Вопросы преподавания алгебры
и начал анализа

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Статьи, вошедшие в сборник, разнохарактерны как по содержанию, так и по назначению. Среди них нет так называемых поурочных разработок. Это отражает мнение составителей и авторов, что в настоящий момент учителя уже прошли первый этап освоения новой программы и не нуждаются в мелочной опеке. Теперь важно дать учителю материал для размышлений, показать ему различные возможности методического решения наиболее интересных и важных задач, возникающих в процессе преподавания рассматриваемого курса.
      Рекомендации, данные в статьях, являются в основном результатом обобщения накопленного опыта. Однако не все они являются бесспорными, а иногда даже противоречат друг другу. Мы сочли полезным и интересным в ряде случаев познакомить читателя с различными точками зрения по некоторым вопросам и предоставить ему возможность выбора.
      Вначале помещены статьи, посвященные общим вопросам, относящимся ко всему курсу в целом. Далее идут статьи о преподавании отдельных тем и разделов. Представляется полезным, чтобы весь сборник или по крайней мере отдельные его статьи предварительно были прочитаны целиком, так как вне общего текста его фрагменты могут быть поняты неправильно.
      Первая статья сборника «Особенности преподавания алгебры и начал анализа в общеобразовательной школе» носит вводный характер и касается не столько вопросов конкретного содержания курса, сколько педагогико-дидактических особенностей обучения этому курсу. Эти особенности определяются и местом курса в системе школьного математического образования — курс является завершающим, во многом — обобщающим и повторительным — и возрастными особенностями учащихся, и, разумеется, спецификой его содержания. В статье освещается вопрос о том, как надо понимать преемственность в отношении стиля и методов преподавания, вскрывается важность правильного соотношения логики и наглядно-интуитивного восприятия, выясняется особая роль дифференцированного подхода к учащимся, обсуждаются некоторые специфические стороны учебного процесса. Многие из этих вопросов имеют достаточно общий характер и относятся не только к преподаванию алгебры и начал анализа. Однако все общие положения иллюстрируются конкретными примерами, так что учитель найдет в статье не только пищу для размышлений, но и материал, который можно непосредственно использовать в преподавании.
      Одной из важных задач в совершенствовании преподавания курса алгебры и начал анализа является усиление его воспитательной, мировоззренческой направленности. Этой проблеме посвящена следующая статья сборника — «Формирование материалистического мировоззрения на уроках алгебры и начал анализа». Статья содержит много конкретного материала, который можно использовать непосредственно на уроках. Однако при этом авторы надеются на чувство меры учителя. Избыточный в отношении использования на уроке материал не будет излишним, так как он, с одной стороны, поможет учителю приобрести большую ориентированность в вопросе, с другой стороны, может быть использован во внеклассной работе.
      Статья «О некоторых логических трудностях курса и возможностях их преодоления» перекликается с разделом о логике и интуиции в первой статье сборника. Автор стоит на той позиции, что, хотя согласно программе элементы логики не являются предметом специального изучения в школе, внимание к ним в процессе преподавания методически целесообразно, так как снимает целый ряд трудностей, повышает доступность курса и его общеобразовательную значимость. В статье рассматриваются различные методические вопросы, связанные с применением в курсе элементов логики.
      Следующая группа статей посвящена отдельным сторонам методики преподавания курса.
      В статье «Организация и содержание повторения» рассматриваются повторение в начале года и текущее повторение. Разобрав особенности вводного повторения для IX и X классов, автор на конкретных примерах рассматривает различные формы этого важного этапа в преподавании курса и формулирует некоторые принципы, которые помогут учителю отобрать материал для повторения в зависимости от конкретных условий работы. Учитель также найдет здесь рекомендации по содержанию и методике текущего повторения и большое количество вопросов и упражнений. Пример организации заключительного повторения рассмотрен в статье «Систематизация знаний учащихся при заключительном повторении».
      Статья «О взаимосвязи курса алгебры и начал анализа с курсом геометрии» рассматривает некоторые пути укрепления связи в преподавании двух математических предметов. Автор считает, что в некоторых случаях возможно и целесообразно проводить единые уроки, в других случаях лучше осуществить эту связь без изменения традиционного хода учебного процесса. Учитель найдет в статье также некоторые общие рекомендации по преподаванию таких тем, как «первообразная», «интеграл», «графики тригонометрических функций», «системы линейных уравнений» и др. О взаимосвязи курса алгебры и начал анализа с геометрией и физикой рассказывается также в статьях «Основные направления взаимосвязи курса «Алгебра и начала анализа» с курсом физики IX—X классов» и «Использование интеграла при изучении темы «Объемы фигур»».
      Для современной школы характерны поиски в направлении повышения эффективности преподавания, совершенствования организации учебного процесса. Этот круг проблем затрагивается в статьях «Некоторые пути повышения эффективности преподавания» и «Учебное оборудование в курсе алгебры и начал анализа». В первой из них рассматривается роль пропедевтики в повышении эффективности обучения, а также рекомендуются некоторые приемы выработки навыков самостоятечьной работы с книгой. В частности, ‘автор демонстрирует методику выработки таких навыков на примере изучения вопроса об исследовании функций. Четкий план, приведенный в статье, даст учителю возможность организовать аналогичную работу при изучении других вопросов курса.
      В статье об учебном оборудовании содержатся рекомендации по применению на уроках алгебры и начал анализа технических средств обучения. Изложив некоторые общие соображения о назначении диафильмов, кодопозитивов, тетрадей с печатной основой и др., автор на примерах раскрывает возможности их применения в учебном процессе. Разработка темы «Первообразная» с помощью системы средств обучения послужит учителю основой для аналогичных разработок по темам. В статье учитель найдет информацию о средствах обучения, изготовляемых промышленностью, и получит представление о том, как изготовить некоторые из них самостоятельно.
      Из статьи «Проверка, оценка и учет знаний учащихся» учитель почерпнет информацию двоякого рода: с одной стороны, в статье на конкретных примерах раскрываются программные требования к знаниям учащихся. С другой стороны, в той части, где говорится об организации проверки и учета, статья носит не нормативный, а поисковый, проблемный характер. Здесь автор раскрывает, основываясь на опыте, некоторые возможности совершенствования форм и организации опроса — тематический учет знаний в форме зачета, индивидуальный содержательный учет и т. п.
      В следующих статьях рассматриваются с разных точек зрения некоторые наиболее трущные вопросы курса. Так как изучение начал анализа не имеет таких многолетних традиций, как, например, изучение квадратных уравнений, важно дать учителю представление о различных методических решениях той или иной темы, предоставив ему выбор в зависимости от вкусов и реальной учебной ситуации.
      Статья «Предел и непрерывность функции в курсе IX класса» раскрывает роль опоры на наглядно-смысловую сторону вопроса в повышении доступности материала, в обучении математическому языку, подчеркивает значение взаимосвязи понятий.
      В статье «Некоторые рекомендации к изучению применения производной» внимание читателя обращается на возможности использования формулы приближенного вычисления значений функции для углубления знаний учащихся и повышения сознательности восприятия других вопросов этого раздела. Читатель найдет в этой статье, а также в статье «О решении задач на экстремум при изучении производной в IX классе» конкретные советы по методике решения задач на нахождение наибольших и наименьших значений функции и построению графиков функций.
      Статья «Развитие функциональной линии при изучении показательной функции в X классе» раскрывает возможности использования повторного изучения показательной функции в X классе для углубления знаний о функции вообще. Содержащиеся в статье задания и вопросы могут быть с успехом использованы при изучении разделов о числовой функции, возрастании и убывании функций, обратной функции и т. п. Разбор возможных подходов к определению показательной функции перекликается со статьей о воспитании мировоззрения.
      В сборнике отсутствует специальная статья о факультативных занятиях. Однако такие статьи, как «Наглядность при изучении основных понятий математического анализа» и «Применение свойств непрерывных и дифференцируемых функций при решении задач», в основном, а другие отчасти содержат материал, который достаточно полно может быть рассмотрен лишь на факультативе. Это должно показать учителю некоторую перспективу того, как можно построить факультативные занятия, не расширяя программного материала, а лишь углубляя его.
      Вообще при использовании рекомендаций надо иметь в виду, что они в некоторых случаях, так сказать, избыточны. Однако мы считали, что для учителя будет полезно ознакомиться с вопросами, тесно примыкающими к программе, даже если они и выходят за рамки обязательного материала. Мы надеемся, что это поможет учителю лучше освоить все еще не очень «обкатанный» курс. Кроме того, четкое выделение обязательного для усвоения материала ни в коей мере не означает, что учитель должен в преподавании, а не только в требованиях к учащимся строго ограничиваться этими рамками. Нельзя учащихся, особенно старших классов, держать на сухомятке обязательного минимума. Вопросы, выходящие за этот минимум, чрезвычайно важны и для расширения кругозора, и особенно для воспитания интереса, любознательности.
      Таким образом, в совокупности статьи сборника охватывают многие, хотя и не все, вопросы преподавания курса алгебры и начал анализа в школе.
     
      ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ
      АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ
     
      1. О задачах обучения
      В процессе преподавания курса Галгебры и начал анализа, как и любой другой школьной дисциплины, решаются три основные задачи.
      Первая связана с усвоением некоторой системы понятий, пониманием их взаимосвязи с понятиями других наук, формированием определенной системы взглядов на окружающий мир. Назовем ее образовательной задачей.
      Вторая задача состоит в том, чтобы учащиеся овладели некоторой системой фактических знаний, приобрели необходимый запас конкретных сведений, овладели определенными умениями и навыками. Будем называть эту задачу учебной.
      Наконец, третья задача — это задача воспитания, развития определенных качеств личности, начиная от простейших — аккуратности, внимания, умения запоминать — и кончая творческими способностями, потребностью в дальнейшем образовании, интересом к познанию вообще и к занятиям математикой в частности.
      Выделение именно этих трех задач в достаточной мере условно, как и их разделение. При правильно поставленном обучении все эти три задачи решаются одновременно, в единстве. Понятно, что стать образованным человеком невозможно, не овладев определенной суммой знаний, что знания являются фундаментом не только для образования, но и для развития; с другой стороны, развитие является не только следствием, но и средством для получения знаний и образования.
      Рассмотрим, каковы особенности решения этих задач при обучении старшеклассников новому для них курсу — алгебре и началам анализа, представляющиеся важными для учителя, готовящегося к преподаванию этого курса.
     
      2. О преемотвенности и качественном скачке
      При переходе в обучении на новую ступень — а старшие классы, несомненно, являются такой новой ступенью в школьном обучении, причем речь идет не о формальном делении школы на восьмилетнюю и среднюю, а о существенных изменениях и в учебном процессе и в участниках его — прежде всего возникает вопрос о преемственности. Преемственность в содержании и методике обучения, опора на ранее полученные знания, их развитие и закрепление являются непременным условием успешности обучения, особенно обучения математике.
      Курс алгебры и начал анализа в этом смысле не представляет исключения, являясь органическим продолжением и развитием предшествующих. Однако при переходе к этому курсу и в содержании, и в подходе к изучению материала, и в методике изложения происходит некоторый «скачок». С нашей точки зрения, этого скачка не надо бояться. Наоборот, следует им воспользоваться для того, чтобы учащиеся увидели свое продвижение вперед, поняли, что они уже взрослые и переходят к изучению более сложных и более интересных вещей, причем от них потребуется и больше самостоятельности, и больше ответственности.
      Надо иметь в виду, что почти такой же вред, как слишком резкие и необоснованные скачки в методике и содержании преподавания, нарушающие ход учебного процесса, приносит и излишняя «плавность», переходящая в монотонность. Известный советский психолог Н. А. Леонтьев не раз указывал как на один из существенных недостатков в организации школьного обучения на то удивительное и странное однообразие в режиме работы, уровне и качестве требований, степени опекаемости и контроля, которое наблюдается в школе с ] по X класс. В результате методы обучения неминуемо приходят в противоречие с уровнем и качеством восприятия: ведь в естественном развитии учащегося, которое происходит не только под влиянием школьного обучения, со временем неизбежно происходят серьезные изменения, и старшеклассники представляют собой по сравнению с учащимися восьмилетней школы в значительной степени новый объект воспитания.
      Переход к изучению курса алгебры и начал анализа, нового даже по названию, совпадает с периодом повзросления учащихся, определения их интересов и стремлений, общей жизненной позиции. Это дает возможность использовать для повышения интереса к обучению естественное стремление развивающегося ума увидеть не только количественный рост знаний, но и качественное развитие — переход на новую ступеньку.
      Приступая к обучению математике в IX классе, и учителю, который берет новый класс, и учителю, «перешедшему» в этот класс со своими питомцами, необходимо с самого начала показать учащимся, что они в некотором смысле «начинают новую жизнь в
      математике». При этом речь должна идти не только о вступительной беседе на первом уроке; ученики должны почувствовать, что учитель сам изменил весь стиль преподавания, начиная от режима работы и кончая тоном взаимоотношений с учащимися, и от учащихся ждет нового отношения к занятиям.
     
      3. О мотивах учения
      Одной из особенностей учащихся старших классов является возросшая у них потребность в объяснении того, зачем они делают то или иное задание, изучают тот или иной вопрос, зачем они учат математику или иной предмет, зачем вообще учатся. Поэтому одним из важнейших принципов в преподавании рассматриваемого курса должно стать разъяснение учащимся цели изучения как каждого вопроса или темы, так и ку рса в целом.
      Разъяснение цели является необходимым условием преодоления догматизма в преподавании, в обучении, который выражается в том, что учитель заставляет учащихся выполнять работу, не разъясняя ее смысла («Делайте, что велят, без разговоров!»), приучая тем самым учащихся не задумываться над смыслом заданий («Отделаюсь — и ладно!»).
      Конечно, старшеклассники понимают основные цели обучения в школе: овладение культурой, подготовка к трудовой деятельности и т. д. Однако эти цети слишком общи, чтобы служить для девятиклассников стимулом; на этом этапе в этом возрасте молодые люди еще нуждаются в мотивировках более конкретных, более близких, более связанных с их непосредственными стремлениями. Поэтому в ряде случаев более действенными оказываются «прагматические» стимулы: поступить в вуз, обрадовать родителей, блеснуть перед товарищами и т. п.
      Вообще потребность в выяснении цели сильно зависит от общего уровня развития ученика и колеблется от примитивного «что я буду от этого иметь» до желания выработать цель в жизни, осмыслить ее и сопоставить отдельные задачи с достижением этой цели. Одной из задач воспитания и является перевод учащихся от «детских», примитивных стремлений к сознательному обдумыванию значения того или иного поступка, своих планов, дел в жизни. Но при этом приходится отталкиваться от тех мотивов, которые уже есть у учащихся, движут ими в настоящий момент, трансформируй их в более важные и значительные.
      Разумеется, придется учитывать, что разными школьниками движут разные мотивы. Одних привлекает то, что, изучив начала анализа, они поднимутся на более высокую ступень, войдут в «высшую математику». Другие, интересующиеся техникой, знают, что современное производство уже включило в свой язык не только числа и формулы, но и понятия и терминологию дифференциального исчисления. Третьи, не собирающиеся связывать свою профессию с естественными науками или техникой, особенно чутки к «гуманитарной» стороне математики; таких школьников может привлечь то, что изучение, понимание математического анализа требует большой отточенности логики, воображения и, значит, изучая его, можно развить свою способность мыслить.
      Такие общие цели изучения математического анализа полезно раскрыть уже во вступительной беседе перед началом изучения курса, указав на их возможные связи с личными стремлениями учащихся.
      Известно, что особую заботу вызывают у учителя учащиеся с пробелами в знаниях, с пониженным общим развитием, которое обычно сочетается с отсутствием интереса к учению, да и вообще отсутствием всякого серьезного интереса. Чтобы заинтересовать таких учащихся, иногда удается использовать переход к изучению начал анализа как «начало новой жизни», которая поможет им снять груз прошлых недоработок. Конечно, эти недоработки будут мешать ученику, и речь идет не о том, чтобы о них забыть. Однако целесообразно создать и поддерживать психологический настрой на то, что при переходе к изучению нового курса те, кто прежде занимался не очень успешно, смогут его усвоить не хуже других. Многие ученики могут всерьез заинтересоваться математикой при изучении начал анализа хотя бы потому, что последний окажется для них более интересным и содержательным, чем то, что они изучали в восьмилетней школе; некоторые выправятся просто потому, что повзрослели; многих смущали и отпугивали сложность и многообразие техники преобразований в курсе алгебры.
      Следует учитывать и то, что слабые, «запущенные» ученики очень часто склонны преувеличивать свое незнание, превращая его в своего рода моральное оправдание бездеятельности. Учитель должен помочь учащимся избавиться от таких настроений, стараться не «ловить» их на незнании, а, наоборот, поощрять всякое, даже незначительное продвижение вперед.
      Первый вопрос курса IX класса—действительные числа — очень удобен для такой активизации слабых учащихся, поскольку сведения, повторяющиеся при его изучении, очень просты и, конечно, известны всем учащимся. Вряд ли найдется ученик IX класса, который не знает свойств множества рациональных чисеч, законов действий, алгоритмов деления (обращения обыкновенной дроби в десятичную), не умеет изображать рациональное число на координатной прямой и т. д. Если задавать вопросы по этому материалу в конкретной форме, то учащиеся понемногу сдвинутся с «мертвой точки».
      В то же время материал о действительных числах достаточно интересен и для сильных учащихся, только их внимание нужно направить на более сложные, принципиальные моменты, а не на повторение элементарных вещей. Например, слабого ученика можно спросить, как обратить обыкновенную дробь в десятичную (на конкретном примере). Однако для обсуждения вопроса о том, какую дробь — конечную или бесконечную — мы получим, придется уже привлечь более сильную часть класса.