
      2) 3 процесса:
      а) работа 1-й бригады;
      б) работа 2-й бригады;
      в) работа 2-х бригад вместе.
      (...)
      Об этой ситуации рассказал так подробно, потому что именно она дала мне возможность понять, что успех урока в значительной мере зависит от логики его построения, что быть в классе и общаться с учениками — это совсем не то же самое, что подразумевается под словом «учить». Часто бывает так, урока-то нет, хотя в классе присутствует и учитель, и ученики. Порой его нет и тогда, когда учитель ни минуты не остается без дела: говорит, решает, спрашивает. Самые счастливые моменты для меня были тогда, когда можно было ребятам предложить метод построения общего способа решения целого класса задач, как это было при обучении решению задач на процессы и при обучении действиям с обыкновенными дробями.
      За это время много было разных уроков: и удачных, и неудачных, но были особенно памятные уроки. Расскажу об одном из них.
      Было это в субботний осенний день, день, который нарушил
      обычное течение моего урока, и сделали это незаметно для себя мои семиклассники. Происшедшее событие заставило задуматься и внести значительные коррективы в привычный для меня стиль преподавания. Расскажу все по порядку.
      Шел второй месяц нового учебного года. Ученики да и учителя успели уже втянуться в работу. Этот процесс для преподавателей прошел даже незаметно. Практически все выходные были заняты то подготовкой к уроку, то внеклассными мероприятиями. В ту субботу мой VII Б собирался в поход с ночевкой в лесу. С утра они говорили только о походе, мысленно поторапливали так медленно движущиеся стрелки школьных часов.
      В моем расписании было пять уроков, у семиклассников — четыре. И так как мне с ними необходимо было поговорить перед выездом, мы договорились встретиться сразу после того, как я закончу свою работу. А за этот час походная группа должна была обсудить некоторые организационные вопросы и, кроме того, взять спальники.
      Последний урок я давал в четвертом классе. Работать с четвероклассниками трудно, но всегда несказанно радостно от их доброжелательности, открытых и в то же время лукавых лиц. А трудно потому, что малыши, что прошел всего месяц со дня нашей встречи, потому, что суббота, что последний урок, да к тому же было нестерпимо душно.
      Я провел уже половину занятия, когда в кабинет заглянул Игорь — начальник походной группы, а за ним стояли и все семиклассники.
      — Анатолий Арсеньевич, разрешите посидеть у вас на уроке? — попросил он и быстро добавил, предвидя мой вопрос: — Мы все уже сделали. Пожалуйста, мы тихонько.
      Просьба их меня не удивила, скорее обрадовала. И раньше бывали случаи, когда ученики приходили в свой свободный час понаблюдать за процессом обучения. Правда, далеко не у каждого школьника хватает смелости нарушить установленный порядок: не принято, чтобы ребята посещали уроки в других классах. Да и своих занятий у них много.
      Игорь ждал. Я посмотрел на лица столпившихся в дверях кабинета ребят: в каждом жила улыбка.
      Видно было, что им не просто хотелось на урок математики, они шли на встречу с детством, совсем не так давно ушедшим от них. Но кроме того, наверное, приятно посидеть на уроке своего учителя и не волноваться: вызовут, не вызовут. К тому же любопытно взглянуть, как теперешние четвероклассники справляются с задачами, когда-то для них неимоверно сложными.
      — Конечно, заходите. Только не знаю, куда же вы сядете, ведь вас так много, а все места заняты,— сказал я, окинув взглядом класс. Но тут увидел, что мои четвероклашки как-то преобразились, их заинтересовала необычная ситуация, возникшая на уроке. Они с нетерпением ждали, как будут развиваться события
      дальше. И наверняка с приходом гостей у них появилась надежда на встречу с радостью, с чудом. Поэтому-то так быстро двое мальчишек сели на один стул, а когда их примеру последовали и другие, то освободилось несколько мест для девочек из седьмого класса.
      Парни из седьмого класса мгновенно нашли выход: бросили спальники на пол в конце класса и уселись на них, всем своим видом изъявляя готовность внимательнейшим образом следить за тем, что будет происходить на занятии. «Ну, просто как в театре»,— подумал я, наслаждаясь праздником лиц и уютным расположением ребятишек в обычном школьном кабинете. Пока они рассаживались, у меня было немного времени, чтобы внести изменения в конструкцию урока. Ребята, сами того не подозревая, ждали от меня импровизации, причем мои действия не были ограничены какой-то определенной темой, как это обычно бывает на концерте импровизатора. Негласно звучало только одно непременное условие: не должно быть скуки.
      Мысленно я сопоставил курсы седьмого и четвертого классов, необходимо было найти точки соприкосновения.
      Семиклассники в это время изучали теорему Пифагора, четвероклассники получали первые знания по теме «Площадь». Мне непременно надо было чем-то удивить семиклассников, показать, что в нашей школе растет им хорошая смена.
      Выбор свой я остановил, как это ни рискованно было, на теореме Пифагора. Итогом урока должна быть ее формулировка, открытая самими малышами. В этом заключалось запрограммированное мною чудо. Как его организовать, я знал лишь в общих чертах: дать дело рукам, а потом подключить голову.
      — Дети,— сказал я,— сейчас мы с вами нарисуем чрезвычайно любопытный рисунок. Кто выполнит его аккуратно, точно — несказанно порадует меня. Итак, начали.
      Мы стали рисовать фигуру, хорошо знакомую с детства каждому взрослому под названием «пифагоровы штаны». Я руководил их действиями, а малыши все выполняли увлеченно, старательно. Когда работа была закончена, прозвучала моя команда:
      — Кто справился с заданием, поднимите тетради и покажите чертеж мне.
      Ребята подняли над головой тетради в открытом виде.
      Мне было довольно легко проверить правильность построений у каждого.
      — Прекрасно, прекрасно, молодец, а у тебя немножко вот тут не получилось,— оценивал я их труд. — Ну вот, дети, это была присказка, а сказка будет впереди,— подытожил я первый этап работы.— Слушайте меня внимательно, на вопросы отвечайте, все подмечайте, ничего не забывайте. А тот добрый молодец или, может, красна девица, которые все, что я сказал, исполнят, сумеют прочесть великую тайну, сокрытую в этом рисунке. До сего дня она открывалась в нашем школьном тереме только семи-
      классникам.— Семиклассники обменялись со мной всепонимаю-щей улыбкой.
      Класс стал рассматривать рисунок. Я направлял их внимание примерно так:
      — Посмотрите на эту фигуру и быстро перечислите все, что заметили.
      А теперь исследуйте верхнюю часть чертежа и сформулируйте свой вывод.
      Догадайтесь, каким условием связаны величины. Примерно, на глазок, оцените значения выделенных величин.
      Конечно, сначала мы рассматривали самые простые вопросы и поэтому бойко звучали ответы школьников, а семиклассники с интересом следили за уроком. Наконец, мы дошли до самого главного и ребятам пришлось задуматься надолго.
      — Ну что, не одолеть, видно, вам самим этой проблемы? — сказал я, когда размышление их затянулось. И предложил:
      — Давайте попросим помощи у семиклассников.
      — Нет,— дружно ответили четвероклашки.
      Поиск продолжался. И вдруг откуда-то прозвучало: «Можно я попробую»,— это робко сказал Стасик. Все облегченно вздохнули и с надеждой посмотрели на него. И он действительно выручил, но, к великой своей досаде, дал лишь идею решения, а привести соответствующие обоснования не смог. И опять пауза, опять тишина. Сосредоточенные лица ребят, забыли все — и про субботу, последний школьный день недели, и про духоту. Прекрасное мгновение — класс думает! Кто-то из семиклассников поднял руку, желая ответить, за ним еще несколько. Они, видимо, забыли, что сидят в гостях и, как в «детстве», нетерпеливо подпрыгивали, правда, не на парте, а на спальниках и тянули руку все выше и выше, думая, что учитель не вызывает только лишь потому, что не видит их готовности отвечать. В первую минуту я чуть не обманулся и не откликнулся на традиционное: «Можно я?» А четвероклассники забеспокоились. Чувство гордости проснулось в их душах, и класс стал тихонько говорить:
      — Витя, давай!
      — Ну, Витя!
      — Спросите Витю!
      Это была их последняя надежда. Витя уже неоднократно радовал всех своими открытиями. Ребятам это нравилось, они тоже пытались смелее подходить к решению задач — творчество стимулировало их фантазию, воображение. Еще совсем недавно класс придумал семь различных способов сравнения двух дробей. Сейчас же про себя они как бы забыли, надежда была только на Витю. И Витя не подкачал. Он сформулировал ту фразу, которая была закодирована в рисунке, и дал убедительное для всех обоснование. Был найден квадрат, площадь которого равнялась сумме площадей двух других квадратов. Прозвучала теорема Пифагора. Чудо свершилось! Я радовался вместе с ребятами. Но мне по-
      казалось, что такая реакция была не у всех малышей, очень хотелось быть на месте Вити. Один мальчишка, стукнув себя по лбу, с огорчением сказал: «Эх я, дуралей, как же не догадался. Это ведь так просто!»
      Витя же был еще весь в задаче и с волнением объяснял соседу, как он случайно до этого додумался, совсем неожиданно для себя.
      Но тут раздался тихий голос Толи — ученика седьмого класса:
      — Позвольте спросить?
      — Пожалуйста, Толя,— разрешил я.
      Когда он кончил говорить, гости поняли: четвероклассники сейчас должны убедить всех, что их действия были осознанными, что они глубоко вникли в смысл обнаруженной закономерности.
      Толе и самому довольно часто приходилось находить выход из подобных ситуаций. Он привык на уроке быть как бы в состоянии дуэли с учителем, «сражаясь» на вопросах.
      Сначала он попадался на том, что не умел увидеть всех тонкостей рассматриваемой проблемы. Затем, когда появилась глубина понимания, тогда возросла требовательность его ко всему, что он слышал на уроке. Он уже органически не мог переносить ни одного недоказанного момента.
      И вот сейчас класс опять замер. Но ненадолго. Сразу взвилось несколько рук малышей. И ответ был найден.
      Раздались аплодисменты семиклассников. А Толя, обдумав ответы ребят, нашел другое, более красивое решение. Теперь уже аплодировали гостям. Витя с уважением смотрел на Толю. А я понял, что Толе растет достойная смена и скоро в четвертом, а может быть, в пятом классе появится ученик, который также пристально будет следить за четкостью всех логических переходов.
      — Урок окончен. Всего вам доброго, дети. Желаю хорошо провести воскресенье,— сказал я.
      К учительскому столу подошли семиклассники.
      — Спасибо за урок, Анатолий Арсеньевич,— сказали они.
      — Вам, ребята, спасибо за праздник, за наслаждение, которое вы доставили четвероклассникам и мне.
      Закончился урок — урок-импровизация. Так ли часто мы его проводим? Такой урок рождается тут же, в классе, правда, для ребят он отличается от всех обычных лишь особой приподнятостью настроения учителя, его воодушевлением и некоторым азартом, когда каскад его вопросов высекает каскад неожиданных, нешаблонных ответов школьников. И только учителю ясно, что открытие ученика подготовлено в великой тайне от него — последовательностью всей предыдущей работы на уроке. Это как фокус в цирке, только учитель совершает его через ученика. А какая огромная сверхзадача такого урока: крепнет уверенность ребенка в своих силах, творческих способностях, растет авторитет его в глазах товарищей, создается атмосфера радости.
      Мне кажется, импровизация возможна тогда, когда учитель, изучив методическую, психологическую, педагогическую литературу, уже сформировал свою систему преподавания. Тогда получается урок. Именно урок, на котором ребята приобретут не только какие-то специальные знания, но и будет проведена огромная работа по раскрытию их способностей.
      Кроме того, порой именно на таких занятиях и рождаются приемы обучения, до которых иногда учителю так трудно додуматься при домашней подготовке. Сама атмосфера класса, школы стимулирует творческий поиск и у учителя. После этого дня стал проводить такие уроки и заметил, что получаются они, если в основу их я брал принцип, о котором писал известный психолог Л. С. Выготский. Он считал, что обучение должно подталкивать, вести за собой развитие ученика, несколько опережать его и прокладывать ему дорогу. Задание, которое рассматривали на уроке четвероклассники, может быть, не совсем соответствовало уровню развития умственных способностей всех детей класса, но лежало в зоне их ближайшего развития, т. е. оно было дано как бы на вырост, цель его состояла в том, чтобы пробудить в ребенке новые творческие силы, о которых он ранее не подозревал.
      Но не хочу, чтобы сложилось впечатление, что неудачи преследовали меня только в самом начале педагогической деятельности. Они постоянные спутники любой творческой работы. Так однажды за четвертную контрольную работу по алгебре в шестом классе пришлось поставить 20 двоек. Конечно, это меня огорчило. Надо было понять причину и найти выход из сложившегося положения. Дело осложнялось еще тем, что шла последняя неделя четверти и классный руководитель торопил с выставлением четвертных отметок, а тут сразу столько двоек.
      Поражал контраст: работы были выполнены либо блестяще, либо плохо. Троечные составляли незначительную часть. Обо всем этом я думал при составлении плана следующего урока — урока разбора контрольной работы, который всегда проводить довольно сложно. Основная его трудность — управлять вниманием класса. Обычно те, кто справился с работой, скучают при показе правильных решений и анализе ошибок, остальные же, для которых, казалось бы, и идет разбор, не слушают. Им, как всегда, не сосредоточиться на объяснении учителя. Может быть, в этом и состоит основная причина их незнания. Многократное же повторение решений типичных задач, которое лежит в основе такого урока, редко приводит к пониманию сути и совсем не гарантирует формирования нужного умения.
      И все-таки проще привлечь внимание тех, кто хорошо справился с работой. С ними можно рассмотреть более общие случаи задач или, наоборот, изучить различные частные ситуации. К тому же если подать все это легко, с улыбкой, по-доброму посмеяться вместе с ребятами над досадной, порой и неизвестно откуда взявшейся ошибкой, то этот урок для них не пройдет даром.
      Со слабыми же дело обстоит значительно сложнее. Известно, что у них гораздо хуже развит познавательный интерес, их мысль как бы скользит по поверхности изучаемого материала, не затрагивая ни глубины содержания его, ни логической структуры. А допущенные ошибки носят устойчивый характер, и не так-то легко научить их выполнить то или иное действие правильно. Порой они учителя просто не слышат.
      Я неоднократно проводил следующий эксперимент: предлагал ученику еще раз решить тот же пример, который был им сделан неверно. Причем назависимо от того, сколько времени прошло после контрольной, час или сутки, ошибка с уверенностью повторялась. Это действие они выполняют как бы автоматически, не задумываясь. Поэтому тщетны наши призывы: «Ребята, проверяйте свое решение. Подумайте, верно ли вы решили задачу». Они нас не слышат, а если слышат, то не умеют сделать то, что мы от них требуем.
      Помогают ученикам задуматься над правильностью своих действий примеры, выходящие из привычного круговорота классных и домашних заданий. Помню, с каким азартом рвались к доске ученики девятого класса на уроке стереометрии, когда разбиралась известная задача: «Почему колбасу режут наискосок?» На урок ворвалась жизнь.
      Над своим следующим уроком думал долго. Надо было сработать наверняка, чтобы обеспечить положительный результат. В знаниях ребят я не сомневался, но пока непонятно было, что же помешало им их реализовать, какая помощь им требовалась от меня.
      Вопросы, вопросы, вопросы! А как бы ты, читатель, поступил на моем месте? Какой способ построения урока выбрал?
      Выбрал? Можно подумать, что у учителя имеется целая библиотека готовых конструкций урока и ему достаточно облюбовать одну из них. Действительность несколько иная: каждый раз все надо придумать самому. Для постороннего глаза то, что происходит в кабинете математики сегодня, внешне ничем не отличается от того, что было вчера: дети, как всегда, решают примеры. Но в подборе этих примеров во многом и кроется тот новый элемент урока, который появился в результате длительных раздумий учителя.
      Вспомнил, как я однажды построил урок разбора контрольной работы. На доске был написан один вариант. Класс анализировал каждый пример, выяснял, как он составлен, и затем сочинял аналогичный по конструкции. Его записывали в тетрадь и решали с подробными комментариями. Работа для всех была интересна: новая по содержанию, но знакомая по сути. При этом не только отрабатывался алгоритм решения, но был создан простор для фантазии, попутно развивались внимание, наблюдательность, да к тому же ребята учились справляться с неудачами, и это важно.
      Но сейчас такая форма урока не подходила: требовалось
      не только получить положительный результат от подавляющего большинства ребят, но оценить его.
      Я знал, что в классе есть несколько учеников, у которых внимание крайне неустойчиво, и что без моей помощи им не выполнить задание, аналогичное контрольной работе. Поэтому сделал так: разделил большой пример, в котором требовалось выполнить действия с алгебраическими дробями, на этапы и предложил ребятам вместо него решить тринадцать примеров, каждый из которых требовал выполнения только одной новой операции. Четырнадцатым шел пример, аналогичный первому из контрольной работы.
      Для того чтобы психологически настроить учеников на этот урок, всем, не справившимся с работой, было дано задание дома самостоятельно выбрать в учебнике десять примеров и решить. Правильность его выполнения проверяли ребята из этого же класса до урока.
      Итак, вместо разбора контрольной школьники стали писать еще одну работу, но под полным моим контролем. Первые примеры не вызвали трудностей почти ни у кого, решения появились в тетрадях очень быстро. Такое удачное начало должно было задать победный настрой.
      Правильно выполненные задания я отмечал, при этом не скупился на похвалу: «Вот здорово! Как прекрасно вы сегодня работаете! Какой темп! И главное, все верно! Молодцы!» И тут же исправлял и объяснял ошибки. Это необходимо было сделать, так как последующий пример содержал в себе предыдущий.
      Сильная часть класса работала самостоятельно, почти без моего вмешательства, задание они получили соответствующее их подготовке. К концу урока большинство ребят решило не менее тринадцати примеров, а многие все четырнадцать. Занятие прошло с пользой не только для учеников, но и для меня. Я имел возможность выяснить, на каком этапе они допускали ошибки. Была проведена как бы диагностика ошибок.
      Итак, критическая ситуация ликвидирована. Выставлены четвертные отметки. А причины такой неудачи?
      Почему так плохо справился этот класс с работой, хотя необходимые знания у них были? Причина — неумение владеть своим вниманием. Отсюда досада, порой до слез: «Ведь я же все это знаю и понимаю, почему же я не решил?»
      Учитель должен быть хорошим стратегом и вовремя создавать для интеллекта детей посильные трудности. В этом, наверное, и заключается наша работа: не ликвидировать все преграды на пути ребят к вершине знания, а планомерно создавать их, это позволит детям не только осознанно владеть школьной программой, но и продвинуться по пути формирования своей личности.
      Но как трудно порой объективно оценить результаты своей работы. Однажды я давал открытый урок для студентов в том же шестом классе. Урок провел с подъемом, на учеников радостно
      было смотреть. Казалось, предусмотрел все: начал с припоминания определения изученного ранее понятия. Оно совпадало по своей конструкции с тем, которое надо было изучить сегодня. Перечислил на доске все характерные свойства его, а рядом написал свойства нового для них понятия. Затем выделили из них общие, отметили различия. Вся остальная часть урока была отведена решению задач, причем тут были и самые простые, и задачи в несколько логических ходов. Со смысловой основой определения работали долго. Уроком остались довольны и я, и студенты. Особенно было приятно, что удалось трудную тему изложить интересно. У меня сложилось впечатление, что новое определение дети не только поняли, но и запомнили. Правда, о последнем моменте я тогда не задумался: над пониманием на уроке действительно была проделана большая работа, но над запоминанием ее не было. Наверно, я подразумевал, что память сработает сама и никаких усилий с моей стороны не нужно. Вот тут-то я и допустил солидный промах, который мне стал ясен только на следующем занятии.
      Оно началось с опроса. В классе опять сидели студенты. Начал спрашивать у ребят определение, которое мы изучали на прошлом уроке. Вызывал самых слабых, хотел по ним проверить степень усвоения рассматриваемого материала. И ... полный провал — определения не знал ни первый, ни второй ... ни десятый ученик. Все мои домашние заготовки, все планы рухнули: они были рассчитаны на то, что основные моменты прошлого урока ученики усвоили.
      В голове мелькнула мысль: «Что делать?» Надо было срочно перестраиваться, импровизировать. Еще хорошо, что быстро удалось понять причину. Конечно, ребята были не виноваты: определение чрезвычайно сложное и повторить его, если не знать некоторые приемы припоминания, было трудно. Я стал рассказывать то, что знал о свойствах памяти. Моя «лекция» длилась минут 7—10. Особенно остановился на ассоциативной памяти и постарался привязать каждое свойство нового понятия к ясному для них, но порой неожиданному образу (от веера до апельсина) .
      Потом показал, как можно было запомнить определение с опорой на смысловую память. Ребятам эти приемы понравились, онн вообще любят учиться не специальным знаниям, о практическом применении которых им не всегда известно, а тому, что раскрывает их способности, обогащает личность.
      В заключение все так неудачно опрошенные в начале урока ученики четко отвечали определение, если же была заминка, сразу кто-нибудь напоминал условленный образ и свойства припоминалось. Итак, еще одна неудача, которая опять убедила меня, что на уроке нет мелочей, что надо уметь все предусмотреть.
      Но выиграть стратегически и тактически каждый урок удается не всегда, а так хочется этому научиться, чтобы удач в нашей работе было больше, чем неудач, хотя и они порой нужны ' для того, чтобы критически оценивать то, что ты ежедневно делаешь в школе.
     
      КАК МОЖНО НАЧАТЬ УРОК
     
      Необходимым условием успешного формирования тех или иных умений является стремление самого ученика к познанию. Вот почему от учителя требуется создать у школьника положительную мотивацию к выполнению умственных и практических действий. Казалось бы, все ясно, но как развить у школьника желание самостоятельно выполнять каждое упражнение на уроке или дома, как сформировать стремление к познанию, умение управлять собственной познавательной деятельностью?
      Решение этих и подобных вопросов во многом зависит от умения учителя овладеть вниманием учеников. Как правило, удачно выбранный вид деятельности учащихся вначале урока настраивает их на плодотворную работу на протяжении всех 45 минут. Вот почему особое внимание уделяю организации начала урока.
      Итак, начало урока. На этом этапе использую преимущественно те приемы активизации, которые обеспечивают подведение учащихся к осознанию необходимости усвоения нового материала или выполнения определенного задания. И чем ненавязчивей действовать, тем большего результата можно достичь в решении этой задачи. Правда иногда бывают уроки, на которых такого этапа будто бы нет. Учитель сразу сообщает тему, и класс мгновенно откликается на все его предложения, все трудятся с интересом, с желанием. На самом же деле за этим стоит большая, кропотливая работа преподавателя, которая проведена ранее. Ребята уже овладели умением организовывать свою познавательную деятельность: быстро включиться в урок, проявить волю и сосредоточиться на предложенном им учебном материале, поддерживать заданный темп. Наверняка им хорошо известны и требования учителя, и его система преподавания, т. е.,попросту говоря, они знают, когда и что ему от них нужно. Детям это крайне важно для планирования своего времени и организации работы. Им просто необходимо четко представлять, какой вид деятельности их ждет на уроке: контрольная работа, самостоятельная работа, опрос по домашнему заданию, опрос по теории (прошлого урока или десяти последних уроков), решение задач на оценку, разбор творческих задач, лекция, объяснение нового материала и т. д.
      Планируя способ включения учеников в урок, думаю о создании мотивационной основы их работы. Известно же, что именно творческие, причем посильные, задания наиболее цепко держат внимание ребят. При этом опора на интерес и радость, которую получат дети от сделанных на уроке открытий и, главное, открытий своих возможностей, способностей, поможет создать мотивационную основу для истоков творческой, созидательной деятельности. Помогает в поиске построения начала урока осознание того, что сложность, доступная для ребят, и новизна — основные причины интереса.
      При определении сложности задачи часто руководствуюсь словами известного педагога Шацкого, он пишет, что учение без препятствий, без трудностей вызывало бы мало интереса у школьников, ослабило бы переживания положительных эмоций, лишило бы чувства радости от преодоления трудностей.
      Новизна в первую очередь связана с содержанием информации и способами ее подачи. Особенно необходимо это учитывать в IV—V классах, так как в этом возрасте школьники все еще выясняют, кто их них самый-самый. Поэтому в этих классах в начале урока, как правило, даю различные примеры на проявление наблюдательности, внимания, выдумки, фантазии. Такие упражнения для них превращаются в проверку умственных возможностей и носят характер соревнования.
      В VI классе начинается изучение нового предмета — геометрии. И первые полгода ребята даже без специальных усилий со стороны учителя работают с большим интересом: много нового материала, связанного с жизнью, практикой. Программа по геометрии в VII классе также насыщена новым материалом, поэтому и здесь от учителя требуется преимущественно поиск приемов обучения. Как часто дети перед началом урока спрашивают учителя: «Что у нас будет сегодня на уроке?» При этом их больше интересует не тема, а тот вид деятельности, который придумал для них учитель.
      Известно, что на практических, лабораторных работах внимание, интерес гарантированы. Нет проблем в организации мотивационного момента и на уроках повторения, когда ребята работают парами или небольшими группами, и на уроках устной контрольной работы, и на уроках-«бенефисах», когда два ученика рассказывают решение творческой задачи, предложенной только им для домашнего анализа. На всех этих занятиях новизна связана с необычной формой подачи информации. Вообще выбор формы изложения нового материала находится целиком во власти учителя, зависит от его знаний, умений, мастерства, от его вкуса. При этом нельзя не учитывать, что ребята быстро привыкают к одному методу преподавания и устают от однообразия организации их деятельности на уроке, а новое начало позволит избежать этого, даже если вся остальная часть урока построена традиционно.
      Перечислю лишь некоторые способы организации начала урока, используемые мною.
      1. Предлагается задача, которая решается только с опорой на жизненный опыт ребят, на их смекалку.
      2. Дается задача на тренировку памяти, наблюдательности, на поиск закономерностей по материалу, хорошо усвоенному школьниками.
      3. На доске записаны уравнения и ответы к ним, среди которых есть как верные, так и неверные. Предлагается проверить их.
      4. На доске записано решение какого-либо примера или задачи с традиционными, наиболее часто встречающимися ошибками. Предлагается осуществить проверку каждого логического хода решения. Учитель стремится получить наиболее полное обоснование их критических замечаний.
      5. Дается обычная традиционная задача с традиционным решением. Предлагается найти более короткое, рациональное решение.
      6. На доске дан чертеж к сложной задаче и методом «мозгового штурма» осуществляется поиск ее решения.
      7. На столе у каждого ученика лежит чистый лист бумаги. Объяснив тему урока, учитель сообщает, что в конце урока по некоторым рассмотренным на уроке вопросам будет проведена проверочная работа на 15 минут.
      8. Урок начинается с чтения по фразам заданного для самостоятельного изучения параграфа и коллективного обсуждения его смысла. Ученики ответами на вопросы учителя доказывают глубину изучения темы. Если класс оказывается в затруднительном положении, то отвечают консультанты по этой теме. (Консультантов, как правило двух учеников, учитель назначает на предыдущем уроке.)
      9. На доске записаны вопросы, ответы на которые помогут осмыслить ключевые моменты доказательства наиболее трудной для учащихся теоремы и лучше его запомнить. Ученикам, сидящим за одной партой, предлагается на отдельном листочке сделать чертеж к теореме и разобрать ее доказательство, последовательно отвечая на каждый вопрос учителя.
      10. Ребята изображают некоторую геометрическую фигуру и проводят небольшую исследовательскую работу по определенному плану.
      11. Обсуждаются различные способы решения задачи, заданной на предыдущем уроке. Как правило, это задача, решение которой требует исследовательской работы. Однако она должна быть необычной, интересной, но доступной для всех учащихся.
      12. Если же на дом было задано сочинить сказку или составить математический кроссворд, то естественно начинать урок с представления наиболее удачных работ.
      13. Рассматривается некоторая математическая проблема, которая еще не обсуждалась в классе. Ученики намечают план поиска ее решения.
      14. На доске выполнены чертежи к домашним задачам (обычно перед уроком геометрии). По готовым чертежам обсуждаются их решения.
      15. Урок начинают «солисты». Так называют учеников, которым предстоит «защищать» решения домашних задач. Решение оформляется на доске до урока. При назначении «солистов» учитывается сложность задач. Иногда по одной задаче «солирует» несколько ребят. Класс же следит за грамотностью изложения решения домашних задач, думает над различными способами, выбирает наилучший.
      А теперь рассмотрим некоторые примеры организации работы учащихся в начале урока.
      V класс. На уроке обобщается изученный геометрический материал.
      На столе у ребят прямоугольный равнобедренный угольник и прямоугольный угольник с углом 30°.
      Дается задание:
      1. Молча подтвердить мысль:
      1) Существует треугольник, в котором есть прямой угол. (Ученики поднимают один из угольников, лежащих у них на парте.)
      2) Существует треугольник, в котором две стороны перпендикулярны. (Ученики поднимают один из угольников и пальцем показывают эти стороны.)
      2. Молча опровергнуть утверждение:
      1) Не найдется треугольника, в котором есть острый угол. (Ученики поднимают угольник с углом 30°, но держат его за острый угол.)
      2) Не найдется треугольника, в котором сумма двух углов равна третьему. (Ученики поднимают один из двух угольников.)
      Итог. Новизна здесь в подаче материала. Учащиеся без слов должны суметь аргументировать свою позицию, приведя примеры и контрпримеры, что, казалось бы, совсем не отвечает так часто звучащим на уроке требованиям учителя: «На мой вопрос отвечайте громко, четко, чтобы все слышали». Кроме того, такая организация работы позволяет сразу проверить ответ каждого ученика.
      V класс. Предлагается задание: «Начертите в тетради квадрат, сторона которого 3 клетки». Образец дается на доске. Затем показывается квадрат:
      Учащиеся должны обнаружить закономерность его составления и запомнить все числа (на это дается одна минута), а затем по команде записать их в своем квадрате2.
      Обнаружены такие интересные закономерности составления таблицы:
      1) по углам квадрата стоят последовательно числа, кратные 9, начиная с нуля, а между ними их среднее арифметическое;
      1 С ними учащиеся уже хорошо знакомы: они сравнивали стороны, измеряли углы, находили сумму углов, сравнивали сумму острых углов с прямым.
      2 Предполагается, что все действия с обыкновенными дробями уже изучены.
      (...)
     
      КОНСТРУКЦИЯ УРОКА И УМСТВЕННОЕ РАЗВИТИЕ ШКОЛЬНИКОВ
     
      Конечно же,не все запрограммировано в плане урока, с которым учитель во шел в класс. Все творческие находки ребят определяются логикой построения их работы. Ей же подчиняется сама атмосфера на уроке. При обсуждении открытого урока учителя математики обычно говорят: «Хорошие задачи вы решали». Да нет, не в этом дело. Конечно, важно продумать, какие задачи будут решаться на данном уроке. Известно, что каждое упражнение, а тем более задача приносят эффект, если требуют активного размышления, поисков рациональных решений, проверки результатов путем сопоставления с данными условия. Но не менее важно расположить их в определенной последовательности, продумать способ подачи, приемы, которыми стимулируется желание ребят их решать.
      Многие уроки, как правило, учителя начинают с устной работы. Но далеко не всегда эта работа становится действительно началом основной деятельности на данном уроке. Если это есть изучение нового материала, то целью устной работы является не только восстановление в памяти нужных вопросов теории, но и направление мысли ребят на познание нового.
      Вопросы учителя, отраженные s плане урока, тогда эффективны, когда, с одной стороны, организуют деятельность ребят, направляя ее на получение очерченных программой знаний, умений, навыков, с другой стороны, не сковывают их мысль, инициативу, творчество.
      Рассмотрим шесть различных по конструкции уроков по теме «Функция у = ах2 и ее график» и поговорим о их достоинствах и недостатках.
      Составляя планы уроков, исходил из особенностей каждого конкретного класса, уходил от шаблона, чтобы наиболее эффективно организовать интеллектуальную работу учащихся. Приведу лишь основные этапы урока:
      (...)
      Вариант 3. На начальном этапе урока запланировано включить ребят в простую, доступную всем созерцательную деятельность — им предлагается рассмотреть несколько рисунков, а разглядывать картинки любят все. И так как эта работа носит коллективный характер, то совсем нестрашно ошибиться при ответе на вопрос учителя. Первое задание дает возможность проявить свою наблюдательность сильным и средним ученикам и успокаивает слабых, как бы говоря им: «Не бойся, сегодня ты наверняка все поймешь, все просто, только постарайся вглядеться в рисунки, это ты умеешь делать».
      На втором этапе работа более серьезная, почетная, но и это задание не упускает ни одного ученика класса. Ведь даже тот, кто не «позволил» себе с ним справиться, после разбора увидит, что вполне мог его сделать самостоятельно. Урок по форме легко обозрим. Постоянно требуется от детей лишь вглядеться в то, что изображено либо на доске, либо в тетрадях, но именно эта работа незаметно для ребят позволяет им получить необходимые знания. Этот вариант планирует активную самостоятельную исследовательскую деятельность ребят на уроке. Для учителя приготовлена роль дирижера.
      Вариант 4. Первое задание ставит своей задачей показать практическую необходимость изучения новой темы и умения строить график функции у —ах2. Ученики сталкиваются с определенной проблемой и ищут путь ее решения. Сформулированные вопросы домашнего задания организуют самостоятельную работу учащихся с текстом учебника; дают возможность учителю проверить осознанность действий школьника.
      Вариант 5. В уроке используются игровые элементы. Ребята учатся самостоятельно исследовать некоторую ситуацию, слушать товарищей, анализировать их точку зрения на решение
      аналогичной проблемы, сравнивать полученные результаты. Формируется умение работать в коллективе.
      Вариант 6. Этот вариант планирует, как и вариант 3, начать урок с анализа. Но если в варианте 3 удачно справиться с этой мыслительной операцией помогают рисунки, то здесь анализируется равенство, рассматривается каждая его часть. Такая работа, конечно, сложна для некоторой части класса, но приучать к ней просто необходимо. Система вопросов учителя позволяет глазу ученика остановиться и пристально посмотреть то на выражение, стоящее справа от знака равенства, то слева. График функции у = ах2 как бы постепенно мысленно рисуется каждым учеником и постоянно корректируется после ответа на новый вопрос учителя.
      Второй этап урока предлагает сравнить и в то же время уточнить вид кривой у = х2 с образцами, предложенными на доске. Из десяти графиков подбирается наиболее подходящий на роль графика функции у=х2. Но эта работа выполняется не хаотично, а по четкому плану. Перечислены шесть обязательных требований к графику квадратичной функции. Именно они дают возможность выполнить так часто встречаемое в процессе изучения курса математики действие подведения под понятие. Значение его огромно, так как без правильного выполнения этой операции просто невозможно применять на практике ни одно заученное определение. Здесь же эту операцию ученики повторят десять раз. Кроме того, запланировано обучение умению делать прикидки, по некоторым параметрам из большого набора объектов выбирать достойные изучения.
      Домашнее задание как бы планирует радость открытия, которое может сделать ученик дома (вместо четырех графиков на самом деле надо построить всего один).
      Итак, закончен обзор всех шести планов одного урока. Некоторые из них кому-нибудь из коллег могут показаться слишком трудными и даже невозможными для проведения в школе. Но надо заметить, что они проводились в классах, которые учитель вел к этому моменту уже третий год. О той подготовительной работе, которая была проведена за эти годы, читатель узнает, если прочтет эту книгу.
     
      УРОК АЛГЕБРЫ В «СИЛЬНОМ» И «СЛАБОМ» КЛАССАХ
     
      Открытый урок в «сильном» классе обычно впечатляет умными ответами ребят, кажущейся легкостью работы учителя, интересным диалогом учителя и учеников, да и самих детей. Интерес к работе в «слабом» классе даже у профессионалов снижается: дети не сразу выдают нужный ответ, не с такой легкостью делают необходимые вычисления, от непрочности знаний появляется неуверенность в себе и поэтому говорят они тихо, как бы желая,
      чтобы их ответ услышал лишь преподаватель, но не гости.
      И так как движущей силой учебного процесса является противоречие между выдвигаемыми ходом обучения познавательными и практическими задачами и уровнем знаний, умений и умственного развития школьника, то уроки для каждого из этих классов, даже по одной теме, строятся по-разному. А успех их проведения в немалой степени зависит и от того, насколько точно удалось определить уровень сложности задач, которые позволили бы наиболее эффективно организовать процесс обучения.
      Искусство учителя и заключается в том, чтобы, вооружая знаниями учащихся, последовательно подводить их ко все более усложняющимся задачам и готовить к выполнению этих задач с таким расчетом, чтобы выполнение каждой новой задачи требовало от учащихся ровно столько самостоятельного труда и напряжения мысли, сколько могут проявить они при учете их возрастных и индивидуальных различий в данных условиях обучения.
      «Сильный» класс требует меньше работы по усвоению алгоритмов решения, причем учащиеся значительно быстрее и часто самостоятельно обобщают показанные им приемы сразу на целый класс задач и с интересом применяют их в нешаблонных ситуациях. Конечно, и здесь должна быть проведена серьезная работа по осознанию каждого этапа алгоритма, но она проводится не на однотипных задачах. Цель учителя — удовлетворить их глубокий интерес к познанию предмета.
      «Слабый» класс требует от учителя большей методической изощренности: умения придумать доступную форму подачи даже алгоритма, продумать работу по его запоминанию, обеспечить ребенку деятельность по формированию определенного умения. Тогда в серьезную интеллектуальную работу, свойственную сильному классу, включаются и ученики «слабого» класса.
      Рассмотрим два урока алгебры в VII классе и прокомментируем их.
      УРОК В «СИЛЬНОМ» КЛАССЕ
      Тема: Корень из произведения и частного.
      I. Мотивационный момент. Цель — настроить ребят на мыслительную деятельность, сосредоточить их внимание на усвоение не только действий с корнями, но и «приемов человеческой мысли». Какие слова говорить в этот момент, не важно, главное, чтобы они примагничивали глаза детей к учителю, чтобы ребята поверили, что на уроке они действительно будут учиться практически применять приемы человеческой мысли.
      (...)
      УРОК В «СЛАБОМ» КЛАССЕ
      Тема: Умножение квадратных корней.
      (...)
      Итак, прокомментируем эти уроки.
      Первое задание урока в «сильном» классе (сократить дробь) сразу включило учащихся в работу, знакомую по сути. Справиться же с теми моментами, которые еще не изучались и явились темой обсуждения, должны были помочь интуиция и понимание определения корня. Но этот пример позволял вплотную подойти к новой теме, выделить круг вопросов, которые надо решить в первую очередь. IV этап урока продуман с точки зрения организации деятельности учеников: намечен план, предложено осуществить его самостоятельно, предоставлена возможность сравнить доказательство с образцом и сформулировать его словами.
      На V этапе продолжалась работа по достижению глубины понимания доказанного факта, его формулировки. Для этого правило формулировалось с умышленным пропуском слов о неотрицательности множителей произведения, стоящего под знаком корня. Для его опровержения необходимо было привести пример. Обобщение, сделанное учащимися, учитывает и тот случай, когда ab^0, но а^О, bs^.0.
      Ha VI этапе делается еще одно обобщение, затем уточняются условия его выполнения и дается доказательство (этап VII).
      Этот этап, как впрочем и некоторые предыдущие, открывает простор догадке ребят, предлагает им участвовать в работе по поиску свойств квадратных корней и доказательству их. Причем постоянно возвращаются они к результатам, добытым ранее. Так появляется более простой способ доказательства равенства:
      (...)
      I и II этапы урока в «слабом» классе позволяют осознать тему и, кроме того, дают возможность ребятам испытать радость успеха от разгадки вопросов учителя. Тут же появляется то равенство, которое будет исследоваться на уроке. Ряд примеров помогает понять его смысл еще до доказательства. Затем четко формулируется алгоритм умножения корней и тут же показывается его применение на примерах.
      Пример, предложенный на VI этапе, показывает применение рассмотренного теоретического вопроса к новой ситуации, кроме того, он наталкивает на обобщение.
      На VII этапе формулируются два приема, которыми выполняется эта мыслительная операция и тут же при помощи их делаются обобщения.
      На VIII этапе таким же способом проходит знакомство учеников с приемами выполнения конкретизации. Остальная часть урока отводится решению конкретных уравнений по данной теме. При этом не только отрабатывается алгоритм умножения корней в элементарных ситуациях, но и умение следить за областью определения левой и правой частей.
      Последний этап урока учит ребят видеть сразу общий метод решения целого цикла примеров и подготавливает их к выполнению задания.
      Итак, на каждом уроке сверхзадачей являлось обучение выполнению приемов обобщения и конкретизации. Но в «слабом» классе эта работа была более конкретной. Четко выделены приемы выполнения каждой мыслительной операции й показана эта работа на ряде примеров. На первом же уроке были созданы условия для того, чтобы ученик догадался, какое обобщение надо сделать. До способа выполнения его, как и до самого обобщения, он должен был догадаться сам. Учить догадываться — это еще одна из сверхзадач первого урока. На втором уроке класс в большей мере был подготовлен к выполнению домашнего задания, так как примеры учебника не только разобраны, но и дан общий прием решения каждого номера. Такую же работу «сильный» класс должен будет выполнить самостоятельно.
     
      УРОК, КОТОРЫЙ НЕ ПОЛУЧИЛСЯ
     
      Это был урок геометрии в VII классе по теме «Перпендикуляр и наклонная». Тема простая, все теоремы, которые надо здесь изучить, очевидны. Действительно, кто не видит, что перпендикуляр, проведенный из некоторой точки к прямой, короче наклонной, проведенной к этой же прямой из той же точки. Также не вызывает сомнения и тот факт, что из двух наклонных та больше, у которой проекция больше, если наклонные проведены из одной точки к одной прямой. Очевидность утверждений создавала определенную трудность. Ребята в таких случаях обычно говорят: «Ну, это ерунда, ясно и так» — и перестают слушать. Необходимо было найти тот логический стержень урока, который подводил бы ребят к решению некоторой серьезной проблемы. Выбор был остановлен на понятии расстояния от точки до фигуры, причем как дополнительная трудность рассматривался вопрос об определении расстояния от точки, лежащей вне плоскости фигуры, это явилось обобщением изученного. Рассмотрение понятия «расстояние от точки до фигуры» давало, на мой взгляд, прекрасную возможность убедить ребят в необходимости изучения свойств наклонных и их проекций. Это подтверждает и дидактика, считающая, что умственное напряжение, преодоление затруднений развивают мышление учеников, повышают интерес к учению, создают у учащихся положительный эмоциональный настрой.
      Опишу этот урок.
      I. На доске дан рисунок (рис. 5). Требуется изобразить отрезок, соединяющий точку Р с некоторой точкой линии, ограничивающей болото, длину которого разумно было бы назвать расстоянием от точки Р до болота. (Отрезок самый короткий из всех отрезков.)
      II. Затем предлагается рассмотреть следующую ситуацию: имеется озеро, ограниченное окружностью (рис. 6).
      Вопрос: Что можно назвать расстоянием от некоторой точки А до озера^ (Необходимо проследить, чтобы новое определение не противоречило определению расстояния от точки до болота, сформулированному в первой части урока.)
      III. Формулируется определение расстояния от точки плоскости до некоторой фигуры, лежащей в этой плоскости.
      IV. Предлагается изобразить отрезок, длину которого назвали расстоянием от точки до фигуры, если фигура — прямая линия
      V. Возникает необходимость доказать, что перпендикуляр из точки Р до прямой — самый короткий отрезок, соединяющий эту точку с точками прямой. Выполняется чертеж (рис. 8).
      Итак, требуется сравнить два отрезка РВ и РА (для доказательства применили теорему Пифагора).
      VI. Вводится определение наклонной.
      VII. Сравниваются два объекта по общему их свойству — длине. Формулируется утверждение о сравнительной длине перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки (рис. 7).
      VIII. Вводится понятие проекции, сравниваются наклонная и проекция.
      IX. Выясняется истинность следующих утверждений:
      1. Перпендикуляр, проведенный к прямой, всегда меньше наклонной, проведенной к этой же прямой.
      2. Если из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр всегда меньше наклонной.
      3. Наклонная всегда длиннее перпендикуляра, проведенного из одной точки к некоторой прямой.
      4. Из любой точки можно провести перпендикуляр, который будет длиннее наклонной, проведенной из этой же точки.
      X. Предлагается на угольнике показать:
      а) перпендикуляр и прямую, к которой он проведен;
      б) наклонную и прямую, к которой она проведена;
      в) проекцию наклонной.
      XI. Выясняется, можно ли утверждать, что катет — это наклонная к гипотенузе.
      XII. Проводится осмысление изучаемых понятий на модели:
      а) Отметьте карандашом примерно точку, в которой спрое-цируется вершина прямого угла на гипотенузу.
      б) Покажите отрезки гипотенузы, которые являются проекциями катетов на нее. Сравните их.
      в) Сформулируйте утверждение, отражающее результаты этого эксперимента.
      XIII. Записывается в тетрадь доказательство теоремы о сравнении длин проекций равных наклонных.
      XIV. Формулируется ответ на вопрос: что является расстоянием от точки до прямой?
      XV. Дается изображение куба (рис. 9). Ребро куба равно 10 см. Чему равно расстояние:
      а) от точки В1 до плоскости а,
      б) от точки А1 до плоскости а;
      в) от точки N до плоскости а?
      XVI. Формулируется (по аналогии) определение расстояния от точки, лежащей вне плоскости, до этой плоскости.
      XVII. Решается задача: «Дана пирамида (рис. 10). Как найти расстояние: а) от точки С до прямой АВ1 б) от точки Р до прямой ЛВ?»
      Итак, план урока перед нами. Посмотрим, в какую деятельность планируется включить учеников, и затем, может быть, станет ясно, почему же этот урок не получился.
      На первом этапе привлекается жизненный опыт ребят и в результате возникает чисто интуитивное понятие расстояния от точки плоскости до фигуры этой плоскости. На втором этапе это понятие осознается еще на одном факте, взятом из практики. И наконец, на третьем этапе формулируется само определение расстояния от точки до фигуры.
      Следующий этап заставляет перейти от только что сделанного обобщения к конкретной ситуации, и появляется понятие расстояния от точки до прямой. Сначала опять делается расчет на догадку ребят, поэтому и предлагается им провести перпендикуляр от точки Р до прямой и задуматься о том, как доказать, что он самый короткий из всех отрезков, соединяющих точку Р с точками прямой. Естественно возникает необходимость в доказательстве теоремы о сравнении длины перпендикуляра и наклонной. Теперь ребятам понятно, зачем ее надо доказывать.
      Логика урока им ясна, и поэтому изучение новой темы начинается как бы само собой.
      На IX этапе идет работа по формированию глубины понимания теоремы о перпендикуляре и наклонной. Ребята учатся строго относиться к каждому слову теоремы, еще раз вникают в смысл доказанного утверждения.
      Отработка понятий «наклонная» и «ее проекция» идет и на X— XI этапах урока, причем для этой цели используется модель — обычный чертежный угольник.
      Надо отметить, что в тетради доказательства разобранных теорем (о сравнении длины перпендикуляра и наклонной, наклонных и их проекций) записаны не были. Они разбирались устно, но все этапы доказательства учитель записывал на доске. И только на XII этапе урока было предложено самостоятельно доказать и записать в тетрадь теорему о проекциях и равных наклонных. При рассмотрении такого построения занятия естественно возникает сомнение, все ли дети впоследствии будут в состоянии доказать изученные на уроке теоремы. Этот вопрос волновал и учителя. Поэтому на следующий день после проведенного занятия на уроке алгебры была дана контрольная, в которой требовалось доказать все три теоремы. Ученики не успели еще выучить ее дома. Да к тому же не были психологически готовы к опросу по геометрии Но несмотря на это, с работой справились успешно. Так, специальные умения, отработка которых требуется программой, были сформированы в результате деятельности, направленной на изучение сути рассматриваемых понятий, а не путем натаскивания с помощью многократного повторения. Понятия «наклонная», «проекция», «перпендикуляр», «расстояние» изучались в их взаимосвязи. В финале этого процесса был осуществлен очередной выход в пространство: обобщено понятие «расстояние от точки до фигуры» на случай, когда точка не лежит в плоскости фигуры, и показано применение этого определения при решении пространственной задачи.
      Казалось бы, успех такого урока гарантирован, тем более что и все нужные по программе теоремы дети сумели доказать уже на следующий день. Такой план урока дал возможность создать условия для творчества ребят, их фантазии, догадки. Урок был насыщен математикой, а именно из-за недостатка самой математики урока математики часто не получается.
      Новый материал логично следовал из рассмотрения практических задач. Решена хорошая пространственная задача, которую раньше решали в школе лишь на уроках в IX классе.
      И все же чего-то для ребят на хватало. Когда урок был окончен, директор школы случайно услышала разговор двух учеников:
      — Ну как тебе урок? — спросил один.
      — Хорошо было, но прошлый раз мне больше понравилось,— сказал другой.
      По глазам ребят, по их лицам на занятии было понятно и учителю, что чего-то не хватало, для того чтобы настроение детей было праздничное. А таким оно бывает после преодоления какой-то трудности, от радостного ощущения, что ты смог с ней справиться. Здесь же все виды деятельности, которые были запланированы для ребят, знакомы им по предыдущим урокам, и даже выход в пространство они тоже осуществляли неоднократно. Урок не удивлял ни конструкцией, ни содержанием. В нем не было для них чуда. Урок не содержал интриги, способной заворожить. Таким чудом, но до этого удалось додуматься лишь только после того, как урок прошел, на следующий день, на занятии математического кружка, мог бы стать софизм: катет равен гипотенузе.
      Ошибка в том, что на самом деле точка F расположена вне отрезка BA. Е — на отрезке ВС.
      Это наверняка их удивило бы и в конце урока сработало бы на поддержание активного внимания. Действительно, только что доказали, что наклонная больше перпендикуляра (если они проведены из одной точки к одной прямой), и вдруг этот софизм. Возникшее противоречие явилось бы той пружиной, которая сработала бы на более полное, более глубокое осознание материала. Ребятам было бы где проявить свою смекалку, посостязаться друг с другом в поиске логической ошибки. Был бы свой герой дня, обнаруживший ее, и весь класс ощутил бы гордость за него и радость победы. Ведь если их сверстник смог одержать победу в единоборстве с такой серьезной проблемой, то и они смогут — не сегодня, так завтра.
      Хороший урок обязательно содержит свое чудо, свою тайну, свою интригу, как и любой хороший спектакль.
     
      ВЫХОД В ПРОСТРАНСТВО ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПЛАНИМЕТРИИ
     
      «...Система современного урока — это педагогика возможностей, а не только реальности. Если исходить из реальности, то нужно объяснить лишь то, что ученик может и должен понять. Если исходить из возможностей, то можно объяснять то, что ученик на данном уроке может не понять, но будут созданы условия для понимания излагаемых мыслей»'. Это утверждение заставляет по-новому взглянуть на организацию учебного процесса. Учителю, оказывается, необходимо почувствовать, определить иногда и интуитивно потенциальные возможности своих учеников и с этим расчетом строить уроки. И успех во многом зависит от той формы работы, которую преподаватель выбирает для своего урока.
      Но сила инерции в организации процесса обучения чрезвычайно велика, и совсем не так быстро находят применение в школьной практике методы и приемы преподавания, разработанные дидак-тами. Дети же верят, что мы проявим мудрость и придумаем, как каждому из них раскрыть для себя и для всего мира их способности, их талант. Иногда же надо просто довериться им, поддержать их.
      Вспоминается случай, который произошел на уроке геометрии в шестом классе. Изучалась тема «Четырехугольники», на доске была нарисована фигура (рис. 12): обычный четырехугольник ABCD с диагоналями АС и BD. И вдруг один ученик воскликнул:
      «Так ведь это не четырехугольник, а пирамида». С этого момента шестиклассники стали совершать «выходы» в пространство. Обыгрывалось это так. Звучала команда: «Приготовиться к выходу в пространство, проверить герметичность скафандров. Три, два, один,— считал учитель,— старт». Класс изображал правильный тетраэдр. Его модель ребята ежедневно видят в б
      школьном буфете, когда покупают пакетик молока, поэтому нет проблемы в том, чтобы его представить.
      Интересно, что введение новой геометрической пространственной фигуры позволило разнообразить приемы, формирующие специальные умения, и, кроме того, появилась возможность создавать в задачах с пространственными объектами творческие проблемные ситуации, посильные для учеников шестого класса. Некоторые ученики после анализа простейших случаев расположения фигур на плоскости делали обобщения о расположении пространственных объектов.
      Рассмотрим подробнее на конкретных уроках, как при изучении планиметрического материала использовались пространственные фигуры.
      Урок по теме «Медиана треугольника» (VI класс) был непростой.
      Почему он непростой? Потому что трудно было скучную работу по отработке такого, казалось бы, простого понятия организовать так, чтобы формирование специальных умений сочеталось с формированием интеллектуальных. И все же мне, кажется, удалось решить эту задачу. Ребята развивали пространственное мышление, учились концентрировать внимание на изучаемом понятии. На этом уроке не надо было призывать их работать внимательно, это сделали сами задания. На первый взгляд последовательность вопросов, которая им была предложена, требует выполнения лишь того или иного специального умения, но на самом деле в каждом из них обязательно присутствует задание, требующее анализа,обобщения.
      Последовательность вопросов и заданий, предложенных ученикам, такова:
      1. Изобразите правильный тетраэдр РАВС (рис. 13).
      2. Проведите медиану треугольника АРВ из вершины Р.
      Ребята применили указанный ранее алгоритм: а) разделить
      отрезок АВ пополам (точка К) 1 б) соединить точки К и Р отрезком РК (медиана).
      3. Проведите медиану треугольника ABC из вершины С.
      Опять используется определение медианы, но ситуация несколько изменена. Это поддерживает интерес учеников. Теперь уже подключено к работе их воображение, они как бы «влезают» в пространство: рассматривают расположение плоскостей треугольников АВР и АСВ, хотя специально такая задача перед ними не ставится.
      4. Посмотрите на рисунок и скажите, какие новые фигуры появились на чертеже. Такие вопросы школьники впоследствии будут задавать себе при решении задачи, когда выполнено некоторое дополнительное построение.
      Ребята доказывают, что треугольник РКС равнобедренный (из равенства треугольников АРК и АКС). Вторично, как бы на втором плане, создается ситуация, когда ученики рассматривают расположение плоскостей АВР и АСВ.
      5. Проведите медиану треугольника РКС из вершины К.
      Третий раз надо применить алгоритмы построения медианы, и опять для равнобедренного треугольника. Известно, что без повторений невозможно сформировать то или иное специальное умение, но если бы эти треугольники находились в одной плоскости, то однообразие заданий не позволило бы учителю удержать внимание сильной части класса. «Пространственный» же вариант дает посильную работу всему классу: «слабые» повторяют алгоритм построения медианы, «сильные» имеют возможность присоединить к объектам своего внимания еще и плоскость РКС. Кроме того, у них появляется возможность для анализа и обобщений.
      6. Постройте медиану треугольников РВС и АРС из вершин В и А соответственно.
      Еще на две плоскости обращается внимание ребят. Класс как бы находится на экскурсии по пространству.
      Алгоритм же построения медианы уже повторен пять раз.
      7. Что заметили?
      А заметить есть что и удивиться есть чему: треугольники APB, ANB, АСВ равнобедренные, а значит, РК, NK, С К — их высоты. Получилось, что из одной точки К к прямой АВ проведено сразу три перпендикуляра. Для ребят это удивительный факт, потому что всего несколько уроков назад было доказано, что на плоскости из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр и только один. А в пространстве, значит, это не так? Учащиеся начинают понимать, что пространство подчинено другим закономерностям, нежели плоскость.
      8. Возьмите какую-нибудь точку X на отрезке PC так, чтобы отрезок ХК был перпендикулярен АВ.
      Появляется первое обобщение: какую бы мы точку X отрезка PC ни взяли, отрезок ХК будет перпендикулярен АВ. Обобщение это подготовлено предыдущими заданиями.
      9. Попробуйте вне пирамиды найти точки X такие, чтобы отрезок ХК был перпендикулярен АВ.
      Теперь взгляд ребят направляется на пространство вне пирамиды. Это задание требует смелости мысли, оно дает возможность сделать еще одно маленькое «открытие»: все точки прямой PC обладают этим свойством.
      10. Где находятся все перпендикуляры к прямой АВ, проведенные из точки К в пространстве?
      Это последний вопрос. Хотя он правомерен, но, конечно, большинству учеников ответить на него трудно, опыта еще мало. Он рассчитан на ребят с хорошо развитой интуицией.
      Возможность дать правильный ответ на него есть, так как искомый объект, плоскость РКС, представлен на рисунке и вся необходимая работа для этого уже проделана.
      Удивление, радость поиска, знакомство с новым геометрическим объектом — С причина хорошего настроения, с которым ребята работают на уроке. Их внимание сосредоточено на рассмотрении пирамиды. Однообразная работа по построению медианы сочеталась с работой мысли, радостью от открытий.
      Усвоение понятия «медиана» треугольника продолжалось и на следующем уроке, на котором отрабатывались еще и свойства равнобедренного треугольника. Работа проходила устно, по заранее заготовленным на доске чертежам. На первом чертеже на доске был изображен правильный тетраэдр РАВС (рис. 14).
      Прогулка в пространство началась, как всегда, с «проверки» герметичности скафандров. Это игровое начало создавало у класса хорошее настроение. Затем были предложены такие вопросы и задания:
      1. Как опустить из точки В в треугольнике АРВ перпендикуляр на сторону АР?
      2. Как построить в треугольнике РАС биссектрису угла АСР?
      3. Как в треугольнике ВВ1С из точки В1 опустить перпендикуляр на ВС?
      Класс обсуждал вопросы устно, а затем учитель делал соответствующие построения на доске.
      Как искать ответ на третий вопрос, было ясно из первых двух, но работа тут посложнее: надо доказать равенство треугольников РВ1С и PBiB и использовать первые два ответа. Но почти это же доказательство проводилось на предыдущем уроке, только тогда треугольники были иначе расположены. Обсуждение третьего вопроса позволило ученикам увидеть расположение плоскостей РАВ и РАС.
      4. Найдите на рисунке еще один равнобедренный треугольник, в котором отрезок ВхВ2 был бы высотой.
      Появляется треугольник АВ2Р. Обосновывается ответ аналогично ответу на вопрос 3. Можно попросить класс доказать, что треугольник АРВ2 равнобедренный, используя обоснования для первых трех ответов. Рис. 14 получается из рис. 15, если пирамиду положить на грань АРВ, а затем повернуть ее так, чтобы грань АСВ заняла место АРВ. Натолкнуть на эту идею можно,
      если предложить учащимся, перемещая пакетик молока в пространстве, получить вместо ситуации, представленной на рисунке 15, ту, которую мы уже рассматривали при ответе на предыдущий вопрос.
      5. Изобразите еще равнобедренные треугольники, в которых отрезок В2В1 был бы высотой.
      Ребята заметили, что таких треугольников много, их вершины X и Y лежат на отрезке АР на равном расстоянии от точки В1. И тут же была сделана поправка: не на отрезке, а на прямой АР (рис. 16).
      После этого у школьников сложилось впечатление, что вопрос исследован полностью. Тогда учитель опять сосредоточил внимание на его формулировке. Установили, что классом было произвольно наложено дополнительное условие: В2 — вершина равнобедренного треугольника. И вот тогда появилась возможность увидеть еще равнобедренные треугольники с вершиной В( и двумя вершинами X и Y, лежащими на прямой ВС на равных расстояниях из точки В2. Этот момент исключительно важен, так как учит досконально проверить найденное решение даже тогда, когда есть полная уверенность в его полноте и достоверности.
      6. Как очень быстро изобразить отрезок прямой, перпендикулярный к PC и АВ?
      Этот вопрос помог обобщить все результаты, полученные при предыдущих исследованиях. Для этого достаточно соединить середины отрезков PC и АВ. А для того чтобы доказать перпендикулярность MN к PC и к АВ, ученики передвигают пирамиду так, чтобы ребро PC заняло место отрезка АР на рисунке 14. Еще лучше, если кто-нибудь догадается просто поменять местами обозначение точек А и С.
      Итак, каждый из перечисленных вопросов был рассчитан на умение учеников строить догадки, различные предположения. Весь класс при этом был сопричастен к поиску истины, их опыт обогатился и приемами поиска, и результатами его. Но не только при изучении нового материала, но и при повторении курса VI класса эффективно используются задачи с пространственными фигурами. Приведем пример.
      Дан правильный тетраэдр РАВС (рис. 17).
      Изобразите прямую, которая проходит:
      1) через точку Р перпендикулярно прямой АС;
      2) через точку С перпендикулярно прямой РВ;
      3) через точку К — середину ВС — перпендикулярно прямой РА.
      Такие задания не новы для учащихся VI класса, но практика показывает, что иногда полезно еще раз вернуться к рассмотрению уже изученного: появляется новое видение знакомых объектов, а порой возникает интересное, необычное решение. И в этом случае было предложено интересное доказательство того, что треугольник РКА равнобедренный.
      (...)
      Итак, по воле ребят пространственные фигуры не только «поселились» на уроках геометрии в VI—VIII классах, но и пришли в движение. Опыт показывает, что несложные задачи с «выходом в пространство» дают большие возможности для творчества учащихся. Такие задачи решаются более свободно, так как все понимают, что материал дается «на вырост», он не обязателен для быстрого усвоения. Может-быть, эта необязательность и приковывает внимание учеников, ведь для каждого из них дело чести справиться со сложной задачей.
     
      РАЗВИТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ВИДЕНИЯ — ОДНА ИЗ ЦЕЛЕЙ ДВУХ УРОКОВ
     
      На примере двух уроков покажу, как отработка умений школьников создавать мысленный образ некоторого геометрического объекта и умения оперировать им помогает развитию геометрического видения. Этому способствовали задания, требующие поисков закономерностей, анализа, рассмотрение фигур как на плоскости, так и в пространстве.
     
      УРОК ПЕРВЫЙ
      Тема. Четырехугольники.
      Дома на листе бумаги дети должны были нарисовать четырехугольную пирамиду, у которой все ребра равны, и изобразить высоту РО в треугольниках АРС и BPD (рис. 21).
      Задание. Изобразите на поверхности пирамиды еще один треугольник, такой, чтобы и у него высотой был бы этот же отрезок РО.
      Для выполнения задания достаточно провести отрезок KL через какую-то точку К я О — центр симметрии квадрата ABCD — до пересечения с DC в точке L.
      (...)
      Учащиеся устанавливают и логически обосновывают, что данные не определяют единственной фигуры.
      Подводится итог урока:
      Решая геометрическую задачу:
      1) начинай с картинки;
      2) смелее выдвигай различные предложения;
      3) логически обосновывай свои выводы.
     
      УРОК ВТОРОЙ
      Тема. Площадь треугольника.
      Какую бы вы работу ни выполняли, вы всегда преследуете определенную цель. Даже игра, если цель ее для вас неясна, превращается в скуку.
      Сегодня я вам предложу очень интересный урок, но каждый из вас должен определить для себя цель, с которой он будет выполнять задания, от этого зависит результат вашей работы.
      Какой она может быть?
      (...)
      При сравнении двух планов уроков по геометрии, изложенных выше, легко заметить общее: задачи простые, доступные, порой даже вызывающие из памяти ребят задачи, с которыми они сталкиваются при выполнении практических заданий. Они даны не ради однозначного ответа, проверки отработанных на предыдущих уроках умений. Нет, они требуют от ребят активной работы мысли, «провоцируют» их на поиск. Задачи подобраны так, чтобы их нескучно было решать и «сильным» ученикам. Расставленные «ловушки» дают им пищу для размышления. И как весело смеются дети, когда попадают в такую «ловушку»! Почти ни одна из них не ускользает из памяти школьников сразу же после решения. Работа с нею продолжается. И если на первом уроке главным моментом было исследование возможности построения, поиск способа построения и эта работа всегда начиналась с представления мысленного образа объекта, то на втором уроке — сопоставление результатов, полученных для плоскостного и пространственного случаев задачи.
      Плоскостной случай являлся на этом уроке как бы одним из начальных этапов поиска решения «пространственного варианта». Перед учителем стояла задача помочь каждому школьнику представить, вообразить рассматриваемые фигуры.
     
      АНАЛИЗ УСЛОВИЯ — ПЕРВЫЙ ЭТАП РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
     
      Большинство школьных задач решается по определенному алгоритму. Быстрое их решение обычно зависит от знания формул и умелого их применения, что достигается решением громадного количества однотипных задач. Многие этапы решения у школьников приобретают автоматический характер, и они не задумываются над каждым из них. Отсюда возможны ошибки, и в итоге неправильный результат. Вот почему необходимо формировать у ребят потребности в выполнении анализа условия задачи на самом первом этапе ее решения.
      Готовясь к уроку, тщательно подбираю задачи, слежу за тем, чтобы каждая из них требовала анализа описанной в ней ситуации.
      Приведу пример. Для урока алгебры (VI класс) было подготовлено пять уравнений, каждое из которых сводилось к квадратному. Но шестиклассники не умеют решать квадратные уравнения, поэтому им приходилось придумывать способ, который позволил бы обойти этот момент. Вот тут-то и появлялась возможность для анализа и догадок.
      (...)
      Итак, уравнения подобраны так, что каждое следующее по своей конструкции казалось повтором предыдущего. Вот это узнавание, с одной стороны, помогало ребятам, делало их действия более уверенными. Они смело приступали к решению очередного примера, думая, что прием решения известен. С другой стороны, приводило к автоматическому выполнению действий, а значит, и к ошибкам.
      Каждый пример, конечно же, можно было решить письменно, но это привело бы к механическому раскрытию скобок, перенесению членов уравнения из одной части в другую. Ребята должны понять, что в обеих частях уравнения стоит одно и то же число, выраженное разными способами, а именно этот момент они обычно упускают из виду. Да и смысл знака равенства выпадает из поля их внимания, и они просто «перерисовывают» две черточки не задумываясь. Поэтому для класса неожиданным было предложение решить такие трудные уравнения устно. Им ничего не оставалось делать, как внимательно разглядеть обе части уравнения и догадаться, как найти то неизвестное, при котором в обеих частях стояло бы одно и то же число.
     
      ОТРАБОТКА УМЕНИЯ НАБЛЮДАТЬ НА УРОКЕ ПО ТЕМЕ «ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ»
     
      На доске дан квадрат (квадрат с незаполненными клетками был заготовлен в тетради):
      Классу предложено установить закономерность его составления, запомнить числа и записать их в свой квадрат.
      Аналогичная работа была выполнена и со вторым квадратом:
      Это упражнение было дано на развитие внимания, на тренировку зрительной и смысловой памяти, на поиск закономерностей. Отработка этих же умений продолжалась при устном решении примеров:
      (...)
      Материал урока легко обозрим для учеников. Он сосредоточен вокруг двух вопросов, которые были объявлены классу в самом начале урока. Надо сказать, что до этого занятия с ребятами уже отрабатывалось понятие модуля, поэтому они были готовы к восприятию материала.
      Известно, что наблюдение от простого восприятия отличается активным и целевым характером. Поэтому на первом и втором уроках сама тема задавала целевую установку наблюдения. Так, свойства степени формулируются из наблюдения повторяющихся ситуаций. Ускорение же этого процесса происходило при решении цепочки примеров, каждый из которых был развитием предыдущего. На втором уроке процесс наблюдения протекал активнее, чему способствовал интерес ребят, вызванный необычным по форме и содержанию заданием. Интерес к наблюдаемому объекту — непременное условие формирования умения наблюдать.
     
      ПРОСТЫЕ, НО ТВОРЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЧЕТВЕРОКЛАССНИКОВ
     
      Первые уроки в четвертом классе наиболее ответственны для учителя: ребята узнают требования, предъявляемые к ним, которые в дальнейшем будут служить им ориентиром при работе в классе и дома. Дети «изучают» нас и, отвечая на наши вопросы, часто стремятся угадать, какого типа ответ мы хотим от них услышать: либо коротко сообщить результат, либо наметить план его получения, либо дать несколько способов решения, либо придумать самый оригинальный. Поэтому, если ставить перед собой цель организовать деятельность школьников, способствующую интеллектуальному развитию, необходимо создать соответствующий настрой в классе. Для этого нужны упражнения, направленные на раскрепощение их мысли, на проявление инициативы, смелости при поиске решения.
      Казалось бы, простое задание: «Начертить прямоугольник, ширина которого 1 клетка, длина 10 клеток, и заштриховать 1/10 его часть». Но сколько простора для творчества!
      Стоит лишь поддержать ребят, и учитель получит смелые, нешаблонные решения (рис. 29). Другое задание: «Отметить две точки и соединить их линией».
      Если эти примеры следуют последовательно один за другим, то есть надежда, что часть учеников класса осмелится соединить заданные две точки ломаной, а может быть, найдется кто-нибудь из класса, кто соединит эти точки произвольной кривой. Такой ученик достоин поощрения, так как он один из первых проявил смелость в оценке ситуации и принял нестандартное решение. Не исключено, что учитель получит и такое решение: ученик соединил две точки А н В кривой, которая образовала слово «учитель».
      Интересно и такое задание: «Нарисуйте квадрат, сторона которого 2 клетки. Заштрихуйте половину квадрата разными способами».
      Обычно оно выполняется с большим желанием, и если попросить закончить его дома, причем не ограничивать сроки сдачи работы, то многие ребята находят более сотни различных способов (рис. 30).
      (...)
     
      ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В IV КЛАССЕ
     
      Многие задачи в четвертом классе учащиеся решают с помощью уравнений. От учеников при этом требуется выяснить все величины, участвующие в задаче, отделить известные от неизвестных, установить зависимость между ними, выбрать одну из них для составления уравнения.
      Рассмотрим один из приемов обучения решению задач с помощью составления уравнений. Выделим три этапа:
      1. Распознавание величин, участвующих в задаче.
      2. Установление зависимостей между величинами.
      3. Запись одной величины через другую.
      На первом этапе происходит знакомство со всевозможными величинами (стоимость, масса, путь, скорость, время и т. д.). Учитель читает несколько предложений и просит учеников установить, о каких величинах идет речь в каждом предложении.
      На втором этапе ребята устанавливают, в каком случае величины суммируются, в каком они вычитаются. Учитель говорит, что в задачах, в которых требуется сравнить величины, встречаются слова «больше», «меньше», «дешевле», «дороже», «быстрее», «медленнее», «выше», «ниже», «шире», «уже» и т. д. Узнать же, насколько одна величина больше другой, можно действием вычитания. А на суммирование величин в задачах указывают следующие слова: «всего сделали», «всего собрали», «всего прошли», «всего получили», «общая масса» и т. д.
      Итак, ученики выслушивают предложения, определяют, о каких величинах идет речь в них, устанавливают, сравниваются они или суммируются, и схематически записывают зависимость между ними.
      Приведу примеры.
      1. Путь, пройденный двумя путешественниками навстречу друг другу за одно и то же время, равен 18 км.
      Величины: s1 — путь первого путешественника, s2 — путь второго путешественника.
      s1 + s2 = 18.
      2. Слоненок и слониха вместе весят 7200 кг.
      Величины: m1, — масса слоненка,
      m2 — масса слонихи.
      ml + m2 = 7200.
      (...)
      Затем ученикам дается схема решения задач на составление уравнений:
      Алгоритмическое предписание
      1. Перечислить величины, данные в условии задачи.
      2. Выбрать меньшую из неизвестных величин и обозначить через х. Остальные неизвестные величины выразить через меньшую.
      3. Выяснить, сравниваются или суммируются величины.
      4. Составить схему уравнения:
      а) Одна + вторая сумма
      величина величина величин
      величины суммируются.
      б) Большая меньшая разность
      величина величина величин
      величины сравниваются.
      5. В схеме уравнения вместо каждой величины записать ее выражение через х.
      Схема уравнения, о которой говорится в п. 4, позволяет ученикам увидеть закономерности между величинами.
      Как же проходит работа над условием задачи по этому предписанию? Рассмотрим это на примере задачи:
      Школьники собрали всего 1650 кг картофеля, причем до обеда было собрано в 2 раза больше, чем после обеда. Сколько килограммов картофеля собрали школьники после обеда?
      Ученики читают условие задачи и устанавливают, что:...
      Итак, такой способ решения задачи на составление уравнений учит учеников видеть величины, заданные в условии задачи, и вскрывать связи между ними. А это способствует формированию у учащихся обобщенных видов познавательной деятельности, позволяющих им самостоятельно и успешно анализировать новые частные случаи без дополнительного обучения.
     
      ОДИН СПОСОБ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДЕЙСТВИИ С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ
     
      Изучение действий сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных дробей было начато за полгода до того, как эта тема должна была изучаться по программе. Не в ущерб программному материалу на каждом уроке первого полугодия обучению действиям с обыкновенными дробями отводилось 5—7 минут. Обычно с этой работы начинался урок. Дети рисовали прямоугольник, заштриховывали какие-то части и выполняли од-но-два упражнения, о которых шла речь выше. Работа велась неторопливо, каждый ученик имел возможность усвоить смысл производимых операций. Не проводилось по этой теме никаких конт-
      рольных работ, не задавалось примеров на дом. Просто делались «заготовки» для последующего успешного усвоения этой темы. Необязательность усвоения рассматриваемых вопросов не сковывала мысль учеников, давала свободу их воображению, инициативе.
      К моменту же прохождения темы ими был понят не только смысл каждой операции действий с дробями, но и без зубрежки в памяти учеников уже хранились правила, по которым они выполнялись. В результате школьники не испытывали трудностей при чтении параграфов учебника, при решении предложенных в нем примеров по этой теме. Начался как бы второй этап изучения действий с дробями. Появилась возможность еще раз вникнуть в смысл каждой операции, ликвидировать пробелы в знаниях, если они возникли. Для «сильных» же учеников освободилось время для решения творческих задач по этой теме. Но самое главное, ребята не только осваивали алгоритмы действий, но и учились наблюдать, анализировать, сравнивать полученные результаты, делать выводы и обобщать их. (Эти же мыслительные операции параллельно отрабатывались на лабораторных работах по геометрическому материалу, которые проводились на протяжении всего курса математики V класса.)
      Этапы такой работы знакомы ребятам с уроков IV класса:
      1) нарисовать картинку;
      2) проанализировать изображенную там ситуацию;
      3) подметить закономерность, если она есть;
      4) обобщить полученные результаты.
      Наметим ориентиры работы по изучению действий с дробями.
      Сложение дробей.
      Решается серия примеров следующего типа:
      1. а) Нарисуйте прямоугольник, ширина которого 1 клетка, а длина 15 клеток.
      б) Заштрихуйте 1/15 его долю.
      в) Заштрихуйте 1/5 его долю (рис. 41).
      г) Установите, каким действием можно определить, какая часть всего прямоугольника заштрихована.
      д) Какие доли мельче: пятнадцатые или пятые?
      е) Сколько пятнадцатых долей содержится
      (...)
     
      ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ МАТЕРИАЛУ В IV—V КЛАССАХ
     
      Как создать условия, обеспечивающие вдумчивую, осмысленную работу ученика? Эту задачу приходится решать на каждом уроке. Ведь ученик, привыкая к приемам работы учителя, не откликается даже на самые эффектные внешне, но неоднократно используемые учителем на уроке приемы. Они для него теряют ту значимость, которую имели вначале. Наступает обычное привыкание. Вот почему даже самая хорошая, самая удобная для учителя система преподавания нуждается в постоянном обновлении. В то же время следует учитывать, что внимание детей, слабо успевающих по математике, довольно устойчиво, если школьники выполняют знакомую им монотонную работу (списывание, решение арифметических примеров и т. д.). Зато на уроках, требующих умственного напряжения, их внимание очень колеблется: они быстро устают и фактически выпадают из педагогического процесса. Поэтому учитель вынужден стремиться так организовать деятельность учеников на уроке, чтобы работали все группы ребят. Практика подсказала такой путь для работы в IV—V классах при изучении геометрического материала. Он заключается в том, что ученикам предлагается изобразить некоторую фигуру и рассмотреть полученный рисунок, замеченную закономерность или подмеченное свойство фигуры сформулировать в виде некоторой гипотезы, которая будет доказана позже, в VI и даже в VII классах. Этот способ дает возможность держать внимание всего класса и при этом способствует развитию мышления учащихся. Ведь высказанное в результате рассмотрения фигуры суждение о ее свойствах — итог выполнения ряда мыслительных операций. Форма организации работы — лабораторно-практические занятия.
      Выполняя задания по построению тех или иных геометрических фигур, ребята, кроме того, учатся работать с чертежными инструментами, опытным путем устанавливают свойства простейших геометрических фигур, формулируя их в виде некоторых суждений. В дальнейшем все обнаруженные геометрические факты получат логическое обоснование. В тот момент, когда в курсе геометрии будет доказываться та или иная теорема о свойствах геометрических фигур, ребята смогут,опереться на свой опыт, полученный при выполнении лабораторных работ.
      Приведу примеры, подтверждающие эту мысль:
      1. Построив при помощи линейки и угольника две параллельные прямые и третью прямую, пересекающую каждую из двух, при помощи транспортира ребята могут убедиться, что накрест лежащие углы равны, что сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
      2. Построив равнобедренный треугольник и опустив в нем при помощи чертежного угольника высоту из вершины, ученики могут, используя транспортир и циркуль как измеритель, установить, что она разделила пополам и угол при вершине, и противоположную сторону; могут убедиться также, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.
      3. Построив параллелограмм при помощи линейки и угольника, можно установить, используя циркуль, что диагонали точкой пересечения делятся пополам. Транспортир поможет определить зависимость, в которой находятся углы параллелограмма. Аналогичную работу можно проделать по изучению свойств квадрата и ромба.
      Факты, полученные в результате самостоятельной экспериментальной работы, дольше удерживаются в памяти и в нужный момент помогают усваивать сложный теоретический материал.
      Серия лабораторных работ, приведенная ниже, выполнялась пятиклассниками на нелинованной бумаге, чтобы исключить возможность проведения отрезков по готовым линиям. На каждое занятие отводился урок. Организованы они были следующим образом:
      Классу давалось задание, например, провести какой-либо отрезок, а затем, используя линейку и угольник, построить прямую, параллельную данному отрезку; как только большая часть ребят эту работу выполнила, учитель просил поднять альбомы и показать сделанные построения.
      Затем все следили за построением на доске, которое делал учитель. Каждый этап построения сопровождался его объяснениями. После этого предлагалось выполнить аналогичное задание, но в несколько измененной ситуации. Те, кто сделал первый раз его неверно, могли добиться успеха.
      Приведу тексты лабораторных работ.
     
      Тема. Отрезок.
      1. Отметьте какие-нибудь точки А и О.
      2. Соедините их любой линией.
      3. Соедините их еще двумя другими линиями.
      4. Выберите из всех изображенных линий, соединяющих точки А и О, самую короткую и обведите ее красным карандашом.
      5. Изображен ли у вас самый кратчайший путь из точки А в точку О? Если нет, то изобразите его.
      Вывод. У нас получилось, что отрезок, соединяющий точки А и О, короче любой другой линии, соединяющей эти же точки.
      6. Измерьте длину отрезка АО.
      7. Изобразите еще два отрезка, каждый из которых равен отрезку АО.
      8. Начертите два отрезка, каждый из которых равен отрезку АО, так, чтобы точка А была бы их общим концом.
      9. Соедините отрезком их другие концы и найдите длину его.
      10. Сравните его длину с длиной отрезка АО.
      11. Придумайте, как построить два равных отрезка с общим концом в одной точке, чтобы отрезок, соединяющий их другие концы, был равен им.
      Тема. Отрезок, луч.
      (...)
     
      ИСКУССТВО СТАВИТЬ ВОПРОСЫ
     
      Знаменитый древнегреческий ученый Аристотель вопрос трактует как мыслительную форму, обеспечивающую переход от незнания к знанию. Действительно, процесс рационального восприятия информации начинается с осознания познавательной цели. А для этого необходимо поставить вопрос: «Чего я хочу достичь путем восприятия информации?» — и, конечно, дать на него ответ.
      Концентрация внимания на том или ином понятии тоже требует умения задавать цепочку вопросов, позволяющих рассмотреть его со всех сторон, изучить его во взаимосвязях с ранее изученным, отделить существенную информацию от несущественной.
      Любая система вопросов регулирует деятельность учеников, направляет ее в необходимое русло. Чаще всего вопросы учителя подсказывают лишь область поиска решения. Характер вопросов был бы другой, если бы цель урока заключалась в формировании общих приемов анализа и решения целого класса задач. Для примера рассмотрим цикл вопросов, направленный на поиск решения задач на процессы с помощью уравнения:
      1) Какие процессы описаны в условии задачи?
      2) Какими величинами характеризуется каждый процесс?
      3) Что нам известно о каждой величине?
      4) Какую зависимость между величинами выберем для составления уравнения?
      Эти вопросы общего характера организуют работу учеников на первой, основной фазе решения — на анализе ситуации. Они отличаются от традиционных вопросов: кто знает, как решить эту задачу? Как мы будем решать эту задачу?
      Главное отличие — их обобщенность и направленность на анализ условия, на поиск закономерностей между величинами. Вопросы, образующие систему ориентиров, можно использовать при исследовании проблемы. Тогда меняется подход учеников к изучению теоретического материала. Теория воспринимается не только как объект, подлежащий запоминанию. Вопросы помогают понять суть, установить взаимосвязи нового с ранее изученным.
      Ребята должны понять, что при чтении учебного текста необходимо научиться ставить перед собой скрытые вопросы. Для этого надо знать, что в каждом тексте есть свой смысловой субъект (тема) и смысловой предикат (то, что говорится о теме, ее раскрытие). Скрытым вопросом к смысловому субъекту является следующий: о ком (о чем) здесь говорится? Скрытые вопросы к смысловому предикату: что говорится об этом? Что этим объясняется (доказательство)? Каковы особенности объекта? Почему так происходит?
      Разговор об умении ставить вопросы при чтении текста ве-
      дется, конечно, не на одном уроке. И начинается он еще в младших классах. Но только с седьмого класса на уроках математики, когда изучается серьезный теоретический материал, искусству ставить вопросы посвящаются целые уроки.
      Опыт, приобретенный в этой работе, позволит ребятам осознать, что познание истины связано с серьезным трудом, требующим большой собранности. Может быть, именно эти уроки откроют перед ними радость познания и толчком для размышления будут вопросы, направленные на выполнение основных мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения, абстрагирования. Их внимание сосредоточится на логике рассуждений.
      Не менее важно показать пример вопросов, организующих запоминание учебного материала. Они выделяют главное — основные его закономерности, с их помощью исследуется структура объекта, устанавливаются связи с ранее изученными понятиями. Происходит обучение правильному запоминанию и хранению информации с опорой на смысл, структуру, ассоциации.
      Запомнить определение любого понятия, а затем правильно его применить проще, если выявить характерные его признаки и понять логическую схему подведения под понятие. Она очень проста: если объект обладает всеми перечисленными в определении характерными признаками и они соединены союзом и, то исследуемый объект подходит под данное определение, если же у объекта нет хотя бы одного характерного признака, он не удовлетворяет определению; если же о наличии некоторых характерных признаков у объекта нет информации, то ничего определенного сказать нельзя. При анализе определения некоторого понятия и работе с ним уместно задать вопросы следующего характера:
      Какие характерные свойства указаны в определении понятия?
      Может ли объект, удовлетворяющий данному определению, обладать только одним каким-либо характерным свойством поня-тия^
      Всеми ли характерными свойствами, перечисленными в определении, обладает данный объект?
      Дальше приводятся примеры объектов, которые обладают:
      а) некоторыми характерными свойствами определяемого понятия, а про остальные свойства известно, что данный объект ими не обладает;
      б) некоторыми характерными свойствами определяемого понятия, а про остальные свойства ничего не известно;
      в) всеми характерными свойствами определяемого понятия и еще рядом характерных свойств, которыми не обладает определяемый объект.
      В каждом случае ученик выясняет, удовлетворяет ли данный объект определению.
      Например, вопросы могут быть следующими:
      1) Верно ли, что сумма смежных углов равна 180°?
      2) Сумма углов равна 180°. Можно ли утверждать, что эти углы смежные?
      3) Любые ли два угла, имеющие общую сторону, можно назвать смежными?
      4) Можно ли сказать, что углы смежные, если их сумма 180°, а одна сторона у них общая?
      5) Всегда ли два угла, составляющие развернутый угол, можно назвать смежными?
      Домашнее задание тоже можно организовать серией вопросов, ответить на которые предназначено ученикам после прочтения указанного материала в учебнике. Вопросы могут быть такими: какой план изложения темы избрал автор? Какие главные мысли строго логически обоснованы? Известны ли вам другие источники, в которых эти вопросы излагаются более строго? Какие места вам показались наиболее сложными? наиболее красивыми? Не можете ли вы в некоторых местах упростить изложение, дать иное доказательство рассматриваемой проблемы?
      Любое исследование, любое творчество начинается с постановки проблемы, т. е. с умения задать вопрос. Хороший вопрос, как считает известный психолог И. Лернер, помогает совершенно по-новому увидеть существо дела и искать ответ новыми путями, о которых раньше никто не думал. Все это требует определенного навыка в составлении вопросов. Ученики не умеют задавать вопросы, они привыкли на них отвечать. Часто можно слышать их просьбу объяснить то или иное место в учебнике. На вопрос: «Что непонятно?» — следует молчание или ответ: «Все непонятно».
      Значит, необходимо учить ставить вопросы. При этом сначала разумно приветствовать любые вопросы, но отмечать наиболее содержательные. Они будут возникать и при объяснении материала, если при введении каждого нового понятия подвергать его всестороннему анализу. Пусть на уроке сначала часто звучит самый простой вопрос: «Почему?» Но постепенно утрированнопридирчивое отношение к ответам учеников вызовет у них желание более требовательно относиться к объяснению учителя. Так начинается процесс размышления над новой информацией. И это прекрасно: в споре с учителем урок проходит оживленно.
      Правда, порой вопросы ребят возникают как бы стихийно, при обнаружении фактов, противоречащих их знаниям, в момент исследования некоторой ситуации.
      Такие ситуации могут возникнуть, к примеру, при первоначальной попытке решить уравнение...
      Возникает сразу целая серия вопросов:
      1) Почему его нельзя решить на множестве тех чисел, которые известны к этому моменту?
      2) Можно ли вообще решить это уравнение?
      3) Если да, то каким способом?
      4) Сколько решений оно будет иметь?
      Но есть темы, изучение которых проходит интереснее, если ученики сами выделяют круг вопросов, позволяющих ее изучить. Но это бывает, если всей предыдущей работой класс подготовлен к этому уроку. Выделенные главные этапы изучения новой темы помогают осознать ребятам цель урока. С этого момента и начинается творческий настрой.
      Приведу пример. После объявления темы «Измерение длины отрезка» (VI класс) ученикам было предложено решить: «На какие вопросы мы должны сегодня дать ответ?» Они поставили следующие проблемы:
      1. Что значит измерить длину отрезка? 2. Как измерить?
      3. Чем будем измерять?
      Отвечая на эти вопросы, ребята учатся отстаивать свою точку зрения, привыкают более требовательно относиться к услышанному и результатам своего труда.
      Но как сформировать умение ставить вопросы? Этому посвящаю ряд уроков. Учитывая, что серьезный, содержательный вопрос редко возникает у человека, если он впервые знакомится с какой-то темой, то такие уроки проводят в тот момент, когда ученики уже имеют четкое представление об изучаемом материале.
     
      Тема. Равенство фигур (IV класс).
      На отдельном листочке в клеточку выполняется чертеж (рис. 44). Учитель задает серию вопросов:
      1) Какие геометрические фигуры видите вы на чертеже?
      2) Почему некоторые из фигур заштрихованы одинаково? (Они равны, это легко доказать наложением, перегнув квадрат по диагонали. Удобнее равные фигуры заштриховывать одинаково.)
      3) Какое несоответствие с только что сказанным вы обнаружили на чертеже? (Все треугольники должны быть заштрихованы одинаково, так как они все равны.)
      4) Посмотрите на геометрические фигуры, изображенные на рисунке 44, и сформулируйте подмеченную вами закономерность. (Большой квадрат составлен из двух квадратов и четырех равных треугольников или площадь всего квадрата со стороной 7 клеток равна сумме площадей четырех равных треугольников и двух квадратов со сторонами 4 клетки и 3 клетки.)
      Еще раз обращается внимание ребят на эти вопросы. Они помогли рассмотреть чертеж.
      С ответов на серию вопросов, направленных на изучение чертежа, и начинается поиск решения геометрических задач.
      Но один из самых интересных вопросов, который здесь можно было бы задать,— это: «Нельзя ли квадрат со стороной 7 клеток составить из четырех таких же равных треугольников (как на рис. 44) и еще только одного квадрата?» Учитель не только
      предлагает его ребятам, но и объявляет, что он интересен, так как заставляет исследовать необычную, ранее не встречавшуюся ситуацию. Составить его и ответить на него не так просто, как на предыдущие.
      Чтобы помочь ребятам найти на него ответ, можно предложить вырезать эти четыре треугольника и опытным путем убедиться, что такое построение возможно. Можно направить и на другой путь: создать эту картинку в воображении, а затем зафиксировать ее в тетради (рис. 45). До сих пор ребята видели примеры вопросов, теперь их внимание обращается на рисунки 44 и 45, рассмотрение которых поможет составить вопрос: «Равны ли квадраты ABCD и A2B2C2D2, изображенные на рисунках 44 и 45». Вопрос хороший, но им демонстрируется более интересный вариант: «Чем отличается квадрат на рисунке 44 от квадрата на рисунке 45?» Он позволил бы отвечающим сначала осознать, что нарисовано на каждом рисунке, а затем уже и найти отличие. Первый вопрос более конкретный, второй дает возможность получить больше информации после рассмотрения рисунков.
      Вопросы, составленные учителем и ребятами, ответы на них помогают выяснить, что квадраты равны и что первый составлен из двух квадратов и четырех равных треугольников, а второй — из четырех таких же треугольников и одного квадрата. Изучение чертежа, как и процесса составления вопросов, продолжается. Предлагается задать вопрос, но теперь уже требующий сравнить площади фигур, изображенных на этих рисунках. Если возникают затруднения с формулировкой вопроса: «Равна ли сумма площадей квадратов В1ВС10 и ODiDAi площади квадрата KNLM?», то можно предложить ребятам вычислить площади квадратов В1ВС[0 и OD1DA1.
      В пятых — седьмых классах обычно на таких уроках ставится проблема для исследования. Предлагается ребятам составить вопросы, которые позволят найти ее решение.
      В восьмых классах можно проводить уже целые уроки, посвященные искусству ставить вопросы. На таких занятиях раздаются карточки с заданием. Задания обычно связаны с составлением вопросов, направленных на исследование изображенных на карточке геометрических фигур или графиков функций. Каждая карточка для двух учеников. Это делается для того, чтобы они работали увереннее. Надо отметить, что одно и то же задание обычно выполняют несколько пар учеников, с тем чтобы провести обсуждение составленных вопросов. В заключение урока анализируются вопросы, составленные учителем по тому же материалу. И если на первых порах вопросы составляются по небольшому объему материала, то постепенно от вопросов, связывающих новые знания с полученными ранее, переходим к обучению постановки вопросов, требующих глубокого анализа сформулированной ситуации.
      Конструкции таких уроков разнообразны. Иногда урок начинается с «дуэли» на вопросах. Два «рыцаря» составляют дома по два вопроса. Помогают им в этом их «оруженосцы». Обычно эту роль выполняет друг «рыцаря», который тоже обдумывает задание. «Дуэль» начинается с обмена вопросами. Если «дуэлянты» не могут найти правильный ответ, то им помогает «оруженосец», но если и он в затруднительном положении, то болельщики класса. Класс же и оценивает качество вопросов и глубину ответов. Ученики находятся в ситуации, когда каждый из них вынужден оттачивать свое мастерство в искусстве ставить вопросы.
      Особое внимание уделяется вопросам, позволяющим контролировать свою работу. Часто поиск решения какой-либо задачи затягивается и порой не приводит к правильному ответу из-за неумения вовремя обнаружить ошибку в своих рассуждениях. Контролирующие вопросы задаются после завершения каждого этапа рассуждения и позволяют ребятам осознать свои действия. И чтобы научить их самостоятельно выполнять контроль, техника этой работы показывается на ряде характерных примеров.
      В дальнейшем, если работа, выполненная кем-то из учеников, содержит ошибки, то учитель просит его товарищей задать серию вопросов, помогающих понять и исправить совершенную ошибку.
      При этом воспитывается умение быстро ориентироваться в незнакомой ситуации, критически ее оценить, определить ошибку и сформулировать вопрос, позволяющий ее обнаружить.
      Казалось бы, умение формулировать вопросы у ребят должно сформироваться само собой. Большинство уроков сейчас ведутся в форме беседы учителя с учениками. Вопросы, которые задает учитель, наблюдение за тем, в какой последовательности и как он их формулирует, должны бы быть хорошим образцом вопросов, которые школьник мог бы использовать при самостоятельной исследовательской работе. В действительности же оказывается все не так. Далеко не всегда достаточно видеть пример даже отличной, виртуозной работы для того, чтобы самому овладеть всем продемонстрированным мастерством.
      Нам же порой кажется, что метод показа наиболее быстро приводит к желаемому результату! «Ведь я так хорошо ему все показал, рассказал, и не один раз, а он все не понимает»,— сетуем мы в таких случаях.
     
      УРОК ОДНОЙ ЗАДАЧИ
     
      Чаще всего урок состоит из изложения теории и решения нескольких иллюстрирующих ее задач. Сама задача, приемы ее решения, анализ условия нечасто бывают объектом особого внимания учеников.
      Учат же решать задачи, формируют навык исследовательской работы уроки, на которых ученик является активным участником поиска решения, испытывает при этом и радость открытий, и горечь поражений, когда выбранный путь заводит в тупик.
      Урок такого типа как бы завершает некоторый этап обучения решению задач, поэтому его лучше провести в тот момент, когда учениками усвоены необходимые понятия и разобран ряд частных приемов решения задач. Внимание на этом уроке концентрируется в основном на анализе приемов, которыми решается задача. Поэтому, чтобы не тратить силы на знакомство с условием нескольких задач, достаточно рассмотреть решение только одной задачи, интересной по содержанию, богатой идеями, имеющей несколько способов решения.
      Творческая активность учащихся, в конечном счете успех урока целиком зависят от тех методических приемов, которые выберет учитель для анализа задачи. Они подчинены в основном двум целям: 1) направить деятельность школьников на исследование связей между данными задачи; 2) отработать умение делать логический вывод из полученных результатов.
      Несколько первых минут урока посвящается тому, чтобы снять у учеников страх перед задачей, настроить их на исследовательскую работу, на поиск красивого решения. Доброжелательное обсуждение всех выдвинутых гипотез помогает выявить закономерности между данными задачи.
      Вопросы, направляющие внимание учащихся на исследование какой-то части рисунка или выявление закономерностей между данными задачи, ставятся так, чтобы они могли быть использованы при решении других задач.
      Известно, что большинство учащихся испытывают трудности на первом этапе решения задачи — на анализе условия. Можно сказать, что для многих из них этого этапа вообще не существует — учащиеся, прочитав задачу, тут же применяют известные им алгоритмы. Это делается механически. Отсюда и ошибки, и нерациональные решения, а если обычный способ применить нельзя, задача так и остается нерешенной. Одна из причин такого положения в том, что часто работа с задачей заканчивается, как только получен ответ. Поэтому накопление опыта в решении задач проходит стихийно, часто даже этот процесс ребятами не осознается.
      Хотя начало ему могли бы положить вопросы, позволяющие оценить сделанное, критически посмотреть на найденное решение, закрепить удачные приемы анализа условия задачи и организации процесса поиска ответа. Так, после того как задача решена несколькими способами, учитель может предложить такие вопросы:
      1. Какими способами была решена задача?
      2. Какой из них наиболее рациональный?
      3. Какая закономерность между данными задачи была основной в каждом способе?
      4. Нельзя ли рассмотреть эту задачу как частный случай более общей задачи?
      5. Чем интересна данная задача?
      Эти вопросы помогут учащимся осознать, какими новыми приемами обогатился их опыт решения задач. Проиллюстрируем сказанное следующим примером.
      Задача (VI класс)
      (...)
     
      УРОКИ-«БЕНЕФИСЫ»
     
      казать, что они могут добиться успехов в изучении предмета не меньших, чем его товарищ. Им нужен толчок, стимул. Задача учителя состоит в том, чтобы заставить, т. е. соответствующим образом организовать деятельность такого ученика, пересмотреть свою роль в классе и тем самым настроить на более уверенную работу по изучению предмета. Вот этой цели и служат уроки-«бенефисы».
      Двум ученикам, обычно среднему и чуть-чуть посильнее, на карточках дается одна и та же задача. Им предлагается в течение двух недель представить учителю решение и затем изложить его на уроке. Практика показала, что это хороший способ стимулирования творческой деятельности ученика. Обычно тихий, незаметный, на уроке-«бенефисе» он находится в центре внимания своих товарищей. Чувство ответственности, которое, как правило, хорошо развито у таких ребят, и огромное желание оправдать надежды учителя, не уронить, а поднять свой авторитет среди друзей помогают ему мобилизовать все свои мыслительные способности. Он знает, что от него ждут красивого решения, а добиться его можно только в результате огромной, кропотливой, исследовательской работы над условием задачи. Вот этот эмоциональный настрой окрыляет ученика. Может быть, поэтому решение, причем красивое, он обычно приносит учителю на проверку уже на следующий день.
      Но красивое решение находится после того, как придумано несколько вариантов, и поэтому все они, чтобы ребята убедились в верности его выбора, обязательно предъявляются классу. Причем так как одноклассникам известна бенефисная задача и фамилии учеников, которым поручено ее решить, то они стихийно разделяются на две сочувствующие группы. В этой ситуации «соперники» работают более продуктивно, так как ощущают дух соревнования. Он проявляется и в способе подачи найденного решения: приготовлении чертежей, составлении вопросов для «конкурента», в стремлении дать более обобщенный вариант задачи, изменив ее условие так, чтобы задача стала более творческой. Готовят вопросы и болельщики. Класс же оценивает, кто дал более оригинальное, интересное решение, участвует в рецензировании работы своих товарищей.
      Одним из требований к «бенефисной» задаче является возможность увидеть несколько способов ее решения. Ведь цель таких уроков — стимулирование творческой деятельности школьника. Но «для того, чтобы знания могли применяться творчески, у ученика должна быть сформирована готовность к быстрому поиску многообразных вариантов решения проблем»1.
      Чаще всего для «бенефиса» отбирается задача по курсу геометрии. Приведу примеры «бенефисных» задач.
      (...)
     
      О МЕТОДИКЕ ПРОВЕДЕНИЯ УСТНОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
     
      На доске написан пример, ученики решают его устно. Через некоторое время учитель просит поднять руку тех, кто решил. Если с примером справилась большая часть класса, то ученики в тетрадях ставят номер примера и пишут ответ. В противном случае добавляется время для поиска ответа. Ответ записывают только по команде учителя.
      Если цель этой работы не только проверить знания, но и еще раз отработать какие-то вопросы теории, то разбор решения происходит сразу после того, как записан ответ. Тогда следующий пример составляется так, чтобы при его решении можно было использовать те приемы, с которыми они встретились при разборе. Поясню сказанное:
      (...)
      Первый пример контрольной работы по теме «Действия с дробями» (V класс) подобран так, чтобы его могли быстро решить все ученики. Второй пример дан на применение распределительного закона. Для решения третьего примера требовалось заметить, что
      а значит, в ответе получается число, противоположное результату второго примера. Ответ четвертого примера следует из первого. В пятом примере необходимо заметить, что в знаменателе делимое и делитель каждый в 5 раз меньше, чем соответственно делимое и делитель числителя. Отсюда вывод: дробь равна единице. Шестой и седьмой примеры на применение законов сложения.
      метить, что х — число, обратное этой разности. Девятый пример — аналогичен восьмому, только, может быть, несколько труднее, а десятый — это то же уравнение, что и девятое, только в левой части его раскрыты скобки.
      Таким образом, ученики вынуждены неоднократно возвращаться к ранее решенным примерам. Это полезный прием. Ведь часто ученики решают задачи по принципу узнавания ситуации: «А я знаю!» И тогда, выполняя действия по тому же алгоритму, что и в ранее решенной задаче, не видя в условии задачи нового элемента, который отличает ее от предыдущей, они не в состоянии увидеть более простого решения.
      Устная контрольная работа несколько отличается от традиционной контрольной. Здесь ученик как бы сам себя контролирует при помощи заданий учителя. Сам он делает выводы об уровне усвоения, учитель не видит его неудач. Поэтому устная контрольная работа чаще имеет обучающий характер.
      Если контрольная проводится с целью проверки знаний, то разбор ее делается после выполнения всей работы. Затем ученикам сообщается, за сколько примеров ставится «5», за сколько «4» (других отметок не ставится). Ученики говорят свою отметку учителю, которая и выставляется в журнал.
      Итак, ученик поставлен в ситуацию, когда он вынужден работать в темпе, заданном учителем, контролировать свои действия и использовать весь материал темы. Очевидно, что, хотя этот урок и называется устной контрольной работой, не всегда контроль является главной его целью. Сверхзадача урока — обучение рациональным приемам работы, без которых невозможно творчество. Работа может занимать как часть урока, так и весь урок (в старших классах).
      Приведу примеры устных контрольных работ.
      (...)
     
     
      ОДИН ИЗ СПОСОБОВ ОРГАНИЗАЦИИ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ НА УРОКЕ
      В своем кабинете математики имею две доски: одна висит перед классом, другая — в конце класса. Какого же типа индивидуальная работа проводится на ней?
      Известно, что далеко не у каждого школьника сформирована способность решить задачу на виду у всего класса. Некоторые очень волнуются от всеобщего к ним внимания, и ни о какой продуктивной мыслительной деятельности не может быть и речи. Когда же такого ученика вызывают к доске, которая находится в конце класса, то для него создается почти домашняя атмосфера — он остается один на один с задачей. Есть ученики, кото-
      рые испытывают вообще страх перед задачей, особенно перед геометрической, тогда их можно вызывать вместе с одноклассником, равным по силе, но более уверенным в себе. В этом случае решение рождается в результате совместного обсуждения. Наблюдать за ними в эти минуты несказанно радостно: темп обсуждения плана постепенно нарастает, ребята, увлеченные процессом поиска решения, забывают обо всем. Когда же решение найдено, его представляет кто-нибудь один из авторов. Ситуация складывается еще любопытнее, если одну задачу решают две пары учеников и каждая пара состоит из мальчика и девочки. Девочка выбирается сильная по знаниям, но излишне застенчивая, мальчик — думающий, но ленивый. Именно подбор такой группы заставляет каждого из них работать активно, концентрировать свое внимание, использовать все свои силы, способности для достижения цели. Класс же получает наслаждение от разных способов решения задачи и от оценки работы каждой группы у доски. Интересен и психологически важен момент, когда ребята выбирают, кто из них будет представлять решение. При ответе второй пристально следит за рассказом товарища и при малейшей его заминке бросается на помощь.
      Мы знаем, что задача является творческой для ученика, если он незнаком с общим способом решения этого типа задач. Но как часто возникает ситуация, особенно после объяснения новой темы, когда некоторые ученики уже все поняли и с легкостью решают рассмотренным методом задачи, требуемые программой. Другие так и не овладели им, и поэтому каждая из задач для них так и осталась неприступной крепостью. Вот таких ребят можно вызывать к доске, которая висит в конце класса, решать либо домашнее задание, либо примеры по текущей теме. В пятых-шестых классах на такой доске работают одновременно до восьми учеников, учитель же рассматривает с классом более сложные задачи и в то же время следит (практически без затраты дополнительных сил) за тем, что делается на этой доске. Всегда можно найти паузу в уроке для необходимых замечаний и оценки работы каждого школьника.
      На этих же досках ребята готовятся и к ответу по теоретическому материалу. Учитель же в это время работает с классом.
      Эти же доски эффективно используются при опросе на зачете, о методике его проведения будет рассказано далее.
     
      ТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИТОГОВЫЕ ЗАЧЕТНЫЕ УРОКИ
     
      К концу шестого класса учащиеся уже способны оперировать большими объемами теоретического материала. Необходимые условия для этого создают концентрированное изучение его отдельных тем и система зачетов.
      Первый зачет в своей жизни шестиклассники сдают в конце года. В него включаются самые важные теоремы курса. В последующих параллелях проводится примерно четыре зачета в год либо по алгебре, либо по геометрии, смотря по какому предмету возникла большая необходимость обобщить изученную часть материала.
      Изучение материала (VII—VIII классы) по темам, которые завершаются зачетом, строится так:
      1. Излагается вся теория: либо читается лекция, либо используются поисково-исследовательские методы.
      2. Рассматривается ряд типичных задач, изучаются алгоритмы их решения.
      3. Выписываются основные задачи, из которых складывается решение творческих задач.
      4. Несколько уроков посвящается решению задач. Задачи предлагаются в определенной последовательности — от вопросов, заставляющих вникнуть в суть каждой детали изучаемой темы, до творческих задач.
      5. После нескольких самостоятельных работ проводится зачет.
      Такая система работы позволяет более свободно, творчески
      строить изучение нового материала. Каждый ученик получает возможность работать над усвоением нового материала в свойственном ему темпе, а у учителя освобождается время проведения индивидуальной работы. Слабые ученики еще и еще раз отрабатывают алгоритмы решения типовых задач, а остальные решают задачи, требующие более обобщенных знаний и нешаблонных методов решения, демонстрирующих пример последовательной работы.
      Если же новый материал давать по частям, на каждом уроке, то прочность его усвоения значительно снижается. И это понятно, ведь ребята вынуждены усваивать материал по частям, не имея полного представления о всей теме, а значит, знания, проверяемые на следующем уроке, сразу после объяснения не могут быть полными и до конца осознанными. Процесс обучения в этом случае проходит однообразно, по старой традиционной схеме: проверка домашнего задания, изучение нового материала, решение задач. Учителя при этом часто жалуются на нехватку времени для решения задач, а про то, чтобы целые уроки отводить специально для отработки умения ставить вопросы, анализировать и т. д., и речи быть не может.
      Совсем другая картина при зачетной системе: ученик успевает обдумать все тонкости изучаемого материала, сделать необходимые сравнения, обобщения, провести работу по классификации и систематизации изученных понятий. Естественно, и знания становятся более глубокими. Теория применяется к обобщенным задачам. Известно же, что одним из важнейших показателей развития является обобщенность знаний, умений и навыков, которыми владеет человек. Именно благодаря этому возможен
      самостоятельный перенос полученных знаний в незнакомую ситуацию.
      Итак, зачет — это сдвоенный урок, на котором работа учеников организована следующим образом. На доске написано два варианта контрольной работы, в которую входят лишь одни задачи по теме зачета. Объем ее рассчитан на один урок, так как другой урок отводится на устный ответ у доски в конце класса. До начала зачетного урока все свободные доски разделены на части и пронумерованы и около каждой из них лежит карточка, содержащая вопросы по теоретическому материалу, с тем же номером, который записан на доске. Обычно готовится отвечать теорию сразу 10—11 учеников, проявляющих интерес к математике. Это делается потому, что во-первых, они быстро готовятся к ответу, а их четкий, эмоциональный рассказ задает темп всему опросу. Во-вторых, с ними нужно поговорить более обстоятельно. Ведь довольно часто они предлагают свое доказательство, к тому же интересно проверить их понимание всех тонкостей теории. В число первых входят и те ребята, которые излишне волнуются, им хочется быстрее ответить теорию, чтобы затем спокойно сосредоточиться на выполнении письменной работы. Слабые ученики вызываются к доске в последнюю очередь. В итоге они получают больше времени для выполнения контрольной. Их опрос часто носит обучающий характер: тренирует память, совершенствует умение строить цепочку умозаключений по образцу, данному в учебнике и на уроке, закрепляет в памяти основные моменты теории, необходимой для решения задач. Когда ученик ответил теорию, решил один-два примера (данные на той же карточке), проверяющие глубину понимания изложенных вопросов, он выполняет вариант контрольной. Учитель же вызывает к доске следующего. Итак, за два урока опрашивается весь класс. Каждый ученик за зачет получает две отметки: одиу по теории, другую по практике. Отметка за теорию объявляется сразу, после окончания зачета. По теории ученику никаких дополнительных вопросов не задается, лишь фиксируются недочеты его ответа и оценивается весь ответ целиком, иначе не хватит времени для опроса всех ребят. Бывает и так: ответ ученика целиком не заслушивается — ему задается лишь несколько вопросов по теме зачета.
      Как же проходит подготовка к зачету? За две недели до него вывешиваются все вопросы по теории и номера основных задач, которые обязан уметь решить каждый, иногда образцы их решения. Но чаще всего задачи не вывешиваются вовсе, если учитель уверен, что все ребята основные задачи решать умеют, либо в зачет включаются упражнения из различных домашних заданий, которые выполнялись по данной теме. В течение этих двух недель к каждому уроку задается один-два вопроса с тем расчетом, чтобы за урок до назначенной даты зачета все вопросы были повторены. К доске для ответа по повторению вызываются только сильные ученики, иногда сразу два школьника отвечают один
      и тот же вопрос, тогда класс имеет возможность оценить, чье изложение лучше. А каждый ученик в этот момент сравнивает свои знания с тем, что слышит.
      На последнем уроке класс разбивается на пары и сильный ученик проверяет слабого. Если тот что-то не знает, он тут же ему и объясняет. Итог опроса сообщается учителю. Часто учебный сектор класса (ученики, отвечающие за учебную работу в классе) выбирает еще один день перед зачетом, разбивает класс на шесть групп, назначает в каждой группе старшего. Еще раз обсуждаются все вопросы зачета. Зачетного урока обычно ждут и дети, и родители. Им тоже известно о нем, и они со своей стороны прикладывают усилия, чтобы их ребенок сдал его успешно.
      О итоговом зачете по геометрии в шестом классе скажу особо. Известно, что новый курс ребята осваивают с трудом. Уж больно много непривычных способов действия им надо освоить. И один из них — доказательство тех или иных утверждений. У каждого школьника особенно в этот момент свой темп усвоения, понимания, привыкания к новым терминам и понятиям. Те действия, которые они должны выполнить при требовании: «Доказать!», осознаются далеко не так быстро, как нам хочется. Поэтому обычно ни одна теорема на оценку не спрашивается, но разговор о них идет постоянно, еще и еще раз разбираются условие и заключение теоремы, демонстрируется применение ее на разных задачах, рассматриваются самые важные места доказательства, причем ищутся новые формы изложения самой сути. Такая работа ведется на протяжении всего учебного года. В результате экономится время для повторения, а целый месяц (май) ведется подготовка к итоговому зачету по основным теоремам курса. В карточку зачета входит теорема, задача на построение (требуется рассказать, как надо выполнить) и небольшой вопрос по теории.
      Приведу материалы к зачетам лишь по некоторым темам курса геометрии.
      Билеты для устного опроса
      1. 1) Признаки равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
      2) Найти угол АКС (рис. 53), если АК его биссектриса.
      3) Доказать, что высоты равностороннего треугольника равны.
      2. 1) Свойства равнобедренного треугольника.
      (...)
     
      ИТОГОВЫЙ ЗАЧЕТ ПО ОСНОВНЫМ ВОПРОСАМ КУРСА ГЕОМЕТРИИ (VIII КЛАСС)
     
      Первый устный экзамен по геометрии проводится в VIII классе. Зачетная система обучения в значительной степени упрощает подготовку ученика к экзаменам. Итоговый зачет проводится перед экзаменом. Это как бы генеральная проверка готовности. Зачетный билет содержит теоретический вопрос и задачу с тремя заданиями. Первое из них проверяет умение применить на практике полученные знания, второе должно показать глубину изучения материала и третье задание творческое. Оно обычно требует использовать теорию в незнакомой для школьника ситуации.
      Приведу лишь задачи к каждому билету для устного опроса на итоговом зачете.
      (...)
     
      МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СКАЗКИ
     
      Всем известно, что дети свободнее, раскрепощеннее взрослых. Они чувствуют уверенность в своих силах и готовы выполнить все, что им предложит учитель, вплоть до самого трудного задания. Нужно лишь внимание к результатам их труда. Так, однажды ученики четвертого класса гуляли по осеннему парку и учитель предложил ребятам сочинить сказку, действующими лицами которой были бы некоторые математические понятия.
      Дети восприняли это задание с интересом, но вполне спокойно. Одна девочка к концу прогулки, уже видимо порядком уставшая, сказала своей подруге: «Сейчас приду домой, покушаю и напишу сказку». Вот, оказывается, как просто было выполнить это задание.
      Оно было необычно для урока математики и поэтому-то вызвало интерес. Попробовать написать сказку взялся каждый ученик, но, конечно же, в первый раз не у каждого получилось удачно. Все с интересом ждали момента, когда учитель будет читать их творческие работы. Обычно отбираются две-три с математическим содержанием, в которых есть законченность сюжетной линии и необычные персонажи. Иногда тут же демонстрируется другой вариант, исправленный и доработанный учителем. Ребята видят сам процесс работы над сказкой. До этого урока неоднократно занятия украшались сказками Феликса Кривина. В его книге «Несерьезные архимеды» (серия «Эврика», Молодая гвардия, 1971) математические сказки объединены под названием «Один
      пишем, два в уме». Перечислим некоторые из них: «Ноль», «Точка на плоскости», «Степень», «Простая дробь», «Сумма» и т. д.
      А теперь несколько сказок, сочиненных четвероклассниками.
     
      ЛУЧ
      — Я очень важен, потому что бесконечен! — хвалился Луч.
      — Не важничай! — сказала Точка.— Ведь это я даю тебе начало, без меня тебе не обойтись. Да если я еще раз встану на твоем пути, то отрежу от тебя отрезок.
      — Чем же я хуже? — обиделась Прямая.— Каждый должен идти к цели по прямой, иначе его ждут беды! Да к тому же по мне можно двигаться в обе стороны, чего ты, луч, не можешь себе позволить.
      Смутился луч и отправился дальше, признав правоту своих родственников.
      сынок
      У прямой был сынок-отрезок. Всем хорош, но ограничен. Очень хотелось ему знать, что там, за горизонтом. И вот стал он тянуться, чтобы заглянуть вдаль. Тянулся, тянулся и лопнул. Теперь у прямой два сыночка-луча. Они постоянно убегают и приносят в дом интересные новости о жизни отдельных точек.
     
      ДВЕ ПРЯМЫЕ
      Жили-были две прямые. Поспорили они, кто первый добежит до бесконечности. И побежали. Бегут-бегут, и никак добежать не могут. Вдруг столкнулись, пересеклись и побежали в разные стороны искры-лучи из точек пересечения.
     
      ДЕТИ
      В некотором царстве, в некотором государстве жило положительное Число, а у этого Числа были очень положительная дочь — Дробь и совсем отрицательный сын — Процент. Сын и дочь всегда спорили между собой, кто из них главнее, кто дороже Числу. По хоть они и жили в Математическом городе, они совсем не знали математики, им было невдомек, что Процент и Дробь — это часть Числа, а поэтому для Числа они одинаково дороги.
     
      ДЕД-РАВНЯЛО
      Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внучка, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается, и радуется: хорошая ему смена растет.
      На аккуратно начерченной числовой прямой собрались на совещание разные числа: положительные, отрицательные и нуль.
      Председателем единогласно был избран нуль. Он и стал первым держать речь: «Уважаемые числа, мы собрались здесь для того, чтобы произвести оценку нашим действиям. Я должен отметить, хотя, может, это и нескромно, что от меня ведется отсчет всех чисел, поэтому я и буду давать вам оценку. Справа от меня расположены числа положительные, ничего отрицательного о них не скажешь. Слева — числа отрицательные, в жизни очень плохо быть отрицательным, но нам в математике часто без них не получить положительный ответ. Всяческого одобрения заслуживает модуль, который всегда неотрицательный.
      Сидят числа и раздумывают: что стоит оценка нуля?
     
      ПРЕКРАСНАЯ ФИГУРА
      Где-то, когда-то в математическом царстве, геометрическом государстве существовала прекрасная, стройная фигура. Многие восхищались и преклонялись перед нею, но были и такие, которые ей завидовали и ненавидели ее. Среди последних было и отображение. Оно взяло и отобразило фигуру, ее образом стала клякса. И вот тогда все стали потешаться над фигурой.
      «Какая же ты прекрасная, если твое собственное отображение так ужасно?»
      Удивилась фигура и сказала: «Самое прекрасное можно отобразить ужасным, но прекрасное всегда останется прекрасным».
     
      ДРУГ
      Жило-было пустое множество. И такое оно было одинокое. Пересечение его с любым множеством всегда было пусто. Однажды пустое множество встретило плюсик и он был покорен добротой пустого множества. Они стали друзьями. Плюсик помог объединиться пустому множеству с другими множествами. Он сделал это незаметно для других и даже для самого пустого множества. Настоящие друзья всегда делают добрые дела, не рассчитывая на аплодисменты.
     
      Теперь попытаюсь объяснить, почему иногда в качестве домашнего задания ребятам на воскресенье, на каникулы предлагаю сочинять математические сказки.
      Известный ученый-педагог А. И. Маркушевич писал, что человек, не воспитывающийся на сказках, труднее воспринимает мир идеальных стремлений, что благодаря сказкам ребенок начинает отличать реальное от необычного, что нельзя развить, минуя стихию сказки, не только воображение, но и первые навыки критического мышления.
      Особенно нужны сказки в четвертых — пятых классах. Они готовят к изучению курса геометрии, которая требует развитого воображения, умения обдумать предложенную ситуацию, выявить и использовать необходимую информацию для принятия решения.
      Кроме того, на уроках, если находится место для сказки, всегда царит хорошее настроение, а это залог продуктивной работы. Сказки часто помогают понять, чем живет твой ученик, о чем мечтает, думает, страдает. Она дает возможность найти путь к сердцу ребенка. Сказка позволяет ворваться на урок юмору, фантазии, выдумке, творчеству. Она изгоняет из школы скуку. А самое главное, дети учатся быть добрыми, справедливыми. Сама по себе сказка — непривычное явление на уроках, и тем более при изучении математики, а все необычное делает детей смелее, раскрепощеннее. Сказка всегда вызывает у ребенка радость и интерес. Радость и интерес! Вот бы всем научиться строить свои уроки с опорой на них. Лица детей тогда бы светились улыбкой, и на нас глядели бы счастливые, веселые глаза, готовые к творчеству на уроке.
      В заключение приведу сказку, сочиненную семиклассниками:
     
      ДОМ
      Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удивительный город — город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала в него. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предложил Гипотенузе поселиться у пего. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Уюл и его два маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-новому. На окошке Гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Домик принял форму прямоугольного треугольника. Обоим Катетам Гипотенуза очень понравилась, и они попросили ее остаться навсегда в их доме. По вечерам эта дружная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего водить приходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее иногда бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если удается найти Катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Теперь Прямой Угол пользуется этой закономерностью и, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора.
     
      ЗАКЛЮЧЕНИЕ
     
      Дидактами накоплен огромный материал, позволяющий эффективно построить учебный процесс. Но беда в том, что их прекрасные идеи довольно часто не находят отражения в методике преподавания трудных, основных тем школьного курса. Эту работу приходится выполнять учителю самому, тратить огромное количество времени. В результате учитель лишен инструмента для работы и вынужден довольно часто лишь пересказывать программный материал.
      Уроки учителей и отличаются лишь приемами, способами реализации идей, разработанных учеными. Часто можно слышать, что передаются от одного учителя другому лишь идеи преподавания, нет, практика показывает, что и способы. А вот выбор и использование того или иного способа, приема преподавания — дело сугубо индивидуальное. Коллега может применить тот же способ, но подать его так, что он «заиграет» в уроке совсем неожиданно.
      Способы формирования умений, описанные в этой книге, позволили автору организовать урок так, что радостно становилось на душе от внимательных глаз учеников, прекрасных лиц ребят.
      И самое удивительное, что часто поражало и ребят, и автора этих строк, что на уроках, на которых удавалось использовать приемы, стимулирующие творчество, успеха добивались самые слабые ученики. Они заражались всеобщим азартом поиска истины, начинали слушать, о чем идет речь, и незаметно для себя включались во внутренний диалог с классом. И бывали случаи, когда они находили ответ на вопрос раньше всех ребят. В такие минуты радость была всеобщая: класс ликовал, а привыкший к двойкам и неудачам ученик смущенно краснел от всеобщего внимания. Конечно, учиться при этом было трудно, но ведь всем известно — с трудной работой справиться почетнее. Эта мысль сидит в подсознании даже у самого слабого ученика. Поэтому, когда учебный год позади, дети обычно вспоминают свои победы, связанные с теми трудностями, которые им удалось преодолеть. Они от этого испытывают радость и, кроме того, приобретают опыт той интеллектуальной деятельности, которая им предстоит в дальнейшем. И тут важно все: как он учится слушать собеседника, как сам излагает свои мысли, как берется за решение проблемы. Однажды ученикам восьмого класса на их последнем уроке было предложено ответить на вопросы. И среди них был такой: как вы работаете на уроке при объяснении нового материала?
      «При объяснении нового материала пытаюсь установить связь, сопоставить новое с тем, что нам уже известно, для того, чтобы материал легче усваивался».
      «Если материал, объясняемый учителем, немного мне известен, то я пытаюсь найти ход доказательства раньше, чем это сделает Учитель».
      «Во время объяснения слежу за ходом мысли учителя. Если случается, что мне что-нибудь непонятно, я мысленно быстро повторяю и доказываю неясное, чтобы не запутаться дальше».
      «При объяснении нового материала учителем стараюсь из всего сказанного выделить главное».
      Прекрасно, когда ученик на уроке находится в постоянном внутреннем диалоге с учителем, мысленно спорит, сомневается и соглашается лишь тогда, когда четко осознал каждую его мысль.
      А сколько испытывает радости учитель, если наступает момент, когда ученик самостоятельно сформулирует и выдвинет для обсуждения заинтересовавшую его проблему и вместе с товарищами ищет ее решение!
      Советские психологи ориентируют учителя именно на формирование интеллектуальных умений школьников путем организации определенным образом учебной деятельности, а не только эксплуатируя его способности.
      Чудес в педагогике не бывает. Есть большая, трудная, порой невыносимо трудная, но бесконечно радостная по отдаче работа. Прекрасно, когда ребята ждут урок, когда подбегают и спрашивают: «Что у нас сегодня будет на уроке?» И каждый день их надо чем-то удивляты)Но оказывается, у детей к нам, учителям, есть еще много требований. Вот что пишет одна ученица:
      «.Если бы я была учителем, то жить было бы веселее. Это не в том смысле, что на уроках стоял бы шум и гам, а просто я бы смотрела на ребят глазами добрыми и веселыми. Странно, все говорят, что с возрастом это проходит, но я не верю. Хочется видеть умные, приветливые, понимающие тебя глаза, которые обязательно бы излучали добрый свет. Все дело в том, какие глаза ты встретишь».
      Пусть же нашим детям повезет и они каждый день будут встречаться в школе с радостью.