Вечера занимательной арифметики

PDF

      Ты взял в руки эту книгу, значит, ты любознательный читатель и ученик. Надеюсь, книга заинтересует тебя и ты прочтёшь ее до конца. Книга эта особенная, математическая. В ней рассматривается то, что ты изучаешь на уроках арифметики. Однако рассказывается об этом не совсем в такой форме, в какой ты слышишь на уроках, да и не всегда о том, что узнаёшь на уроках.
      Читать эту книгу надо не как обычную художественную книгу, а по-особому: с карандашом в руках, и притом прочитать её придётся не за пять — десять дней, а, может быть, за несколько месяцев. Помимо обычного чтения, ты должен решать предлагаемые задачи, производить необходимые вычисления и расчёты, разгадывать арифметические ребусы, головоломки и т. п. В данной книге приведено много математических игр и развлечений. Поэтому лучше всего читать книгу вдвоём, втроём, коллективом друзей.
      При чтении первой части книги постарайся усвоить, как решаются отдельные занимательные задачи и головоломки, а также и то, н а чём основаны арифметические фокусы и интересные приёмы вычислений. Это поможет тебе понять и самостоятельно решить занимательные задачи, помещённые во второй части книги.
      Сообщи мне, понравилась ли тебе книга и чем именно, лучше ли ты стал учиться по арифметике.
      Автор
     
      Часть 1
      ГЛАВА ПЕРВАЯ,
      в которой рассказывается о том, каким я был «математиком».
     
      1. Первый раз в четвёртый класс.
      Да, в самом деле, как быстро летит время! Когда я читал книгу «Витя Малеев в школе и дома», то думал, что это только Вите показалось, будто летние каникулы так быстро пролетают. Но выходит, что каждый раз не успеешь как следует отдохнуть, а пора уже снова идти в школу. Только всё равно в школу идти очень хочется: ведь теперь я иду уже в четвёртый, а не в какой-нибудь первый или второй класс; да и с товарищами я уже давно не виделся. Я вспомнил своих друзей: Павлика Борзова. Валю Козлова, Васю Болдырева и многих других. Мне стало почему-то весело-весело, и ноги сами собой быстрее понесли меня в школу. Вот уже и школа видна... но тут я приостановился: мне вдруг вспомнилось наставление Василия Сергеевича (это мой учитель), которое я так и не выполнил. Дело в том, что я, как и Витя Малеев, учась в третьем классе, не очень-то любил арифметику, а потому и знаю её плохо, ну, может быть, и не совсем плохо, з всё-таки и не хорошо. Так вот, в конце прошлого учебного года Василий Сергеевич, расставаясь с нами на каникулы, пожелал нам не только хорошо отдохнуть и поздороветь, но и заняться полезными делами: кому
      побольше читать, кому повторить грамматику, кому заняться рисованием и музыкой, а кому не забывать и об арифметике. Мне, например, он посоветовал на досуге поупражняться в умножении и делении, а также в решении задач; и я, конечно, дал обещание выполнить все его наставления.
      Но ведь одно дело — обещание дать (это-то сделать легко!), и совсем другое дело — выполнить это обещание. Когда начались каникулы, я совсем забыл не только об арифметике, но и о других учебных предметах. Правда, когда я прочитал книгу о Вите Малееве, то почувствовал, что меня мучает что-то вроде угрызения совести. И я хотел было уже начать занятия по арифметике, но в это время подошла моя очередь на чтение книги «Старик Хоттабыч». Конечно, теперь было уже не до арифметики: ведь эту книгу я ожидал.целый месяц. А когда я прочитал и эту книгу, то опить-таки не смог начать занятий по арифметике: уж очень трудно одному заниматься таким скучным делом. Кроме того, ведь и Витя Малеев летом арифметику не учил: он подтянулся, когда уже ходил в четвёртый класс. Вот я и подумал, что тоже подтянусь, когда буду учиться. Только ведь у Вити была сестра Лика, которая училась в третьем классе; он стал помогать ей решать задачи, и подтянулся сам. Но у меня-то сестры нет... Как же я подтянусь по арифметике? Ду-мал-думал. я и решил, что Василий Сергеевич сам что-нибудь придумает и поможет мне: ведь у нас в классе не было ещё случая, чтобы кто-нибудь из учащихся оставался на второй год.
      Когда я вспомнил, какой у нас хороший Василий Сергеевич, то у меня немного отлегло от сердца и мне ещё больше захотелось поскорее оказаться в школе. Через минуту-другую я уже входил в свой класс. Ой, что тут было! Но об этом рассказывать не стоит: это каждый знает по себе.
      Прошёл урок, второй, третий, а Василий Сергеевич не напоминал о моём обещании. Уж не забыл ли он об этом? Однако у Василия Сергеевича, видно, хорошая память, и после четвёртого урока он оставил меня и Ваню
      Макарова, чтобы побеседовать с нами подробно, как мы провели летние каникулы. Ване нужно было повторить кое-что по грамматике, но он, как и я, ничего не повторял летом, а только рыбу ловил, купался да загорал, даже книжек мало читал. Наверное, поэтому он и русский не очень-то хорошо знает.
      После беседы с нами Василий Сергеевич сказал, что каждому из нас следует обратить особое внимание на повторение пройденного за третий класс. Кроме того, Ване он посоветовал записаться в кружок выразительного чтения, который будет вести Анна Ивановна (это учительница третьего класса), а мне — в математический кружок, который будет вести он сам.
      Вместе со мной в кружок записались и мои друзья: Павлик, Валя и Вася. А раз друзья вместе, значит, заниматься в кружке будет интересно.
     
      2. С умножением — мученье, а с делением — беда.
      Побежал день за днём. Первое время уроки были какие-то длинные-предлинные, будто и не по сорок пять минуть, а по целых два часа. Я с трудом дожидался, когда закончится пятый урок. По четыре урока в день у нас теперь бывает редко, не то, что было в третьем классе. Зато уж после уроков мы играем в футбол сколько нам хочется. Конечно, и тут мы устаём, но это совсехм не то, что решать трудные задачи или примеры на умножение и деление.
      В конце второй недели Василий Сергеевич дал какие-то особые задания Павлику и Васе, а нам сказал, что в следующую пятницу состоится первое занятие математического кружка. Мне захотелось узнать, какие же поручения дал Василий Сергеевич Павлику и Васе, но на мой вопрос они ответили, что это пока секрет, а узнаю я об этом вместе с другими ребятами на занятии кружка. Тогда мне и самому захотелось подготовить что-нибудь для кружка, и я сказал об этом Василию Сергеевичу. «Хорошо, Саша, — сказал он, — что у тебя
      появилось такое желание. Скоро и ты будешь делать сообщение на кружке, а пока выполни вот это».
      И Василий Сергеевич дал мне на дом примеры на умножение и деление по задачнику для третьего класса да прочитать одно правило. Оба примера, как мне показалось были нетрудными, и я очень скоро выполнил задание. Сначала я решил пример: 538Х70Э, и у меня получилось 42482; затем я решил другой пример: 589408: 652, получил 814. Заглядывать заранее в ответ я не стал: Василий Сергеевич говорит, что сначала надо решить, не зная ответа, а потом уж сравнивать своё решение с ответом в задачнике. «Так, — говорит он, — ты будешь приучаться к самостоятельной работе». Вот я и стараюсь решать самостоятельно Конечно, я был ещё не совсем уверен, что верно решил примеры, и поэтому посмотрел ответы в задачнике. Оказывается, там напечатаны совсем другие числа 381442 и 904. Я стал проверять своё решение.
      Первый пример я решил так:
      Проверяю. Сначала умножаю на 9: девятью восемь — 72; 2 пишем, 7 в уме; трижды девять — 27 да 7 в уме, будет 34; 4 гишем, а 3 в уме; пятью девять — 45 да 3 в уме, будет 48. Ну, думаю, первое умножение я сделал верно. Проверяю дальше. На нуль умножать нечего, потому что он ничего не значит, буду прямо умножать на 7: семью восемь — 54; 4 пишем, 5 в уме; трижды семь — 21 да 5 в уме, будет 26; 6 пишем, 2 в уме; пятью семь — 35 да 2 в уме, будет 37. Значит думаю я, и второе умножение сделано верно. Остаётся теперь проверить сложение. Ну,-складывать-то и вычитать я умею хорошо, и тут ошибки не должно быть. Так и есть: всё сделано верно. А почему же всё-таки в задачнике другой ответ? Ведь если в задачнике опечатка, то Василий Сергеевич, наверное, сказал бы мне об этом: он же дал мне индивидуальное задание.
      Я решил ещё раз проверить свои вычисления: может быть, я забыл таблицу умножения? Проверяю, так и есть:
      семью восемь — не 64, а 56. Я сделал исправления, и у меня получилось 42502, но всё-таки снова не 381.442. Смотрю-смотрю я на эти ответы и вижу, что дело здесь, наверное, совсем не в таблице умножения: уж очень большая разница в ответах — у меня получилось 42 тысячи, а^ в задачнике 381. тысяча. Тогда я вспомнил, что Василий Сергеевич советовал мне прочитать ещё какое-то правило. Может быть, оно меня выручит? Прочитал я правило и вспомнил, что при умножении числа можно менять местами, результат от этого не меняется Ну, думаю, да-вай-ка я переставлю числа местами, что у меня теперь получится? И получилось так, как в ответе.
      Выходит, что я всё время где-то ошибался, но где именно — никак не пойму. Спрошу об этом у Василия Сергеевича.
      Второй пример я решил так:
      Проверяю: 5894 надо делить на 652. По скольку же можно взять? Да, тут тебе не таблица умножения: раз, два и готово. Тут надо подбирать цифру, угадывать. Возьму-ка я по 8; 652 умножаю на 8, получается 5216, в остатке 678, а делим на 652; значит, можно взять ещё по 1, тогда в остатке получится 26; следующая цифра делимого — нуль, получается 260, но 260 на 652 нё делится; значит, берём следующую цифру — 8, получается 2608; 2608 делю на 652, получается по 4, в остатке нуль. Получается 814 (а должно быть 904). Где же ошибка? Переставлять числа при делении нельзя: это же не умножение. Как же тогда проверить, кто прав — я или задачник? Я умножил свой ответ 814 на 652 (так мы проверяли деление ещё в прошлом году), и у меня получилось 530728. Но ведь 530728 — это же не то число, которое я делил. Значит, ошибся я, опечатки в задачнике нет.
      Посидел я над примером ещё немного, но так и не нашёл своей ошибки, уже устал заниматься арифметикой, а ещё надо учить и другие уроки. Пусть помогает мне завтра сам Василий Сергеевич Так я решил, на том и закончил выполнение индивидуального задания. И кто только придумал эти действия умножения и деления, делали бы всё только сложением да вычитанием! В самом деле, надо спросить у Василия Сергеевича, нельзя ли обходиться без умножения и деления; и всегда л и люди знали все четыре арифметических действия? Вот будет он проводить занятие математического кружка, я и спрошу его об этом.
      На следующий день я пришёл р школу пораньше: может быть, до начала уроков кто-нибудь поможет найти ошибку в моём решении примеров. В классе уже было несколько девочек, но я не стал обращаться к ним: ещё смеяться станут (ох, и вредные эти девчонки!). «А рано пришёл, — говорю, — потому, что думал, я дежурный». Девочки-дежурные поверили мне, только Маша (это та, что сидит за соседней партой, самая вредная из девчонок) недоверчиво усмехнулась, а сама, наверное, подумала: «Знаем, мол, какой ты дежурный. Пришёл пораньше, чтобы по арифметике списать». (Такой грешок за мной раньше водился, и она об этом знала.)
      Вскоре пришёл Павлик, я к нему.
      — Да ведь нам-то таких примеров на дом не давали, — — отвечает он.
      — Ну, и что же, ты помоги мне решить мои индивидуальные примеры, — прошу я его.
      Мы уселись с ним за последнюю парту. Он быстро просмотрел мои вычисления и сейчас же нашёл все мои ошибки. Видно, недаром Павлик считается у нас лучшим математиком в классе! Оказывается, в первом примере при умножении на 7 надо было подписывать не под десятками, а под сотнями. А я-то и не сообразил, что семь — это сотни; десятков нет, значит, их нужно пропускать.
      Во втором примере я делал почти всё верно. Только, оказывается, единицу надо было писать не рядом с восьмёркой, а прибавлять к восьми; вот и было бы 9 сотен. Кроме того, когда 260 десятков не делилось на 652, надо было в частном на месте десятков поставить нуль; вот тогда и получилось бы у меня, как в ответе, 904. Павлик говорит, что остаток прй делении всегда должен быть меньше делителя. Это надо запомнить, чтобы другой раз не ошибаться.
     
      3. Тише едешь — дальше будешь.
      После уроков я подробно рассказал Василию Сергеевичу, как решал примеры, как ошибался и исправлял, как мне помог Павлик. «Хорошо, Саша, — говорит Василий Сергеевич, — ты уже начал решать примеры более самостоятельно, чем раньше. Теперь старайся совсем не делать ошибок, а если и сделаешь, то находи их сам. За помощью обращайся в самом крайнем случае: ты и сам можешь сделать всё верно».
      Ну, думаю, если уж Василий Сергеевич считает, что я могу делать всё сам верно, то я и должен, и буду делать всё сам. Не буду больше обращаться за помощью даже к мальчикам: что же, я хуже их, что ли? Новые индивидуальные примеры я решил без единой ошибки и совсем было уже поверил в свои силы, как вдруг. Василий Сергеевич дал мне задачу из учебника для третьего класса. И задача-то как будто бы нехитрая, а провозился я с ней долго. Читаю задачу: «По течению лодка двигалась со скоростью 6 км в час, a против течения — вдвое медленнее. За сколько часов лодка прошла от одного села до другого и обратно, если расстояние между ними по реке равно 18 км?»
      Я сразу понял, что требуется узнать в этой задаче. Но всё-таки она показалась мне с подвохом: кто же поедет на лодке так далеко да ещё против течения, ведь лодка-то не моторная (по течению — и то только 6 км в час). Вот, думаю, нагреется за дорогу тот, кто будет грести! Ну, ладно, кому то грести, а мне решать задачу. Раз по течению 6 км в час, а против течения вдвое медленнее, то это значит — надо разделить пополам. Получается, что против течения лодка шла со скоростью 3 км в час. Да, не быстро. Значит, пока он доедет до села, то попотеет как следует. Да и лодка-то, наверное, была гружёная: не на прогулку же он плавал за 18 километров!
      Решаю дальше. В задаче спрашивается, за сколько часов лодка прошла от одного села до другого и обратно. Туда он ехал 18 км и обратно столько же, а всего, стало быть, к 18 км прибавить 18 км, будет 36 км. Теперь всё остальное тоже ясно: туда он делал по 6 км в час, а обратно по 3 км в час. Значит, туда и обратно он делал, к 6 км прибавить 3 км, по 9 км в час. Теперь остаётся всё расстояние 36 км разделить на скорость — по 9 км и готово: туда и обратно он затратил 4 часа. Разделилось без остатка; значит, задачу я решил верно.
      Ну, думаю, теперь и е ответ заглянуть можно, чтобы успокоиться. Смотрю, а в задачнике даны ответы только до № 1161, а эта задача 1195. Как же быть, если правильный ответ нельзя узнать? Не идти же к ПаЕлику. Начинаю вспоминать, как Василий Сергеевич советовал делать проверку. Умножаю 6 км на 4, получается 24 км; умножаю 3 км на 4, получается 12 км; складываю 24 км и 12 км, получается 36 км. Значит, туда и обратно всего 36 км, как и на самом деле. Только ведо туда не 24 /см* а лишь 18 км, да и обратно не 12 км, а тоже 18 км. Нет, видно, опять я что-то напутал. И для чего только составляют такие трудные задачи: ведь нелёгкую работу задали и гребцу, и тем, кто должен решать задачу.
      Как мне ни хотелось, но пришлось всё-таки идти к Павлику.
      Конечно, вместе с ним мы быстро разделались с задачей. Оказывается, я и решал-то её почти правильно, только надо было отдельно 18 км разделить по 6 км, получится 3 часа — это столько времени лодка тыла по течению; потом 18 км разделить по 3 км, получится 6 часов столько времени лодка шла против течения; а всего туда и обратно лодка затратила 9 часов. Подумаешь, большая разница: 9 часов, а у меня было 4 часа. Зато у меня гребцу пришлось меньше мучиться, а на самом деле он должен грести чуть ли пе полсуток. Да и число 9 у меня тоже получалось, только было не 9 члсов, а 9 километров.
      После уроков я рассказал о решении задачи Василию Сергеевичу.
      — Как же у тебя могло получиться 4 часа? — спрашивает он. — Ведь только по течению лодка плыла целых 3 часа. Против же течения лодка плыла вдвое медленнее, значит, времени она затратила вдвое больше 3 часов, то есть 6 часов, так как прошла те же 18 км. Как видишь, Саша, при решении задач не нужно спешить, нужно побольше размышлять, лучше уяснять условие задачи.
     
      ГЛАВА ВТОРАЯ,
      в которой рассказывается о том, как прошло первое занятие нашего кружка.
     
      1. Картина «Устный счёт».
      Наконец подошла пятница, день занятий математического кружка. На самих уроках— арифметики у нас было мало интересного: все учили, как складывать да вычитать многозначные числа, как проверять эти действия. Всё это нам давно уже известно! Правда, числа теперь берём больше, но это всё равно: хоть большие числа, хоть маленькие, а письменно складывать приходится по одному и тому же правилу. Вот устный счёт интересен на уроках арифметики: тут надо уметь выполнять сразу все действия-, а главное — как можно быстрее и без ошибок.
      Правда, я очень редко поднимаю руку первым, но всё равно интересно: пока сосчитает большинство учащихся, я Уже давно знаю ответ. Значит, устно я считаю не хуже Других. Интересно также вычислять на счётах: сложение и вычитание при этом выпол-
      кяютгя значительно быстрее, чем письменно, Жаль только, что в школе мы больше вычисляем письменно, чем на счётах. А в магазинах-то да в бухгалтер!™ почти никто и не вычисляет, как мы, письменно, а все только на счётах...
      Заканчивая последний урок, Василий Сергеевич сказал, что на занятие кружка могут прийти не только те, кто у же записался, но и все желающие, польза будет всем. Мы собрались в нашей же классной комнате. На занятие пришли из четвёртых классов шестнадцать человек, даже из третьего класса пришли четыре любителя арифметики.
      Василий Сергеевич принёс какую-то картину. Конечно, нам захотелось посмотреть, что это за картина и для чего она нужна на занятии математического кружка, но Василий Сергеевич сказал, что сначала надо избрать старосту кружка и редколлегию. Оказывается, мы будем выпускать свою стенгазету «Юный математик»! Старостой кружка выбрали Петю Панкратова: он у нас в классе самый строгий и дисциплинированный ученик, его будут все слушаться. В редколлегию выбрали троих: Сашу Пашкина, Колю Фомина и Павлика Кретова. Саша хороший организатор, Коля умеет рисовать, а Павлик умеет не только сам заметки писать, но и других застаазять.
      Только после этого Василий Сергеевич показал нам картину. Минуты три мы внимательно и молча рассматривали эту картину. Мы не сразу поняли, что на ней изображено. Какие-то мальчики собрались около классной доски и что-то рассматривают. Два мальчика (это те, которые стоят впереди) отвернулись от доски и что-то вспоминают, а может быть, считают. Один мальчик что-то шепчет на ухо, по-видимому, учителю, а другой, кажется, подслушивает. Ничего не пойму. И тут вдруг посыпались вопросы:
      — А почему они в лаптях?
      — А почему они все стоят у доски, а не сидят за пар тами?
      — А почему тут нет девочек, только одни мальчики?
      — А почему они стоят спиной к учителю?
      — А что они делают?
      Я уж и не запомнил всех вопросов, которые были заданы Василию Сергеевичу. Когда мы немного успокоились, Василий Сергеевич сказал:
      — Ну, а теперь давайте вместе рассматривать картину; Вы уже поняли, что здесь изображены учащиеся и учитель. Конечно, костюмы детей необычные: некоторые ребята в лаптях, а у одного из героев картины (того, который изображён на переднем плане), кроме того, и рубаха порвана. Ясно, что эта картина не из нашей школьной жизни. Вот и надпись на картине: 1895 год — время старой, дореволюционной школы. Крестьяне жили
      тогда бедно, сами они и их дети ходили в лаптях. Художник изобразил здесь крестьянских детей. Только в то время мало кто из них мог учиться даже в начальной школе. Посмотрите-ка на картину: ведь только трое из учеников в лаптях, а остальные как обуты?
      — В сапогах... Только не всех видно.
      — Очевидно, остальные ребята из семей богатых. Ну, а почему на картине не изображены девочки, это тоже нетрудно понять: ведь в то время (почти сто лет тому назад) девочек, как правило, в школу не принимали. Учение было «не их делом», да и мальчики-то учились далеко не все. Лишь после Октябрьской революции стали учиться не только все мальчики, но и все девочки нашей страны.
      После небольшой паузы Василий Сергеевич спросил нас:
      — Ну, а как вы думаете, что же делают эти ученики?
      — Что-то считают: на доске написаны какие-то числа, только неразборчиво, — заметил Коля.
      — Верно, эта картина так и называется: «Устный счёт». Написал её художник Николай Петрович Богданов-Бельский, который жил с 1868 по 1945 год.
      — Так он же умер, оказывается, совсем недавно: за 11 лет до моего рождения, — сообразил Павлик. — Вот здорово.
      — Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. С 1833 по 1902 год жил известный русский педагог Сергей Александрович Рачинский, замечательный представитель русских образованных людей прошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 году С. А. Рачинский оставляет должность профессора, открывает школу для крестьянских детей в селе Татево, Смоленской области, и становится в ней учителем. Так вот, его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы: другие учителя, инспектора, представители из министерства просвещения. Как видите, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками на уроке устного решения задач. Между прочим, сам художник Н. П. Богданов-Бельский был учеником С. А. Рачинского.
      — Вот здорово, — зашумели ребята..
      Посмотриге-ка, как сосредоточенно думает мальчик изображённый на переднем плане картины. Видно, нелёгкую задачу дал им учитель. Но, наверное, этот ученик уже скоро закончит свою работу, а ошибки не дол-жно быть: уж очень серьёзно относится он к устному счёту. А вот тот ученик, который что-то шепчет на ухо учителю, видно, уже решил задачу, только ответ его не совсем правильный. Смотрите: учитель слушает ответ ученика внимательно, но на лице его нет одобрения, значит, ученик сделал что-то не так. А может быть, учитель терпеливо ожидает, когда и другие сосчитают верно, так же как первый, и поэтому не спешит одобрить его ответ?
      — Нет, первым даст правильный ответ тот, который стоит впереди: сразу видно, что он лучший ученик в классе, — высказала своё мнение Маша.
      — Василий Сергеевич, ну, а какую же задачу дал им учитель? Не сможем ли решить её и мы? — спросил Ваня.
      — А вот попробуйте. На доске записано следующее. Я запишу так, как привыкли писать вы:
      Как видно, каждое из чисел 10, 11, 12, 13 и 14 нужно умножить само на себя, результаты сложить, а полученную сумму разделить на 365.
      — Вот так задача! Такой пример не скоро решишь, да ещё в уме, — зашумели мы.
      — А вы всё-таки попробуйте сосчитать устно, в трудных местах я буду помогать вам, — подбодрил нас Василий Сергеевич.
      И мы начали считать. Десятью десять — 100, это каждый знает. Одиннадцать умножить на одиннадцать — это тоже нетрудно сосчитать: 11X10 = 110 да ещё 11, всего 121. Двенадцать умножить на двенадцать — это тоже нехитро сосчитать: 12X10=120 да ещё 12X2 = 24, а всего 120 да 24 будет 144. Так же я сосчитал, что 13X13=169 и 14X14=196. Но пока я умножал, то почти забыл, какие числа у меня получились. Потом я вспомнил их, а ведь эти числа н^до ещё сложить да потом сумму разделить на 365. Нет, это уж сам я не мог вычислить.
      Я посмотрел на ребяг — даже Павлик ещё не сосчитал. Я посмотрел на Василия Сергеевича — он терпеливо выжидал, ну, в точности, как на картине. Только из нас, наверное, никто сам не решит этого сложного примера устно. Вот если бы пойти к доске...
      — Ну, ребята, по-видимому, придётся вам немного помочь, — прервал наши размышления Василий Сергеевич. — Какие же числа у вас получились, когда вы перемножили каждое из чисел само на себя?
      — 100, 121, 144, 169 и 196. — Это сосчитали многие.
      — Теперь вы, наверное, хотите сложить сразу все пять чисел, а потом уже делить результат на 365, — сказал Василий Сергеевич.
      -— А как же иначе можно делать? Мы по-другому не умеем вычислять, — говорит Петя.
      — Ну-ка, сложите первые три числа: 100, 121 и 144. Сколько получается? — спрашивает Василий Сергеевич.
      — 365, — быстро соображает Маша.
      — А делить на сколько надо?
      — Тоже на 365!
      — Сколько же получится, если сумму первых трёх чисел разделить на 365?
      — Один! — Это уж каждый сообразит.
      — Теперь сложите остальные два числа: 169 и 196. Сколько получается?
      — Тоже 365! — радостно восклицает Павлик. — А, значит, после деления на 365 получится ещё один, а всего один да один будет два!
      — Вот так пример, и совсем нехитрый: получается-то всего лишь два, — зашумели ребята.
      — Верно, — говорит Василий Сергеевич, — пример не очень трудный. — Только для его решения надо хорошо знать, что сумму можно делить не сразу всю, а по частям: каждое слагаемое в отдельности или же по группам в два-три слагаемых, а потом уж сложить получившиеся результаты.
      — А ещё какие картины написал художник Богданов-Бельский? — поинтересовалась Валя.
      — Богданов-Бельский написал несколько картин о старой русской школе. Одну из них, которая называется «У порога школы», я покажу вам в своё время на уроке чтения, — закончил беседу Василий Сергеевич.
     
      2. Павлик — «фокусник».
      Василий Сергеевич убрал картину и, когда мы со-в.ем успокоились, предоставил слово Павлику.
      — Я могу, — сказал Павлик, — узнать когда кто
      родился.
      — Не может этого быть! — возразили многие.
      — А может, ты раньше узнал, кто когда родился, а теперь будешь угадывать, — усомнились другие.
      — Так ведь я же не знал, кто именно придёт сегодня на занятие кружка! — не сдавался Павлик.
      Ну, ладно, отгадывай, когда я родился, — предложил Ваня Симаков.
      — Хорошо, только ты сначала выполни действия, которые я назову, а уж потом я отвечу, когда ты родился. Заодно и все вы, ребята, делайте то, что я буду говорить, — обратился к нам Павлик.
      Мы взяли карандаши, бумагу и начали вычислять.
      — День своего рождения умножьте на 2..., к полученному числу припишите нуль..., к полученному числу прибавьте 73..., а теперь результат умножьте на 5... и, наконец, прибавьте номер месяца, ь котором вы родились.
      Я родился 6 февраля. Когда я выполнял указанные Павликом действия, то у меня получались числа 12, 120, 193, 965 и, наконец, 967.
      — Теперь скажите мне последнее полученное вами число, и я узнаю, кто когда родился, — обратился к нам Павлик,
      — У меня получилось 1868, — сказала Нина
      Павлик немного подумал и ответил:
      — Во-первых, у тебя получилось число — год рождения художника Богданова-Бельскогс, картину которого мь: только что рассматривали. А, ьо-вторых, ты родилась 15 марта.
      — Верно. Вот здорово, — удивилась Нина.
      — А у меня получилось 967, — говорю я.
      — У тебя получился номер года, который сейчас идет, только без тыся-Чи а родился ты 6 февраля, — не задумываясь ответил Павлик.
      — Тоже верно, - удивился я, — и в самом деле интересно получается.
      — А у меня пилучилось 2677, — сказал Коля Фомин.
      — Значит, ты родился... 23 декабря, — немного подумав, ответил Павлик.
      — А вот и неверно: я родился совсем не 23 декабря, — возразил Коля.
      Ребята зашумели. Но Павлик не растерялся. Он еще раз подумал и твердо ответил:
      — Нет, ты или родился именно 23 декабря, или же ты ошибся при выполнении действий! А ну-ка, проверь свои вычисления.
      Все затихли. Коля стал проверять, и даже Маша стала ему помогать.
      — Так и есть, — говорит Маша, — у Коли ошибка: при сложении он забыл, что одна сотня у него была в уме. Должно получиться не 2677, а 3177.
      — Ну, вот это другое дело, — говорит Павлик. — Значит, ты родился не 23, а 28 декабря.
      — Верно, — смущённо подтвердил Коля.
      Все немного посмеялись над Колей. Павлик угадал ещё несколько раз, а потом мы попросили его объяснить нам, как он это делает.
      — А очень просто, — говорит он. — От числа, которое у вас получается в самом конце, надо отнять 365. Например, у Коли получилось 3177. От 3177 я отнимаю 365, получается 2812. В этом числе первые две цифры (28) выражают день рождения, а другие две цифры (12) — номер месяца. Двенадцатый месяц — это декабрь. Значит, Коля родился 28 декабря. У Нины получилось 1868. Когда я отнял 365, то получилось 1503. Значит, Нина родилась 15-го числа третьего месяца, то есть в марте.
      Между прочим, подобные случаи вычитания удобнее всего выполнять устно так: 1868 — 365 — (18 сот. — — 3 сот.) .+. (68 — 65) = 15 сот. + 3=1503; 3177 — 365 = = (31 сот. — 3 сот.)-|-(77 — 65) =28 сот. +12 = 2812.
      Отсюда: число сотен в нашем последнем числе — это день рождения, а число десятков и единиц — это номер месяца.
      — А почему же надо отнимать именно 365? Не потому ли, что в году 365 дней? — спросил я.
      Нет совсем не потому. Можно придумать такие числа чтобы было не 365, а, например, 400 или какое-нибудь другое число. Смотрите, что вы делали, когда я диктовал вам действия. Вот ты, например, Саша, решил такой пример: (6Х2ХЮ + 73) Х5+2, и у тебя получилось 967. Как видишь, число 73 умножалось на 5, а это как раз и даёт 365. Если бы я дал вам для прибавления не 73, а 80, то и отнимал бы не 365, а 400.
      А почему же день рождения оказывается впереди числом сотен, а номер месяца позади — числом десятков и единиц? — поинтересовался Миша.
      — А вот смотрите: день рождения 6 Саша умножал сначала на 2, потом на 10 (приписывал нуль), наконец, ещё умножил на 5. Всего он умножил 6 на 2, 10 и 5, то есть на 100. Значит, день рождения стал выражен не единицами, а сотнями. Когда же я от 9 сотен отнял 3 сотни, получившиеся от умножения 73 на 5, то как раз и осталось 6 сотен. Так я уэнаю день рождения. А номер месяца как был единицами, так и остался. От 67 я отнял 65, получившиеся от умножения 73 на 5, и осталось как раз 2. Так я узнаю номер месяца рождения.
      Конечно, это не совсем просто, подумал я, но интересно. Надо будет попробовать это проделать самому. Приду домой и потренируюсь, а потом попробую угадать, когда родился Миша, мой сосед. Вот он, наверное, удивится...
      — Павлик, а почему у Нины получилось число именно 1868 — год рождения известного художника, а у Саши получилось тоже интересное число 967? — спросила Валя.
      — Это, конечно, случайности: ведь у остальных же получились числа, ничем не примечательные, — пояснил он.
      — Павлик, а ты можешь узнать и год рождения? — -спросил Гена.
      — Нет, этого я не умею угадывать, — с сожалением ответил он.
      Ничего, ребята, — сказал Василий Сергеевич, — этот арифметический фокус подготовит к очередному занятию кто-либо из вас.
      Разумеется, от такого поручения никто не откажется— Василий Сергеевич назначил Машу, а потом спросил нас:
      — Может быть, вы уже устали, и пора кончать занятие?
      — Нет, нет, не устали, — в один голос зашумели мы. — Пусть еще Вася расскажет, что он там заготовил!
     
      3. Вася — любитель головоломок.
      Василий Сергеевич предоставил слово Васе Болдыреву.
      — Я предложу вам несколько задач головоломок, — начал Вася.
      — Давай, давай, только поинтересней! — поддержали Васю ребята.
      — У меня, — говорит Вася, — сестер в 2 раза больше, чем братьев, а у сестры столько же братьев, сколько и сестер. Сколько нас всех?
      Мы задумались. Я совсем растерялся: как приступить к решению задачи? Ведь здесь почти нет никаких чисел, и поэтому ни складывать — вычитать, ни умножать — делить тут нечего. Первым решил эту головоломку Гена.
      — Братьев было трое, сестёр четверо, а всех семеро, — ответил он.
      — Правильно, — подтвердил Вася. — А как ты решал задачу?
      — Я рассуждал так, — говорит Гена. — Раз сестёр в 2 раза больше, чем братьев, значит, их чётное число, то есть или 2, или 4, или 6 и т. д. Две сестры не может быть, так как тогда у Васи оказалось бы две сестры и один брат, а у сестры два брата и одна сестра — не поровну. Испробую число 4: тогда братьев, не считая Васи, будет 2, а с Васей 3; у сестры же будет 3 брата и 3 сестры — поровну. Значит, сестёр было 4, а братьев 3, всего-же семеро.
      — Неплохо ты справился с решением этой задачи, — говорит Василий Сергеевич. — Однако таким , способом, способом подбора, можно решить далеко не каждую подобную головоломку. В данной задаче было лишь две неизвестные величины — число братьев и число се-стёр, да и числа невелики. Поэтому не так уж трудно было подобрать эти числа. Однако бывают задачи-головоломки, для решения которых способ подбора чисел применить трудно.
      Вот вам пример такой задачи, — продолжал Вася. —
      Наше звено юннатов, направляясь на учебно-опытный участок, получило из кладовой несколько леек и мотыг. Если каждый юннат возьмёт по лейке то двум юннатам не хватит леек. Если каждый юннат возьмёт по мотыге, то одному юннату не хватит мотыги.
      Если же каждый юннат возьмёт или лейку, или мотыгу, то три инструмента останутся свободными. Сколько юннатов было в звене и сколько леек и мотыг в отдельности мы взяли из кладовой?
      Вот тут-то нам и в самом деле пришлось долго думать, как решить эту задачу, но никто даже угадать не мог, сколько юннатов было в звене и сколько они взяли леек и мотыг.
      — Такие задачи, — говорит Вася, — лучше всего решать графическим способом.
      Смотрите:
      Получилась третья часть условия задачи.
      Рисунку нетрудно заметить и сообразить, исло мотыг равно пяти: двух мотыг не хватало к лейкам до числа юннатов (Б В) да три мотыги оказались лишние (ВГ), когда каждый юннат взял по одной лейке или мотыге, то есть когда были разобраны все инструменты — лейки и мотыги. А раз мотыг было пять, то, значит, леек было четыре (на одну меньше, чем мотыг), а юннатов — шесть (на 2 больше, чем леек, или же на 1 больше, чем мотыг).
      — Вот это интересный способ решения задачи, — не удержались от восхищения ребята, — не простое угадывание, как это делал Гена при решении первой задачи.
      — Гена решил задачу неплохо, — заметил Вася, — Однако и первую задачу можно было легко решить графическим способом. Подумайте над этим дома.
      И, наконец, Вася предложил нам последнюю головоломку. Оказывается, завтра у них в семье будет отмечаться день рождения одной из его сестрёнок — Галочки. Папа принёс торт, на которохм приготовлено семь розочек (по числу всех детей, которые будут присутствовать). Так вот Васе дано задание: разрезать этот торт по трём прямым линиям на семь частей и притом так, чтобы в каждой части оказалось по одной розочке. Части будут неравные: большие доли дадут младшим детям. Вася, как говорит он, думал-думал, и ничего не придумал, а теперь обращается к нам за помощью.
      Он нарисовал на доске торт и попросил подумать над задачей.
      Конечно, мы с большим желанием взялись за эту работу. Каждый из нас выходил к доске и пробовал провести при помощи линейки три линии так, чтобы разделить торт, как задано. Но у нас почему-то ничего не получалось. Я, например, разделил так, что пять розочек оказались по одной, но две розочки остались всё-таки вместе. Тогда нам немного помог Василий Сергеевич:
      — Вот розочка в середине торта. Её же надо вырезать этими тремя линиями. Попробуйте резать так, чтобы в середине торта получился треугольник с центральной розочкой. Кроме того, по обе стороны от каждой линии разреза должно оказаться по три розочки, не считая центральной.
      После этого мы очень скоро догадались, как нужно резать торт.
      Ну, вот и я так же буду резать завтра торт, — сказал Вася. — Спасибо за помощь.
     
      4. Игра «Хоп!».
      А теперь, в заключение занятия, — говорит Васи-чий Сергеевич, — проведем игру «Хоп!». Посмотрим, как вы помните таблицу умножения к деления, насколько вы внимательны. Будем но очереди считать до 30. Вместо чисел, делящихся на 3, будете говорить слово «хоп!». Кто ошибётся, выбывает из игры. Победителем будет тот, кто не сделает ни одной ошибки. Начинаем. Повторяем таблицу деления на 3.
      — Один, два, три (сразу же ошибся и выбыл из игры Коля, вот какой рассеянный!), четыре, пять, хоп!, шесть (выбыла из игры Валя), семь, восемь, хоп!, десять, одиннадцать, хоп!, тринадцать, четырнадцать, пятнадцать (зазевался один из учеников третьего класса), шестнадцать, семнадцать, хоп!, девятнадцать, двадцать, двадцать один (ошибся Петя, тот, который начинал счёт: видно, не ожидал, что уже его очередь отвечать), двадцать два, двадцать три, хоп!, двадцать четыре (ошибся ещё один третьеклассник), двадцать пять, двадцать шесть, хоп!, двадцать восемь, двадцать девять, хоп!
      — Для начала неплохо, — подводит итоги первого тура Василий Сергеевич, — ошиблись только пятеро. Теперь остальные продолжают игру. Повторим таблицу деления на 4, только отвечайте быстрее. Считаем до 43.
      Пока сосчитали до 40, ошиблись и выбыли из игры ещё шесть учеников. При счёте до 50 ошиблись еще три человека, в том числе и я.
      К концу игры, когда повторяли таблицу деления на 9 и считали до » не сделали ни одной ошибки олько Павлик и Маша, они-то н ,J№ победителями.
      Заканчивая занятие кружка, Ваии Сергеевич поинтересовался, понравилось ли нам это занятие, чем мы хотели бы заниматься в следующий раз, какие у нас есть вопросы. Кому же могло не понравиться такое занятие?! Все мы были очень довольны. Правда, вопросов задали мало, а я всё-таки спросил про умножение и деление. Василий Сергеевич обещал рассказать нам об этих действиях на последующих занятиях. А чтобы мы не скучали до очередного занятия кружка, он предложил подумать дома над такой задачей: «На сколько частей (равных или неравных — безразлично) можно разделить лист бумаги тремя прямыми линиями?»