СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Глава I. Методы, упрощающие сложение и вычитание 6
1. Устное сложение многозначных чисел 6
2. Сложение методом «корневых» чисел 7
3. Использование при сложении метода среднего числа (формулы суммы арифметической прогрессии) 8
4. Соединение соседних разрядов при сложении и вычитании 9
5. Использование округления чисел при сложении и вычитании (метод использования «круглых» чисел) 11
6. Вычитание из чисел вида аx10 в ст. n или аx10 в ст. n+а, где а мало 12
Глава II. Методы, упрощающие умножение и деление 16
1. Использование порядка выполнения действий для облегчения вычисления произведения16
2. Общие методы, упрощающие умножение22
3. Русский способ умножения и деления (способ изменения сомножителей) 32
4. Разложение множителей на слагаемые 35
5 Метод, упрощающий умножение на число, в состав которого входят цифры 6, 7, 8 и 9 («метод отрицательных цифр») 35
6. Умножение чисел, близких к 10 в ст. n, 2x10 в ст. n, 5x10 в ст. n, аx10 в ст. n (метод дополнений) 36
7. Умножение на число, близкое к 10 в ст. n 56
8. Умножение на число вида 9, 99, 999, ,(10 в ст. n—1) 60
9. Умножение чисел, у которых сумма цифр единиц составляет 10 66
10 Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц сомножителей составляет 10, и другие случаи 69
11. Умножение чисел с равным числом десятков или с равным числом единиц, или на число, состоящее из одинаковых цифр 72
12. Нахождение произведений вида (а+b)x(а—b) 77
13. Умножение двузначных чисел, оканчивающихся на 1 77
14. Умножение чисел, заключенных между 10 и 20 78
15 Деление многозначных чисел на число, близкое к 10 в ст. n (метод дополнений) 79
16 Деление на число, близкое к «круглому» 82
17. Деление с использованием умножения (или деления) делимого и делителя на одно и то же число. 85
Глава III. Методы, позволяющие упростить возведение числа в степень и извлечение из числа корня n-й степени 87
1. Возведение в квадрат целого числа а, если известен квадрат предыдущего (а—1) или последующего (a+1) натурального числа 87
2. Возведение в квадрат целого числа а при условии, что известен квадрат числа (а—2) или числа (а+2) 88
3. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 25 и 75 89
4. Возведение в квадрат трехзначных чисел, оканчивающихся на 5 90
5 Возведение в квадрат чисел вида 50±а (или в общем виде чисел вида 5x10 в ст. n±а) 92
6. Общие методы, упрощающие возведение в квадрат чисел вида 5x10 в ст. n±b, где а — любая значащая цифра, b — число, квадрат которого известен 95
7. Возведение в квадрат произвольных двузначных чисел 98
8. Извлечение корня квадратного из четырехзначных чисел, представляющих полный квадрат 100
9 Извлечение корня высших степеней из чисел, число цифр в которых не превышает значение показателя корня 104
Глава IV. Проверка правильности выполненных вычислений 107
1. Проверка вычислений с помощью 9 107
2. Проверка с помощью 11 115
Литература 118б
ВВЕДЕНИЕ
Современный уровень развития социалистического народного хозяйства характеризуется повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники и экономико-математических методов во все отрасли советской экономики. Все чаще и чаще математические расчеты входят в качестве необходимой составляющей в работу рабочего, инженера, экономиста, в работу специалистов, ранее никогда не сталкивавшихся с необходимостью выполнять вычислительные работы. Но несмотря на то, что математическая культура современного производственника стала несоизмеримо выше по сравнению с уровнем рабочего первых пятилеток, на арифметические расчеты, когда их приходится выполнять, тратится неоправданно много времени. «Неумение считать быстро и просто является настолько общим и современным недостатком, что мы его не замечаем, несмотря на весь приносимый им вред», — писал И. Ф. Слудский в 1925 году. К сожалению, эта цитата не устарела и сегодня, правда, с учетом того, что сейчас под умением быстро и просто считать понимается несколько иное, чем имелось в виду в то время. Отсутствие навыков в быстрых приближенных вычислениях часто заставляет отказываться от оценочных расчетов, от рассмотрения ряда вариантов, столь необходимых для принятия грамотного решения.
Преклонение перед,математикой как самой точной наукой нередко переходит в веру непогрешимости и оптимальности тех методов счета, которые мы познаем в средней школе. Любое вмешательство в рутинные, но хорошо освоенные нами методы счета чаще всего вызывает протест (иногда неосознанный), который прежде всего проявляется в отношении к новым методам.
Овладение рациональной, быстрой и изящной техникой счета требует от человека определенных усилий, а главное — творческого отношения к вычислительному процессу, ибо наиболее эффективные методы, дающие наибольший выигрыш в вычислительной работе, основаны на сознательном использовании основных особенностей чисел, применяемых в вычислениях. Знание же этих важных свойств конкретных чисел дает порой исключительные результаты. Например, даже при наличии арифмометра выполнить умножение чисел 0,9999997-0,9999998 — дело нелегкое (подобные и еще более сложные вычисления приходится производить при расчете надежности элементов и систем). Но вычисление выполняется устно проще и быстрее, чем на любой математической машине. Ознакомившись с методом дополнений, вы сможете убедиться в правильности этого утверждения.
В настоящее время на русском языке отсутствует литература, хотя бы относительно полно освещающая приемы и методы, упрощающие вычисления. Одна из наиболее известных в этой области книга математика Г. Н. Бермана «Приемы счета» содержит очень небольшое количество известных приемов и не может удовлетворить требованиям сегодняшнего дня. Но и она стала библиографической редкостью. Интересная работа Э. Котлера и Р. Мак-Шейна «Система быстрого счета по Трахтенбергу», вышедшая в переводе с английского языка в 1967 году, включает в основном специфические разработки немецкого профессора.
Настоящая работа призвана по возможности восполнить этот пробел, помочь всем, кому приходится иметь дело с вычислениями, предоставить в их распоряжение наиболее рациональные приемы вычислений, существенно сокращающие вычислительный процесс, упрощающие его и способствующие повышению достоверности получаемых результатов.
В работе представлены материалы по рационализации выполнения основных арифметических действий и проверке правильности полученных результатов. Наиболее перспективные и общие методы автор пытался осветить полнее, показать различные аспекты их применения, чтобы читатель мог активно их освоить, а иногда и развить дальше. Стремление показать все возможности метода заставляли автора иногда нарушать порядок помещения материала по главам. В частности, чтобы показать логику развития и использования метода, материал по возведению в квадрат чисел определенного вида оказался в главе об умножении.
При просмотре материала может возникнуть вопрос: неужели все написанное здесь можно запомнить? Неужели все это надо запомнить? Принципы применения основных методов, безусловно, нужно освоить. Многое будет непосредственно следовать из этих основных положений (как, например, метод дополнений). Некоторые способы, несмотря на относительно узкий круг применения, настолько просты, что запоминаются непроизвольно. В детстве еще мне сообщили способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, — число десятков надо умножить на следующее число и приписать 25:
65x65=? 6x(64+1)=42 65+65=4225.
Этого оказалось достаточным, чтобы такой простой метод навсегда остался в памяти и вошел в активный арсенал моих вычислительных способов. Но, безусловно, книга может чему-то научить только заинтересованного человека, читающего ее с карандашом и бумагой в руках.
Подавляющее большинство предлагаемых способов предельно просто, но подробное формальное описание занимает много места. Поэтому, сталкиваясь с длинными, многошаговыми методами вычислений, не пугайтесь, разберитесь. В итоге скорее всего все окажется очень просто. Большая часть приемов рассчитана на устное вычисление с записью окончательного результата, некоторые методы упрощают письменные вычисления.
Иногда выполнение арифметических действий с одними и теми же числами описывается с применением разных методов. Читателю предоставляется возможность выбрать тот из них, который конкретно для него будет наиболее прост.
В начале второй главы автор дает рекомендации по записи и расположению чисел в вычисляемых примерах, но в дальнейшем сам этими рекомендациями не пользуется. Это не случайно. Непривычное расположение чисел, непривычная запись могут мешать восприятию нового излагаемого материала и с этим необходимо считаться. #
Автор будет благодарен всем читателям за высказанные замечания о работе, которые можно послать или в адрес редакции, или непосредственно автору: Москва, 129243, Ракетный бульвар, д. 15, кв. 46.
КОНЕЦ «ВВЕДЕНИЯ»
|
