А. Г. Школьник
Задача деления круга
*** 1961 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
Книга А. Г. Школьника, посвящённая вопросу о двучленных уравнениях и делении круга циркулем и линейкой, представляет собой написанную очень доступно и вместе с тем на безукоризненном научном уровне монографию по одному из вопросов, наиболее интересных и поучительных во всей истории математики. Издание этой монографии имеет поэтому значительную ценность прежде всего для библиотеки учителя, а затем и для студенчества и всех интересующихся математикой и развитием её идей. Действительный член АПН проф. А. Хинчин. 9/Х-1947 г. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Вопрос о возможности деления окружности циркулем и линейкой на равные части (или о возможности построения правильных многоугольников), с которым мы встречаемся в курсе элементарной геометрии, не получает там своего разрешения, так как требует более глубоких средств исследования. Полное решение этой задачи давалось до сих пор на основе теории Галуа и потому оставалось в значительной мере недоступным преподавателям средней школы, не владеющим этой теорией. Настоящая работа ставит своей целью дать вполне строгое изложение названного выше вопроса более элементарными средствами, без применения теории групп. § 1. ВВЕДЕНИЕ 1. Решение уравнений вида хп — а = О, называемых двучленными, находится в тесной связи с геометрической задачей построения правильных многоугольников, или, что то же, с задачей деления окружности на равные части. Из элементарной геометрии известно, как, пользуясь циркулем и линейкой, построить вписанные в окружность квадрат и правильные шестиугольник, треугольник, десятиугольник, пятиугольник и пятнадцатиугольник. Известно, далее, как удвоить число сторон правильного многоугольника, пользуясь теми же средствами построения. Таким образом, оказывается возможным делить окружность на 2ky 32, 5 -2ky 15 • 2k частей. Возникает вопрос, на сколько же равных частей вообще возможно разделить окружность при помощи циркуля и линейки. Можно ли, например, разделить окружность на 7, 9 и т. д. частей? Задача деления окружности, известная ещё в древности, получила своё полное разрешение, однако, лишь в новое время. Решение её выпало на долю юного Гаусса, выяснившего условия, от которых зависит возможность построения правильных многоугольников циркулем и линейкой, доказавшего (1796 г.) возможность построения правильного семнадцатиугольника и давшего общий метод и почти исчерпывающее решение всей проблемы. 2. Решение двучленного уравнения хп — а = 0(а0) равносильно извлечению корня n-й степени из числа а: х = уг а. Последняя задача допускает, как известно, следующее решение. (...) Таким образом, зная bo — значение одного корня п-й степени из числа а, лш можем получить все остальные корни умножением на все значения корня п-й степени из. единицы. Формулы (1) и (3) могут быть записаны в более компактной форме, если прибегнуть к показательной форме комплексного числа (такую форму для комплексного числа мы получим, использовав известную формулу Эйлера, связывающую показательную функцию с тригонометрическими: Если воспользоваться геометрическим изображением комплексных чисел как точек плоскости, то сразу становится ясной тесная зависимость, существующая между извлечением корня /1-й степени и, следовательно, решением двучленного уравнения, с одной стороны, и делением окружности на п частей, или построением правильного многоугольника, — с другой. В самом деле, формулы (2) показывают, что все п корней имеют одинаковый модуль р = jf г и, следовательно, располагаются на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным р. Из рассмотрения же аргументов видно, что каждый из них отличается от следующего на — ; это и показывает, что точки, изображающие корни n-й степени, делят окружность на п равных частей, что они располагаются в вершинах правильного п-угольника .(см. черт. 1 и 2). 3. Итак, извлечение корня, или решение двучленного уравнения, эквивалентно геометрической задаче деления окружности, или построения правильного многоугольника. Нашей целью является исследование условий, при кото-, рых эта задача на построение разрешима с помощью циркуля и линейки. Иными словами, нужно установить, в каких случаях корни двучленного уравнения могут быть построены при помощи циркуля и линейки. Но как решается вопрос о возможности построения циркулем и линейкой корней любого уравнения вообще? Из элементарной геометрии известно, как (с помощью циркуля и линейки) строить сумму или разность данных отрезков а + b или а — Ь, произведение отрезка на целое число т а, четвертую пропорциональную и среднее геометрическое Yab. Следовательно (полагая в выражении ~ о = 1 к с — Ь, ав выражении у ab b = 1), мы видим, что можем построить отрезки: a+b, ab, Vа- (8) Отсюда вытекает, что при помощи циркуля и линейки можно построить любую функцию данных величин (отрезков), если для её получения приходится совершать конечное число раз следующие пять операций: сложение, вычитание, умноокение, деление и извлечение квадратного корня. В частности, следовательно, можно построить корни квадратного уравнения ах2 + Ъх + с — 0: так как для получения их из данных величин а, Ь, с над ними не приходится производить никаких иных действий, кроме указанных выше операций: уравнение ах2 + Ъх + + с = 0 разрешимо в квадратных радикалах. Предположим обратно, что некоторая величина (отрезок) — пусть это будет корень какого-либо уравнения — может быть построена с помощью циркуля и линейки. Всякое построение циркулем и линейкой разбивается на ряд элементарных построений, которые заключаются в нахождении точек пересечения либо двух прямых, либо прямой и окружности, либо двух окружностей. Аналитически.для нахождения координат искомых точек приходится решать систему двух уравнений: в случае двух прямых — это два уравнения I степени; в случае прямой и окружности — одно уравнение I степени и одно уравнение II степени; в случае двух окружностей — два уравнения II степени. Во всех случаях системы разрешимы в квадратных радикалах (или даже без их помощи). Это очевидно в первом и во втором случаях. В последнем случае приходится решать систему уравнений: Открывая скобки и вычитая одно уравнение из другого, мы получим уравнение I степени: Определяем из него х или у, подставляем в одно из исходных уравнений, и дальнейшее сводится к решению квадратного уравнения. Итак, координаты искомых точек будут выражаться при помощи квадратных радикалов. Искомая величина (отрезок) найдётся как расстояние между этими точками. Но формула аналитической геометрии d = V{x2 — хх)2 + (уг — ух)2, дающая расстояние между двумя точками по их координатам, не содержит никаких других иррациональностей, кроме квадратного радикала; поэтому не будет их содержать и искомое выражение для данной величины. Таким образом, если некоторая величина может быть построена циркулем и линейкой, то она выражается (через данные величины) в квадратных радикалах. Итак, окончательно мы можем сделать следующее заключение: Для того чтобы корни уравнения f(x) = 0 могли быть построены с помощью циркуля и линейки у необходимо и достаточно, чтобы уравнение это разрешалось в квадратных радикалах Мы видим, таким образом, что поставленная нами задача деления окружности, или построения правильного многоугольника, циркулем и линейкой сводится к вопросу о разрешении двучленного уравнения в квадратных радикалах. 4. Возможность разрешения двучленного уравнения в квадратных радикалах будет зависеть, как мы увидим, от свойств целого числа п — степени двучленного уравнения. При установлении этой зависимости нам придётся опираться как на некоторые свойства целых чисел, так и на некоторые свойства целых рациональных функций (многочленов, или полиномов). Простейшие из них, чтобы к этому в дальнейшем не возвращаться, мы здесь напомним. Причём, так как многочлены (целые рациональные функции) ведут себя во многих отношениях как целые числа, то мы, чтобы проследить эту аналогию, изложим свойства тех и других параллельно. На доказательстве в большинстве случаев останавливаться не будем. KOHEЦ ФPAГMEHTA |
