Опыт показывает, что использование старинных задач на уроках и внеклассных занятиях вызывает интерес к математике, побуждает детей к самостоятельному творчеству, проявлению инициативы и смекалки, дает естественный повод для небольших исторических экскурсов о их составителях, которые, как правило, были крупнейшими математиками своей эпохи, и о состоянии математических дисциплин далекого прошлого.
Автор будет весьма признателен тем, кто сообщит о замеченных в настоящей книге недостатках и поделится своим опытом использования старинных задач по элементарной математике в процессе преподавания. Письма направлять по адресу: г. Минск, ул. Кирова, 24. Издательство Министерства высшего, среднего специального-и профессионального образования БССР, редакция естественно-математической литературы.
Автор
Часть первая
ТЕКСТЫ СТАРИННЫХ ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
ЗАДАЧИ ВАВИЛОНА
1. За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти приближение для я, которым пользовались вавилоняне.
2. Разделить прямой угол на три равные части.
3. Для определения площади четырехугольника вавилоняне брали произведение полусумм противоположных сторон. Выяснить, для каких четырехугольников эта формула точно определяет площадь.
ЗАДАЧИ ЕГИПТА
4. Задача из папируса Райнда. Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10.
5. Задача из Акмимского папируса. Некто взял из сокровищницы 1/3. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставил же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
6. Задача из папируса Райнда. У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?
7. Задача из Московского папируса. Определить длину сторон прямоугольника, если известно их отношение и площадь фигуры.
8. Задача из папируса Райнда. Египтяне, заменяя площадь круга площадью равновеликого квадрата, брали за сторону последнего 8/9 диаметра круга,
Найти отсюда приближенное значение для Пи.
9. Задача из Московского папируса. Определить объем квадратной усеченной пирамиды, если ее высота равна 6, сторона нижнего основания 4, верхнего 2.
10. Задача из папируса Райнда. Для вычисления площади равнобедренного треугольника египтяне брали половину произведения основания на боковую сторону. Вычислить в процентах, как велика ошибка, если основание равнобедренного треугольника 4, а боковая сторона 10.
11. Задача из папируса Райнда. Для вычисления площади равнобокой трапеции египтяне брали произведение полусуммы оснований на боковую сторону. Вычислить в процентах погрешность, если нижнее основание 6, верхнее 4, боковая сторона 20.
ЗАДАЧИ ГРЕЦИИ
12. Задача Метродора.
Здесь погребен Диофант, и камень могильный
При счете искусном расскажет нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога он мальчиком был шестую часть
В двенадцатой части затем пришла его светлая
Седьмую часть жизни прибавим — пред нами очаг
Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына.
Но горе ребенку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
Четыре года страдал Диофант от утраты такой
И умер, прожив для науки. Скажи мне,
Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?
13. Задача из «Греческой антологии».
— Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
— Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании, и, кроме того, есть еще три женщины.
14. Задача из «Арифметики» Диофанта. Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть (1/3) наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть (1/3) наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть (1/3) среднего числа.
17. Задача Гипсикла Александрийского. Доказать, что в арифметической прогрессии с четным числом членов сумма членов второй половины превышает сумму членов первой половины на число, кратное квадрату половины числа членов.
18. Задача Никомаха. Показать, что если разбить ряд всех нечетных чисел на группы, в которых число членов будет возрастать как ряд натуральных чисел, то сумма членов каждой группы будет равна кубу числа членов.
19. Задача Евклида. На данной конечной прямой А В построить равносторонний треугольник.
20. Задача Евклида. Разделить произвольный угол на две равные части.
21. Задача Евклида. Построить параллелограмм, стороны которого наклонены под данным углом так, чтобы он был равновелик данному треугольнику.
22. Задача Евклида. В данный круг вписать треугольник, равноугольный данному треугольнику.
23. Задача Паппа Александрийского. Дана точка D на биссектрисе угла. Провести через эту точку прямую линию так, чтобы отрезок ее внутри угла имел данную длину.
24. Задача Диофанта Александрийского. Катет прямоугольного треугольника есть точный куб, другой катет представляет разность между этим кубом и его стороной (т. е. первой степенью), а гипотенуза есть сумма куба и его стороны. Найти стороны.
25. Задача Герона. Определить площадь треугольника, если даны три его стороны: а=13, b=14, с=15.
26. Задача Архимеда. Цилиндр, в основании которого большой круг шара, а высота — диаметр этого шара, имеет объем, равный 3/2 объема, и поверхность, равную 3/2 поверхности шара.
27. Задача из «Греческой антологии».
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает: «Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!» «Яблок я нес с Геликона немало, — Эрот отвечает, — Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена.
Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмою Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния.
Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
28. Задача из «Греческой антологии». Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили 9 муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько было плодов у каждой из граций до встречи с музами?
29. Задача из «Греческой антологии».
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краев через три дня наполнить.
Оку — достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоем скоро ли могут наполнить?
30. Задача из «Греческой антологии». Ослица и мул шли бок о бок с. тяжелой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? — ответил ей мул. — Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей». Сколько мешков несла ослица и сколько нес мул?
31. — Хроноса [бог времени] вестник, скажи, какая часть дня миновала?
— Дважды две трети того, что прошло, остается.
[У древних греков день делился на 12 часов.]
32. Задача Пифагора. Сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с единицы, есть точный квадрат.
33. Задача Пифагора. Всякое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов.
34. Задача Пифагора. С именем Пифагора связано правило для вычисления сторон прямоугольного треугольника в целых числах. Согласно этому правилу за меньший катет принимается нечетное число. Если возвести его в квадрат, вычесть единицу и остаток
Пифагор (около 580 — 500 до н. э.)
разделить пополам, получим больший катет. Прибавив к полученному результату единицу, найдем гипотенузу.
Требуется, во-первых, доказать справедливость этого правила; во-вторых, пользуясь этим правилом, составить таблицу сторон прямоугольных треугольников в целых числах.
35. Задача Архимеда (из трактата «О шаре и цилиндре»), Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом прямую, которая проведена от вершины сегмента, служащей ему основанием.
36. Задача Архимеда (из трактата «Леммы»), Если круг описан около квадрата, а другой в него вписан, то описанный круг вдвое больше вписанного.
37. Задача Архимеда (из трактата «О шаре и цилиндре»). Найти шар, имеющий объем данного конуса или цилиндра.
38. Задача Архимеда (из трактата «О шаре и цилиндре»). Отрезать от шара плоскостью такой сегмент, чтобы отношение его объема к объему конуса, имеющего основание и высоту сегмента, было данное.
39. Задача Архимеда (из трактата «О спиралях»). Найти сумму квадратов п первых чисел натурального ряда.
40. Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая часть его от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от первого деления.
41. Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»). Найти два числа, сумма которых 20, а произведение 96.
42. Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).
Найти два числа, отношение которых 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.
43. Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»). Найти три числа, если дано, что произведение суммы первых двух на третье есть 35, суммы первого с третьим на второе — 27, а суммы второго с третьим на первое — 32.
44. Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»). Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа.
45. Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).
Найти три числа так, чтобы суммы всех трех и каждых двух были квадратами.
46. Задача Паппа Александрийского (из трактата «Математические коллекции»). Показать, что в кругах площади подобных сегментов относятся как квадраты хорд, служащих им основаниями.
47. Задача об усвоении куба. Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба. Выполнить построение при помощи «вставок» (см. указания).
48. Задача о трисекции угла. Требуется произвольный угол разделить на три равные части. Выполнить построение способом Архимеда при помощи циркуля и передвижной линейки с двумя отметками (см. указания).
49. Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, площадь которого была бы равновелика площади данного круга. Решить задачу приближенно при помощи «треугольника Бинга» (см. указания).
50. Задача Аполлония. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
