Маргарита Романовна Леонтьева
Светлана Борисовна Суворова
Упражнения
в обучении
алгебре
для учителя
*** 1985 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
Глава I ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ § 1. ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ 1. Деятельность, ее структура н формы Философская категория деятельности имеет важное мировоззренческое и методологическое значение для всех социальных наук, в частности и для педагогики. Действительно, цель процесса учения — познание действительности, но без деятельности познание невозможно. Тезис о единстве сознания и деятельности является одним из основополагающих принципов советской психологии. С. Л. Рубинштейн сформулировал его так: «Деятель- ность человека обусловливает формирование его сознания, его психических связей, процессов и свойств, а эти последние, осуществляя регуляцию человеческой деятельности, являются условием ее адекватного выполнения» [18, с. 251]. По форме протекания деятельность можно подразделить на внешнюю, практическую и внутреннюю, мыслительную. Советская психология базируется на марксистских позициях в отношении учения о деятельности, о ее развитии и формах. Понятию деятельности К. Маркс придавал строго материалистический смысл, считая, что деятельность в ее исходной и основной форме — это чувственная практическая деятельность. Развивая положения Маркса, советские психологи утверждают, что внутренней деятельности сознания генетически предшествует внешняя, т. е. одна из форм деятельности есть порождение другой. Внутренняя психическая деятельность возникает в результате перехода внешних по своей форме процессов с вещественными предметами в процессы, протекающие в умственном плане. Возможен и переход в противоположном направлении от внутренней деятельности к внешней. Основной характеристикой деятельности является ее предмет, т. е. то вещественное или идеальное, что побуждает деятельность, придает ей определенную направленность, делает ее мотивированной; беспредметной, немотивированной деятельности не бывает. Любая деятельность осуществляется некоторой совокупностью действий. Действие — это процесс, направленный на достижение некоторой цели, причем побуждается это действие мотивом той деятельности, которую данное действие реализует. Каждое действие осуществляется некоторым набором операций — способов достижения поставленной цели в данных конкретных условиях. Выделенные единицы человеческой деятельности — действия и операции — образуют ее структуру. Каждая образующая структуры деятельности может становиться более дробной или, наоборот, укрупняться. Например, в ходе достижения некоторой цели может произойти выделение промежуточных целей, в результате чего действие раздробится на ряд отдельных последовательно выполняемых действий. Так бывает в- тех случаях, когда действие затруднительно выполнить с помощью сформированных операций. Если же промежуточные результаты сливаются между собой и перестают осознаваться, то происходит процесс укрупнения единиц деятельности. Описанная структура присуща любой деятельности, поэтому А. Н. Леонтьев назвал ее общей структурой деятельности. Принципиально важно то, что такова общая структура внешней и внутренней деятельности. При этом могут быть и такие частные случаи, когда некоторая внутренняя деятельность, например познавательная, реализуется с. помощью внешних действий или с помощью внешних операций. Может быть и так, что некоторые из осуществляющих внешнюю деятельность действий и операций могут иметь форму внутренних, умственных процессов, Итак, структурные элементы деятельности могут выступать как во внешней, материальной форме, так и в форме внутренней, психической. 2. Учебная деятельность Одним из важнейших видов человеческой деятельности является так называемая учебная деятельность. Учебная деятельность может быть организована разными способами и в разных условиях. Нашей целью является рассмотрение учебной деятельности школьников при обучении алгебре в рамках средней общеобразовательной школы. Характерная черта этой деятельности состоит в том, что она организуется и направляется учителем и осуществляется с помощью специальных средств обучения — учебника, дидактических материалов, таблиц, диафильмов и пр. Любая учебная деятельность предполагает усвоение некоторого материала. Под усвоением понимают особый процесс, включающий в себя восприятие, мышление, память. Советские психологи рассматривают восприятие и как ступень, и как основную форму познания человеком действительности. Восприятие обусловлено устройством органов чувств человека, однако для того, чтобы в голове человека возник осязательный, зрительный или слуховой образ предмета, необходимо, чтобы между человеком и этим предметом сложилось деятельностное отношение, т. е. образы восприятия формируются в результате деятельности человека. «Хотя деятельность восприятия есть деятельность особая в том смысле, что в своих развитых формах она непосредственно не связана с практическим воздействием человека на предмет и имеет в качестве своего продукта субъективный образ предмета (т. е. продукт идеальный), она всё же является подлинно предметной деятельностью, подчиняющейся своему предмету...» [12, с. 36]. Советская психология требует рассматривать мышление также как живую человеческую деятельность. «Как и практическая деятельность, мыслительная деятельность отвечает тем или иным потребностям и побуждениям... Как и практическая деятельность, она состоит из действий, подчиненных сознательным целям. Наконец, как и практическая деятельность, мышление осуществляется теми или иными средствами, т. е. при помощи определенных операций, в данном случае — логических или математических» [12, с 45]. Мыслительная деятельность может протекать как в форме внутренней, теоретической, так и в форме внешней деятель?, ности с материальными предметами (так называемое предметнодейственное мышление). Память, как и другие психические процессы, также является деятельностью. Запоминает ли человек, вспоминает ли, воспроизводит ли известное, узнает ли — любой из этих процессов является определенным видом человеческой деятельности. Она требует волевых усилий и побуждений, осуществляется в результате специфических действий, выполняемых с помощью специальных операций (например, смысловая группировка материала, мнемонические приемы и т. д.). Итак, восприятие, мышление, память — психические процессы, основанные на активности человека, виды человеческой деятельности. Сказанное позволяет уточнить содержание понятия «усвоение». Усвоение — это особый вид человеческой деятельности. По словам В. А. Крутецкого, «усвоение, в широком смысле слова, есть организованная познавательная деятельность ученика...» [10, с. 152]. Видные советские ученые — психологи В. В. Давыдов, П. Я. Гальперин, Г. С. Костюк, А. Н. Леонтьев, Н. А. Менчинская, Н. Ф. Талызина, Д. Б. Эльконин и др., обогатившие науку фундаментальными исследованиями, внесли значительный вклад и в решение проблемы организации учебной деятельности школьников. Советские психологи утверждают стратегию активного обучения. Решающее звено процесса обучения — собственная деятельность учащихся, так как вне деятельности невозможно познание. Приобретение знаний осуществляется учащимися в результате и при условии выполнения ими некоторой познавательной деятельности. Очевидно, что эта деятельность может быть в большей или в меньшей степени эффективной; ее эффективность непосредственно определяется методами и формами организации учебного процесса. Практика показывает, что реальный учебный процесс не всегда удается организовать достаточно эффективно. Приведем такой пример. В VIII классе проводился урок алгебры на тему «Понятие десятичного логарифма». Учитель сформулировал определения логарифма и десятичного логарифма, ввел соответствующие символические обозначения, пояснил, что выражение log х имеет смысл лишь при положительных значениях х, и закончил объяснение нового материала, приводя следующие примеры: log4 16=2, log3 81 =4, lg 100=2. Затем несколько упражнений из соответствующего пункта учебника были выполнены учащимися (один ученик работал у доски, остальные записывали решение в тетрадях). При выполнении упражнений чувствовалась неуверенность в ответах учащихся, часто допускались ошибки, учитель вынужден был все время активно помогать классу. Когда урок подходил к концу, проверяющий попросил класс ответить на следующие вопросы: Что означает запись log2 32? Почему выражение log2( — 32) не имеет смысла? Имеет ли смысл выражение log2 7, а если имеет, то чему приблизительно равно значение этого выражения? Если на первые два вопроса ответы все же были получены, хотя и не сразу, и только с помощью проверяющего, то последний вопрос вообще поставил класс в тупик. В чем же причина того, что учащихся затруднили простейшие вопросы, которые фактически отвечали основной цели урока? Таких причин частного характера предположительно можно указать достаточно много: — неумение отдельных учащихся проникнуть в структуру сообщения; — плохое понимание и запоминание речи, воспринятой на слух; — отсутствие устойчивого внимания и т. д. Перечисление возможных причин можно было бы продолжить, однако после беседы с учителем, анализа методики изложения предшествующего материала, просмотра тетрадей учащихся была выявлена причина, оказавшаяся решающей, — неудачная организация учебной деятельности учащихся в процессе преподавания данной темы. Ошибка в организации учебной деятельности состояла прежде всего в том, что плохо была продумана методика развертывания содержания рассматриваемого вопроса. Учитель всегда стремился к формальному изложению, не учитывая в должной степени возрастных особенностей учащихся. В результате этого учащиеся оказались неподготовленными к введению нового абстрактного понятия: в их языковом, чувственном, логическом опыте отсутствовали данные, необходимые для адекватного восприятия высказываний учителя. Кроме того, плохо была организована познавательная деятельность учащихся непосредственно на данном уроке. Они вынуждены были оставаться пассивными во время объяснения учителя. При избранной методике ведения урока учащиеся воспринимали готовые знания и осваивали соответствующие умения путем воспроизведения упражнений с готового образца. Они действовали, но их деятельность не была в достаточной степени активизирована. Во время объяснения учителя они были обречены на пассивное восприятие, тогда как была возможность организовать обучение так, чтобы учащиеся самостоятельно пришли, к определению понятия логарифма, учитель лишь ввел бы новый термин. Психологическими особенностями этой деятельности явилось то, что она не имела достаточно сильного побудительного мотива, что она протекала в форме внутренней, теоретической; практическая же деятельность не была организована. Основным действием, осуществляющим учебную деятельность, здесь было действие восприятия. Это действие носило весьма отвлеченный характер, так как не соотносилось с четко заданной целью. Мышление и память никак не стимулировались. Надо сказать, что и видимая активность учащихся не всегда приводит к достижению поставленной на уроке цели. Дело в том, что для того чтобы некоторое содержание было усвоено учащимися, необходимо прежде всего, чтобы это содержание было ими осознано, чтобы на него было направлено внимание. Оказывается, сознается данное содержание обучаемым или нет, полностью определяется тем, какова структура его учебной деятельности. Психологи утверждают, что в процессе учения осознается только то содержание, которое является непосредственной целью того или иного действия, входящего в состав учебной деятельности, т. е. содержание, подлежащее усвоению, должно предстать перед обучаемым как предмет, на который направлено то или иное его действие. Приведем пример из практики обучения алгебре, иллюстрирующий важность учета сформулированного положения при разработке методики обучения некоторому содержанию. Одной из тем курса алгебры является тема «Неравенства». В процессе изучения этой темы учащиеся должны усвоить алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной, систем двух таких неравенств. На одном из наблюдаемых нами заключительных уроков по этой теме учитель решил продемонстрировать способы решения более сложных неравенств, сводящихся к линейным неравенствам или к их системам. В ходе урока учащимся были предложены для решения следующие неравенства: Учитель в основном использовал фронтальный метод работы с классом. Каждое задание выполнялось с активным привлечением учащихся, которые должны были отвечать на вопросы, задаваемые учителем; записи на доске вел сам учитель. Так, при решении 4-го неравенства учитель последовательно ставил перед учащимися следующие вопросы: «Что мы можем сделать с выражением в левой части неравенства?», «Что у нас получится в результате?», «При каком условии дробь отрицательна?», «Как это записать в нашем случае?» и т. д. После того как были выполнены все четыре задания, учащимся было предложено закрыть тетради и на листочках решить неравенства, аналогичные 1-му и 3-му из приведенных выше (по вариантам). Задание затруднило учащихся; многие попросту не знали, с чего начать его выполнение. Неудачу урока, по-видимому, следует объяснить тем, что перед учащимися не была поставлена цель выявления самого способа решения неравенств такого вида. Этот способ не был представлен на уроке как предмет изучения, чему, в частности, помешала и «пестрота» подобранных заданий. В итоге суть приема решения неравенств такого вида ускользнула от внимания учащихся, она не была ими осознана. Все внимание в каждом конкретном случае было направлено на особенности решаемого в этот момент неравенства; никаких обобщений не проводилось; в памяти у учащихся отпечатались какие-то частные непринципиальные детали. Очевидно, что в рассмотренной ситуации учитель должен был организовать учебную деятельность школьников так, чтобы при решении каждого неравенства целью одного из выполняемых действий было бы выявление обобщенного приема решения неравенств такого вида. Вообще, как утверждают ученые-психологи, задача обучения состоит в том, чтобы в каждом конкретном случае организовать деятельность, адекватную изучаемому содержанию. С этой целью необходимо раскрыть содержание и структуру учебной деятельности на данном этапе обучения, т. е. определить предмет усвоения, а также установить цепь действий, адекватных данному содержанию, которые могут реализовать данную учебную деятельность. Таким образом, с точки зрения современной психологии действия учащихся выступают как средство усвоения содержания, как ведущий компонент в процессе усвоения знаний. Выделение в каждом конкретном случае системы действий, адекватных изучаемому содержанию, — сложная методическая задача, она не всегда решается успешно. Исследования по изучению состояния знаний свидетельствуют о том, что у учащихся, например, часто не формируется в должной степени действие распознавания понятия. В результате встречаются ошибки такого характера: (...) Вопрос о степени адекватности некоторой конкретной системы действий заданной системе знаний и умений — это вопрос о точности ее выбора и полноте, и, как правило, он решается с той или иной мерой субъективизма. Рассмотрим еще одно условие, которое важно учитывать для того, чтобы усвоение материала учащимися было организовано достаточно эффективно. Психологи утверждают, что новые приемы внутренней, мыслительной деятельности не могут быть усвоены иначе, как пройдя через этап внешней, материальной деятельности, т. е.что усвоение принципиально нового материала происходит в результате организации внешних по форме действий учащихся. Такое «вынесение теоретического действия наружу» позволяет управлять восприятием и направленностью внимания учащихся, осуществлять объективный контроль за ходом усвоения действия, своевременно исправлять ошибки и добиваться осознанного и- прочного знания. Сформулированное требование педагогической психологии к организации учебного процесса в практике преподавания математики, в частности преподавания алгебры, реализуется разными путями. Прежде всего, это позволяет сделать подробная поэтапная запись (на доске и в тетрадях) хода рассуждений, доказательств, преобразований. Учителям-практикам хорошо известна важность и методическая целесообразность такой записи, фиксирующей основные этапы рассуждений. Так, на первоначальном этапе обучения умножению одночлена на многочлен важно поэтапное выполнение преобразования, например: (...) Тем не менее часто приходится видеть, что учителя в целях экономии времени побуждают учащихся уже в самом начале к выполнению преобразований в уме. Такое раннее «свертывание» записей приводит к тому, что процесс усвоения «ускользает» от контроля со стороны учителя, ошибки своевременно не исправляются. Внешние по своей форме действия учащихся могут быть организованы также путем использования средств наглядности. Современное понимание наглядности позволяет использовать при обучении алгебре целый набор таких средств. В первую очередь, это координатная прямая и координатная плоскость, графики, различного рода схемы, которые позволяют переводить аналитические рассуждения на геометрический язык. В качестве примера рассмотрим использование координатной прямой при обучении решению систем неравенств с одной переменной. Для овладения приемом решения систем неравенств с одной переменной необходимо умение решать простейшие системы вида (...) Суть рассматриваемой методики состоит в том, что решаемая система заменяется ее геометрической модельюГ Как известно, геометрическим эквивалентом числа является точка координатной прямой, поэтому неравенству ха или ха на геометрическом языке соответствует полупрямая (рис. 1). Воспользовавшись этим, мы можем построить геометрическую модель каждой из четырех систем (рис. 2). Решить систему неравенств — значит указать все числа, которые удовлетворяют каждому из неравенств. Па геометрическом языке это звучит так: надо найти все точки, принадлежащие каждой полупрямой. В каждом конкретном случае, воспользовавшись соответствующим рисунком, учащиеся могут получить ответ «ручным способом», выделив ту часть координатной прямой, на которой штриховка положена дважды (или показав, что таких точек нет). Затем остается лишь записать полученный ответ на алгебраическом языке. Очевидно, что вскоре для многих учащихся потребность в выполнении рисунка как вспомогательного средства для получения ответа отпадет. Соответствующие образы будут «срабатывать» в уме. Однако в случае каких-либо ошибок необходимо вновь вернуться к наглядному решению системы с помощью геометрической модели. Рассмотренная методика обучения приему решения систем неравенств с одной переменной вполне соответствует рекомендации психологов о необходимости управлять усвоением нового материала посредством организации внешних по своей форме действий учащихся. Для того чтобы подчеркнуть особенности предложенной методики, заметим, что сравнительно недавно в практике преподавания при решении подобных систем учащимся предлагалось в каждом конкретном случае действовать в соответствии со следующим правилом: если неравенства одного знака, то решениями системы служат все числа, большие большего из чисел а и Ъ или меньшие меньшего из этих чисел; если неравенства разных знаков то или система не имеет решений, или решениями служат все числа, большие меньшего из чисел а и Ъ и меньшие большего из этих чисел. Учащиеся должны были мысленно выяснить, к какому случаю, предусмотренному правилом, относится заданная система, и воспользоваться этим правилом. Само правило было весьма сложно для восприятия, а никаких внешних опор для его запоминания не давалось. Неудивительно, что решение указанных систем часто вызывало затруднения. Подчеркнем, что предложенная выше методика решения простейших систем неравенств с помощью координатной прямой вообще не требует формулирования и запоминания каких-либо правил. 3. Упражнения как средство организации учебной деятельности Как говорилось выше, для усвоения некоторого содержания учащиеся должны выполнить специальную деятельность, адекватную заданному содержанию. Как же организовать эту деятельность учащихся в процессе обучения? В психологических исследованиях показано, что для того чтобы какое-то содержание стало предметом деятельности учащихся, необходимо, чтобы оно предстало перед ними в виде задачи, направляющей и стимулирующей их активность. Отсюда следует, что задачи — это и есть то средство, с помощью которого можно организовать учебную деятельность учащихся, направленную на усвоение некоторого содержания. В методике математики задачи традиционно рассматриваются в двух аспектах — как средство обучения и как его цель. Задачи являются целью обучения в том смысле, что учащиеся должны в процессе обучения овладеть приемами решения основных классов задач. Называя задачи средством обучения, имеют в виду ту их функцию в учебном процессе, которая обеспечивает достижение планируемых результатов обучения (при рассмотрении задач в этом аспекте их обычно называют упражнениями). По словам А. Н. Леонтьева, задача — это «цель, данная в определенных условиях» [12, с. 232]. Задавая систему упражнений (задач), т. е. задавая набор упражнений (задач), упорядоченных в соответствии с определенными целесообразными принципами, мы тем самым определяем систему действий обучаемых, намечаем структуру познавательного процесса. Действительно, всякое «...осуществляющееся действие отвечает задаче...» [12, с. 107], а способ осуществления действия определяется условиями, в которых задается данная конкретная задача. Для того чтобы деятельность обучаемых по выполнению упражнений обеспечила заданный уровень усвоения содержания, необходимо, чтобы предлагаемая им система упражнений была построена «правильно», т. е. чтобы деятельность по ее выполнению была адекватна заданному содержанию. Отсюда следует, что для построения системы упражнений, обеспечивающей усвоение заданного содержания, необходимо выявить в этом содержании составляющие его элементы, подлежащие усвоению, а также отношения и связи между ними. Именно эти элементы содержания и отношения между ними и должны определить направление учебной деятельности обучаемых, а значит, они должны определить содержание системы упражнений, организующей эту деятельность. § 2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ 1. Характеристика содержания и структуры курса алгебры VI — VIII классов Действующая программа по математике для средней школы предусматривает изучение алгебры (в той или иной степени) на протяжении всех лет обучения: с I по X класс. Некоторая «алгеб-раизация» имеется уже в курсе математики начальной школы (здесь закладываются первоначальные навыки использования букв для обозначения чисел, решения задач с помощью уравнения). В курсе математики IV и V классов проводится более основательная подготовка учащихся к систематическому изучению алгебры (расширяются представления о применении букв для.записи свойств чисел, рассматриваются буквенные выражения и их простейшие преобразования, решаются линейные уравнения)..Систематическое изучение алгебры относится к VI — VIII классам, где алгебра выделена в отдельный предмет. Завершение алгебраической тематики происходит в IX — X классах при изучении курса «Алгебра и начала анализа» (разбор приемов решения некоторых новых видов уравнений, неравенств, систем). Основной упор на обучение алгебре делается в VI — VIII классах; характеристика содержания курса алгебры VI — VIII классов дает почти полное представление об обучении алгебре в средней школе. Каково же содержание обучения алгебре в VI — VIII классах? В. Л. Гончаров, характеризуя школьный курс алгебры, назвал его «конгломератным предметом». Он писал: «Алгебру как предмет школьной математики нельзя считать подчиненной одноименной математической науке, основы которой она призвана излагать» [6, с. 40]. Сказанное В. Л. Гончаровым в 1958 г. осталось в принципе справедливым и в настоящее время, хотя с тех пор были произведены несколько реформ математического образования. Программа по математике [17] выделяет в курсе алгебры четыре основных направления, четыре содержательные линии. В ходе изучения курса алгебры учащимся предстоит: 1) обобщить и систематизировать сведения о действительных числах; развить и закрепить вычислительные навыки; 2) овладеть навыками тождественных преобразований основных типов алгебраических выражений (многочлены, алгебраические дроби, степени и корни); 3) освоить способы решения алгебраических уравнений и не-, равенств первой и второй степени и приводимых к ним уравнений и систем; 4) изучить простейшие элементарные функции и их свойства. Итак, в курсе математики VI — VIII классов, который назван «алгебра», прежде всего получают дальнейшее развитие сведения о числах и о вычислениях (это логическое развитие арифметической линии, начатой в I — V классах). Понятие числа является одним из центральных понятий школьного курса математики. На протяжении всего периода обучения это понятие обогащается по содержанию, включая в себя новые классы чисел. В курсе алгебры учащиеся уточняют свои представления о рациональных числах и знакомятся с иррациональными числами, составляющими вместе с рациональными множество действительных чисел. Множество действительных чисел предстает перед учащимися как такое множество, которое позволяет каждой точке координатной прямой поставить в соответствие некоторое число и, наоборот, каждому действительному числу поставить в соответствие точку координатной прямой. Развитие вычислительных навыков учащихся проходит и в связи с изучением правил приближенных вычислений, где помимо дальнейшей отработки вычислительных алгоритмов должны быть сформированы навыки прикидки и оценки результатов вычислений. Второе и третье направления программы (тождественные преобразования выражений и решение уравнений, неравенств, систем) составляют собственно алгебраическую часть курса. Действительно, задачи и методы алгебры возникли в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Эти приемы заключались в составлении и решении уравнений, поэтому алгебра долгое время воспринималась как наука об уравнениях. Сюда же примыкают и тождественные преобразования, которые подчинялись цели решения уравнений, В результате изучения курса учащиеся должны понять, в чем состоит смысл тождественных преобразований выражений, а также освоить такие алгоритмы, как раскрытие скобок и заключение в скобки, приведение подобных членов, сложение, вычитание и умножение многочленов, разложение многочлена на множители, преобразование дробных рациональных выражений, степеней с рациональными показателями и корней. Кроме того, учащиеся должны понять, в чем состоит задача решения уравнения, неравенства, системы, а также освоить алгоритмы решения линейных, квадратных и простейших рациональных уравнений с одной переменной, систем двух линейных уравнений с двумя переменными и простейших систем, содержащих уравнения с двумя переменными второй степени, линейных и квадратичных неравенств с одной переменной и систем двух линейных неравенств. В результате обучения учащиеся должны научиться решать задачи методом составления уравнений и систем уравнений. Четвертое направление, определяемое программой, можно расценивать как введение в математический анализ: это изучение некоторых элементарных функций и их свойств. Понятие функции, так же как и понятие числа, уравнения и неравенства, тождественного преобразования выражений, является одним из важнейших понятий школьного курса математики, вокруг которого группируется все содержание курса. Программа курса алгебры VI — VIII классов предусматривает не только изучение некоторых элементарных функций, но требует и определенных представлений об общем понятии числовой функции, основных способах ее задания, графике, о возрастании и убывании функций, о четных и нечетных функциях. При изучении функционального материала в связи с введением понятия графика функции создаются определенные возможности для обучения учащихся графическому методу, т. е. методу решения некоторых видов задач с использованием графиков (использование графиков для исследования и решения уравнений, неравенств, систем, для выяснения свойств функций и т. д.). Таким образом, программа предполагает весьма высокий уровень функциональных представлений. Характеризуя содержание курса алгебры, нельзя не остановиться еще на двух вопросах. Эти вопросы не формулируются в программе VI — VIII классов явно, однако именно в этот период закладываются их основы. Во-первых, знакомство с координатами на прямой и с декартовыми координатами на плоскости, запас геометрических образов (прямая, парабола, гипербола), овладение графическим методом, который является как бы «приложением геометрии к алгебре», использование в отдельных несложных случаях обратного метода «приложения алгебры к геометрии» (задать уравнением линию, показанную в системе координат, найти точки пересечения графиков и т. д.) — все это создает достаточно серьезную базу для изучения в дальнейшем элементов аналитической геометрии. Во-вторых, в программе имеется тема, которая стоит как бы особняком от выделенных выше четырех направлений, — тема «Прогрессии». Основная ее роль заключается в том, чтобы сформировать некоторые начальные представления о последовательностях. Таким образом, анализируя школьный курс алгебры VI — VIII классов, можно видеть, что в его содержании представлены вопросы, относящиеся к таким наукам, как алгебра (понимаемая, однако, не в смысле современной алгебры, являющейся наукой о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, более или менее сходные со сложением и умножением чисел), основания арифметики, математический анализ, аналитическая геометрия. В восьмилетней школе закладывается аппарат, необходимый для овладения курсом математики старших классов, где учащимся демонстрируются мощные математические методы, применяемые в самых разных науках. Для того чтобы какое-то содержание стало предметом изучения (предметом учебной деятельности школьников), оно должно быть каким-то образом методически организовано или, как говорят, структурировано. Структура курса, определяемая последовательностью и логическими связями входящих в него элементов, является весьма существенной его характеристикой. Советские психологи и дидакты считают, что логическая структура учебного материала существенным образом влияет на качество знаний учащихся. «Управление процессом обучения осуществляется многими способами, но важнейший среди них — определенная последовательность введения тех или иных разделов учебно- го материала, определенная связь между этими разделами» [20, с. 11]. Содержание обучения определяется программой, а та или иная структура придается заданному содержанию в основном при написании учебных материалов по этому содержанию. Рассмотрим некоторые особенности структуры курса, которая принята в действующих учебниках алгебры для VI — VIII классов [1; 2; 3]. Первая особенность структуры курса алгебры такова: основные линии, выделенные в содержании, распределены между всеми тремя годами обучения. Поэтому к таким основополагающим центральным понятиям, как функция, уравнение, неравенство, число, тождественное преобразование выражения, учащиеся обращаются неоднократно на протяжении всего курса алгебры VI — VIII классов. Покажем, например, как распределен между тремя годами обучения материал, относящийся к тождественным преобразованиям выражений. В курсе VI класса вводятся понятия тождественно равных выражений и тождественного преобразования. Здесь изучается степень с натуральным показателем и ее свойства, выполняются тождественные преобразования выражений, содержащих степени с натуральным показателем. Затем вводится понятие многочлена, а также его частного вида — одночлена и рассматриваются все важнейшие тождественные преобразования целых выражений. В курсе VII класса завершается изучение тождественных преобразований рациональных выражений. Здесь же положено начало изучению преобразований иррациональных выражений: вводится понятие квадратного корня и рассматриваются простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В курсе VIII класса вводится понятие корня п-й степени, степени с рациональным показателем и десятичного логарифма и изучаются тождественные преобразования соответствующих выражений. Таким образом, объектами рассмотрения становятся все новые виды выражений и правила их преобразований; такие важные понятия этой линии, как «степень», «корень», от класса к классу обобщаются, рассматриваются в их развитии. Аналогичным образом можно было бы проследить распределение по годам обучения и других содержательных линий курса. С указанной особенностью структуры тесно связана и другая: «взаимопроникновение» линий, выделенных в содержании курса, т. е. наличие разнообразных связей между ними. Так изучение конкретных функций происходит в связи с введением в качестве объекта рассмотрения новых видов выражений (например, функции у=х2 и у~хъ изучаются в связи с введением понятия степени с натуральным показателем; функция у = х рассматривается в связи с изучением понятия арифметического квадратного корня и т. д.). По мере развития аппарата тождественных преобразований выражений рассматриваются уравнения и неравенства, решение которых требует применения изученного аппарата и т. д. 2. Основные элементы в содержании курса алгебры VI — VIII классов, подлежащие усвоению. Итак, современный курс школьной алгебры складывается из четырех содержательных линий, основой для которых послужили различные разделы математики. Для того чтобы решить вопрос об организации усвоения курса, необходимо проанализировать каждую из этих линий с точки зрения выделения основных элементов, подлежащих усвоению. Для этого обратимся к требованиям, которые предъявляются к знаниям и умениям учащихся по алгебре. Именно требования к результатам обучения указывают на предмет усвоения и на основные элементы в содержании, подлежащие усвоению. Не ставя своей целью перечисление полного списка требований, с учетом их различных характеристик, мы ограничимся некоторыми типичными примерами. Составим, например, перечень требований к обучению функциональному материалу в курсе алгебры VI — VIII классов. Круг вопросов, связанных с понятием функции, распределен по всему курсу алгебры VI — VIII классов. К моменту завершения курса учащиеся должны: владеть — понятиями: функция, область определения функции, область значений функции, соответственные значения аргумента и функции, возрастающая на промежутке функция, убывающая на промежутке функция, четная функция, нечетная функция, график функции; знать — теоремы о графике функции (...) — указать область определения; — построить график; — найти по графику и с помощью формулы пары соответственных значений переменных х и у\ — определить, принадлежит ли точка графику в случае, если функция задана формулой; — указать е помощью графика и по форхмуле множество значений х, при которых уа, у=а, уа\ — указать область значений функции; — указать промежутки, в которых функция сохраняет знак} — указать промежутки монотонности функции} — определить, является ли функция четной или нечетной. - Для того чтобы представить структуру требований по линии тождественных преобразований, проанализируем аналогичным образом тему «Квадратные корни» (VII класс). Учащиеся должны: владеть — понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, арифметический квадратный корень из произведения, дроби, степени; знать — свойства арифметического квадратного корня: (...) уметь - — найти методом проб десятичные приближения квадратного корня из неотрицательного числа; — найти арифметический квадратный корень из числа с помощью таблицы; — выразить из формулы переменную, содержащуюся в этой формуле под знаком квадрата, через другие переменные, входящие в эту формулу; — решить уравнение вида Ух=а и неравенства вида Уха и Уха (а — некоторое число); — найти арифметический квадратный корень из произведения двух чисел, частного двух чисел, а также степени числа с четным показателем; — найти область определения выражения вида Уалг+6; — преобразовать выражение, содержащее арифметический квадратный корень (например, вынести множитель из-под знака корня, внести множитель под знак корня, освободиться от знака корня в знаменателе дроби, привести подобные корни). Рассмотрим теперь с точки зрения выделения основных элементов содержания, подлежащих усвоению, раздел «Уравнения с двумя переменными и их системы» (VI — VIII классы), являющийся составной частью линии уравнений и неравенств. Учащиеся должны: владеть — понятиями: уравнение с двумя переменными, степень уравнения с двумя переменными, линейное уравнение с двумя переменными, решение уравнения с двумя переменными, график уравнения с двумя переменными, система уравнений с двумя переменными, решение системы уравнений с двумя переменными; знать — теоремы о графике линейного уравнения с двумя переменными, о числе решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными, о графике уравнения (где г — положительное число); уметь — решить в отдельных случаях графическим способом систему двух уравнений с двумя переменными, каждое из которых не выше 2-й степени; — решить способом сложения и способом подстановки систему двух линейных уравнений с двумя переменными; — решить способом подстановки систему уравнений с двумя переменными, одно из которых линейное, а другое второй степени; — решить текстовую задачу путем составления системы двух уравнений с двумя переменными. Анализ выбранных нами разделов из различных содержательных линий курса алгебры VI — VIII классов с точки зрения требований к усвоению содержания показал следующее. При овладении каждой из выделенных линий прежде всего подлежат усвоению алгебраические понятия (рубрика «владеть»). Второй составной частью в содержании курса являются свойства понятий и отношения между ними (рубрика «знать»). Эти свойства понятий и отношения между ними выражаются в виде утверждений, поэтому мы будем в дальнейшем говорить об усвоении утверждений в кур- се алгебры. Далее в каждой линии курса были выделены некоторые умения, сформулированные в виде учебных задач (рубрика «уметь»). Как известно, в основе умения выполнить некоторую деятельность лежит понимание взаимоотношения между целью деятельности, условиями и способами ее выполнения. Внутреннюю структуру формирования любого умения составляет овладение набором некоторых приемов, с помощью которых осуществляется деятельность. Поэтому в данном случае мы будем говорить о приемах решения основных классов задач. Итак, анализ содержательных -линий курса алгебры VI — VIII классов с точки зрения организации его усвоения позволил выделить три категории элементов: понятия; утверждения; приемы решения основных классов задач. Практика показывает, что упражнения, относящиеся, скажем, к формированию понятий, входящих в различные содержательные линии, обладают определенным дидактическим сходством. Аналогичным образом обстоит дело с упражнениями, направленными на организацию усвоения утверждений в курсе алгебры и приемов решения основных классов задач. В силу этого целесообразно рассматривать методические требования, которым должна удовлетворять система упражнений, направленная на организацию учебной деятельности, по отдельности для каждой из трех категорий элементов содержания курса, подлежащих усвоению. Значит, система упражнений должна создавать совокупность условий для организации такой учебной деятельности, которая бы обеспечила усвоение алгебраических понятий, утверждений, содержащихся в курсе, и приемов решения основных классов задач. Анализ структуры курса алгебры VI — VIII классов позволил выявить его характерные особенности, состоящие в том, что основные содержательные линии курса распределены между всеми годами обучения и что между ними установлены разнообразные связи и отношения, продиктованные как самой логикой предмета, так и соображениями методического характера. Указанные особенности структуры курса алгебры должны проявиться и при составлении системы упражнений, направленной на организацию усвоения содержания курса. Так, учет этих особенностей требует включения в задачный материал каждого раздела упражнений, связанных практически со всеми содержательными линиями курса. Все сказанное и определяет систему выделения методических требований к упражнениям как к средству организации учебной деятельности при обучении алгебре в VI — VIII классах. Эти требования будут рассмотрены в следующей главе. KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА |
