ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет развернутое изложение первой, предназначенной для IX класса, части учебника геометрии для IX — X классов средней школы, посвященного стереометрии. Учебник, как он задуман и представлен в данной книге, имеет некоторые особенности, связанные с принципиальными взглядами на геометрию и задачами среднего образования.
Сущность геометрии в органическом соединении пространственных представлений со строгой логикой, в котором они взаимно проникают и организуют друг друга. А так как все, что ни есть, находится в пространстве, то геометрия, как теория пространственных форм и отношений, имеет всеобщее значение. Мы окружены ее реальными воплощениями, она лежит в основе всей техники, появляясь всюду, где требуется малейшая точность в определении форм и размеров. Геометрия не существует без этих связей, — взятая «в себе», она не будет тем, что она есть на самом деле.
Соответственно первая особенность предлагаемого учебника состоит в том, что в нем уделено существенно большее внимание, чем это делается обычно, связи вводимых понятий и доказываемых теорем с реальными вещами, от повседневного обихода до техники и законов физики.
Это представляется тем более важным для всеобщего среднего образования, чтобы молодой человек воспринял науку в ее связи с жизнью и тем обогатил свои возможности практической деятельности и понимания действительности. Иначе может оказаться, что геометрия останется для него только учебным предметом, который надо выучить, сдать и забыть... Заметим, что даже для тех, кто будет заниматься математикой, понимание ее связей с другими науками и практикой также чрезвычайно важно.
Понимание целей всеобщего среднего образования определяет следующую — вторую особенность предполагаемого учебника. Она заключается в том, что учебник состоит как бы из двух частей: необходимого минимума и дополнительного материала, отмеченного всюду знаком... Необходимый минимум — это материал, изучение которого представляется обязательным для всех учащихся, а дополнения должны дать возможность учителю и ученикам выйти по желанию и по склонностям за пределы обязательного минимума.
Интересы, склонности, способности учащихся различны, и нужно постараться учесть это в рамках всеобщего образования.
Третья особенность предлагаемого учебника связана с логической структурой геометрии й с задачей развития у учащихся логического мышления. Особенность эта состоит в том, что в учебнике соблюдена логическая строгость изложения без того, чтобы сколько-нибудь его усложнить. Изложение опирается на аксиомы, особенность которых состоит в том, что в них плоскость фигурирует не как «неопределенное понятие» или «новый геометрический образ», а как та самая плоскость, геометрию которой учащиеся изучали в VI — VIII классах.
Соответственно изложение оснований стереометрии начинается с определения плоскости как, фигуры, на которой выполняется планиметрия. Это позволяет ввести потом всего четыре аксиомы. Дальше все теоремы действительно доказываются на основе аксиом (по крайней мере в пределах собственно элементарной геометрии, т. е. до теоремы о границе и теоремы Эйлера, в которой кое-что берется из интуиции без аксиом). Эта доказательность представляет еще одну особенность предлагаемого учебника.
Логическая система, где все доказано, представляется важной для воспитания элементов научного мировоззрения, которое требует доказательств, а не ссылок на то, что «так сказано в учебнике».
Однако вовсе не имеется в виду, что учащиеся должны знать все доказательства; достаточно, если они разберутся в них, а будут знать только некоторые, наиболее существенные. Развитие логического мышления требует упражнения, а не запоминания готовых выводов.
Накснец, особенность предлагаемого учебника состоит в том, что он полностью посвящен самой геометрии, чтобы сосредоточиться на главном — на пространственных представлениях, логическом мышлении и связях с реальными вещами. Параллельность и перпендикулярность излагаются вместе, соответственно их связи в самой геометрии и в строительстве. За этим следуют темы; касающиеся тел, переставленные из курса X класса (конечно, без вопроса об объемах). Это дает богатый материал развитию пространственных представлений, особенно в решении задач.
Мы ввели в курс совершенно элементарное понятие опорной плоскости и некоторые вопросы, касающиеся гыпуклых фигур. Эти по существу элементарные, наглядные вещи принадлежат математике XX в. и приобрели чрезвычайное значение и за пределами геометрии.
Мы убеждены, что средней школе нужен курс именно наглядной геометрии в возможно строгом изложении, в связях с реальными вещами. Создание такого курса, добиваясь прежде всего максимальной простоты без' ущерба для точности, — дело нелегкое, требующее испытания вариантов и отработки деталей. Мы надеемся, что те, кто познакомится с книгой и тем более будет работать с ней, помогут делу своей критикой и советами.
Вторая часть, соответствующая курсу X класса, будет состоять из четырех разделов: «Координаты и векторы», «Углы», «Перемещения», «Геометрические величины — объемы, площади, длины кривых». Тема «Координаты» имеет главной целью дать на материале системы прямоугольных координат содержательный материал для-повторения сведений о параллельности и перпендикулярности, полученных в IX классе. Повторение для повторения, вне применений, представляется авторам педагогически неэффективным. Метод координат только указан, и его возможные применения отнесены в задачи (необязательные).
Тема «Векторы» излагается, включая скалярное произведение, геометрически, с исходным более наглядным представлением о векторе, чем о параллельном переносе, но в логическом согласии с ним. Дальше векторы используются в определении углов в пространстве и в изучении перемещений.
Тема «Углы» оказывается небольшой. Перемещениям уделено внимание, большее, чем в других курсах. К этому побуждало по крайней мере два обстоятельства. Во-первых, перемещения дают хороший, наглядный материал, развивающий пространственные представления, например при рассмотрении элементов симметрии правильных многогранников. Во-вторых, геометрические перемещения связаны с такими важнейшими «вещами», как механическое движение и симметрия в природе и в искусстве. Эта тема должна поэтому служить общему развитию учащихся и насыщению курса геометрии живым материалом.
В тему о величинах включен короткий параграф о длине кривых, так как отсутствие в обычных курсах общего понятия длины кривой при наличии площади поверхностей выглядит нелепо. Вся тема излагается не традиционно, с опорой на наглядные представления и на интегральное исчисление.
К курсу X класса дано по традиции дополнение — «Исторический обзор», составленный, однако, не традиционно. Его главная задача — показать ученикам, хотя бы общими намеками, громадное содержание современной геометрии, ее связь с естествознанием и на ее примере — диалектический путь познания. Авторы убеждены, что общее образование должно включать хотя бы намеки на фундаментальные идеи подлинной философии на материале точных наук.
ВВЕДЕНИЕ
Стереометрией называют геометрию в пространстве — от греческих слов: «стереос» — телесный, пространственный, «метрео» — измеряю.
ПРО ГЕОМЕТРИЮ
Геометрию можно коротко определить как науку о фигурах.
Каждый человек имеет наглядное понятие о пространстве, о телах, о фигурах. Но в геометрии свойства фигур изучаются в отвлеченном (абстрактном) виде и с логической строгостью.
Своеобразие геометрии, выделяющее ее среди других разделов математики^ да и всех наук вообще, и заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.
Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих двух сторон, нет и подлинной геометрии.
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины — «лед и пламень не столь различны меж собой». Так геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так ее и надо изучать: соединяя живость воображения с логикой, наглядные картины — со строгими формулировками и доказательствами.
Поэтому основное правило состоит в том, что, обращаясь к определению, теореме или задаче, нужно прежде всего представить и понять их содержание: представить наглядно, нарисовать или, еще лучше, хотя и труднее, вообразить то, о чем идет речь, и одновременно понять, как это точно выражается.
Приступая к изучению доказательства теоремы или к решению задачи, следуйте такому принципу: старайтесь видеть — нарисовать, вообразить — и одновременно следить за логикой рассуждения; карандаш должен набрасывать или аккуратно рисовать
соответствующие картинки и тут же выписывать кратко в словах и формулах основные ходы рассуждения.
Геометрии возникла из практических задач, ее предложения Еыражают реальные факты и находят многочисленные применения. В.конечном счете в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется повсюду, где нужна малейшая точность в определении формы и размеров; и'технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему геометрическое воображение необходимо, как и геометру или архитектору.
При всем реальном значении геометрии каждому понятно, что ни в природе, ни в технике нет ни отрезков без всякой ширины, ни бесконечных прямых, ни точек без всяких размеров. Идеальные геометрические фигуры существуют только в нашем представлении.
Как же сложилось такое представление и зачем оно нужно?
Путь формирования геометрических представлений и понятий был очень долгим; он длился тысячелетия и, не завершен, понятия геометрии продолжают изменяться. Проследить даже в общих чертах этот путь мы не можем. Сделаем только самые общие пояснения.
Можно указать две основные причины того, что сложились и утвердились идеальные геометрические представления.
Первую причину легко понять из примера проведения отрезка. Землемеры в Древнем Египте втыкали в землю два колышка и протягивали между ними веревку. Но колышки можно взять'потоньше, а вместо веревки — тонкую нить. И не видно, почему нельзя уточнять это дальше.
Таким образом, первая причина состоит в том, что практика и наглядное представление всегда показывали и показывают возможность сделать формы тел и геометрические построения более точными. Так же, представляя себе продолжение отрезка прямой, мы не видим принципиальных ему границ, и возникает представление о неограниченно продолженной прямой.
Неточности связаны с особенностями материала реальных тел с теми или иными условиями. Но все это является посторонним и случайным по отношению к существу самих геометрических соотношений. Отвлекаясь от материала, можно мыслить тело идеально точной формы и размеров. Возникает представление об идеальных геометрических фигурах. Рассматривается, скажем, треугольник — не деревянный, не железный, ни какой другой, а треугольник вообще и значит — идеальный треугольник.
Геометрическая фигура в исходном смысле и есть не что иное, как идеальный, отвлеченный от всякого материала образ реального тела, реальной поверхности или линии.
Вторая причина того, что сложились и утвердились эти идеальные геометрические представления, заложена в потребностях практики. Для того чтобы точно решать практические задачи, нужны точные правила, а точные правила требуют точных понятий. Тем более точных понятий требует вывод одних правил из других.
Такие выводы, слагающиеся в логическую систему геометрии, могут относиться только к идеальным фигурам. Например, теорема Пифагора верна для идеальных треугольников, а к реальным применима только приближенная.
Словом, вторая причина формированияидеальных понятий геометрии состоит в том, что они нужны для точного решения задач и для точных теоретических выводов. А точная теория сама нужна в конечном счете для применения в науке и технике, как в точной работе нужен точный, хорошо отточенный инструмент.
Математика, геометрия в частности, и представляет собой могущественный инструмент познания природы и создания техники.
Подводим итог. Идеальные геометрические понятия возникают в результате отвлечения от всего постороннего по отношению к самим пространственным отношениям и формам, «как таковым» — в их собственном виде. Это отвлечение закрепляется в выводах геометрии, которой нужна прочная логическая структура, как нужна прочная структура хорошей машине.
Как писал В. И. Ленин: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит — если оно правильное... — от истины, а подходит к ней... все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее».
Глава I
ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 1. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
1.1. Основные объекты стереометрии
Обращаясь к геометрии в пространстве — к стереометрии, мы будем предполагать, что геометрия на плоскости — планиметрия — нам в основном известна.
Каждый представляет наглядно, что такое плоскость или по крайней мере конечный кусок плоскости, как. плоскость стола, доеки и т. п. Но в планиметрии плоскость рассматривается сама по себе, независимо от окружающего пространства. С такой точки зрения плоскость — это просто фигура, на которой выполняется планиметрия. Итак, дается следующее определение.
Определение. Плоскостью называется множество точек, в котором выполняется планиметрия, т. е. выполняются аксиомы планиметрии, а вместе с ними и их следствия.
Так же как в планиметрии, мы принимаем, что слова фигура и множество точек означают одно и то же.
Можно не помнить всех аксиом планиметрии; надо только по нимать, что плоскость — это фигура, где определены расстояния и прямые с их основными свойствами, а за ними — и другие известные фигуры: треугольники, окружности и т. д.
Однако, занимаясь геометрией на плоскости, мы все же помним, что плоскость расположена в пространстве и что вг нем много плоскостей. Вместе с плоскостями в пространстве содержатся и лежащие на них прямые. Точно так же между двумя любыми точками в пространстве есть определенное расстояние — то же, что на плоскостях, проходящих через эти две точки.
Таким образом, основные объекты стереометрии нам уже знакомы: это точки, расстояния между ними, прямые и плоскости. Только теперь это точки, прямые и расстояния не в одной плоскости, а пространстве — на разных плоскостях. А плоскости — £то те, геометрию которых — планиметрию — мы уже знаем.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
