Задачи без числовых данных

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ

      Книга состоит из двух частей. В первой части («О составлении и решении геометрических задач») автор сделал попытку методически разработать и призвать к жизни почти забытый, но очень ценный в научно-методическом отношении вопрос об определяемости геометрической фигуры. В связи с «принципом определяемости» автор получил возможность дать некоторую научно-методическую основу для составления и решения геометрических задач, по-новому осветить этот трудный вопрос методики геометрии.
      Сам факт, сформулированный в «принципе определяемости» (термин принадлежит автору), общеизвестен, и, разумеется, никакого нового научного принципа автор в виду не имеет.
      Автор попытался лишь убедить читателя в очень важном значении этого факта для методики преподавания геометрии.
      Здесь же, в частности, выясняется «природа» задач без числовых данных, даются общие указания к методике их составления и решения, указывается место и значение этих задач в курсе элементарной математики.
      Правильно понять смысл и значение задач без числовых данных можно лишь в свете «принципа определяемости».
      Автор полагает, что первая часть книги должна дать читателю научно-методическую подготовку для успешной работы над второй ее частью («Задачи без числовых данных»), в особенности — над геометрическим материалом второй части (геометрические задачи составляют около 70% всех задач).
      Однако первая часть книги, поскольку она касается общей методики составления и решения геометрических задач, имеет самостоятельное значение.
      Вторая часть книги состоит из 6 разделов, содержащих задачи без числовых данных, то есть такие задачи (главным образом на вычисление), в условиях которых не содержатся данные числа или таковых очень мало (последних имеется около 10). Большинство задач должны быть решены с полными вычислениями и приводить к определенному числовому ответу (если в условиях этих задач нет параметрических данных). С целью расширения теоретического кругозора учащегося и более глубокого практического закрепления I части книги автор поместил во II части некоторое количество задач с параметрическими данными.
      При решении некоторых задач-вопросов, содержащихся в сборнике, от учащегося требуется устно рассказать, какие величины он должен измерить и какие действия над результатами измерений он должен произвести, чтобы ответить на поставленный в этих задачах вопрос. Эти задачи (практические по существу), предоставляя учащимся самим производить выбор числовых данных, имеют политехническое значение.
      В первых двух разделах содержатся задачи по арифметике и алгебре.
      В III разделе представлены геометрические задачи, обслуживаемые аппаратом арифметики и простейшими элементами начального курса алгебры. Геометрические задачи, при решении которых аппарат алгебры применяется в значительной степени (более сложные алгебраические преобразования, квадратные уравнения, неравенства и пр.), мы отнесли к IV разделу. Задачи же, при решении которых, помимо аппарата алгебры, применяется аппарат тригонометрии, отнесены нами к V разделу (сюда вошло также несколько «чисто» тригонометрических задач). Эта классификация является в некоторой степени условной, так как нередко одна и та же задача может быть решена различными способами.
      В VI раздел вошли задачи без числовых данных (по алгебре и геометрии), приводящиеся к уравнениям 3-й и 4-й степени.
      Задачи этого раздела, приводящиеся к одному и тому же уравнению, сгруппированы вместе: это сделано для того, чтобы учащийся более четко ощутил обобщающую силу алгебры, как универсального средства для решения разнообразных задач1 (эта мысль отражена также в первой части книги).
      1 Например, 10 различных по содержанию задач (№ 15—24) приводятся к одному и тому же уравнению.
     
      Материал этого раздела рассчитан для внеклассных занятий с учащимися. Однако он может быть успешно использован также при изучении специального курса элементарной алгебры, а также курса высшей алгебры.
      В IV и V разделах читатель также встретит множество задач, приводящихся к одному и тому же (квадратному) уравнению.
      Автор стремился расположить задачи во всех разделах по степени нарастания трудности и в такой тематической последовательности, которая соответствовала бы обычному расположению материала в программах по элементарной математике. Для того чтобы облегчить использование задач IV раздела для практического закрепления алгебраических тем, автор расположил эти задачи по алгебраическому признаку: задачи, решаемые одним и тем же методом алгебры, сгруппированы вместе.
      При решении задач на максимум и минимум (раздел IV и частично V) автор рассматривает известные элементарные приемы. Показано применение этих приемов в ряде трудных случаев (см. задачи 59, 67, разд. IV, и 93, 94, 95, 99, 100, разд. V). Понятно, что эти задачи могут быть успешно решены и с помощью производной. Однако следует отметить, что решение элементарных задач на максимум и минимум с помощью производной редко является наиболее простым. Часто применение производной приводит к более сложным аналитическим выкладкам (не говоря уже о логическом обосновании решения, связанном с самим понятием производной).
      Более половины всех задач могут быть успешно использованы в школе для более глубокого практического закрепления теории. За исключением некоторых задач-вопросов, остальные задачи сборника не могут быть использованы при первоначальном изучении предмета.
      Почти все задачи снабжены ответами. Задачи, решение которых предполагается изложить устно, отмечены значком «o», трудные задачи — значком «*». Многие задачи (главным образом наиболее трудные) снабжены решениями и указаниями, размещенными непосредственно после задач. Рекомендуется читателю прежде всего внимательно прочесть первую часть книги и тем самым усвоить основной метод решения задач без числовых данных; каждую задачу следует стараться решить самостоятельно. Опыт показывает, что одна задача, решенная самостоятельно, хотя и с большим трудом, приносит большую пользу, чем несколько задач (того же приблизительно типа), решенных не самостоятельно. Это правило, требующее иногда большого упорства и выдержки, является самым главным для того, чтобы научиться решать задачи. Следует также иметь в. виду, что не меньшую пользу принесет читателю и такая задача, на безуспешное решение которой было затрачено много времени и труда, если после этого ознакомиться с ее решением. Также очень полезно свои решения сопоставлять с решениями автора.
      Задачи охватывают почти все основные темы школьного курса математики. К внешкольному материалу относится лишь раздел VI.
      Автор надеется, что настоящая книга окажет помощь учителям математики в их повседневной работе.
      Автор выражает глубокую благодарность С. И. Новоселову, П М. Олоничеву, Н. Б. Берестижевсксму, И А. Магарасу, Г. А. Палатнику, А В. Дейнеге, С. М. Петрову, Б. Н Белому и Л. М. Лоповоку, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний.