Александр Юрьевич Калинин
Дмитрий Александрович Терёшин

Стереометрия

10 класс: главы 1-4
11 класс: главы 5-9

*** 1996 ***

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

ПРЕДИСЛОВИЕ       Эта книга представляет собой первую часть курса стереометрии для классов с углубленным изучением математики. Материал, содержащийся в ней, относится к курсу десятого класса.       Книга написана на основе лекций, читавшихся авторами на протяжении нескольких лет учащимся физико-математических классов при Московском физико-техническом институте, созданных на базе средней школы №5 г. Долгопрудного, а также на основе опыта проведения практических занятий по стереометрии в этих классах.       Книга обладает рядом особенностей, на которые нам хотелось бы обратить внимание читателей. В нее включены некоторые разделы стереометрии, которые ранее традиционно относились к курсу одиннадцатого класса (двугранные и многогранные углы, теория многогранников). Причин этому несколько.       Во-первых, отделение аффинных вопросов стереометрии от метрических (десятый класс — параллельность прямых и плоскостей в пространстве, одиннадцатый класс — многогранники, тела вращения, теория площадей и объемов) представляется нам неестественным. Интуитивные представления о геометрических телах и их объемах формируются у нас с самого детства. Этих представлений, основанных на нашем позеедневном опыте, зачастую оказывается Достаточно для решения многих содержательных метрических задач. Нам кажется, что не стоит терять драгоценное время, нужно по возможности раньше учиться решать задачи, ведь формулировки многих из них понятны даже если строгие определения тела и объема еще неизвестны.       Во-вторых, как нам кажется, изучение нового материала в конце одиннадцатого класса вряд ли целесообразно. Не секрет, что в это время у большинства учащихся на первый план выходит решение чисто утилитарной задачи — успешного поступления в избранный       Книга — это большое кладбище, где на многих плитах уж не прочесть стершиеся имена.             ВВОДНАЯ       § 1. Игра в геометрию             Все мои произведения — это игры.       Серьезные игры.       М. К. Эшер             Изучая планиметрию, Вы уже несколько лет играли в увлекательную игру под названием «геометрия». Правила этой игры вырабатывались тысячелетиями и окончательно сложились лишь к концу прошлого века. Их обсуждение естественно начать с вопроса: а что такое геометрия? Как это, быть может, ни странно, на этот вопрос очень трудно дать однозначный ответ. Геометрия многолика, и в школе изучается лишь малая часть того, что в современной математике принято называть геометрией. Но дело не только в этом. Даже если мы ограничимся рассмотрением планиметрии и стереометрии в традиционном их понимании, наша задача вряд ли будет существенно облегчена. С одной стороны, геометрия — это аксиоматическая теория, которая изучает объекты абстрактной природы, находящиеся в определенных отношениях друг с другом. С другой стороны, геометрия изучает размеры и форму реальных тел. Для того чтобы понять, как соотносятся между собой две эти ипостаси геометрии, коротко проследим исторический путь ее развития.       Всякая естественная наука начинается с установления некоторых фактов. Затем, по мере их накопления, вырабатываются законы и теории, превращающие науку в стройную систему. Так развивалась и геометрия. Еще в древнем Египте и Вавилоне были известны многие содержательные факты, такие, как теорема Пифагора или формула для вычисления объема пирамиды. Эти результаты были получе-       ны опытным путем, их справедливость подтверждалась множеством экспериментов. Количество подмеченных геометрических закономерностей росло, и возникла задача систематизации накопленных знаний.       К началу III в. до н. э. окончательно оформилась идея построения научной теории, согласно которой отправным пунктом теории должны служить положения, основанные на опытных данных и поэтому не вызывающие сомнения. Все остальные положения должны быть получены из них логическим (дедуктивным) путем. Здание логики уже было возведено, в основном благодаря работам древнегреческого философа Аристотеля (384—322 гг. до н. э.). Им же впервые была ясно сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид (IIIв. до н.э.) в своих «Началах». Опираясь на опьггы своих предшественников, он сформулировал несколько утверждений (аксиом, или постулатов), принимаемых без доказательства. Из аксиом выводились их логические следствия — теоремы. Так геометрия превратилась в дедуктивную науку. Суть дедукшвного метода блестяще передал Артур Конан Дойл словами своего излюбленного героя Шерлока Холмса: «...человека, умеющего наблюдать и анализировать, обмануть просто невозможно. Его выводы будут безошибочны, как теоремы Евклида... По одной капле воды... человек, умеющий мыслить логически, может сделать вывод о возможности существования Атлантического океана или Ниагарского водопада, даже если он не видел ни тош, ни другого и никогда о них не слышал. Всякая жизнь — это огромная цепь причин и следствий, и природу ее мы можем познать по одному звену».       Система Евклида просуществовала больше двух тысячелетий без сколько-нибудь существенных изменений. Однако с современной точки зрения она уже не кажется совершенной. В ней не выделены основные понятия, некоторые аксиомы излишни, многие доказательства не ограничиваются логическим выводом, а апеллируют к соображениям наглядности.       На рубеже XIX и XX веков после кропотливых усилий многих математиков, среди которых в первую очередь следует назвать Феликса Клейна (1849-1925 гг.) и Давида Гильберта (1862— 1943 гг.), была построена геометрическая система, свободная от указанных недостатков. В основу этой системы был положен аксиоматический метод.       Суть этого метода построения научной теории заключается в следующем. Перечисляются основные (неопределяемые) понятия, или объекты. Все вновь возникающие понятия должны бьггь определены через основные понятия и понятия, определенные ранее. Формулируются аксиомы — предложения, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны являться логическими следствиями аксиом или ранее доказанных предложений.       Отметим, что аксиомы вовсе не являются «очевидными истинами». То, что очевидно для одного, вполне может казаться абсурдным для другого. Так, зритель футбольного матча, знающий правила игры, может получить офомное удовольствие от разворачивающегося на поле захватывающего действия. Тот же, кто не знаком с правилами, вполне может считать происходящее на поле нелепицей, не заслуживающей внимания. Смысл аксиом в том, что они являются соглашениями, которые мы заключаем, приступая к созданию теории.       Основные понятия и аксиомы вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру. Строя абстрактную теорию, мы отвлекаемся от наглядного смысла основных понятий (если он вообще существует). Единственный смысл, который вкладывается в основные понятия, таков: они обладают ровно теми свойствами, которые описаны в аксиомах. Поэтому часто говорят, что аксиомы являются «скрытыми определениями» основных понятий. Подчеркнем еше раз, что математик отнюдь не утверждает, что аксиомы верны. Он лишь строит систему утверждений, с необхо димостью вытекающую из них, оставляя за собой свободу менять аксиомы (и соответственно получать другую систему следствий).       Итак, понятия абстрактной теории лишены конкретного смысла. Но если им можно придать этот смысл (т.е. указать систему конкретных объектов и отношений между ними) так, чтобы соблюдались установленные аксиомы, то мы получим, как говорят, интерпретацию, или модель абстрактной теории. Одна и та же теория может иметь множество различных моделей.       Теперь мы можем объяснить ту двойственность геометрии, о которой говорили выше. Пока мы не конкретизируем смысл основных геометрических понятий, т. е. не прибегаем к наглядным представлениям о прямой, плоскости и т.п., построенная нами геометрия — абстрактная теория. Все выводы этой теории будут понятны воображаемому существу, которое обладает нашей логикой и нашей арифметикой, но ровным счетом ничего не знает об устройстве окружающего нас мира (французский математик Жак Ада мар назвал это существо «Гомо Арифметикус»), Но как только мы представим себе точку как идеализацию следа остро отточенного карандаша на бумаге, прямую — как идеализацию туго натянутой нити, а плоскость — как идеализацию гладкой поверхности стола, наша геометрия становится моделью абстрактной теории. Эта модель не единственная из возможных, но именно ее мы и изучаем в школьном курсе геометрии, так как она с большой точностью описывает геометрические свойства окружающих нас реальных тел.       Вернемся теперь к вопросу о правилах нашей шры, резюмируя сказанное выше. Предметом нашего изучения является модель абстрактной теории, построенной на основе аксиоматического метода. Эта модель отражает геометрические свойства окружающей нас части пространства в том виде, в каком оно воспринимается нашими органами чувств. Все утверждения, относящиеся к этой модели, являются логическими следствиями аксиом и ранее установленных утверждений (т. е. доказываются). Все вновь возникающие понятия определяются через основные и известные ранее. В процессе доказательств мы прибегаем к чертежам, которые помогают делать правильные логические выводы (но отнюдь не заменяют их). Использование чертежей удобно по той причине, что изучаемая модель является для нас естественной и привычной, мы многое можем «подсмотреть» на чертеже, догадаться с его помощью о правильной формулировке утверждения, а затем уже доказать его (ясно, что это — специфика нашего восприятия: для Гомо Арифметикуса наши чертежи непонятны, а поэтому бесполезны).       Но нет правил без исключений. Отметим, что при построении школьного курса геометрии идея аксиоматического метода не выдерживается до конца. Вместо последовательного изложения логических следствий из аксиом с полными их доказательствами принят, выражаясь шахматным языком, гамбитный стиль: логическая строгость и стройность изложения местами сознательно приносятся в жертву краткости и наглядности. Некоторые теоремы не доказываются или доказываются лишь для простейших частных случаев, не даются строгие определения некоторых понятий и т. п. Это связано с тем, что все логически строгие курсы геометрии довольно трудны для восприятия и весьма объемны.       В заключение мы обсудим весьма важный вопрос о выборе аксиом. Требования, предъявляемые к системе аксиом, которая кладется в основу теории, таковы. Во-первых, система аксиом должна быть непротиворечивой, т. е. из нее не должно следовать какое-либо утверждение вместе с его отрицанием. Это требование самое главное, оно является абсолютно необходимым. Далее мы будем говорить только о непротиворечивых системах аксиом. Во-вторых, желательно, чтобы система аксиом была независимой, т. е. чтобы ни одна из этих аксиом не следовала из других. Выполнение этого требования не обязательно, но все же естественно стремиться к тому, чтобы среди аксиом не было «лишних». В-третьих, хотелось бы, чтобы система аксиом была полной, т. е. чтобы к этой системе нельзя было добавить новую аксиому так, чтобы она не следовала из уже имеющихся аксиом и не противоречила им (имеется в виду, что множество основных понятий остается при этом неизменным). Заметим, что системы аксиом геометрии являются полными, но это, скорее, исключение, чем правило: обычно в математике системы аксиом оказываются неполными. Наконец, в-четвертых, можно потребовать от системы аксиом ее замкнутости, т. е. чтобы в ней не использовались понятия из другой теории. Системы аксиом геометрии, как правило, незамкнуты, поскольку в них, например, используется понятие числа, определяемое обычно в курсах математического анализа.             § 2. Элементы логики и теории множеств       — Так бы и сказала, — заметил Мартовский Заяц. — Нужно всегда говорить то, что думаешь.       —- Я так и делаю, — поспешила объяснить Алиса. — По крайней мере... По крайней мере я всегда думаю то, что говорю... а это одно и то же...       — Совсем не одно и то же, — возразил Болван-шик. — Так ты еще чего доброго скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу», — одно и то же!       Л. Кэрролл. Приключения Алисы в стране чудес       В этом параграфе приводятся элементарные сведения из логики и теории множеств. Возможно, Вы уже знакомы с изложенным здесь материалом, однако ввиду важности обсуждаемых понятий лучше повторить их еше раз. Мы затрагиваем логику и теорию множеств настолько, насколько это необходимо для нашего курса стереометрии. Более подробное и строгое введение в эти разделы математики можно найти, например, в книге [Кутасов и др., 1981].       Будем называть высказыванием любое утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Примерами высказываний могут служить следующие утверждения: сборная Бразилии — чемпион мира по футболу 1994 года; число 100 четное; сумма углов треугольника равна 90°. Первые два из этих высказываний истинны, а последнее ложно. Не является высказыванием, например, такое утверждение: учиться в школе легко; так как нельзя наверняка сказать, истинно оно или ложно. Многие теоремы (в частности, боль-       1 Поясним смысл слова «следует» в этом определении: утверждение следует из системы аксиом, если во всякой модели, где выполняются эти аксиомы, верно и данное утверждение; если же существует такая модель этой системы аксиом, где данное утверждение неверно, то считается что оно не следует из этой системы аксиом.       KOHEЦ ФPAГMEHTA