Числа и фигуры

DjVu

      ОТ РЕДАКТОРА
      Книга видных немецких ученых Ганса Радемахера и Отто Теплица «Числа и фигуры» занимает в ряду научно-популярных сочинений по математике совершенно особое место. Вышедшая первым изданием еще в 1930 г. и затем неоднократно переиздав твшаяся и переводившаяся, эта книга вполне может быть включена в число «классических» сочинений, хорошо известных всем, интересующимся вопросами популяризации математики, и оказавших значительное влияние на всю последующую литературу такого рода. Очень большое влияние оказала эта книга, ранее уже дважды издававшаяся на русском языке (в 1936 и в 1938 гг.), и на нашу научно-популярную литературу, в частности на серию книг «Библиотека математического кружка».
      Весьма удачной следует признать основную идею авторов — создание своеобразной «математической хрестоматии» из ряда внешне не связанных между собой отрывков, излагающих изолированные вопросы, относящиеся к разным разделам математики. Все эти отрывки в совокупности должны создать у читателя достаточно пелыюс впечатление, если не о математической науке, то о математическом мышлении, ознакомление с которым является значительно более важной задачей, чем просто ознакомление с математическими фактами. И этой последней цели книга Г. Радемахера и О. Теплица достигает в наилучшей степени — это обеспечивается и очень тщательным подбором тем, весьма элементарных по используемому аппарату, но достаточно глубоких и содержательных по существу затрагиваемых проблем, и продуманным изложением, выделяющим узловые моменты доказательств и подчеркивающим идейную сторону вопроса. Эта книга впервые раскрыла все возможности, заложенные в подобной системе изложения — и за ней последовали многочисленные «математические хрестоматии» сходного рода, ни одна из которых, впрочем, не имела
      успеха этой книги. Сильно сказалось появление книги Радемахера и Теплица и на деятельности школьных и студенческих математических кружков, культивируя в них изложение разрозненных «математических этюдов» в противоположность кружкам с четко очерченной тематикой.
      Настоящее, третье, русское издание книги Г. Радемахера и О. Теплица включается в серию книг «Библиотека математического кружка», рассчитанную на школьников старших классов и студентов младших курсов и предназначенную для использования в математических кружках; можно только пожалеть, что она не составляет первого выпуска этой серии, созданной под заметным влиянием настоящей книги. При подготовке этого издания мы отказались о г каких бы то ни было дополнений и изменений в основном тексте, хотя было бы нетрудно указать ряд тем, «напрашивающихся» в эту книгу, а в отдельных случаях можно было бы предложить некоторые усовершенствования в принятом здесь изложении. Зато заново составлены «Примечания и дополнения» к книге, в которых частично использованы и авторские «Примечания и дополнения». Здесь, в частности, имеются многочисленные ссылки на более позднюю литературу, в первую очередь — на другие книги серии «Библиотека математического кружка». Эти «Примечания» вполне могут быть опущены при первоначальном чтении книги; они, однако, окажутся полезными докладчику, выступающему в математическом кружке с сообщением по этой книге, а также руководителю кружка, или читателю, желающему углубить и дополнить содержащийся здесь материал.
      И. М. Яглом
     
      За своеобразной символикой формул, за интегралами и сигмами, словно за высокой стеной, уединилась математика от окружающего ее мира. То, что происходит за этой стеной, остается обычно тайной для непосвященного, и в стремлении ее разгадать он представляет себе бескровный механизм «мертвых чисел», функционирующий по законам внутренней необходимости. Тому же, кто остается за стеной, она зачастую закрывает горизонт, мешает взглянуть на внешний мир; он увлекается возможностью оценивать математические факты собственными мерками и находит тщеславное удовлетворение в том, что в его владения не проникает профан.
      Нельзя ли пробить эту непроницаемую стену и открыть математику «непосвященному» и притом так, чтобы это принесло ему переживание собственного активного участия в математическом познании и творчестве? Может быть такое «активное» восприятие математики доступно лишь узкому кругу «математически одаренных»? Конечно, математическим дарованием в собственном смысле слова, т. е. способностью самостоятельно открывать новые математические истины, наделены лишь немногие. Но ведь, например, и музыкальным дарованием, т. е. уменьем создавать музыкальные произведения достаточно высокой ценности, также обладают лишь немногие. Между тем мы встречаем множество людей, понимающих музыку, способных «музицировать», во всяком случае находящих в музыке радость. Нам кажется, что если бы только удалось преодолеть то недоверие, с которым весьма многие под влиянием случайных школьных впечатлений сторонятся всего, связанного с математикой, то людей, склонных «импровизировать» в области несложных произведений математического искусства, оказалось бы не меньше, чем активных любителей музыки.
      Задача, которую мы себе ставим, и заключается как раз в том, чтобы показать, что предубеждение против математики исчезает, если только заложенный в основе математического произведения замысел представить в раскрытом виде, не заг ро-можденном ни формулами, ни сложными вычиспениями. Мы стремимся дать здесь представление о многообразии всех тех явлений, которые объединяются понятием «математика», представление о математике как таковой, о внутренней ее ценности, которой она обладает сама по себе.
      Уже много раз пытались говорить о математике, обращаясь к нематематикам. При этом некоторые, стремясь найти доступ к читателю, старались выдвигать на первый план практическое ее значение: указывали на пользу, которую математика может представить в технических или иного рода применениях, иллюстрируя это удобопонятными примерами. Другие писали книги о математических играх и развлечениях; в них встречается много забавного, но они дают лишь карикатуру на то, что собственно следует называть математикой. Наконец, третьи излагали основания математики в плане общих философских значений; читатель, интересующийся чистой математикой, с особым увлечением занялся бы именно такой оценкой математики — с точки зрения теории познания и общего мировоззрения. Нам, однако, и этот подход представляется по существу лишь внешним подходом к математике, стремлением оценивать математику масштабами, лежащими вне ее самой.
      В этой книге мы не имеем возможности осветить то влияние, которое излагаемые здесь идеи оказывают на самую математику, рассмотреть те, если можно так выразиться, внутренние приложения, которые одна область математики находит в другой. Иначе говоря, мы вынуждены здесь отказаться от попытки передать нечто весьма существенное для природы математического здания: от раскрытия поразительных внутренних связей, пронизывающих это здание во всех направлениях. В этом пункте наше самоотречение не добровольно, ибо грандиознейшие открытия были сделаны как раз при прокладке таких внутренних связей, при установлении этих широких взаимозависимостей. Однако для ознакомления с ними от читателя потребовалась бы обширная и углубленная подготовка, более того — основательная тренировка, а это уже не входит в наши намерения. Короче говоря, центр тяжести нашего изложения будет лежать не в фактах, в которых обычно раскрывается содержание науки перед неспециалистом, а в типах математических феноменов (явлений), в методике постановки вопросов, в поисках решения поставленных вопросов. Понимание больших математических произведений, широкообъемлющих теорий требует, конечно, продолжительной подготовки и значительных усилий. Но то же самое относится и к музыке. Человек, впервые попавший на концерт, едва ли сумеет оценить «Искусство фуги» Баха и охватить строение симфонии. Но ведь наряду с грандиозными музыкальными композициями существуют и так называемые «малые формы», в которых таится подчас обаяние большого искусства и гений которых может быть раскрыт каждому. Такие же «малые формы» хотелось нам извлечь здесь и из обширного мира математики: ряд тем, из которых каждая может быть понята сама по себе, каждая несет свою внутреннюю ценность. В лекционном изложении такая тема укладывается в час, причем слушатель не утруждается связью с другими темами или школьной наукой. Теоремы о равенстве треугольников и правила умножения скобок читатель вспомнит постепенно при чтении.
      Эстетическая ценность музыкального произведения заключена не в одной только ведущей линии мелодии: легкая вариация основной темы, неожиданная модуляция может сообщить всему произведению новое заострение, однако уловить и ошутить это будет способен лишь тот, кто предварительно прислушается к основной теме. В этом же смысле и наш читатель должен «прислушаться» к основному мотиву проблемы, которым открывается та или иная тема, к ее постановке, к первым простым примерам, которыми эта тема подкрепляется, прежде чем развернется решительный штурм центральной идеи; он должен следовать за ходом мысли несколько более активно, чем это обычно требуется при чтении. Тогда перед ним исчезнут все препятствия к овладению основным замыслом. Ему будет дано как бы соучаствовать в драме «искания — открытия» некоторых великих мыслителей, которые, покидая иногда обширные здания создаваемых ими общих теорий, возводили тот или иной простой математический факт в небольшое законченное произведение искусства, являвшее в себе фрагментарный прообраз «математического».
      Г. Радемахер, О. Теплиц
     
      Второе издание лишь очень немногим отличается от первого. Тема восьмая («Сечения прямого кругового конуса») заменена менее известной темой из комбинаторики *). В шестой теме, с любезного разрешения автора, приведено одно еще неопубликованное доказательство, замечательное своей простотой и близкое и по содержанию, и по методу к предмету этой темы.
      Некоторые критики ставили нам на вид, что в нашей книге обижены те или иные отделы математики; при этом одни имели в виду алгебру, другие — геометрию. Мы отступили бы от задач этой книги, намеченных в предисловии к ее первому изданию, если бы приняли во внимание эти возражения. Тема сама по себе нигде не была для нас решающей; все зависело от того, можно ли было изложить ее настолько просто без апелляции к чему-либо, известному читателю заранее, и настолько строго, насколько это попытались сделать мы в нижеследующих двадцати семи этюдах. Чтобы дать читателю то представление о математике, к которому мы здесь стремились, совершенно не важно, из каких специальных дисциплин почерпнуты наши темы. Прием, который книга встретила среди читателей и у большинства критиков, свидетельствует, как нам думается, о том, что наши намерения были поняты в общем правильно.
      Г. Радемахер, О. Теплиц
      *) В русском издании оставлена также и тема о сечениях прямого кругового конуса. (Прим. перев.)