Николай Александрович Рыбкин
Прямолинейная
тригонометрия
для 9-10 классов
*** 1951 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ВВЕДЕНИЕ. § 1. Предмет тригонометрии. Слово тригонометрия в переводе с греческого языка означает измерение треугольников. Такое название она получила потому, что первоначальной задачей этой науки было нахождение способов вычислять неизвестные элементы треугольников (углы и стороны) по другим, известным их элементам (решение треугольников). Эта задача и ныне остаётся одной из основных задач тригонометрии. Для установления числовых зависимостей между сторонами и углами треугольника в тригонометрии рассматриваются особые вспомогательные величины, зависящие от величины угла, называемые тригонометрическими функциями. Но значение тригонометрических функций не ограничивается их применением к решению треугольников — они находят применение во многих других отделах математики, а также в физике, механике и т. д. В связи с этим изучение тригонометрических функций сделалось не менее важной задачей, чём решение треугольников. Таким образом, тригонометрия распадается на две части: гониометрию — учение о свойствах тригонометрических функций, и тригонометрию в узком смысле слова — учение о решении треугольников. Тригонометрия имеет большое применение в практике: при геодезических работах — определение высот и расстояний, съёмка планов, триангуляция; в астрономии — определение высот и азимутов светил, склонения и прямого восхож. дения, вообще небесных координат, а знание небесных координат ведёт к вычислению географических координат; в механике — проектирование силы на* ось, направление равнодействующей, законы периодического движения; в машиноведении — расчёт нарезок, зубчатых колёс и т. п. Возникла тригонометрия в Греции в связи с астрономией; астрономия в свою очередь развивалась под влиянием потребностей мореплавания и земледелия; для безопасности морских путешествий требовалось определять пекзвёздрц правильный курс корабля; для земледелия требовался* точный календарь, который могла дать астрономия, основанная на математике и в частности на тригонометрии. Автором первых /Тригонометрических таблиц считается Гиппарх, живший во И в. до нашей эры. Таблицы Гиппарха содержали длины хорд для различных центральных углов. За 100 лет до нашей §ры учёныЬ Менелай открыл основы сферической тригонометрии. Клавдий Птоломей, знаменитый автор доксперниксвской геоцентрической системы мира, в своей книге „Syntaxis Mathematica" поместил таблицы длины хорд круга, радиус которого равен единице. Радиус он делил на 60 частей, каждую из частей — ещё раз на 60 частей и ещё раз на частей; эти части назывались partes minutae primae и partes minutae secundae, откуда и произошли наши названия: минуты („первые уменьшенные части") и секунды („вторые уменьшенные части"). Таблицы Птоломея содержали величины хорд для центральных углов 1° 1° в 1°, lL, 2° 2, ... В средние века тригонометрия развивалась в Индии; Индусы употребляли половину хорды, т. е. линию синуса; они же ввели косинус. Индусам были известны таблицы синусов, формула sin2 а cos2 а = 1 (которую, впрочем, они писали не с помощью математических символов, а словами) и приведение синуса и косинуса тупого угла к функциям острого угла. В IX и X вв. арабские учёные ввели тангенс и составили ’бЬлее точные таблицы синусов. Развитие тригонометрии у арабов объясняется тоже потребностями астрономии и мореплавания, так как арабы вели большую торговлю по Средиземноморскому побережью. В Европе первым писателем по тригонометрии был английский учёный Б р а д в а р д и н (XIII и XiV вв.). Первый систематический курс тригонометрии написал в XV в. немецкий учёный Иоган Мюллёр, писавший под именем Региомонтана. В книге „О треугольниках всех видов" он приводит решение плоских и сферических треугольников. Региомонтан Йзлагает тригонометрию уже как самостоятельную науку, независимую от астрономии. С XVI в., после введения Виета буквенных обозначений, формулы тригонометрии принимают современный характер. Из других ученых работали в области тригонометрии Непер (изобретатель логарифмов), Потенот и член Петербургской академии наук гениальный Эйлер. Эйлера можно считать основателем современного учения о тригонометрических функциях. § 2. Понятие о функции. Существуют переменные величины, связанные между собою так, что каждому значению одной из. них соответствует определённое значение другой. Таковы, например, переменные величины у их в следующих равенствах: таковы же: сторона квгдрата и.его площадь, радиус шара и его объём и т. д. Переменная величина, значения которой соответствуют значениям другой переменной величины, называется функцией этой второй велйчины. Так, например, можно сказать, что площадь круга есть функция его радиуса; действительно, с изменением длины радиуса изменяется и площадь круга, и при этом каждому значению радиуса .соответствует определённое значение площади круга (и наоборот: радиус круга мы назовём функцией его площади, если будем назначать Площадь и по ней определять радиус). Та величина, в зависимости от которой изменяется функция, называется аргументом функции. Так, если равенство у = хг служит для спределения у по данному х, то х есть аргумент, а у — функция; также в равенстве y=\gN имеем: N есть аргумент, у — функция. § 3. Измерение дуг и углов. Как известно из геометрий, угЛы измеряются с помощью дуг. Если дуга служит для измерения угла, то её выражают или в долях окружности, или в долях радиуса1). Первый способ даёт для дуги и угла градусное выражение, известное из геометрии. Второй способ состоит в том, что дугу выражают числом, показывающим её отношение к радиусу; если, нгпри-мер, сказано: „величина дуги равна 2,43“, то это значит, что выпрямленная дуга содержит 2,43 радиуса; полуокруж- *) Первый способ нагляднее и применяется в практических измерениях (на угломерных инструментах), второй предпочитает в теоретических вопросах. |
