Стереометрия

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      По содержанию основная часть курса (кроме дополнений) почти не выходит за рамки программы средней школы; значительное увеличение объема по сравнению с распространенными учебниками вызвано некоторыми особенностями книги.
      Автор стремился не столько к изложению основных фактов, сколько к подробному разъяснению «тонких» мест, аналогий, общих методов и понятий, постепенно возникающих после изучения фактов. Подробно изложены правила построения чертежей. Специальные главы посвящены геометрическим местам и симметрии в пространстве. Много места занимают дополнения, посвященные интересным вопросам геометрии, не относящимся к курсу. После каждой главы приведены задачи, главным образом на построение и на доказательство* Наконец, имеется «Словарь геометрических терминов», который может быть полезен преподавателю.
      Изменена обычная последовательность изложения материала: принятый здесь порядок по возможности соответствует логической классификации изучаемых образов. Например, в первой части последовательно рассмотрены фигуры: «две прямые», «прямая и плоскость», «две плоскости». Измерение объемов и площадей выделено в отдельную главу; традиционные древние теоремы о равновели-кости отсюда изгнаны и заменены прямыми вычислениями.
      О других, более частных особенностях книги будет судить сам читатель.
      Автор искренне благодарен И. В. Морозкину и 3. А. Скопецу, прочитавшим рукопись и давшим важные советы, а также м. Я Выгодскому, оказавшему большую помощь при составлении словаря. Читатель, несомненно, оценит чертежи, превосходно выполненные Н. А. Меделяновским и А. Н. Арнольдовым.
      Автор будет признателен всем читателям, которые пришлют свои замечания по адресу: Москва, Г-19, Гоголевский бульвар, д. 21, кв, 4.
     
      Во втором издании устранены замеченные мелкие недостатки и ошибки.
      Переработаны главы VIII и IX — об измерении площадей и объемов и глава V — о симметрии.
      В I и II частях систематически проведен подсчет параметров и параметров положения изучаемых фигур.
      Введены понятия: «вектор», «параллельный перенос», «поворот пространства», «репер», «система координат».
      В конце книги помещены подробные решения задач и изложены некоторые общие методы решений.
      Автор благодарен читателям, которые прислали свои замечания к 1-у изданию.
     
      ВВЕДЕНИЕ
      § I. Пространство
      Мы начинаем изучение нового раздела геометрии — стереометрии.
      Предметом изучения стереометрии являются пространственные фигуры, т. е. такие, которые не могут быть уложены, помещены в плоскости; сама плоскость, которая в планиметрии была носителем всех фигур, становится одной из бесконечного множества плоскостей в пространстве.
      Стереометрия изучает те свойства реальных физических тел, которые могут быть охарактеризованы словами: «форма», «размер», «взаимное расположение». От всех остальных свойств тел стереометрия абстрагируется (отвлекается). Так, можно говорить о кубе с ребром 4 см или о шаре с поверхностью 12 см2, но нельзя говорить о красном кубе, холодном шаре, железной призме и т. д.; этих свойств геометрические тела не имеют.
      Пространство, изучаемое в стереометрии, называется трехмерным в отличие от двумерной плоскости (или одномерной прямой). Мы не будем точно определять эти понятия, а лишь поясним их смысл (см. § 19).
      На прямой (рис. 1, а) из какой-нибудь начальной точки О можно двигаться только вдоль этой прямой влево—вправо; положение любой точки А определяется с помощью одного числа (или координаты), положительного или отрицательного.
      На плоскости (рис. 1, б) из начальной точки О можно двигаться вдоль двух перпендикулярных прямых (осей координат): вправо-влево и вверх—вниз. Произвольное смещение «наискось» можнопо-лучить, пройдя определенный путь вправо (или влево) и затем вверх (или вниз). Положение любой точки А определяется двумя числами, характеризующими два смещения. Наконец, в пространстве (рис. 1, в) есть три попарно перпендикулярных направления смещений из точки О: вправо—влево, вверх—вниз, вперед—назад. Положение каждой точки пространства определяется тремя числами.
      Более точное описание системы координат в пространстве здесь, конечно, невозможно; оно будет сделано в конце I части, в § 43.
     
      § 2. Основные понятия
      Начиная изучать стереометрию, мы снова попадаем в положение шестиклассника, приступающего к изучению геометрии: нужно усвоить математическую науку, о которой нам пока ничего не известно; мы не знаем не только свойств стереометрических фигур, но и самих фигур. В самом деле, можно очень хорошо представлять себе, что такое куб, шар, плоскость, но в геометрии о фигуре можно говорить лишь после того, как дано ее определение. А в чем состоит любое определение? Оно состоит в том, что новое, определяемое понятие (скажем, квадрат) описывается с помощью уже известного, определенного понятия (например, ромба или прямоугольника). Но это «уже известное» понятие должно было быть когда-то определено с помощью еще ранее известных и т. д. Поскольку сами геометрические фигуры в нашем курсе не бесконечно разнообразны, понятно, что мы в конце концов придем к таким фигурам, которые нельзя определить, потому что при определении не на что ссылаться: никаких «уже известных» фигур нет.
      Понятия, обозначающие эти (как правило, самые простые) фигуры, в геометрии называются основными понятиями.
      Основные понятия рассматриваются без определений, однако мы все имеем ясное представление о них из повседневной жизни.
      К числу основных понятий относятся точна, прямая и плоскость. Представление о точке дают тела ничтожно малых разме-ров—атом, молекула, пылинка; о прямой — натянутая нить или очень узкий световой луч; о плоскости — поверхность стола, стена, поверхность воды. Однако все эти примеры не дают полного представления о прямой или плоскости по следующей причине: все физические тела имеют, может быть, очень большой, но конечный размер.
      В геометрии прямая и плоскость бесконечны; их надо представлять себе неограниченно продолженными во всех направлениях1.
      1 Разумеется, плоскость (или прямую; не следует продолжать в направлениях, ведущих в сторону от плоскости (или прямой).
      Если точка, прямая и плоскость — предметы-подлежащие, о которых будет идти речь в геометрических предложениях, то такие слова, как «параллельны», «перпендикулярны», «лежать», «проходить», «пересекать», «равняться» и т. д., — сказуемые; они выражают те или иные отношения между предметами. Здесь дело обстоит таким же образом: каждое отношение должно быть определено, поэтому мы придем к таким «самым первым» отношениям, которые определить нельзя.
      К основным понятиям причисляются отношения «лежать», теоесекаться», «равняться», «принадлежать» и т. д.1.
      Наконец, к числу основных понятий в геометрии откосится общематематическое понятие множество; множеством называют совокупность совершенно произвольных предметов (элементов), имеющую четкое описание, по которому для любого мыслимого предмета можно однозначно решить, входит он в эту совокупность или нет.
      В геометрии мы чаще пользуемся словом «фигура».
      Фигу рой называется всякое множество точек, прямых и плоскостей в пространстве.
     
      § 3. Аксиомы
      Теперь, имея подлежащие и сказуемые, мы можем формально строить геометрические предложения. Однако, для того чтобы установить правильность предложения в математике, его нужно доказать, каким бы очевидным оно ни казалось. А всякое доказательство состоит в том, что мы путем рассуждений сводим наше «новое» предложение к «старым», т. е. уже доказанным раньше. (Проверьте это на несложных примерах из курса VII класса.) Поэтому и с предложениями получается такая же ситуация, как с определениями: мы придем к «самым первым» предложениям, которые нельзя доказать, так как при их доказательстве не на что было бы ссылаться.
      Эти (как правило, самые простые) предложения называются аксиома лш 2.
      Мы не будем подробно знакомиться со всеми аксиомами геометрии (это сделано в дополнении I), а отметим лишь следующие из них.
      1 Точный список основных понятий-отношений приводится в дополнении 1.
      2 Иногда ошибочно говорят, что «аксиома — это истина, не требующая доказательства». Это неверно: аксиомы так же требуют доказательства, как и теоремы, и не всегда аксиомы проще, чем теоремы. Только некоторые предложения нельзя доказать (по тем именно причинам, о которых говорилось); это и есть аксиомы. Более того, свойство предложения быть аксиомой или теоремой относительно: оно зависит от выбора той группы «самых первых» предложений, которая кладется в основу геометрии (требования к этой группе подробно описаны в п. 5 дополнения I). В некоторых случаях аксиому и теорему можно поменять ролями — см. примеры в п. 7 дополнения II.