Сто задач

      ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
      Автор настоящей книги Гуго Штейнгауз (1887—1972) — видный польский ученый, один из основоположников всемирно известной польской математической школы. Наряду с разносторонними чисто научными интересами в жизни Штейнгауза большое место занимали и педагогические увлечения. Блестящий преподаватель и популяризатор науки Г. Штейнгауз сыграл видную роль в становлении польского математического университетского преподавания.
      Статьи и книги, обращенные к учащимся средних школ, были для него отнюдь также не редкостью.
      Большим и заслуженным успехом пользуется книга Г. Штейнгауза «Сто задач», вышедшая в свет в польском оригинале в 1958 г. и уже в следующем году изданная по-русски (М.: Физматгиз, 1959). В 1963 г. в Польше книга «Сто задач» была издана на английском языке. При подготовке этого издания автор расширил или переработал решения некоторых задач и пополнил книгу рядом новых тем, исключив из ее текста несколько задач с тем, чтобы общее их число по-прежнему равнялось ста. В основу второго русского издания положено именно это английское издание. Однако мы сочли возможным не исключать из ее состава некоторые из входивших в первое издание задач; эти исключенные из английского издания книги задачи помечены буквами а, б и т. д. после их номера.
      Все входящие в первое русское издание задачи и их решения даны в переводе Г. Ф. Боярской и Б. В. Боярского, который публиковался ранее. Новые задачи и их решения переведены с английского Е. О. Головиной и Ю. О. Головиным.
      Настоящее (четвертое) издание печатается практически без изменений.
     
      ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
      Эта небольшая книга возникла как отклик на то неблагополучие в математической подготовке школьников, которое вскоре после войны ощутили многие работники университетов и технических институтов. Стала очевидной необходимость более тесного сотрудничества между преподанателями средних школ и творчески работающими математиками. Некоторые ученые начали публиковать в общеобразовательных журналах задачи для учащихся средних школ, стремясь таким путем стимулировать интерес школьников к математике.
      В этой книге читатель найдет 100 элементарных задач и решения всех этих задач. Некоторые из задач могут оказаться известными учащимся старших классов, но в основном я старался избегать дублирования тех упражнений, которые имеются в распространенных пособиях для средних школ. Не стремясь к исчерпывающей классификации ктдач, я отдавал предпочтение в первую очередь тем из них, которые естественным образом возникают из геометрических рассмотрений. Не предполагая знакомства читателя с высшей математикой, я был ограничен в возможном выборе задач. Этим и объясняется небольшой размер настоящего сборника. Решения, однако, изложены достаточно подробно для того, чтобы быть понятными как учителям средних школ, так и тем из их учеников, которые любят или, во всяком случае, не боятся самостоятельно думать.
      Последнюю главу книги составляют задачи, решения которых здесь не указаны, причем во многих случаях у меня была весьма уважительная причина эти решения опустить: дело в том, что я их не знаю. Я надеюсь, что читатели постараются решить некоторые из этих задач, причем хорошо, если они будут считать, что решения задач известны: это заблуждение может придать им силы и позво лит достичь цели там, где автору это не удалось.
      «Сто задач» могут помочь и некоторым студентам первокурсникам, обескураженным трудностями высшей ма тематики. Демонстрируя им элементарную математику новой для них стороны, «Сто задач» могут помочь перекинуть мост через кажущуюся пропасть между «элементарной» и «высшей» математикой.
      Эта книга первоначально была опубликована по-поль ски; английский ее вариант был дополнен, а решения ста рых задач иногда отредактированы заново. Существуй также русский перевод «Ста задач», опубликованный ти ражом в 100 000 экземпляров.
      Г. Штейнгау.
     
      ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПОЛЬСКОМУ ИЗДАНИЮ
      Настоящий сборник элементарных задач должен ввести читателей в практику универсального метода трактовки явлений, которому греки дали название математика, облегчить им переход от практики средней школы к настоящей математике и показать им эту науку на доступном материале. В связи с этим предлагаемый сборник предназначен, прежде всего, для учителей и более способных учеников.
      Большинство задач оригинальны, но не все: некоторые из них общеизвестны, некоторые принадлежат другим авторам; в тех случаях, когда автор известен, я называю его имя.
      Несмотря на помощь многих лиц, я должен все-таки сослаться на латинскую поговорку, которая хвалит уже само желание, если даже исполнение отстало от намерений. Но главная цель будет достигнута, если читатели увидят на примере ста задач смысл и дух настоящей математики.
      Г. Штейнгауз
     
      ЗАДАЧИ
     
      Фpaгмeнты книги:
     
      50. Раздел лепешки. Каждую лепешку независимо от ее формы можно разделить на четыре равные части двумя взаимно перпендикулярными сечениями. Другими словами, для каждой плоской области с площадью Р можно найти такие две взаимно перпендикулярные прямые, что в каждой из четырех образуемых ими четвертей лежит часть этой области, имеющая площадь Р/4.
      (Доказать эту теорему значительно легче, чем фактически разделить на четыре равные части, скажем, треугольник со сторонами 3, 4, 5.)
     
      51. Раздел треугольного торта. Павел и Гавел должны разделить между собой треугольный торт. Гавел поставил условие, что он прямолинейным разрезом отрежет свою часть, а Павел согласился на это с тем условием, что ои заранее обозначит точку Р, через которую должен пройти этот разрез. Так как торт имеет одинаковую толщину в любом месте, а также однороден по вкусу, то задача имеет планиметрический характер. Вопрос ставится следующим образом: как Павел должен выбрать точку Р, чтобы лучше защитить себя от чревоугодия Гавла? Второй вопрос: какой величины излишек перепадет Гавлу, если Павел удачно решит первую задачу, а Гавел потом отрежет себе возможно большую часть торта?
      Если бы форма торта зависела от Павла, то он мог бы выбрать фигуру, имеющую центр симметрии (т. е. круг, квадрат, эллипс и т. д.), и поместить Р в этом центре. Тогда у Гавла не оказалось бы никаких преимуществ. Однако интересен вопрос, какая форма торта (при сохранении указанных вначале условий раздела) будет самой удобной для Гавла и какой наибольший излишек он сможет себе обеспечить, удачно выбрав форму торта?
     
      52. Взвешивания. Имеется 5 предметов различного веса, которые нужно упорядочить по убыванию весов, пользуясь чашечными весами без гирь, с помощью которых можно сравнить веса любых двух предметов. Как нужно действовать, чтобы решить задачу, используя наименьшее возможное число взвешиваний? Чему равно это число?
     
      52а. Когда его день рождения? День рождения Невядомского отмечали в многочисленном кругу. Кроме сестры хозяина Екатерины и его брата Иоахима, присутствовал известный путешественник Педанткевич и много других друзей Невядомского, которые ценили его варшавское гостеприимство.
      Кто-то спросил Педанткевича, что он делал год тому назад. Тот взял блокнот и с присущей ему педантичностью ответил: «Точно год тому назад я вышел на восходе солнца из палатки, прошел прямо на юг милю или немного больше, свернул на запад и через несколько часов, ничего не подстрелив, свернул на север. Своих собственных следов я уже не пересекал и, идя все время на север, вышел к палатке». Когда день рождения Невядомского?
     
      53. Сколько лет Софье Сергеевне? Наша знакомая Софья Сергеевна еще не стара, ибо родилась после первой мировой войны, но она не любит прямо отвечать на вопрос — сколько ей лет.
      Когда ее спросили 27 июля 1950 г., сколько ей лет, она ответила: мне всего один-год, так как я отмечаю день своего рождения только тогда, когда он совпадает с днем недели, н который я родилась, а такой день рождения я отмечала всего лишь один раз.
      Сколько лет Софье Сергеевне?
     
      54. Сколько рыб в пруду? Некий ихтиолог хотел определить, сколько в пруду рыб, годных для улова. Для этого он забросил сеть с заранее выбранным размером ячеек и, вытащив ее, обнаружил 30 рыб, отметил каждую из них меткой и бросил обратно в пруд. На другой день забросил ту же самую сеть и поймал 40 рыб, на двух из которых были его метки. Как по этим данным он приблизительно вычислил количество рыб в пруду?
     
      55. Калибровка валиков. Одна из составных частей бензинового двигателя имеет форму валика. Для измерения толщины валика служит стальная плита, в которой в ряд высверлены 15 отверстий с точно установленными размерами. Первое отверстие имеет диаметр 10 мм, каждое последующее имеет диаметр, на 0,04 мм больший предыдущего. Калибровка валика заключается во вкладывании его в отверстие; если он не помещается, то его диаметр считают больше диаметра отверстия, а если помещается, то считают его меньше. Таким образом, в конце концов диаметр валика определяется с погрешностью менее 0,04 мм (валики с диаметром меньше 10 мм, или больше 10,56 мм, не принимаются во внимание; остальные же идут на дальнейшую обработку).
      Рабочие, которым поручена калибровка, пробуют каждый валик на одном и том же числе отверстий, но, конечно,
      на разных отверстиях. Сколько проб измерения необходимо для каждого валика? Какова должна быть очередность проб?
     
      57. Лента на трубке. Ленту длиной 25 м и толщиной 0,1 мм намотали плотно на картонную трубку — получился валик диаметром 1 дм. Каков диаметр трубки?
     
      58. Часы с одинаковыми стрелками. Известно, что, определяя время без часов, никто не ошибается более чем на шесть часов.
      Часовой мастер вставил в часы две одинаковые стрелки, так что невозможно отличить малую от большой. Какова будет наибольшая ошибка, которая грозит владельцу часов?
     
      59. Великаны и карлики. На уроке физкультуры в классе, в котором все ученики были разного роста, учитель, построив класс прямоугольным строем, сказал. «Сейчас мы увидим, кто среди вас самый высокий карлик». Отыскал в каждом ряду самого низкого, а когда эти «карлики» высту-
      пили из строя и создали переднюю шеренгу, он выбрал самого высокого из них: «Вот самый высокий карлик».
      Мальчики вернулись на старые места, и тогда учитель сказал: «Сейчас я вам покажу самого низкого великана». Указал в каждой шеренге на самых высоких, а когда «великаны» выступили вперед, нашел самого низкого среди них: «Вот самый низкий великан».
      Могло ли случиться, что один и тот же мальчик мог оказаться самым низким «великаном» и самым высоким «карликом»? Существуют ли такие классы, в которых самый низкий «великан» меньше самого высокого «карлика?» А как обстояло бы дело, если бы учитель при определении «великанов» искал бы их в рядах, а не в шеренгах, т. е. точно так же, как искал «карликов»?
     
      60. Ученики классов А и В. В школе есть два класса: А и В. Ученики класса А хвастаются, что они выше ростом, чем ученики класса В, а ученики класса В считаются лучшими математиками. Когда однажды один из учеников класса А свысока посмотрел на ученика класса В, тот спросил: что, собственно, означает, что вы выше нас ростом? Значит ли это, что:
      1) любой из вас выше любого из нас?
      2) самый высокий из вас выше самого высокого из нас?
      3) для любого из учеников класса А найдется ученик класса В ниже ростом?
      4) каждый из учеников класса В ниже хотя бы одного из учеников класса А?
      5) для каждого ученика класса А можно указать ученика класса В ниже ростом, причем разным ученикам класса А соответствуют разные ученики класса В?
      6) для каждого из учеников класса В можно указать ученика класса А выше ростом, причем разным ученикам
      класса В соответствуют разные ученики класса А?
      7) самый низкий ученик класса В ниже самого низкого из учеников класса А?
      8) число учеников класса В, меньших ростом самого маленького из учеников класса А, больше числа учеников класса А, меньших ростом самого высокого из учеников класса В?
      9) суммарный рост учеников класса А больше суммарного роста учеников класса В?
      10) средний рост учеников класса А больше среднего роста учеников класса В?
      11) среди вас больше таких, которые выше кого-либо из нас, чем у нас таких, которые выше кого-либо из вас?
      12) среди вас больше учеников выше нашего среднего роста, чем среди нас учеников выше вашего среднего роста?
      13) серединный по росту из вас выше серединного по росту из нас (в том случае, если учеников в классе четное число, серединным ростом считается среднее арифметическое от роста серединной пары учеников)?
      Ошеломленный потоком вопросов ученик класса А стал как будто ниже. Мы спрашиваем читателей: зависят ли эти вопросы друг от друга, а если зависят, то укажите, какие именно? Другими словами, нужно найти такие пары вопросов, для которых положительный ответ на один из них предопределяет положительный ответ и на второй. Существуют ли эквивалентные вопросы, т. е. существуют ли такие пары, для которых ответы на оба вопроса обязательно должны быть рдинаковы? Существуют ли пары вопросов зависимых, но не эквивалентных?
     
      64. Излишек труда. Если мы хотим вбить по гвоздю в каждый из нескольких десятков столбов, расставленных на равных расстояниях вдоль дороги, то лучше всего начать с первого, а закончить последним. Но как сделать то же самое хуже всего, т. е. так, чтобы проделанный нами путь был самым длинным?
     
      65. Диагональ прямоугольного параллелепипеда. При помощи масштабной линейки измерьте диагональ кирпича, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, т. е. расстояние между самыми отдаленными его вершинами.
      Укажите практический способ, пригодный для работы в мастерских (а не школьный пример на применение теоремы Пифагора).
     
      66. Перевязывание коробок. В кондитерских для перевязывания коробок конфет поступают так: лента идет наискось и образует один замкнутый косой (неплоский) восьмиугольник; на крышке видны два параллельных отрезка ленты, а внизу лента проходит подобным же образом. Зная все измерения коробки, можно вычислить длину ленты, а также под какими углами она пересекает ребра коробки. И, наконец, можно доказать, что лента может быть смещена не только вдоль самой себя, но также и по коробке.
     
      66а. Другое перевязывание. Коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, обычно перевязывается накрест: шнурки пересекаются под прямым углом в центре покрышки N и в центре основания Р.
      Доказать, что прочное склеивание шнурков в N и Р делает невозможным всякое их смещение.
     
      67. Безмен. Безмен — это деревянный (или металлический) тонкий стержень (постоянной толщины), сделанный из однородного материала. На одном конце к нему приделан довольно тяжелый груз, а на другом — крючок, поддерживающий взвешиваемые предметы. На стержне с помощью зарубок нанесена шкала, по которой мы прочитываем (например, в килограммах) вес подвешенного на крючке предмета. Для этого на безмене нужно найти точку, в которой он, подпираемый пальцем (или острием ножа), уравновешивается: соответствующее этой точке деление шкалы укажем искомый вес. Шкалу легко сделать экспериментально, если есть гири,— чем богаче их комплект, тем точнее будет шкала.
      Как составить шкалу геометрическим способом, если у пас есть только одна гиря, например только килограммовая?
     
      77. Шахматная доска. Пусть квадратная или прямоугольная шахматная доска имеет нечетное число клеток (например, 49 или 63). Клетки с общей стороной будем называть смежными.
      На каждой клетке шахматной доски расставляем по одной пешке, затем собираем пешки и снова расставляем на клетках шахматной доски.
      Возможно ли, чтобы каждая пешка оказалась в клетке, смежной с той, которую она занимала первоначально?
     
      78. Еще раз о шахматной доске. На каждой клетке шахматной доски ставим по пешке. Пешки собираем и расставляем заново, но так, чтобы пешки, стоявшие в левых углах, заняли свои прежние места и чтобы пешки, которые были соседними (т. е. занимали смежные клетки), снова стояли по соседству.
      Возможно ли, чтобы какая-нибудь пешка оказалась на другом месте, чем первоначально?
     
      79. Ладья на шахматной доске. Шахматная доска, которой мы воспользуемся, имеет столько же строк, сколько и столбцов, но отличается от обычной шахматной доски тем, что расположение белых и черных клеток может быть произвольным, лишь бы в каждом столбце была по крайней мере одна белая клетка и лишь бы по крайней мере один столбец был целиком белый. Будем говорить, что нам удалось расположить ладьи (а у нас их достаточный запас, так что недостатка в них не будет) на шахматной доске, если мы удовлетворим следующим условиям: 1) ладьи стоят только на белых клетках, 2) на шахматной доске стоит хотя бы одна ладья, 3) ладьи не атакуют друг друга (т. е. они стоят так, 'im не могут бить друг друга), 4) каждая белая клетка, не Таня гая .падьей, но находящаяся по горизонтали под угрозой ладьи, находится также под угрозой некоторой ладьи и по вертикали.
      Доказать, что всегда можно расставить ладьи согласно требованиям 1), 2), 3) и 4).
     
      82. Спортивная задача (II). Три бегуна А, Б и С систематически состязались в беге на 200 метров, замечая после каждого пробега порядок, в котором они достигали финиша. Подводя итоги, они обнаружили, что в большинстве состязаний А обгонял В и что в большинстве случаев В бежал быстрее С, а также, что в большинстве случаев С приходил к финишу раньше А. Как это могло случиться?
     
      93. Удивительное число. Доктор Шарадек решил в , корне изменить математическую запись. Он считает большим недоразумением то, что существует число, известное детям, начинающим учиться в школе, которое наряду с обычной записью имеет еще другую запись, о которой эти дети узнают лишь несколько лет спустя, а также еще и третью, очень сложную, о которой (к сожалению!) они узнают в более зрелом возрасте, причем никто им не говорит, что это — то же самое число. Только доктор Шарадек и его друзья знают этот секрет. Какое же это число?
     
      96. Студенческие долги. Семь студентов живут в одной квартире. В течение всего года они взаимно одалживают друг другу мелкие суммы денег. Доктор Сильвестр Шарадек посоветовал им, чтобы каждый отмечал у себя, сколько денег он взял взаймы и сколько дал взаймы, но не записывал, у кого или кому одолжил деньги. Перед отъездом ка каникулы студенты решили рассчитаться друг с другом, однако они не знали, как это сделать. Достаточна ли такая бухгалтерия Шарадека для того, чтобы студенты могли расплатиться друг с другом? Сколько в худшем случае необходимо сделать выплат? (Выплатой мы называем вручение одному человеку какой-либо суммы денег другим человеком.)