Задачник по геометрии

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
      Чрезвычайно важно поднять геометрическую культуру кончающих нашу среднюю школу. Для этой цели необходимо иметь достаточно полный сборник геометрических задач, особенно на доказательство и построение, а также и на вычисление.
      В основу предлагаемого нами сборника положены два принципа: во-первых — давать по возможности только задачи, имеющие хоть какой-нибудь принципиальный геометрический интерес, т. е. такие, которые выясняют существенные свойства плоских или пространственных геометрических фигур, и, во-вторых — не давать задач одинаковых типов, т. е. отличающихся лишь численными или иными несущественными данными. Наиболее распространенными подобными наборами задач были, пожалуй, задачи мелким шрифтом, помещенные в учебниках геометрии Давидова и Киселева, а также в учебниках Адамара и Руше и Комберусса. Наш задачник несколько полнее, так как заключает почти все задачи из указанных четырех источников и сверх того многие другие. В планиметрию включен набор задач по геометрии кругов, представляющий как бы монографию по этому вопросу, а стереометрия кончается тремя такими же наборами: по общей теории выпуклых многогранников, по теории параллелоэдров и по теории прямолинейных преобразований плоскости и перспективы. Всех задач по планиметрии около трехсот, а по стереометрии около двухсот.
      Все задачи снабжены подробными решениями, но решения выделены в отдельную часть. Предполагается, что изучающий будет пытаться всегда сначала самостоятельно решить предлагаемую задачу, употребив, если это окажется нужным, на более трудную задачу по крайней мере несколько часов на размышления, и только в случае неудачи обратится к предлагаемому нами ее решению; оно, к слову сказать, может быть не всегда наилучшее, которое можно для данной задачи придумать.
      Нам кажется, что всех геометрических задач не очень большой трудности, существенно различных друг от друга и имеющих принципиальный геометрический интерес, не так-то много, так что наш сборник можно считать довольно полным. Мы не говорим, конечно, о задачах, отличающихся друг от друга лишь численными данными или совершенно искусственных (например, на тела вращения или на пересечение разных тел), которых можно составить любое число (мы поместили таких задач очень мало). Было бы весьма желательно собирать дальнейшие принципиально интересные задачи, в духе нашего сборника, но уже не давать их решения, чтобы можно было их использовать в разных соревнованиях.
      Планиметрическая часть этого задачника составлена О. К. Житомирским, а стереометрическая — Б. Н. Делоне.
      Настоящее, третье издание печатается без изменений. Исправлены замеченные ошибки и опечатки.
     
      ЗАДАЧИ
     
      ПЛАНИМЕТРИЯ
      Отрезки и углы
      1. На прямой даны два отрезка а, b и общая часть их с. Определить отрезок, покрываемый обоими отрезками вместе.
      2. На прямой даны два отрезка ОА = а, ОБ — Ъ. Определить расстояние АВ и расстояние между точкой О и серединой М отрезка АН.
      3. Углы MON = a, NOP — Р приложены друг к другу. Определить угол между их биссектрисами. Применить результат к случаю, когда эти углы смежные.
      5. Можно ли разрезать разносторонний треугольник на два равных треугольника?
      6. Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник на два равных треугольника?
      7. Точка М лежит внутри треугольника АБС. Который из углов ВАС, ВМС больше?
      10. В треугольнике ABC проведена высота АН. Как расположена точка Н по отношению к точкам В, С, когда углы ABC, АСВ оба острые, когда один из них тупой и когда один из них прямой?
      11. В треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса AD и высота АН. Доказать, что точка D лежит между точками М и Н, если стороны АВ, АС не равны.
      Сравнительная длина объемлемых и объемлющих
      12. По известной теореме сумма боковых сторон треугольника больше основания. Доказать, что она превышает основание менее чем на удвоенный отрезок, соединяющий вершину с какой угодно точкой основания.
      13. Если выпуклый многоугольник заключен внутри какого-нибудь другого многоугольника, то по известной теореме периметр наружного многоугольника больше периметра внутреннего. Доказать, что наружный периметр превышает внутренний менее чем на удвоенную сумму отрезков, соединяющих вершины наружного многоугольника с какими-нибудь последовательно расположенными точками контура внутреннего.
      14. Доказать, что сумма расстояний всякой точки от вершины многоугольника больше полупериметра его.
      15. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны.
      16. Зная стороны треугольника, найти границы, между которыми заключается сумма его медиан.
      17. Найти точку, сумма расстояний которой от вершин данного четырехугольника наименьшая.
      Перпендикуляры и наклонные
      18. Доказать, что отрезок, заключенный между вершиной и противолежащей стороной треугольника, меньше наибольшей из остальных сторон.
      19. Доказать, что отрезок, заключенный между двумя сторонами треугольника, меньше наибольшей из его сторон.
      20. Доказать, что отрезок, заключенный весь внутри треугольника, меньше наибольшей из его сторон.
      21. В прямоугольном или тупоугольном треугольнике один из острых углов разделен на несколько равных частей. Доказать, что делящие прямые разделят противоположную сторону на части, возрастающие при удалении от вершины прямого или тупого угла.
      22. В прямоугольном или тупоугольном треугольнике одна из сторон прямого или тупого угла разделена на несколько равных частей. Доказать, что прямые, соединяющие точки деления с вершиной противолежащего угла, разделят этот угол на части, убывающие при удалении от другой стороны тупого или прямого угла.
      Параллельные линии
      23. Доказать, что прямая, проведенная через вершину равнобедренного треугольника параллельно основанию, делит внешний угол при вершине пополам.
      24. Через точку пересечения биссектрис внутренних углов при основании треугольника проведена прямая параллельно основанию. Доказать, что часть этой прямой, заключенная между боковыми сторонами, равна сумме отрезков боковых сторон, заключенных между этой прямой и основанием.
      25. Как изменится предыдущая теорема, если одну из биссектрис внутренних углов или обе заменить биссектрисами внешних углов?
      Сумма углов треугольника
      26. Определить углы равностороннего треугольника.
      27. Определить углы прямоугольного треугольника, гипотенуза которого вдвое больше одного из катетов.
      28. По углу при вершине треугольника определить острый угол между биссектрисами внутренних углов при основании, острый угол между биссектрисами внешних углов при основании и острый угол между биссектрисой внутреннего угла при одном из концов основания и биссектрисой внешнего угла при другом конце.
      29. В треугольнике ABC проведена биссектриса угла при вершине А до пересечения с основанием ВС в точке D, на большей из боковых сторон АВ отложен отрезок АЕ, равный меньшей боковой стороне АС, и точки D, Е соединены. По данным углам В, С треугольника определить угол BDE.
      30. В треугольнике ABC проведена биссектриса внешнего угла при вершине А до пересечения с продолженным основанием ВС. в точке D, на продолжении большей из боковых сторон АВ отложен отрезок АЕ, равный меньшей боковой стороне А С, и точки D, Е соединены. По данным углам В, С треугольника определить угол BDE.
      31. По углам при основании треугольника определить угол между высотой и внутренней биссектрисой угла при вершине, противолежащего основанию.
      32. По углам прямоугольного треугольника определить угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.
      33. Доказать, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.
      34. По углам четырехугольника определить углы между биссектрисами двух соседних углов, между биссектрисами двух противоположных углов и между биссектрисами двух углов, образуемых парами противоположных сторон, продолженных до пересечения.
      Параллелограммы и трапеции
      35. Доказать, что в шестиугольнике, противоположные стороны которого равны и параллельны, три диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
      36. Доказать, что во всяком четырехугольнике середины сторон суть вершины некоторого параллелограмма.
      37. Доказать, что в четырехугольнике с непараллельными противоположными сторонами середины диагоналей и середины двух противоположных сторон суть вершины некоторого параллелограмма.
      38. Доказать, что в четырехугольнике с непараллельными противоположными сторонами три прямые, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей, пересекаются в одной точке.
      39. Доказать, что в трапеции середины диагоналей и середины боковых сторон лежат на одной прямой.
      40. По данным основаниям трапеции определить отрезок, соединяющий середины ее диагоналей.
      41. По данным расстояниям концов отрезка от прямой определить расстояние его середины от той же прямой.
      42. По данным расстояниям двух противоположных вершин параллелограмма от прямой, проходящей через третью вершину, определить расстояние четвертой вершины от той же прямой.
      43. Доказать, что сумма расстояний всякой точки основания равнобедренного треугольника от его боковых сторон равна высоте, проведенной из конца основания. Какой вид принимает эта теорема для точек на продолжениях основания?
      44. Доказать, что сумма расстояний всякой точки внутри равностороннего треугольника от его стороны равна его высоте. Как изменится эта теорема для точек вне треугольника?
     
      Круг
      45. Какому условию должен удовлетворять параллелограмм, чтобы около него можно было описать окружность?
      46. Какова должна быть трапеция, чтобы около нее можно было описать окружность?
      47. В какой параллелограмм можно вписать окружность?
      48. Которая из хорд, проходящих через точку внутри круга, наименьшая?
      49. Которая из секущих, проходящих через точку вне круга, имеет наибольшую внутреннюю часть?
      50. Найти наименьшее и наибольшее расстояние точки от окружности.
      51. Найти наименьшее и наибольшее расстояние двух окружностей.
      52. Найти наименьшее и наибольшее расстояние прямой и окружности.
      54. Сколько кругов одинакового радиуса можно расположить вокруг одного круга того же радиуса так, чтобы каждый из них касался этого круга и двух соседних?
      55. Расположить на плоскости бесконечное множество равных кругов так, чтобы каждый касался шести соседних.
      56. По углам между диагоналями и между противоположными сторонами вписанного четырехугольника определить углы этого четырехугольника.
      57. По углам при основании вписанного треугольника определить угол между касательной к кругу в его вершине и основанием.
      58. По углам вписанного треугольника определить углы треугольника, ограниченного касательными к кругу в его вершинах.
      59. Доказать, что хорды двух пересекающихся кругов, соединяющие концы двух секущих, проходящих через точки пересечения, параллельны между собой. Как изменится эта теорема, когда концы секущих на одном из кругов совпадут?
      60. Доказать, что хорды двух касательных кругов, соединяющие концы двух секущих, проходящих через точку касания, параллельны между собой. Как изменится эта теорема, когда секущие совпадут?
      61. Доказать, что отрезки общей секущей двух внутренне касательных кругов, заключенные между обеими окружностями и не налегающие друг на друга или, наоборот, налегающие друг на друга, видны из точки касания под равными углами. Как изменится эта теорема, когда секущая обратится в хорду наружного круга, касательную к внутреннему?
      62. Доказать, что отрезки общей секущей двух внешне касательных кругов, заключенные между обеими окружностями, один’из которых составляет часть другого, видны из точки касания под углами, в сумме составляющими два прямых. Как
      изменится эта теорема, когда секущая обратится в общую касательную обоих кругов?
      63. Доказать, что прямая, параллельная касательной в вершине вписанного треугольника и пересекающая боковые стороны, отсекает от него четырехугольник, который может быть вписан в круг.
      64. Противоположные стороны четырехугольника продолжены до пересечения, и около четырех образовавшихся треугольников описаны круги. Доказать, что все они пересекаются в одной точке.
      65. Стороны пятиугольника продолжены до образования пятиугольной звезды и около пяти треугольных лучей описаны круги. Доказать, что пять наружных точек пересечения соседних кругов лежат на одной окружности (теорема Микеля).
      66. Равносторонний треугольник вписан в круг. Доказать, что расстояние всякой точки дуги, стягиваемой какой-нибудь из его сторон, от противолежащей вершины равно сумме расстояний той же точки от остальных вершин.
      Замечательные точки и линии в треугольнике
      67. Как известно, перпендикуляры в серединах сторон треугольника сходятся в точке, равноудаленной от вершин, — в центре описанного круга. К которой из сторон эта точка ближе всего ?
      68. При каких условиях центр описанного круга лежит внутри, вне и на границе треугольника?
      69. Найти части плоскости, в которых лежат вершины остроугольных и тупоугольных треугольников, опирающихся на заданное основание.
      70. Доказать, что высота треугольника и радиус описанного круга, проведенный к вершине, образуют равные углы с боковыми сторонами.
      71. Треугольник разбит на два других треугольника прямою, проведенной из вершины. Доказать, что центры кругов, описанных около всех трех треугольников, лежат на одной окружности с вершиной.
      72. Известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника сходятся в точке, равноудаленной от сторон треугольника, — в центре вписанного круга. К которой из вершин эта точка ближе всего?
      73. Доказать, что биссектриса внутреннего угла при всякой вершине треугольника сходится с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в точке, равноудаленной от стороны,
      противолежащей этому внутреннему углу, и от продолжений двух других сторон (центр вневписанного круга).
      74. Доказать, что прямые, проведенные через вершины треугольника параллельно противолежащимсторонам, ограничивают треугольник, для которого высоты данного треугольника оказываются перпендикулярами в серединах сторон. Вывести отсюда, что высоты треугольника пересекаются в однойточке(ортоцентр).
      75. Доказать, что прямые, соединяющие основания высот треугольника, ограничивают треугольник, для которого высоты данного треугольника оказываются биссектрисами. Вывести отсюда теорему о пересечении высот.
      76. К которой из вершин ортоцентр ближе всего?
      77. К которой из сторон ортоцентр ближе всего?
      78. Которая из высот наименьшая?
      79. Доказать, что из четырех точек, одна из которых есть ортоцентр треугольника, образуемого тремя остальными, каждую можно рассматривать как ортоцентр треугольника, образуемого тремя остальными.
      80. Доказать, что из шести биссектрис треугольника каждые три, сходящиеся в одной точке, суть высоты треугольника, ограниченного тремя остальными.
      81. Доказать, что каждая медиана треугольника отсекает от каждой другой одну треть, считая от основания. Вывести отсюда, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести).
      82. К которой из вершин и к которой из сторон центр тяжести ближе всего?
      83. Которая из медиан наименьшая?
      84. Доказать, что прямые, соединяющие вершину параллелограмма с серединами сторон, сходящихся в противоположной вершине, рассекают диагональ, соединяющую две другие вершины, на три равные части.
      85. Доказать, что расстояние центра описанного круга от стороны треугольника вдвое меньше расстояния ортоцентра от противолежащей вершины.
      86. Доказать, что центр описанного круга, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой (прямая Эйлера).
      87. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на стороны вписанного треугольника, лежа г на одной прямой (прямая Симеона).
      88. Доказать, что окружность с центром в середине отрезка, соединяющего центр описанного круга и ортоцентр, и с радиусом, равным половине радиуса описанного круга, проходит через основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами (круг девяти точек).
     
      Задачи на построение
      Пояснение. При решении задач на построение чаще всего применяется метод геометрических мест. Возьмем простейший случай, когда задача заключается в построении некоторой точки, удовлетворяющей данным условиям. Если этим условиям удовлетворяет только одна или несколько точек, то, отбросив одно из условий, мы обычно получаем уже целую линию—геометрическое место точек, удовлетворяющих остальным условиям.
      Если это геометрическое место есть окружность или прямая, которую мы можем построить на основании данных условий, то дальнейшее решение облегчается, так как мы можем искать требуемые точки не среди всех точек плоскости, а только среди точек найденного геометрического места.
      Если нам удастся, отбросив другое условие, построить другое геометрическое место, то искомые точки найдутся как общие точки обоих геометрических мест. Может случиться, что нужно построить не точку, а какую-нибудь другую фигуру, но очень часто нетрудно свести задачу к построению точки. Например для построения прямой, одна точка которой известна, достаточно найти еще одну точку; для построения круга данного радиуса достаточно найти его центр и т. п. Но допустим, что геометрические места, получаемые поочередным отбрасыванием условий задачи, не удается построить, или они не могут быть построены, потому что это не окружности и не прямые.
      Отсюда еще не следует, что мы должны отказаться от применения метода геометрических мест. Нужно поискать такие вспомогательные точки, с помощью которых можно наверное построить искомую фигуру и которые можно рассчитывать построить по методу геометрических мест. Все это, конечно, относится к тому случаю, когда условия задачи не подсказывают применения другого метода.
      Полезно проверить, что и простейшие задачи, как деление отрезка пополам, опускание перпендикуляра, построение треугольника по его элементам и т. д., решаются по существу с помощью метода геометрических мест.
      Иногда нужно найти не точку, а прямую, удовлетворяющую некоторым условиям. Отбросив одно из условий, мы часто получаем такую совокупность бесчисленного множества прямых, из которой уже нетрудно выбрать требуемую, например, совокупность прямых, проходящих через данную точку, или касательных к данному кругу и т. п. Этот метод есть простейшее обобщение метода геометрических мест.
      Часто удается притти к решению задачи с помощью метода преобразования фигур, и даже во многих случаях успех этого метода можно предвидеть с первого взгляда. Этот метод состоит в замене данной, или искомой фигуры, или какой-нибудь части их, новой фигурой, связанной с первоначальной определенным построением и позволяющей решить задачу или приблизиться к ее решению. Мы рассмотрим пока только такие преобразования, при которых новая фигура равна старой и отличается от нее только положением. Такие преобразования называются перемещения-м и. Сюда относятся:
      a) параллельный перенос, при котором все точки фигуры перемещаются на равные параллельные и одинаково направленные отрезки; все прямые фигуры остаются цри этом параллельными сами себе;
      b) поворот, при котором некоторая точка остается неподвижной, а все полупрямые, исходящие из нее, поворачиваются вокруг нее на данный угол в данном направлении;
      c) симметрия относительно точки, илн поворот на сто восемьдесят градусов;
      d) симметрия относительно прямой, при которой эта прямая остается неподвижной, а вся фигура поворачивается вокруг нее, как вокруг оси, и -нова падает на плоскость обратной стороной.
      Первые три перемещения можно осуществить непрерывным движением, не выходя из плоскости. При непрерывном параллельном перемещении точки фигуры описывают параллельные прямые, а при непрерывном вращении — концентрические круги. Мы получаем как бы геометрическое место целой фигуры.
      Симметрии можно просто определить, не прибегая к движению:
      я) в симметрии относительно точки отрезки, соединяющие две симметричные точки с неподвижным центром симметрии, равны и направлены в разные стороны от центра;
      Ь) в симметрии относительно прямой перпендикуляры, опущенные из двух симметричных точек на неподвижную ось симметрии, имеют общее основание, равны и направлены в разные стороны от оси.
      Отметим, что указанными преобразованиями по существу исчерпываются все возможные перемещения, так как всякое перемещение или наложение сводится к параллельному переносу, повороту и, если нужно, симметрии относительно прямой.
      В заключение упомянем еще о методе обратности. Он заключается в том, что искомую фигуру строят в произвольном положении, пристраивают к ней данную фигуру с соблюдением указанных в условии взаимоотношений между обеими и, пользуясь новыми соотношениями, полученными в результате построения, строят искомую фигуру уже в надлежащем положении по отношению к данной.
      Если связь между данными и искомыми неясна с самого начала, то следует попытаться установить между ними несколько посредствующих звеньев. Поскольку эта связь нам неясна, мы не можем, конечно, с уверенностью вставлять эти звенья и вынуждены рассуждать до известной степени ощупью, но при известном терпении и внимании удается установить требуемую связь. Такое обдумывание задачи называется анализом.
      После построения нужно прежде всего проверить, не было ли допущено какой-нибудь неполноты, последствием которой могло бы оказаться получение лишь части решений. Это бывает, например, когда вычерчиваются только отрезки геометрических мест, отчего пропадают некоторые точки пересечения. Затем нужно подсчитать, сколько решений получится при тех или иных данных. Это называется исследованием решения.
      Хотя построению предшествует обсуждение задачи, тем не менее полезно в некоторых случаях проверить, действительно ли построенная фигура удовлетворяет условиям. Источником ошибки мог послужить неправильный предварительный чертеж, которым пользовались при анализе, поспешность самого анализа и т. п.
      Последующая проверка правильности построения называется доказательством.
      Рекомендуем читателю решать задачи подробно и фактически применять циркуль и линейку; мы в своих решениях часто ограничиваемся краткими указаниями и, вообще, считаем задачу решенной, если она сведена к основным построениям или решенным ранее задачам; построения, излагаемые в курсах элементарной геометрии, мы считаем известными.
      89. Построить окружность данного радиуса, проходящую через данную точку и касательную к данной прямой.
      90. Построить окружность данного радиуса, касательную к данной прямой и к данной окружности.
      91. Построить окружность, касательную к двум данным параллельным прямым и к данной окружности.
      92. Построить окружность, касательную к двум данным концентрическим окружностям и к данной прямой.
      93. Построить окружность, проходящую через три данные точки.
      94. Построить окружность, касательную к трем данным прямым.
      95. Построить окружность, касательную к данной прямой в данной точке и к другой данной прямой.
      96. Построить окружность, касательную к данной окружности в данной точке и к данной прямой.
      97. Построить окружность, касательную к данной прямой в данной точке и к данной окружности.
      98. Построить окружность, касательную к данной окруж ности в данной точке и к другой данной окружности.
      99. Построить точку, из которой данный круг и данный отрезок видны под данными углами.
      100. Построить прямую, равноудаленную от трех данных точек.
      101. Провести касательную к данной окружности, одинаково наклоненную к двум данным прямым.
      102. Через точку вне круга провести секущую, внешняя часть которой была бы равна внутренней.
      103. Через точку пересечения двух окружностей провести секущую, часть которой внутри окружностей была бы равна данному отрезку.
      104. Около данного треугольника описать треугольник равный другому данному треугольнику.
      105. В данный треугольник вписать треугольник, равный другому данному треугольнику.
      106. Провести к данной окружности касательную, часть которой между продолжениями двух данных радиусов была бы равна данному отрезку.
      107. Построить отрезок, равный и параллельный данному, концы которого лежало бы на данной прямой и данной окружности.
      108. Построить отрезок, равный и параллельный данному. концы которого лежали бы на двух данных окружностях.
      109. Построить хорду данного круга, равную и параллельную данному отрезку.
      110. Через данную точку внутри круга провести хорду, равную данному отрезку.
      111. Построить равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной окружности, другая на данной прямой, а третья в данной точке.
      112. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого опиралась бы на две данные окружности, а вершина прямого угла лежала бы в данной точке.
      113. Через точку пересечения двух окружностей провести секущую, часть которой внутри кругов делилась бы в этой точке пополам.
      114. Через данную точку провести прямую, часть которой между данной прямой и данным кругом делилась бы в этой точке пополам.
      115. На данной прямой построить точку, сумма расстояний которой от двух данных точек наименьшая.
      116. На данной прямой построить точку, разность расстояний которой от двух данных точек наибольшая.
      117. Построить треугольник наименьшего периметра, две вершины которого лежали бы на сторонах данного угла, а третья в данной точке внутри угла.
      135. Построить параллелограмм по углу и диагоналям.
      136. Построить трапецию по четырем сторонам.
      137. Построить трапецию по основаниям и диагоналям.
      138. Построить четырехугольник по трем сторонам и углам, прилежащим к четвертой.
      139. Построить четырехугольник по сторонам и углу между двумя противоположными сторонами.
      140. Построить четырехугольник по диагоналям, углу между ними и двум каким-нибудь сторонам.
      141. Построить четырехугольник по сторонам и расстоянию между серединами двух противоположных сторон.
     
      Подобные фигуры
      142. Стороны треугольника равны 5, 7 и 4. Наибольшая сторона подобного треугольника равна 21. Найти остальные его стороны.
      143. Доказать, что два квадрата всегда подобны.
      144. Доказать, что два прямоугольника подобны, если имеют равные отношения соседних сторон.
      145. Стороны угла соединены двумя параллельными отрезками, и в концах каждого отрезка проведены перпендикуляры к сторонам угла до взаимного пересечения. Доказать, что точки пересечения перпендикуляров лежат на одной прямой с вершиной угла.
      146. По основанию а треугольника определить расстояние между точками, делящими боковые стороны в отношении т, считая от вершины.
      147. По основаниям а, b трапеции определить расстояние между точками, делящими боковые стороны в отношении т, считая от основания а.
      148. По расстояниям р, q, г вершин треугольника от прямой, не пересекающей его, определить расстояние его центра тяжести от той же прямой.
      149. По основаниям а, b трапеции определить отношение, в котором ее диагонали делят друг друга.
      150. По основаниям а, b трапеции определить отношение, в котором ее боковые стороны, продолженные до пересечения, делят друг друга внешним образом.
      151. По основаниям а, b трапеции определить отрезок прямой, проведенной параллельно основаниям через точку пересечения диагоналей, заключающийся между боковыми сторонами.
      » 152. По основаниям а, b трапеции определить отрезок
      прямой, проведенной параллельно основаниям через точку пересечения продолженных боковых сторон, заключающийся между продолжениями диагоналей.
      153. По основанию а и боковым сторонам Ь, с треугольника определить отрезки, на которые биссектриса внутреннего угла при вершине делит основание.
      154. По основанию а и боковым сторонам Ь, с треугольника определить расстояния от концов основания до точки пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине с основанием.
      155. Прямая пересекает стороны треугольника или их продолжения. По отношениям т, п, в которых она делит две стороны, считая от третьей, определить отношение, в котором она делит третью сторону.
      156. Вершины треугольника соединены с некоторой точкой. По отношениям т, п, в которых прямые, исходящие из двух вершин, делят противолежащие стороны, считая от третьей стороны, определить отношение, в котором прямая, исходящая из третьей вершины, делит противолежащую сторону.
      157. Доказать, что прямая, соединяющая точки пересечения биссектрис двух внутренних углов треугольника с противолежащими сторонами, пересекает третью сторону в той же точке, что и биссектриса внешнего угла при противолежащей вершине.
      158. Доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолженных боковых сторон трапеции, делит основания пополам.
     
      Задачи на построение
      Пояснение. Решение многих задач на построение основано на свойствах подобных фигур. На этих свойствах основан, прежде всего, вывод некоторых геометрических мест. Но чаще всего приходится применять их в качестве метода преобразования.
      Обычный способ применения метода подобия состоит в том, что часть требований, предъявляемых к искомой фигуре, отбрасывается, так что остающимся требованиям удовлетворяет бесчисленное множество фигур, подобных искомой, каждую из которых мы можем построить. Построив одну из них, мы должны затем перейти от нее к искомой. Последняя операция требует изучения взаимного расположения подобных фигур.
      Простейшее взаимное расположение есть подобное расположение, или гомотетия. Две фигуры называются подобно расположенными, или гомотетичными, если они подобны и сходственные прямые их параллельны. Прямые, соединяющие сходственные точки двух подобно расположенных фигур, сходятся в одной точке, которая называется центром подобия. Сходственные отрезки этих фигур направлены или все одинаково или все противоположно. В первом случае сходственные точки расположены по одну сторону от центра подобия, во втором — по разные стороны. Сообразно этому различают прямое и обратное подобное расположение. Отношение отрезков, соединяющих сходственные точки с центром подобия, равно отношению сходственных отрезков фигур: это отношение называется отношением подобия. Поэтому для построения фигуры, подобно расположенной с данной фигурой относительно данного центра подобия и имеющей к ней данное отношение подобия, нужно растянуть или сжать все отрезки, соединяющие точки данной фигуры с центром подобия в определенном отношении, и в случае обратного подобного расположения еще повернуть полученную фигуру на 180° вокруг центра подобия.
      Два круга всегда подобно расположены и притом как прямо, так и обратно. При прямом подобном расположении сходственными точками буду! концы параллельных и одинаково направленных радиусов, а при обратном — концы параллельных и нротивоположио направленных радиусов. Соответствующие центры подобия делят линию центров внешним и внутренним образом в отношении радиусов. В случае равных кругов центр прямого подобия удаляется в бесконечность, а центр обратного подобия обращается в центр симметрии. В случае концентрических кругов оба центра подобия сливаются с центром кругов.
      Переход от данной фигуры к прямо подобно расположенной можно осуществить непрерывным изменением фигуры, заставляя отношение подобия изменяться от единицы до требуемой величины. При этом точки фигуры перемещаются по прямым, исходящим из центра подобия.
      Свойства подобно расположенных фигур доказываются в большинстве курсов элементарной геометрии. Впрочем было бы хорошо, если бы читатель попытался сам найти требуемые доказательства.
      160. Через точку вне круга провести секущую, внешняя часть которой была бы вдвое больше внутренней.
      161. Провести в данном направлении прямую так, чтобы отрезки ее между данным кругом и двумя не пересекающими его прямыми были равны между собой.
      162. Вписать квадрат в данный треугольник так, чтобы одна из сторон квадрата лежала на основании треугольника.
      163. Вписать квадрат в данный сектор так, чтобы одна сторона лежала на радиусе.
      164. Вписать квадрат в данный сектор так, чтобы одна сторона стягивала часть дуги.
      165. Вписать квадрат в данный сегмент так, чтобы одна сторона лежала на хорде.
      166. Вписать в четырехугольник параллелограмм с заданными направлениями сторон.
      167. Около данного четырехугольника описать четырехугольник, подобный другому данному.
      168. В данный четырехугольник вписать четырехугольник, подобный другому данному.
      169. Вписать в данный круг треугольник, подобный данному.
      170. Построить треугольник по двум углам и расстоянию между центрами описанного и вписанного кругов.
      Пропорциональные отрезки в кругах
      171. Через середину хорды круга длины а проведена другая хорда длины Ь. Определить длины отрезков, на которые хорда b делится хордой а.
      172. Окружность пересекает одну из сторон угла на расстояниях а, b от вершины и касается другой стороны. Определить расстояние точки касания от вершины.
      173. Расстояние точки внутри круга радиуса г от его центра равно d. Определить длину хорды, проведенной через эту точку перпендикулярно к диаметру, проходящему через* нее.
      174. Расстояние точки вне круга радиуса г от его центра равно d. Определить длину касательной к кругу из этой точки.
      175. Вывести из свойств пропорциональных отрезков в круге известные числовые соотношения в треугольнике: выражение для квадрата стороны любого треугольника н выражения для квадрата катета и квадрата высоты из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике.
      176. Доказать, что расстояние точки окружности от хорды круга есть среднее пропорциональное между расстояниями концов хорды от касательной к окружности в этой точке.
      178. Доказать, что общие хорды трех попарно пересекающихся окружностей сходятся в одной точке или параллельны.
      179. Доказать, что общие хорды всех окружностей, проходящих через две данные точки, с данным кругом сходятся в одной точке или параллельны.
      180. Доказать, что касательные к двум пересекающимся окружностям из всякой точки продолжения их общей хорды равны между собой.
      181. Из точки на окружности проведены полупрямые, пересекающие прямую, перпендикулярную к диаметру, проходящему через эту точку. Доказать, что произведение отрезков, отсекаемых окружностью и прямою от всякой полупрямой, есть величина постоянная.
      182. Из центра подобия двух окружностей проведены секущие к ним. Доказать, что произведение отрезков всякой секущей от центра подобия до двух несходственных точек окружностей есть величина постоянная.
      Задачи на построение
      Пояснение. Здесь предложены задачи на построение окружности по трем условиям, которые могут состоять в прохождении её через данную точку и в касании к данной окружности или к данной прямой. Некоторые задачи этого рода были предложены выше; здесь помещены более трудные задачи, требующие применения метода подобия и свойств пропорциональных отрезков в кругах.
      183. Построить окружность, проходящую через данную точку и касательную к двум данным прямым.
      184. Построить окружность, касательную к данной окруж ности и к двум данным прямым.
      185. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касательную к данной прямой.
      186. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касательную к данной окружности.
      187. Построить окружность, проходящую через данную точку и касательную к данной окружности и данной прямой.
      188. Построить окружность, касательную к двум данным окружностям и данной прямой.
      189. Построить окружность, проходящую через данную точку и касательную к двум данным окружностям.
      190. Построить окружность, касательную к трем данным окружностям (задача Аполлония).
     
      Площади
      191. Разрезать данный параллелограмм на две части, из которых можно было бы сложить прямоугольник.
      192. Разрезать данный треугольник на три части, из которых можно было бы сложить прямоугольник.
      193. Из двух равных трапеций сложить параллелограмм. Применить результат к выводу формулы площади трапеции.
      194. Трапеция разбита диагоналями на четыре части. Доказать, что части, прилегающие к боковым сторонам, равновелики.
      195. Параллелограмм разбит на четыре части прямыми, проведенными через какую-нибудь точку диагонали параллельно сторонам. Доказать, что части, расположенные по разные стороны от диагонали, равновелики.
      196. Параллелограмм разбит на четыре части прямыми, соединяющими какую-нибудь внутреннюю точку с вершинами. Доказать, что суммы площадей противолежащих частей равны.
      197. Через середину каждой диагонали четырехугольника проведена прямая параллельно другой диагонали. Доказать, что прямые, соединяющие точку пересечения этих прямых с серединами сторон четырехугольника, разбивают его на равновеликие части.
      198. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его площадь пополам. В каком отношении делит она боковые стороны треугольника?
      199. В параллелограмме ABCD каждая сторона разделена на равные отрезки, число которых т для противоположных сторон АЁ, CD и п для противоположных сторон AD, ВС. Начало первого, второго и т. д. отрезка стороны АВ,
      считая от точки А, соединено с концом первого второго и т. д. отрезка стороны CD, считая от точки D. Точно так же конец первого, второго и т. д. отрезка стороны AD, считая от точки А, соединен с началом первого, второго и т. д. отрезка стороны ВС, считая от точки В. Эти ни прямыми параллелограмм разбивается на части, имеющие вид треугольников, трапеций и параллелограммов. Какую часть площади всего параллелограмма составляет площадь одного такого параллелограмма?
      200. Каждая вершина параллелограмма соединена с серединами противолежащих сторон. Какую часть площади параллелограмма составляет площадь фигуры, ограниченной проведенными прямыми?
      201. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить площадь трапеции по площадям частей, прилегающих к основаниям.
      202. Прямая, параллельная основанию треугольника площади S, отсекает от него треугольник площади s. Определить площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на основании большего треугольника.
      203. Внутри многоугольника площади 5 лежит многоугольник площади s, прямо подобно расположенный с ним. Определить площадь 2 многоугольника, вписанного во внешний многоугольник и одновременно описанного около внутреннего многоугольника.
      Применение площадей для доказательств
      204. Вывести из рассмотрения площадей теорему задачи 43.
      205. Вывести из рассмотрения площадей теорему задачи 44.
      206. В треугольнике ABC найти геометрическое место точек М, для которых площади треугольников МАВ, MAC равны между собой.
      207. Вывести из рассмотрения площадей теорему задачи 81.
      208. Дано два непараллельных отрезка АВ, CD. Найти геометрическое место точек М, для которых сумма или разность площадей треугольников МАВ, MCD равна данной величине.
      209. Доказать, что прямая, соединяющая середины диагоналей четырехугольника, проходит через середину отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон.
      210. Доказать, что прямая, соединяющая середины диагоналей четырехугольника, описанного около круга, проходит через центр этого круга.
      Числовые соотношения в треугольниках и четырехугольниках
      211. Радиусы двух кругов равны R и г, а расстояние между их центрами равное?. Определить длину общей внешней и общей внутренней касательной.
      214. На отрезке и двух его половинах построены полукруги в одну сторону. По радиусу R меньших полукругов определить радиус круга, касательного ко всем трем полукругам.
      215. Прямоугольный сектор радиуса R разделен на две части дугой круга того же радиуса с центром в конце дуги сектора. Определить радиус круга, вписанного в меньшую из этих частей.
      216. На отрезке и двух его неравных частях построены полукруги в одну сторону. По радиусам R, г меньших полукругов определить радиус круга, касательного ко всем трем полукругам.
      233. Доказать, что сумма квадрата расстояния ортоцентра от вершины с квадратом противолежащей стороны равна квад оату диаметра описанного круга.
      234. По высоте h и отрезкам основания т, п определить прилегающий к основанию отрезок высоты, отсекаемый от нес другой высотой. Вывести отсюда теорему о пересечении высот в одной точке.
      235. Доказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника на отрезки их от ортоцентра до вершин равна полусумме квадратов сторон. Обобщить на случай тупоуголь ного треугольника.
      236. Доказать, что сумма квадрата расстояния центра вписанного круга от центра одного из вневписанных с квадратом расстояния между центрами двух других вневписанных не зависит от выбора первого вневписанного круга.
      237. Доказать, что произведение расстояний вершины треугольника от центра вписанного круга и центра вневписанного круга при противолежащей стороне равно произведению расстояний той же вершины от центров двух других вневписанных кругов.
      249. Вывести из выражений диагоналей вписанного четырехугольника через стороны теорему Птолемея.
      250. Выразить площадь вписанного четырехугольника через стороны.
      251. По радиусу R и хордам а, b двух дуг круга определить хорду суммы и разности этих дуг.
      252. По хордам а, Ь, с трех дуг, в сумме составляющих полуокружность, составить уравнение для определения диаметра круга.
      Правильные многоугольники
      253. Из каких правильных многоугольников одного вида можно сложить паркет?
      254. Как сложить паркет из правильных ‘восьмиугольников и квадратов, или двенадцатиугольников и треугольников?
      255. Можно ли сложить паркет из правильных десятиугольников и пятиугольников?
      256. Может ли вписанный многоугольник иметь равные углы, но неравные стороны, или равные стороны, но неравные углы?
      257. Может ли описанный многоугольник иметь равные стороны, но неравные углы, или равные углы, но неравные сто юны?
      258. В круг радиуса R вписаны три равных круга, касательных между собой. Определить их радиус.
      259. Круг радиуса R обложен четырьмя равными кругами, каждый из которых касателен к двум соседним. Определить радиус этих кругов.
      260. Вычислить сторону правильного описанного треугольника, квадрата и шестиугольника.
      261. Вычислить сторону и все диагонали правильного вписанного десятиугольника.
      262. Вычислить сторону и диагональ правильного вписанного пятиугольника.
      263. По стороне правильного десятиугольника определить его площадь.
      264. Вычислить сторону правильного вписанного двенадцатиугольника.
      265. Вычислить сторону правильного вписанного пятнад-чатиугольника.
      266. Вычислить сторону правильного вписанного шестиде-сятиугольника.
     
      Измерение круга
      267. Вывести из рассмотрения вписанного шестиугольника и описанного квадрата, что число тс заключается между 3 и 4.
      268. Какую верхнюю границу для числа тс дает рассмотрение правильного описанного шестиугольника?
      269. Вычислить число тс с помощью правильного вписанного шестидесятиугольника и оценить погрешность.
      270. Какова погрешность приближенного спрямления полуокружности как суммы сторон правильного вписанного треугольника и правильного вписанного квадрата?
      271. В круг радиуса R вписаны три равных круга, касательных друг к другу. Вычислить площадь криволинейной фигуры, ограниченной этими тремя кругами.
      272. На диаметре полукруга радиуса R построен правильный треугольник. Вычислить площадь части его вне полукруга.
     
      Начала геометрии кругов
      Геометрия кругов есть сравнительно новая глава элементарной геометрии. По характеру применяемых в ней методов ее можно рассматривать как переходную ступень к высшей геометрии. Будучи основана на немногих, но общих понятиях, она легко приводит к решению сравнительно сложных вопросов.
      Мы дадим сейчас только самые основные определения. Вывод вытекающих из них теорем предлагается читателю в виде задач, в формулировке которых попутно вводятся и дальнейшие определения.
      274. Показать, что геометрическое место точек, имеющих равные степени относительно двух данных кругов, есть прямая, перпендикулярная к линии центров (радикальная ось). Исследовать положение радикальной оси относительно данных кругов в зависимости от положения этих кругов.
      275. Показать, что радикальные оси трех данных кругоь либо совпадают, либо пересекаются в одной точке (радикальном центре). Вывести отсюда способ построения радикальной оси двух кругов, не имеющих общих точек.
      276. Совокупность кругов, радикальные оси которых, взятые попарно, совпадают, называется пучком кругов. Показать. 1) что пучок вполне определяется, если заданы один из его кругов и радикальная ось, или два из его кругов; 2) что все круги пучка либо пересекают радикальную ось в одних и тех же точках (эллиптический пучок), либо касательны к ней в одной и той же точке (параболический пучок).
      либо не имеют с ней общих точек (гиперболический пучок).
      277. Содержащиеся в пучке круги нулевого радиуса (точки) называются его предельными точками. Показать, что гиперболический пучок содержит две предельные точки, параболический — одну, эллиптический — ни одной.
      278. Пучок задан одним из своих кругов и радикальной осью. Построить круг пучка: 1) проходящий через данную точку; 2) касательный к данной прямой; 3) касательный к данному кругу.
      279. Показать, что круг, ортогональный к двум кругам пучка, ортогонален ко всем кругам того же пучка.
      280. Показать, что совокупность всех кругов, ортогональных ко всем кругам данного пучка, образует другой пучок (ортогональный к первому), и что первый пучок в свою очередь ортогонален ко второму. Показать, что общая точка всех кругов одного из пучков всегда будет предельной точкой другого, и наоборот.
      281. Совокупность кругов, радикальные центры которых, взятые по три, совпадают, называется связкой кругов. Показать: 1) что связка вполне определяется радикальным центром и одним из своих кругов; 2) что радикальный центр лежит либо внутри всех кругов связки (эллиптическая связка), либо на окружности всех кругов связки (параболическая связка), либо вне всех кругов связки (гиперболическая связка).
      282. Показать, что круги нулевого радиуса (предельные точки) гиперболической связки образуют окружность круга, центром которого служит радикальный центр связки (предельный круг), что в параболической связке предельный круг обращается в точку, а в эллиптической совсем исчезает.
      283. Показать, что единственным кругом, ортогональным ко всем кругам связки, является предельный круг, и наоборот, совокупность всех кругов, ортогональных к данному кругу, образует связку.
      284. Показать, что прямые, проходящие через радикальный центр связки, пересекают круги связки в парах точек, обратных в инверсии, центром которой служит радикальный центр связки, а степенью — степень связки.
      285. Показать, что всякий круг, проходящий через пару точек, обратных в данной инверсии, принадлежит связке, радикальным центром которой служит центр инверсии и степенью — степень инверсии.
      286. Связка задана радикальным центром и одним из своих кругов. Построить тот круг этой связки, который проходит через две данные невзаимнообратные точки.
      287. Две различные связки заданы, как в предыдущей задаче. Построить общий обеим связкам круг, проходящий через данную точку.
      28д. Построить круг данной связки, имеющий данный центр.
      289. Показать, что пучок, два круга которого принадлежат данной связке, весь принадлежит этой связке.
      290. Показать, что два пучка одной связки имеют один общий круг, кроме случая гиперболической связки, когда общего круга может и не быть.
      291. Показать, что две связки всегда имеют общий пучок.
      292. Найти линию, обратную прямой линии в данной инверсии.
      293. Найти линию, обратную окружности в данной инверсии.
      294. Показать, что две точки, являющиеся отражениями друг друга в данном круге, делят диаметр круга, на котором и на продолжении которого они лежат, внутренним и внешним образом в одном и том же отношении.
      295. Около середины основания треугольника, как центра, описан круг, проходящий через точки касания к основанию двух вневписанных кругов, прилежащих к боковым сторонам. Показать, что отражение в этом круге той общей касательной вневписанных кpyгов, которая не является стороной треугольника, есть круг девяти точек, рассмотренный в задаче 88. Показать, что этот результат сохраняет силу, если заменить вневписанные круги, прилежащие к боковым стрронам, вписанным кругом и вневписанным кругом, прилежащим к основанию.
      296. Показать, что круг девяти точек всегда касается вписанного и трех вневписанных кругов (теорема Фейербаха).
      297. Показать, что касательные к взаимнообратным кругам во взаимнообратных точках образуют с прямой, соединяющей эти точки, равные односторонние углы. Обобщить этот результат на случай прямой и обратного ей круга.
      298. Углом между двумя дугами круга, исходящими из одной точки, называется угол между касательными к ним, проведенными по направлению сам лх дуг. Показать, что угол между двумя дугами круга равен углу между обратными дугами круга, но направления этих углов противоположны, т. е. направления вращения, в которых две соответственные стороны должны описывать эти углы, чтобы совпасть с двумя другими сторонами соответственными сторонами, противоположны друг другу.
      299. Три дуги круга образуют треугольник и при продолжении сходятся в одной точке. Показать, что сумма внутренних углов такого треугольника равна двум прямым.
      300. Найти инверсию, в которой два данных круга взаимно обратны.
      301. Показать, что всякий круг, касательный к двум данным кругам, сам себе обратен в одной из инверсий, относительно которых данные круги взаимно обратны.
      302. Показать, что шесть центров подобия трех кругов, центры которых не лежат на одной прямой, суть точки пересечения четырех прямых (осей подобия).
      303. Применить результаты двух предыдущих задач к решению задачи Аполлония (построить круг, касательный к трем данным кругам).
      304. Даны два круга. Показать, что всегда можно найти инверсию, в которой эти два круга будут обратны двум прямым или двум концентрическим кругам.
      305. Свести задачу Аполлония к возможно простым частным случаям с помощью изменения радиусов и инверсии.