Возникновение и развитие
математической науки

DjVu

      ВВЕДЕНИЕ
      Настоящая книга обращена в первую очередь к учителям математики. Она обращена также к студентам математических специальностей университетов и педагогических институтов, готовящимся к работе в школе. Цель книги — дать представление этому кругу читателей об опыте развития математических знаний и убедительно показать, что знание этого опыта будет содействовать выполнению ими своих профессиональных обязанностей — обучению детей математике и привитию им навыков логически строгих элементов научного мышления.
      Ежегодно в школы приходят миллионы детей. Долгие годы затем они изучают основы математических наук. Сложен их путь и велики встающие перед ними трудности. Ученики не просто воспринимают (впитывают) концентрат приемов вычислений и логических суждений, который должен составить основу их математических знаний и посильных приложений. Нет! Они учатся и в своем личном обучении отражают в той или иной степени общий исторический путь, следуя которому человечество добывало математические знания. Вглядитесь в то, как дети учатся, произведите необходимые сравнения, и вы увидите, что это так.
      Успехи учителя в преподавании математики решающим образом зависят от того, какие ответы получает от него ученик на вопросы о том, когда, в силу каких причин и при каких обстоятельствах возникла необходимость в знании преподаваемого в данный момент материала, как этот материал (теоремы, вычислительные приемы и пр.) нашли (открыли), какие задачи с его помощью решались раньше и решаются сейчас, с какими другими частями математики он связан и т. п. Нет нужды доказывать, что неумение отвечать на подобные вопросы, разнообразные формы уклонения от ответов равносильны запрету мыслить: они развивают пассивность и воспитывают отвращение к математике.
      Не приносят желаемого успеха и те случаи, когда учитель, по существу незнакомый с историей развития своей науки, включает время от времени в свои уроки разрозненные исторические справки, забавные случаи, анекдоты и пр. Это, конечно, может несколько оживить тоскливое течение урока, но — не больше того и не всегда. Разрозненный набор фактов, как принято говорить, «не работает». А «работают» факты лишь тогда, когда они регулярны и подчинены общим концепциям, опирающимся на историко-научную и общекультурную эрудицию учителя.
      В соответствии с целью книги в ней рассматривается история только тех математических дисциплин, которые изучают в школе. Ее главной особенностью является то, что в каждой главе внимание читателя оказывается привлеченным к описанию процесса развития соответствующей части математики и проявляющихся при этом закономерностей. Говоря проще, речь идет о том, в силу каких причин и при каких обстоятельствах математические дисциплины, преподаваемые в школе, приобрели именно такое содержание и такую форму, в каких учителя преподают, а ученики их ныне изучают.
      По очевидным причинам в книге приведен лишь тщательно отобранный минимум историко-научных фактов. Существует много книг, позволяющих быстро пополнить фактический материал; их краткий список приведен нами в конце.
      В тех случаях, когда оказывается возможным и уместным, в книге рассматриваются конкретные связи историко-научных, методологических и методических вопросов. В заключении разъяснено, каким путем читатель сможет продолжить повышение квалификации в области историко-методологических проблем своей науки, добиваясь того, чтобы профессиональные занятия учителя-математика (воспитательно-педагогические, прикладные и теоретические) производились в соответствии с общими идеями и положениями марксизма-ленинизма.
      Задачу написать эту книгу поставили перед автором члены редколлегии журнала «Математика в школе», в особенности главный редактор проф. Черкасов Р. С. Они же предоставили автору возможность опубликовать на страницах журнала ряд статей, имеющих целью выработку такого содержания и стиля изложения, которые лучше соответствовали бы насущным нуждам и интересам учителей математики. Без творческого и регулярного содействия педагогической общественности книга, по всей вероятности, не могла бы быть написана.
      Автор благодарит проф. Белоусова В. Д., проф. Гусака А. А., проф. Дорофеева Г. В., доц. Дорофееву А. В., проф. Мищенко А. С., проф. Соболева В. И., прочитавших рукопись книги и оказавших ему помощь советами и рекомендациями.
      С благодарностью автор примет замечания и предложения читателей.
     
      Глава 1
      О НАЧАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ
      Вопросы о том, как складывались первичные математические представления, какой вид они принимали, как проходили первые этапы их совершенствования, никогда не теряли своей актуальности и не потеряют ее в будущем. В том, чтобы правильно освещать эти вопросы, заинтересованы весьма широкие слои человеческого общества: и те, кто только начинает свое математическое образование; и те, кто учит детей математике, так как это способствует отысканию и использованию наиболее эффективных методических приемов. Сведениями о ранней истории своей науки интересуются также ученые-математики, исследующие ее логический строй как с теоретическими, так и с практическими целями.
      Своеобразие проблемы состоит в том, что поиски действительного начала математических знаний человечества уводят нас в седую, еще дописьменную древность. По мере продвижения в глубь истории резко убывает фактическая основа, на которую можно опираться в своих суждениях. Время и обстоятельства неумолимо уносят в небытие (или препятствуют извлечению из небытия) материальные свидетельства развития интеллектуальной жизни древних народов. Особенно большой вред нанесли (и продолжают наносить) различные завоеватели и колонизаторы, расисты, проповедники якобы богом избранной, «исключительной» расы, народности, религии.
      Давно уже нет на земле племен или иных устойчивых общностей людей, которые являлись бы носителями отзвуков далекого прошлого. Очень мало осталось памятников культуры и других источников информации о знаниях людей в ранние периоды истории. Все, что известно, подвергалось и подвергается изучению археологами, этнографами, специалистами по сравнительному языкознанию, историками науки. Их усилия по восстановлению, описанию и сохранению этого незаменимого и невосполнимого материала, будучи объединенными, приносят, разумеется, свои плоды. Однако фактов все-таки не очень много и мало надежды на существенное обогащение фактической основы подобных исследований в будущем.
      В настоящей главе мы предлагаем читателю сжатый обзор того, что оказалось возможным извлечь из имеющихся в наличии фактов, относящихся к ранним периодам развития математических познаний людей. Естественно, что прежде всего речь пой-
      дет о характеристике процессов формирования начальных математических абстракций (числа, фигуры), составляющих основу количественных и пространственных характеристик материального мира.
      Начнем с описания того, как складывалось понятие о числе (на первых порах натуральном, т. е. целом положительном). Очевидным представляется высказывание, что это понятие возникло и сформировалось в результате многократно применяемой (в силу практической необходимости) операции счета, перечисления предметов. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, естественность, свою «изначальность», операция счета не является на самом деле первичной, простейшей. Она возникает и применяется на уже сравнительно высоком уровне развития математических элементов мышления. Ей предшествовало, как выясняется, несколько ступеней усовершенствования логических суждений.
      Проблема воссоздания исторических ситуаций, приведших к появлению абстракции натурального числа, очень сложна. Хотя мотивы экономического развития разных народов в основном сходны, но пути интеллектуального развития весьма разнообразны. Затрудняет, естественно, решение проблемы также недостаточность и разрозненность имеющихся в наличии фактов.
      Все-таки, как бы ни была пестра и фрагментарна картина развития математических знаний в ранние периоды истории человеческой культуры, в ней можно проследить главные (как мы думаем) этапы интересующего нас сейчас процесса. На них в интересах основного замысла настоящего описания и постараемся сосредоточить внимание читателя.
      1. История человечества со всею очевидностью показывает, что даже самые, казалось бы, изначальные понятия людей не являются врожденными (и уж тем более не ниспосланы «свыше»). Они суть отражения свойств и отношений реальных предметов объективно существующего мира. Приобретаются они в ходе активной деятельности людей. Именно благодаря труду и сопровождающей его членораздельной речи мозг и органы чувств человека достигли значительного совершенства. В результате, после длительной эволюции, мозг человека выработал среди прочих способность создавать абстракции, необходимые для счета и измерения.
      2. Начальная ступень числовых, количественных, представлений состояла, по-видимому, в восприятии человеком свойства численности, количественности, конкретных совокупностей предметов. Вначале множество предметов характеризуется со стороны его целостности (т. е. все ли предметы находятся налицо). Это позволяет сравнить рассматриваемое множество с другими, более или менее многочисленными, нежели данное. Такой счет называют чувственным. Его зачатками владеют даже животные. Процесс выделения свойства количественности из совокупности свойств конкретных множеств, осознания его особенностей и функциональной роли занял, по всем данным, весьма длинный исторический период.
      3. По мере перехода людей на более высокий уровень интеллектуального развития чувственный счет оказывается недостаточным. Появляется необходимость сравнивать множества, например поэлементно сопоставляя их численность. Появлялась она преимущественно в процессе общения людей и выполнения ими операций обмена. Неравночисленность множеств предметов заставляет вырабатывать понятия «больше», «меньше», «равно».
      4. Числовая характеристика множеств выделяется и преобразуется в объект самостоятельного рассмотрения, что находит свое выражение в поисках множеств, играющих роль эталона при сопоставлениях: пальцы рук и ног, наборы камешков, раковин, счетных палочек и других предметов.
      5. Вводятся названия чисел, поначалу небольших. Постепенно число названий растет; складывается общее представление о числе (имеется в виду натуральное число).
      6. Натуральные числа сравниваются по величине, абстрагируясь постепенно при этом от всех других свойств. Формируется начальный отрезок ряда натуральных чисел, вначале короткий, но постепенно удлиняющийся.
      7. Появляются записи, где фигурируют символические обозначения чисел и действий над ними, развивается символический аппарат, совершенствующийся в последующем в соответствии с основным требованием: быть удобным для выражения и производства вычислительных операций.
      8. Складываются разнообразные системы счисления (5-, 10-, 12-, 20-, 60-...ричные), для применения которых унифицируется символика.
      Таков или примерно таков был путь формирования понятия целого положительного числа. Более общие классы чисел сложились, естественно, позднее, и их историю можно проследить по письменным источникам, о чем будет идти речь далее.
      Перейдем к вопросу о формировании начальных геометрических представлений. Этот процесс имел, разумеется, свои особенности. Однако этапы развития, отмеченные выше, в основном имели место и в этом случае. Из оперирования с индивидуально воспринимаемыми пространственными телами вырастали геометрические абстракции тела, фигуры, позволяющие идентифицировать их по сходству геометрических характеристик. Следующим этапом было сравнение множеств тел и выделение абстрагированного эталона — идеального тела. На таком пути формировались геометрические понятия со своими специфическими символическими (графическими, наглядными) изображениями. Последние и являлись символами, отображающими геометрическую определенность объекта, его пространственную особенность, отвлекаемую для изучения от всех других свойств материальных тел.
      В самом деле, данные истории материальной культуры убедительно доказывают, что еще в эпоху, когда люди пользовались кремневыми орудиями для труда и охоты, они придавали им преднамеренно геометризированную форму: треугольников, ромбов, трапеций. Конечно, эти формы образовывались постепенно и не вследствие стремлений к «геометризации», а потому, что оказывались наиболее приспособленными к определенному виду труда, к тому, чтобы резать, рубить, скрести и т. п.
      Дальнейший толчок развитию геометрических представлений дали ремесла: гончарное, строительное и др. Особенно сильное влияние оказало в этом направлении земледелие, когда задачи проведения границ участков, определения площадей, длин и т. п. сделались жизненно насущными. Появление орнаментов на изделиях знаменовало уже закрепление представлений о равенстве, подобии, симметрии фигур.
      Минул огромный по длительности период человеческой истории, прежде чем смутные представления людей о количест-венности и о формах, присущих конкретным вещам, преобразовались в понятия числа, геометрической фигуры и т. п. И когда это произошло, то появился новый вид знаний — математическое. Счет и измерение сделались важным средством развития математических знаний и вычислительно-измерительной практики людей.
      «Число» и «фигура», исторически первые понятия математики, в наше время лежат в основе всех математических знаний. Сходство логического строя оснований математики и исторического процесса становления ее начальных понятий сделалось особенно наглядным в последние 100 лет. За это время работа по обоснованию математики в силу известных исторических причин и в условиях возрастающих требований к логической (математической) строгости была в особенности активной. Она привела к тому, что в основания математики вслед за теориями действительного числа вошла теория множеств и сопредельные с нею логические средства доказательств. И вот тогда упомянутое сходство проявилось вполне отчетливо.
      В самом деле, возвратимся к тем восьми пунктам в нашем тексте, которыми мы описывали этапы формирования первичных математических представлений. Очевидно, что в п. 2 речь идет об идентификации элементов множеств, о самом задании множеств. В п. 3 говорится об операции отображения множеств, а если посмотреть поглубже, повнимательнее, то и о ранних попытках выражения причинной зависимости. Последняя разовьется затем в понятие отображения множеств (п. 4) и функциональной зависимости. Вводится упорядоченность множеств (пп. 5 и 6), а количественные характеристики начнут получать символическое выражение (пп. 7 и 8).
      Подобное соответствие между логической структурой оснований современной математики и историческим процессом формирования первичных математических понятий отнюдь не случайно. Оно является примером проявления на математическом материале общефилософской закономерности, известной под названием принципа единства исторического и логического.
      Существо этой закономерности, кратко говоря, состоит в следующем: логическое и историческое — это философские понятия, связанные с двумя способами рассмотрения исторически протекающего процесса. При историческом способе исследования факты и события рассматривают и объясняют с учетом различных случайностей и зигзагов, сквозь которые прокладывают себе дорогу объективные закономерности. При логическом же способе рассмотрения исторические факты и события излагают в необходимой закономерной последовательности и связях, т. е. за исключением всего несущественного, случайного, нетипичного. В основном, в главном логическое совпадает с историческим.
      Ф. Энгельс указывал, что логический способ рассмотрения в сущности является «тем же историческим методом, только освобожденным от исторической формы и от мешающих случайностей. С чего начинает история, с того же должен начинаться и ход мыслей, а его дальнейшее движение будет представлять собой не что иное, как отражение исторического процесса в абстрактной и теоретически последовательной форме; отражение исправленное, но исправленное соответственно законам, которые дает сам действительный исторический процесс, причем каждый момент может рассматриваться в той точке его развития, где процесс достигает полной зрелости, своей классической формы»1.
      Работа и размышления над проблемой единства исторического и логического могут принести немалую пользу в преподавательской деятельности. Тот уровень знаний и требований к воспринимаемости математических сведений, с которого начинается обучение математике в школах, не изначален. Он может и не быть еще достигнутым новичком-школьником. В таких случаях понимание учителем путей формирования математических представлений людей может послужить источником плодотворных методических приемов. Речь здесь идет о таких приемах, которые могут помочь преодолеть, по возможности безболезненно, кажущиеся внезапными и необъяснимыми случаи непонимания, тупиковые ситуации, столь нередкие у школьников младших, да и не только младших, классов. Увидеть в преподаваемом математическом материале его исторически обусловленное место в логически последовательной структуре математического знания, передать ученикам это понимание — значит увлечь их, сделать математические занятия доступными и интересными.
      Продолжим наш рассказ о том, как люди накапливали математические знания. Перейдем к описанию математики тех времен, от которых дошли до нас первые письменные свидетельства или достаточно достоверные сведения о них. Это позволит нам вести изложение несколько более конкретно, чем мы могли
      1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. — 2-е изд. — Т. 13. — С. 497.
      себе это позволить до сих пор. Упомянутые свидетельства (или, как мы их будем иногда называть, источники) являются частью истории стран, обладавших древними цивилизациями.
      Когда мы говорим о странах древних цивилизаций, исторический опыт которых донес до нас достоверные сведения о ранних этапах истории математики, то мы имеем в виду совершенно конкретный материал. На обширных пространствах, где в наше время располагаются Китай, Индия, страны Среднего и Ближнего Востока, а также прибрежные государства средиземноморского бассейна, т. е. в полосе, где природные условия особо благоприятны для жизни людей, издавна существовали государственные формирования общественно-экономической жизни человеческих обществ. Уровень их экономического развития и административного устройства повышался раньше и быстрее, чем у других народов, живших в более суровых условиях. Развитие экономики сопровождалось относительно более быстрым ростом культуры и образованности. Об этом можно судить не только по дошедшим до нас прекрасным архитектурным, техническим памятникам, произведениям искусства, но и письменным памятникам. Среди последних сохранились (чаще всего в пересказах) такие, что были посвящены целиком или в значительной степени трактовке математических задач или даже теоретических проблем математики. Хотя они были далеки друг от друга по времени написания, по целям и обстоятельствам, разобщены территориально, из них можно почерпнуть важную информацию историко-научного характера.
      Примем следующий порядок описания этого материала:
      — источники, их датировка и место появления;
      — социально-экономическая обстановка, относящаяся к источникам;
      — сжатый обзор содержания источников;
      — общие выводы и заключения.
      Такой порядок должен позволить на ограниченном числе страниц ввести читателя (в большинстве случаев человека занятого) в суть проблемы, не разбрасываясь на описание многих фактов. Материал будем группировать по месту происхождения, называя эти части условно: Египет, Вавилон (государства, располагавшиеся на территории современного Ирака, и соседние территории), Китай и Индия.
      Начнем с описания источников. То, что нам известно о математике Древнего Египта, почерпнуто из рукописей, написанных черной и красной красками на папирусе — бумаге, выделанной из нильского тростника. Таких рукописей дошло до нас только две, если не считать еще нескольких коротких отрывков. Одну из рукописей, самую большую (размерами 5,5 X 0,35 м) называют папирусом Райнда, по имени английского египтолога, приобретшего ее в Египте. Находится эта рукопись в Лондоне, в Британском музее. Другой папирус, примерно такой же длины, но более узкий (около 0,03 м), находится в Москве, в Музее изобразительных искусств. Оба папируса датируются эпохой Среднего царства (около 2000 лет до н. э.). Вообще-то папирусов сохранилось довольно много, но других математических — нет.
      Документальной основой, позволяющей изучать математическое наследие Древнего Вавилона, являются глиняные таблички, на которых палочками выдавливался текст. Значки (буквы, цифры) были похожи на клинья, отчего вавилонское письмо называется клинописным. После нанесения текста таблички обжигали на огне, что придавало им прочность и долговечность. Всего сохранилось около 100 тысяч табличек. Однако табличек с текстами математического содержания известно лишь около 50, а математических таблиц, не содержащих словесных пояснений, — около 200. Временной интервал, к которому можно отнести клинописи, очень широк: от XX до II в. до н. э.
      Все суждения о математике Древнего Китая опираются на единственный источник: сборник сочинений, в большинстве
      анонимных, с общим заголовком «Десять классических трактатов по математике», или «Десятикнижие». Издан этот сборник был в VI — VII вв. н. э. В нем указано, что трактаты составлены были в основном во II в. до н. э. и что они в свою очередь являются обработкой более древних текстов.
      Самыми ранними памятниками математических достижений народов Индии являются научно-религиозные сочинения: сутры и веды. В них математические сведения переплетены с астрономическими, изложение имеет религиозный оттенок и своеобразную стихотворно-легендарную форму. Написаны эти сочинения на давно уже умершем языке — санскрите. Традиция их написания восходит к VIII — VII вв. до н. э., а может быть, и к более раннему периоду времени.
      Много различий можно увидеть в этих источниках: различные системы счисления, символика, манера преподнесения. Описанию этого посвящены многочисленные сочинения, часть из которых указана в нашем списке литературы. Но, несмотря на все различия, есть во всех источниках общее: их практическая направленность. Например, унифицированный древнекитайский источник составлен так, что части, его составляющие, или книги, оформлялись в виде отдельных свитков. Их содержание было специализировано по роду предстоящих читателю занятий: сборщиков налогов, землемеров, руководителей землекопных и строительных работ, астрономов-наблюдателей. Позднейшие дополнения вносились в сборник, располагаясь по принципу единства тематики задач, а не логики математических доказательств.
      В двух египетских математических папирусах содержится более 100 задач, посвященных вычислениям площадей фигур и объемов тел, а также операциям с дробями. Подбор задач и форма их преподнесения свидетельствуют о том, что, по всей вероятности, папирусы служили своеобразным учебно-справочным пособием. Ярко выражена вычислительная и измерительная
      проблематика в табличках Древнего Вавилона. Поскольку в математике Вавилона преобладала 60-ричная система счисления, то для облегчения вычислений и для справок существовали вспомогательные, не сопровождающиеся пояснениями таблицы умножения, а также таблицы значений типичных выражений, к которым приводили решения задач, например значения чисел вида п2-\-п при п= 1, 2, 3, ... и др. Математические сведения в индийских сутрах и ведах были сгруппированы вокруг архитектурных проблем и астрономических сведений. Ни в одном из источников нет теорем, доказательств, есть только указания рецептурного типа, а в индийских источниках нередко нет даже пояснений или рецептов, просто чертеж и слово «смотри».
      Все изложенное дает нам основание утверждать, что в различных странах, обладающих древними цивилизациями, происходил по существу общий процесс накопления конкретного математического материала: освоение вычислительной техники, способов определения размеров геометрических площадей и тел, отработка удобной символики. Процесс этот явным образом подчинялся внематематическим определяющим мотивам, непосредственным образом служил целям, вызываемым нуждами экономики и государственного устройства общества.
      Малочисленность и отрывочность источников, оставшихся от стран древних цивилизаций, разъединенность их по времени и по месту нахождения друг от друга делает затруднительным, а чаще невозможным конкретное, детальное воссоздание путей последовательного совершенствования математических знаний в такие далекие времена. В более позднее время, в пору колонизации, т. е. грабежей и порабощения, были уничтожены почти все памятники культурной жизни коренных обитателей континентов Америки, Африки, Австралии, многих других стран. Сильно пострадала от нашествий захватчиков и наша Родина.
      Впрочем, и сейчас приходится постоянно сталкиваться с тем, что ученые слуги уходящего с исторической арены капиталистического строя прилагают немалые усилия для фальсификации истории (в том числе истории науки), для превознесения заслуг капиталистических «цивилизаторов» и «просветителей», несущих якобы свет «темным» народам. В более завуалированной форме эти тенденции находят свое выражение в «теориях» о едином научном источнике, о распространении по всему миру знаний одного «избранного» народа и др.
      История учит, что развитие всех форм деятельности человеческого общества происходит под воздействием единых мотивов экономического развития. Это влияние сказывается в области математики, во множественности источников ее возникновения. Математика возникла и формировалась как наука во многих странах, нередко весьма удаленных друг от друга и между собою, казалось бы, не связанных.
      При этом всегда действовали и проявлялись общие закономерности: происхождение математики из практической деятель-
      ности людей, выделение числовых и геометрических абстракций в качестве отдельной области человеческих знаний, образование логически последовательной системы абстракций, применение последних к практическим задачам и т. п. Однако форма осуществления общих закономерностей, характер математической науки, соотношение ее элементов имели много различий и особенностей, которые необходимо принимать во внимание, чтобы составить адекватное представление о путях и перспективах развития математических наук.
      В применении к рассматриваемому периоду развития математики отметим, что накопление конкретных сведений как численного, так и геометрического характера создало следующие предпосылки для формирования математических теорий:
      а) возможность предварять непосредственное оперирование с вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изображениями и наименованиями (символами). На более поздней ступени это привело к развитию числовых систем и геометрических построений;
      б) умение заменять конкретную задачу канонической задачей более общего вида, решаемой по определенным правилам, охватывающим большую совокупность частных случаев. Так появляются первичные формы общих алгоритмов и связанных с ними математических исчислений.
      Когда упомянутые предпосылки оказываются действующими в заметных масштабах, а в обществе образуется прослойка людей, умеющих пользоваться определенной совокупностью математических приемов, тогда появляются основания говорить о начале существования математики как науки, о наличии ее элементрв.
      Для учителя математики сведения о ранних периодах истории своей науки представляют не только общекультурный интерес. Они ему необходимы в его повседневном преподавательском труде. Этапы формирования понятия числа, фигуры и других основных понятий с удивительным, «железным» постоянством повторяются в индивидуальном росте математической образованности дошкольников и младших школьников. А в дальнейшем математическом образовании сведения историко-научного характера оказываются необходимыми для понимания и усвоения логических средств доказательств и структуры курсов математических дисциплин, для прочного усвоения школьниками математического материала.
     
      Глава 2
      КАКОВЫ БЫЛИ ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ
      Время в школе течет быстро. Его всегда недостаточно. Трудности же в усвоении математики учащимися возрастают еще быстрее. Происходит это потому, что уже на ранних этапах обучения характер математического материала резко меняется. На первый план выступают абстрактные элементы математического знания. Вскоре они приобретают главное, почти самодовлеющее значение. Школьник тратит все (или почти все) время на то, чтобы заучивать аксиомы, повторять доказательства теорем, составлять и решать уравнения, иметь дело с усложняющейся символикой и т. п. Математика же резко разрастается и распадается на отдельные учебные предметы: алгебру, геометрию, начала анализа. Геометрия в свою очередь делится на два курса: планиметрию и стереометрию. Алгебра изучает отдельные темы, в частности тригонометрию, логарифмы и т. д. Ставшие в известной мере привычными и необходимыми непосредственные связи приобретаемых знаний с наглядно представимыми объектами отступают на задний план и заменяются заверениями, что именно то, что изучается ныне, очень важно и найдет свое применение в будущем.
      В этот период, когда ученики переходят от приобретения первичных математических навыков к изучению научных основ математики, перед учителем встает много трудных проблем: как выработать у учеников прочные навыки абстрактных математических рассуждений? Как обучить их символическому языку математики? Как не утерять при этом связей с материальными объектами и практической деятельностью большинства людей? Наконец, приходится решать самую, может быть, трудную задачу: убедить своих учеников в целесообразности, обоснованности, жизненной необходимости затрачиваемого ими труда.
      Настоящая глава написана с целью помочь читателям приобрести (или обновить) необходимый минимум сведений о том, как формировалась математическая наука. Это необходимо сделать сейчас, до рассмотрения вопросов, связанных с историей отдельных математических дисциплин и изложенных в последующих главах. Тем самым мы последуем одному из замечательных высказываний В. И. Ленина: «Кто берется за частные вопросы без предварительного решения общих, тот неминуемо будет на каждом шагу бессознательно для себя «натыкаться» на эти общие вопросы»1.
      Когда же и в каком виде возникали элементы математической науки? Уточним постановку вопроса и тот смысл, который мы будем вкладывать в употребляемые нами термины. Элементами математической науки мы будем считать утверждения или последовательность утверждений математического характера, обладающие следующими признаками:
      а) объектами высказываний в них являются математические абстракции, как численные, так и геометрические, упорядоченные или сгруппированные в отдельные классы;
      б) относительно этих абстракций высказываются утверждения (теоремы, леммы и т. п.), подчиненные определенным (задаваемым) условиям (требованиям);
      в) системы абстракций и системы высказываний о них обогащаются новыми элементами того же рода, развиваясь тем самым как бы самостоятельно, независимо от типа конкретных задач или вида объектов, относительно которых они поставлены.
      Наличие таких признаков означает, что завершился или завершается переход от утилитарного использования начальных математических навыков к научному математическому мышлению. Переход этот, разумеется, сложен, имеет диалектический характер, нередко труден для осуществления как в общеисторическом, так и в индивидуальном плане.
      Ту же мысль выражают по-иному, говоря, что математика как наука появляется тогда, когда начинает свое существование некая достаточно богатая совокупность математических теорий. Термин «теория» происходит от греческого слова Феорга, что означает рассмотрение, исследование, научное познание. Общепринятый смысл этого термина таков, что под ним понимают систему основных идей в рассматриваемой области знания. Эти идеи отражают практику, опыт (например, опыт наблюдений, экспериментов), обобщают результаты и находят в них объективное обоснование. Обобщения эти таковы, что они представляют собою более глубокое знание, полученное с помощью абстрактного мышления. Их содержание и применение ведут к более глубокому проникновению в сущность явлений.
      Формирование математической науки происходило, как убеждает нас история, в научном творчестве ученых Древней Греции. Так принято называть группу государств, сложившихся начиная с VIII — VI вв. до н. э. на территории современной Греции, близлежащего побережья Малой Азии и юга Италии. Эти государства со временем приобрели вид отдельных самоуправляющихся городов (полисов). Расположенные на самых оживленных в ту пору торговых путях, они приобрели большое экономическое могущество, превратившись к V в. до н. э. в политический, экономический и культурный центр античного мира.
      Древняя Греция оставила человечеству прекрасные образцы строительства, технических приспособлений, памятники искусства, известные всякому культурному человеку. От тех далеких времен дошли до нас также сведения о научных достижениях, в том числе о первых элементах математической науки. Последние и определили лицо математики, ее положение в системе научных знаний на многие последующие столетия.
      Трудно, если вообще возможно, воссоздать конкретно, как складывалась система математических знаний в Древней Греции. Процесс этот был длительным. Дошедшие до нас исторические источники неполны. Однако их достаточно, чтобы увидеть, какие события были определяющими и по каким направлениям шло развитие древнегреческой математики. Можно также заметить, какое влияние оказали сочинения математиков Древней Греции на преподавание математики, на развитие науки последующих столетий, вплоть до XX в.
      Постараемся рассказать об этом, хотя и сжато, но с привлечением достаточно большого фактического материала. Более детальная информация содержится в книге автора (см. [3], гл. 2 и др.) и в другой литературе по истории математики.
      Прежде всего заслуживает внимания то, что в ряде ранних источников содержатся высказывания, говорящие о преемственности математических и вообще научных знаний. Так, в них упоминается о поездках купцов и образованных граждан древнегреческих полисов в другие страны. Чаще других речь идет о Египте и иных странах Ближнего Востока, о развитии в них науки и о технических достижениях. Практический характер математики и успехи ее в этих странах были оценены высоко и восприняты полностью.
      В течение долгого времени математические сведения не были выделены в отдельную область науки. Важные и интересные астрономические, технические и другие открытия, наблюдения за явлениями црироды, новые методы вычислений и решения новых классов задач стекались в Грецию со всех сторон, распространялись в кругах образованных людей, сливаясь в единую, хотя и слабо поначалу объединенную, область всеобщего научного знания. Называли эту область матема (раттцха — знание, наука). Факты этой науки приобретали название научных, математических.
      Но время шло, и постепенное накопление научных сведений объективно вынуждало к тому, чтобы их упорядочить, классифицировать. То же стремление к разделению, дифференциации знаний вырастало из практики школьного обучения. Известно, что все дети свободных граждан рабовладельческих Афин и других полисов с семилетнего возраста учились в школах. Там их обучали как дисциплинам практического назначения, так и начаткам теоретического научного знания, в том числе основам теоретической арифметики и геометрии. Став взрослыми, они вследствие привилегированного положения в обществе передавали подневольным людям не только физический труд, но и решение практических задач, связанных с необходимостью счета и измерений. Такое разделение математических занятий, возникшее в силу социального неравноправия людей, ускоряло объективное течение исторического процесса дифференциации научных знаний и выделения слоя людей, занимающихся теоретическими проблемами математики. Этому же способствовала деятельность учебнонаучных объединений натурфилософского направления (научных школ). Самыми ранними из них были: ионийская (VII — VI вв. до н. э., в островной части Греции) и пифагорейская (VI — V вв. до н. э., в южной части Апеннинского полуострова). В IV в. до н. э. в материковой части Греции функционировали школы, среди которых выделялись Академия Платона (428 или 427 до н. э. — 348 или 347) и Ликей Аристотеля (384 — 322 до н. э.), учителя Александра Македонского (356 — 323 до н. э.). Это были по преимуществу небольшие группы молодых людей, собиравшихся вокруг известных ученых; преподавание велось главным образом устно.
      Когда после смерти Александра Македонского распалась завоеванная им громадная империя, один из его полководцев, Птолемей, в столице своего государства Александрии (основана в 331 г. до н. э.) основал Музейон (что означает: прибежище муз) с громадной библиотекой (достигавшей, по свидетельству современников, до 700 000 рукописей). Там на полном государственном обеспечении работали многочисленные ученые, среди которых были самые по тем временам выдающиеся. В г. Сиракузы на острове Сицилия жил и работал Архимед (ок. 287 — 212 до н. э.), на побережье Малой Азии — Аполлоний (ок. 260 — 170 до н. э.) и др.
      Научная, в том числе математическая, деятельность в странах Средиземноморья была многообразной, в ряде мест активной и длительной. Из тех сведений, что сохранила для нас история, выберем те, которые позволят нам дать общую характеристику процесса формирования математической науки в ставшем для нас привычным понимании этого термина.
      Одним из самых первых шагов в направлении дифференциации содержания математики явилось отделение области практических навыков и сведений. Эта область математики получила особое название: логистика. Можно утверждать, что в логистику входили: счет (арифметические действия над натуральными числами с применением счетной доски — абака); действия с дробями; вычисления корней, по преимуществу квадратных; решение разнородных типов задач приемами, известными из учебников арифметики. Конечно, содержание логистики также пополнялось постепенно. К сожалению, ни одного сочинения по логистике не сохранилось.
      Разделение математических знаний не по виду изучаемых объектов, а по социальным функциям их обладателей в условиях тесной связанности с общефилософскими постановками проблем нередко приводило не только к противопоставлению теоретических и прикладных математических знаний, но и к стимулированию заблуждений идеалистического толка (пифагореизм, орфические учения, т. е. учения о бессмертии души, и др.). Впрочем, в настоящей работе мы эту группу вопросов освещать не намерены. Будем обсуждать историю развития только математических знаний, преимущественно теоретических.
      KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА