|
ГЛАВА I ОБЩИЙ ОБЗОР
Введение
Начнем с выяснения терминологии. Обычно легко отличить на слух регулярный тон или последовательность тонов, которые могут либо нести закодированную тем или иным способом определенную информацию, либо просто составлять музыкальную мелодию, от того, что мы называем «шумом»1). В предельном случае слышимый шум представляет собой более или менее хаотический беспорядочный набор не связанных друг с другом тонов из широкого диапазона частот, при воспроизведении которого на экране осциллографа наблюдается более или менее изрезанная и очень нерегулярная картина колебаний с амплитудой, меняющейся случайным образом в довольно широких пределах. Эта картина резко отличается от наблюдаемого на экране сигнала, обусловленного простым регулярным музыкальным тоном (фиг. 1,а и б).
Различие между регулярным чистым тоном и «шумом» можно также охарактеризовать степенью предсказуемости. Для регулярного музыкального тона картина на экране осциллографа и, конечно, соответствующий слышимый звуковой сигнал могут быть предсказаны почти идеально, тогда как для шума как визуально наблюдаемая картина, так и соответствующий ей звуковой сигнал в значительной степени непредсказуемы. Последнее обстоятельство является, возможно, одной из причин столь неприятного действия звуковых шумов, хотя я и не утверждаю, что идеально предсказуемые звуковые сигналы обязательно должны доставлять необыкновенную радость.
Если распространить эти идеи и на другие области физических явлений, например на электрические
колебания, то термин «шумы» можно применять (если не быть слишком придирчивым) к любым физическим функциям, которые не ведут себя полностью регулярным и предсказуемым образом. При увеличении громкости обычного радиовещательного приемника, не настроенного на какую-либо передающую станцию, рано или поздно из динамика вы услышите сплошную «кашу» звуков или шипящий «шум». Если при этом антенна отсоединена, то радиоинженер скажет, что мы прослушиваем электрические шумы сопротивлений и ламп первого каскада приемника. Более «респектабельный» физик предпочел бы в этом случае сказать, что хаотический звуковой сигнал обусловлен «спонтанными флуктуациями» электрического заряда, усиленными в цепи приемника. В другом случае, прислушиваясь к звуку падающего на металлическую крышу дождя, мы различаем лишь общий грохоча-щий «шум», создаваемый падением отдельных дождевых капель, вообще говоря, случайный и непредсказуемый в деталях; на этот раз физик подчеркнул бы, что усреднение отдельных импульсов по времени приводит к некоторому равномерному давлению на крышу, тогда как флуктуации вызывают хаотическое колебательное движение поверхности крыши, которое и воспринимается нами как «шум».
Почему же вся область «шумовых» или флуктуационных явлений занимает такое важное место1) в физике? Единой причины здесь не существует, и, может быть, отчасти поэтому так привлекательна (по крайней мере для автора!) исследуемая проблема. Обратимся к нескольким примерам. Пусть нам необходимо построить радиолокационную станцию или создать очень чувствительный радиоприемник для улавливания любого радиоизлучения (имеющего форму электрических «шумов»!), приходящего на Землю из космического пространства (например, от Солнца или других удаленных звездных объектов). Дальность действия радиолокационной станции зависит от мощности сигнала, излучаемого передатчиком, и от величины наименьшей регистрируемой нашим приемником мощности, отраженной от удаленной рассеивающей цели. Поэтому любое осуществленное нами усовершенствование, приводящее к улучшению способности радиолокационного приемника обнаруживать слабые сигналы, совершенно эквивалентно соответствующему возрастанию мощности радиолокационного передатчика и может привести к весьма значительному экономическому выигрышу. В радиоастрономии улучшение свойств нашего приемника позволило бы нам с уверенностью наблюдать более далекие галактические объекты. В любом случае предел способности приемника регистрировать очень слабые приходящие сигналы устанавливается в первую очередь величиной шумов или случайных флуктуаций электрического заряда во входной цепи и в первом каскаде усиления приемника. Следовательно, теоретическое изучение источников этих шумов оказало бы непосредственную помощь при конструировании более качественного приемника. Разумеется, это нашло бы применение и в других областях, где могут потребоваться чувствительные усилители и детекторы. В настоящее время в различных отраслях физики осуществляются очень чувствительные измерения для обнаружения некоторых слабых эффектов, предсказанных развитием квантовой теории. Так, например, недавно (середина 1961 г.) появилось сообщение об экспериментах с малыми сверхпроводящими цилиндрами, показывающих, что магнитный поток квантован в единицах hc/2e (~2 X 10-7 гс‘см2). Подобные эксперименты требуют самой тщательной разработки всех деталей и, конечно, должны быть приняты все меры для сведения шумов и случайных флуктуаций в приборах к абсолютному минимуму, если мы хотим наблюдать столь малые эффекты с какой-либо достоверностью.
В качестве второго примера рассмотрим сигнал на выходе чувствительного приемника радиоизлучения, антенна которого направлена, например, на Солнце. В общем случае, если наша антенна обладает достаточной чувствительностью (и способностью разрешать
достаточно малые телесные углы), мы заметили бы на выходе приемника возрастание уровня шумов, обусловленное главным образом некогерентным электромагнитным солнечным излучением, перекрывающим широкий спектр частот. При наличии общей теории такого «теплового излучения» нагретых тел различного типа можно было бы использовать наблюдения шумов для получения некоторой непосредственной информации о свойствах Солнца. Весьма близким к рассмотренному примеру является метод прямого использования электрических шумов или спонтанных флуктуаций какой-либо другой физической характеристики тела для измерения его температуры. Прибор, в котором шумы пассивного электрического сопротивления используются для определения абсолютной температуры, обычно называют «шумовым термометром».
В качестве третьего приложения рассмотрим диссипативные процессы, обусловленные вязкостью. Пусть шарик малого радиуса падает под действием силы тяжести в сосуде, заполненном жидким маслом, причем движение можно считать установившимся. Сила вязкости, тормозящая движение шарика, определяется как результат усреднения огромного числа быстро меняющихся индивидуальных сил, вызванных действием молекул окружающей среды. И именно потому, что средняя (и необратимая) сила вязкого трения возникает в результате действия большого числа отдельных более или менее независимых компонент, эта вязкая сила должна иметь флуктуирующую составляющую. Эйнштейн [ 1,2]1) первый показал, что имеет место фундаментальная связь между средней силой (вязкость или подвижность) и флуктуирующей составляющей (обусловливающей так называемое броуновское движение частицы)2); при определенных
1) См. также Эйнштейн [31. Прекрасное изложение теории броуновского движения содержится в монографии Чандрасекара [4].
2) Впоследствии появилось значительное число углублений и обобщений открытого Эйнштейном важнейшего уравнения, например теорема пайквиста [5, 6] и так называемая флуктуационно-диссипационная теорема (см, например, Каллен и Велтон [7], Бернард и Каллен [8], Бункин. Позже мы остановимся на условиях возможно прямое наблюдение флуктуирующей компоненты. В ряде случаев практически оказывается проще наблюдать броуновское движение, а затем, следуя анализу Эйнштейна, определять величину вязкости; наоборот, при других условиях прямое измерение вязкости дает нам возможность предсказать закон диффузии типичной частицы, т. е., по существу, закон ее броуновского движения. Помимо этого, иногда можно теоретически оценить непосредственно поведение флуктуирующей составляющей силы, обусловленной действием отдельных атомов окружающей среды, а это в свою очередь позволяет предсказать величину необратимой средней силы вязкости.
Наконец, овладение методами теории флуктуаций (или, проще говоря, статистикой) может значительно упростить решение ряда других интересных задач (не обязательно связанных с физикой). Можно убедиться, что, когда транспорт начинает покидать центр большого города в конце рабочего дня, поведение каждого отдельного автомобилиста следует рассматривать как почти случайное! Здесь проявляется парадоксальное обстоятельство; любой человек был бы серьезно обижен, если бы кто-либо предположил, что его продвижение по жизненному пути во всяком случае весьма близко к «случайному блужданию», однако такого человека было бы нетрудно убедить в справедливости подобного описания поведения других людей, особенно если они встречаются на его пути! После того как Эйнштейн показал, что макроскопическое описание диффузии эквивалентно микроскопическому «случайному блужданию» большого числа отдельных молекул или частиц, можно попытаться обратить задачу. С точки зрения инженера-транспортника, решающего проблему «разъезда автомашин», в качестве первого шага можно было бы рассмотреть решение
этих обобщающих исследованиях, но нужно подчеркнуть, что именно Эйнштейн сделал первый и самый важный шаг, показав Vi глубокую внутреннюю аналитическую и физическую связь между необратимыми процессами, например действием вязкости, и обязательным наличием спонтанных флуктуаций соответствующего параметра.
классического уравнения диффузии с соответствующими граничными условиями. Дело в том, что при рассмотрении этой проблемы намного удобнее считать каждый отдельный автомобиль движущимся «случайно», чем пытаться разрешить более или менее безнадежную задачу предсказания движения каждого из многих тысяч автомобилей. Такой «выход из положения» часто оказывается приемлемым по крайней мере в первом приближении, так как с общей точки зрения индивидуальные изменения (или флуктуации!) маршрутов различных автомашин достаточно разумно можно считать случайными.
В то же время данный подход указывает возможные ограничения статистического решения задачи. Рассматривая проблему движения транспорта как чисто статистическую «диффузионную» задачу, мы с легкостью сможем рассчитать характеристики дорог, обеспечивающих беспрепятственный «ожидаемый» (т. е. средний) разъезд транспорта. С другой стороны, именно потому, что в действительности мы имеем дело с различными людьми, ведущими свои машины, рассмотрение должно включать возможность большого числа отдельных отклонений, так как поведение каждого отдельного автомобиля может флуктуировать — мы подчеркиваем это слово, — от статистического среднего1). Это в свою очередь указывает, как можно улучшить наше приближенное решение рассматриваемой частной задачи, если мы не просто регулировщики движения транспорта, а регулировщики, заинтересованные в уменьшении неудобств отдельных водителей. А именно, вначале следует получить усредненное решение, после чего исследовать ожидаемые флуктуации от среднего; если теперь сделать разумные допущения относительно этих флуктуаций от среднего поведения, то можно получить по крайней мере некоторые суждения, справедливые длл отдельных элементов системы.
С весьма общей точки зрения можно сказать, что особенно важны следующие два аспекта теории флуктуаций.
Если мы имеем дело с системами, состоящими из большого числа частиц, атомов или других объектов, то для многих целей может оказаться достаточным непосредственное и быстрое определение средних характеристик (например, среднее давление на крышу, вызываемое дождевыми каплями; среднее число людей, покидающих футбольные матчи и т. д.). Однако, как оказывается при ближайшем рассмотрении, зачастую именно флуктуации указывают нам, что фактически мы имеем дело с индивидуальными элементами, и, таким образом, исследование флуктуаций с этой точки зрения показывает, как «механические»1) концепции включаются в чисто статистические рассуждения.
B современной физике почти общепринятым подходом к исследованию любой проблемы, включающей большие ансамбли индивидуальных объектов, является метод статистической механики. Вообще говоря, статистическая механика определяет среднее поведение системы, находящейся в термодинамическом равновесии с окружающей средой, и ничего не говорит о том, за какое время достигаются эти равновесные условия и как совершается этот переход в равновесное состояние. Я хотел бы обсудить, насколько существенные результаты сможет дать здесь теория флуктуаций.
В действительности статистическая механика зачастую определяет не только усредненные характеристики физической системы, но также предсказывает
1) Главным образом в смысле справедливости описания поведения отдельного объекта уравнениями движения Ньютона (уравнениями механики). В этом же смысле мы можем также употреблять термин «обратимый». В то же время, как мы увидим ниже, статистическое среднее поведение большого ансамбля (атомов), например при диффузии, может быть существенно необратимым.
полную величину средних, или «ожидаемых» флуктуаций от равновесного состояния. Однако сама по себе она не может ничего сказать о быстроте или поведении во времени этих флуктуаций, что может быть существенно, так как флуктуации, происходящие очень быстро, могут не иметь значения в некоторых физических явлениях, и, таким образом, знание только полной величины этих флуктуаций может ввести в заблуждение1). Таким образом, вообще говоря, теорию флуктуаций и шумов точнее можно было бы назвать «нестационарной статистической механикой».
Заметим, что довольно часто, как в этой книге, так и вообще в рассматриваемой области, мы будем непосредственно сталкиваться с анализом флуктуаций или «шумов» макроскопически наблюдаемых величин (движение броуновской частицы, флуктуации электрического заряда или тока в контуре и т. д.). В этом случае, как правило, каждый «сегмент» или «элемент», составляющий наблюдаемый шум или флуктуацию, может быть различим во времени и в пространстве от любого другого элемента. Наш «расчет» или статистический анализ может быть непосредственно проведен, как говорят, на классической основе. И только в случае, когда мы сталкиваемся непосредственно со статистической механикой ансамблей элементарных частиц или квазичастиц (например, таких, как электроны или фотоны), следует прибегать к некоторым специальным мерам предосторожности в нашей «расчетной» процедуре (приводящим в частных случаях либо к статистике Ферми — Дирака, либо к статистике Бозе — Эйнштейна; см. замечание в приложении I (стр. 143), высказывание на стр. 94 и текст на стр. 100).
) Иногда я буду называть флуктуации, предсказываемые статистической механикой, «идеальными флуктуациями», понимая под этим, что с помощью идеальной (с технической точки зрения) измерительной системы можно было бы наблюдать изменения, совершающиеся со всеми возможными скоростями (или частотами), т. е. наблюдать флуктуации во всей их полноте (см., например, § 2, п. 3).
§ 2. Броуновское движение
1. Исторический очерк. Мы начнем наше рассмотрение с общего обзора истории открытия и исследования броуновского движения, а также более поздних исследований сущности электрических флуктуаций (электрического аналога броуновского движения — тепловых флуктуаций, иногда называемых шумами Джонсона, и «дробового шума»). Затем в последующих главах мы более подробно обсудим некоторые частные аспекты исследования флуктуаций (или «шумов», если кто-либо предпочитает этот термин).
Термин «броуновское движение» связан с именем биолога Роберта Броуна [12], наблюдавшего под микроскопом мельчайшие частицы пыльцы растений. Броун писал: «При изучении формы этих частиц, взвешенных в воде, я заметил, что большинство из них совершенно явно находится в движении. Движение это, как я убежден, ...обусловлено не потоками в жидкости, не постепенным ее испарением, а принадлежит * самим частицам». Броун изучил частицы огромного числа предметов (в том числе даже оско- -лок Сфинкса!) и нашел, что обнаруженное им движение проявляется у каждого из исследованных веществ. Из описанных опытов сейчас делают естественный вывод, что причина явления заключается, конечно, в беспорядочной бомбардировке частиц молекулами окружающей жидкости; сам же Броун, основываясь на универсальности эффекта, предположил, что он открыл существование некой элементарной формы жизни, присущей всей органической и неорганической материи! В течение последующих семидесяти лет до замечательного анализа проблемы, проведенного Эйнштейном [1, 2], было поставлено много других экспериментов и высказано большое число теоретических гипотез о существе наблюдаемого эффекта.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
