Принцип относительности Галилея
и неевклидова геометрия

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      В русской научной и научно-популярной литературе, как и в литературе многих других стран, имеется немало сочинений, посвященных неевклидовой геометрии Лобачевского; лишь некоторые из них упомянуты в списке книг и статей на стр. 300—303. Изучение геометрии Лобачевского составляет обязательную часть программы математических отделений большинства наших университетов и всех педагогических институтов — ознакомление с основами этой геометрической системы считается необходимой частью подготовки будущего учителя средней школы. Также и в школьных математических кружках широко культивируются занятия геометрией Лобачевского. При обсуждении путей перестройки математического образования в средней школе некоторыми математиками и педагогами высказывалась даже мысль о желательности включения элементов геометрии Лобачевского в общеобязательную школьную программу, а в рекомендуемые программы факультативных занятий математикой в средней школе (т. е. необязательных занятий, которые, однако, должны носить массовый характер) была включена тема, связанная с неевклидовой геометрией Лобачевского.
      Причины столь широкого увлечения геометрией Лобачевского понять нетрудно. Разумеется, увлечение это никак не связано с общематематическими или естественнонаучными приложениями геометрии Лобачевского; приложения эти (к теории автоморфных функций, например) носят достаточно специальный характер, и встретиться с ними придется разве что одному из тысячи учащихся, добросовестно изучающих (а затем излагающих экзаменатору) определение параллельных по Лобачевскому и особенности взаимного расположения прямых на плоскости Лобачевского. Гораздо более важное и принципиальное значение имеет сам факт "неединственности» геометрии, существования разных геометрических систем; он проливает новый свет на основные особенности математической науки; на роль идеализации в научном естествознании; на общее понятие дедуктивной науки («выводной науки» по терминологии Аристотеля), т. е. науки, развиваемой исходя из определенной системы аксиом; на роль системы аксиом в математике и на предъявляемые к любой
      аксиоматике требования; на взаимоотношение двух аспектов геометрии — геометрии как абстрактной математической дисциплины и геометрии как естественнонаучной дисциплины, изучающей определенную категорию свойств окружающего нас реального пространства, так сказать, «геометрии-математики» и «геометрии-физики». Именно это (и только это) обстоятельство и обусловливает вывод о том, что наивное представление о «врожтенности», «единственности» или «естественности», чуть ли не о «богоданности» геометрической системы Евклида должно быть у будущих учителей математики решительнейшим образом разрушено.
      Принимая этот вывод, мы, однако, забываем порой, что и сама геометрическая система Лобачевского вовсе не является единственной a priori возможной «неевклидовой» системой, что разных «геометрий» мы знаем сегодня совсем не две только (Евклида и Лобачевского), а очень и очень много.
      Хорошо известно, что содержание геометрии в процессе ее исторического развития неоднократно коренным образом менялось. В течение столетий единственная цель геометрических исследований виделась в возможно более полном исследовании свойств «обычного» трехмерного пространства Евклида. Несмотря на то, что в рамках такого понимания геометрии созрели иные точки зрения, не укладывающиеся в привычную схему (так, например, первой изученной людьми «не евклидовой» геометрической системой, по существу, является действующая на поверхности сферы так называемая «сферическая геометрия», хорошо известная еще в глубокой древности х)), до создания неевклидовой геометрии Лобачевского не возникало никаких сомнений в универсальности самого понятия евклидова пространства. Относящиеся к первой трети XIX века революционные открытия Карла Фридриха Гаусса. Николая Ивановича Лобачевского и Яноша Бой а и2) потому то и явились таким огромным событием в истории математики, что они нанесли непоправимый удар этим насчитывающим тысячелетия представлениям.
      После появления неевклидовой геометрии Лобачевского укоренилось мнение (а многие думают так еще и сейчас!), что возможны всего две равноправные геометрические системы — Евклида и Лобачевского; сами творцы неевклидовой геометрии были в этом твердо убеждены. Однако эта точка зрения просуществовала недолго;
      Л С полной отчетливостью это было указано лишь Б. Риманом (см. ниже), исследования которого во многом стимулировались фактом существования неевклидовой геометрии Лобачевского.
      2) О драматической истории открытия неевклидовой геометрии Лобачевского см., например, указанную на стр. 303 книгу В. Ф. Кагана «Лобачевский». [Отметим, что фамилия венгерского математика Бойаи (Bolyai de Bolya) транскрибируется в русской математической литературе весьма разнообразно — см., например, книги [60], [72] и [73] из приведенного в конце книги списка литературы.]
      XIX век был периодом бурного развития геометрических учений. В 1854 г замечательным немецким математиком Бернгардом Рима-ном был сформулирован чрезвычайно общий взгляд на геометрию, сразу необычайно широко раздвинувший ее границы; Риман же отметил существование трех родственных друг другу геометрических систем, близких к той геометрии, какую мы все изучали в средней школе: «обычной» геометрии Евклида, «гиперболической геометрии Лобачевского и эллиптической» геометрии, весьма близкой к геометрии на поверхности сферы. Этот список геометрий был в 1870 г. продолжен другим немецким математиком Феликсом Клейном (см., например, его книгу Неевклидова геометрия , указанную в списке литературы на стр. 302): согласно концепции Клейна на плоскости существует девять (!) родственных друг другу геометрий *), тремя из которых являются обычная геометрия Евклида, гиперболическая геометрия Лобачевского и эллиптическая геометрия Римана (см. по этому поводу приложение А в конце книги). Эти исследования Клейна, которые возникли в результате своеобразного синтеза геометрических идей Лобачевского и заинтересовавших Клейна работ английского алгебраиста Артура Кэли, привели к созданию в 1872 г. так называемой "Эрлангенской программы, Клейна (см. его статью [8], указанную в списке литературы на стр. 300), содержащей новый широкий взгляд на всю геометрию, по своей универсальности способный соперничать с концепциями Римана.
      Таким образом, подобно тому как исключительное положение геометрии Евклида было разрушено основополагающими исследованиями Лобачевского, Бойаи и Гаусса, опубликованными еще в 1829—1832 гг., исключительное положение геометрии Лобачевского было разрушено классическими трудами Римана и ^Слейна (1854—1872 гг.). Однако еще и сегодня под неевклидовой геометрией часто понимают одну только геометрию Лобачевского (реже слова неевклидовы геометрии во множественном числе употребляют для обозначения гиперболической геометрии Лобачевского и эллиптической геометрии Римана); существование же других геометрических систем остается известным лишь узким специалистам. Причина этого, по-видимому, в значительной степени коренится во влиянии дискуссий о природе окружающего нас реального пространства, в своей первоначальной постановке давно уже потерявших всякое научное значение. Так, например, еще в «Неевклидовой геометрии» Ф. Клейна, вышедшей в свет в немецком оригинале в 1928 г., утверждается, что в окружающем нас мире должна реализовываться
      1) Сам Клейн различал на плоскости семь разных геометрических систем (см., например, уже упоминавшуюся книгу Клейна «Неевклидова геометрия»); дальнейшее членение «геометрий Клейна», в силу которого число семь заменилось числом девять, было произведено в 1910 г. английским геометром Д. М. И. Саммервиллем (D, М. Y, Sommerville).
      одна из трех «классических» геометрий Евклита, Лобачевского или Римана1), хотя полная научная несостоятельность этой точки зрения была установлена «специальной теорией относительности» Альберта Эйнштейна (1905 г.) и, особенно, его же «общей теорией относительности» (1916 г.). Гипноз этих устаревших космологических дискуссий привел к тому, что в го время как геометрии Лобачевского в научной и научно-популярной литературе уделяется весьма большое внимание (так, например, даже столь частному вопросу, как теория геометрических построений на плоскости Лобачевского, посвящено несколько книг и бессчетное множество статей!), все остальные «неевклидовы геометрии Клейна» освещены пока совершенно недостаточно. Настоящая книга и преследует своей целью дать рассчитанное на широкого читателя изложение одной из этих геометрических систем — системы, которая возникает, если принять за «движения» двумерного многообразия «событий» (jc, t) (где х — координата точки на прямой, a t — время) преобразования Галилея классической кинематики.
      После этого исторического введения я позволю себе снова остановиться на вопросе о педагогической целесообразности увлечения одной лишь неевклидовой геометрией Лобачевского. Важность ознакомления будущих учителей математики (а частично даже и интересующихся математикой учащихся старших классов средней школы) с одной из геометрических систем, отличных от хорошо известной им геометрии Евклида, сомнению, видимо, не подлежит. Но какую геометрию выбрать для такого ознакомления? Этот вопрос, как мне кажется, может служить предметом дальнейших дискуссий. Геометрия Лобачевского исторически является первой «неевклидовой» геометрической системой, — не считая это обстоятельство решающим, я вовсе не склонен полностью его игнорировать. Кроме того, связь этой геометрической системы с установлением недоказуемости аксиомы параллельности и с выяснением роли этой аксиомы в системе Евклида сильно повышает педагогическое значение геометрии Лобачевского 2). С другой стороны, геометрия Лобачевского является
      г) Книга Ф. Клейна, напечатанная уже после смерти ее автора, представляет собой обработку литографированного курса лекций, выпущенного Клейном в 1892 г. и повторно в 1893 г. в качестве пособия для студентов Гёттингенского университета; модернизация, которой подвергли этот курс ученики Клейна, подготовлявшие его к печати, кажется мне крайне недостаточной. Также и в русском переводе «Неевклидовой геометрии», появившемся в 1936 г., к сожалению, отсутствует какое бы то ни было редакционное примечание, предупреждающее читателя об архаичности идей, развитию которых посвящены многие страницы книги.
      2) Особенно важно последнее соображение в условиях построения школьного курса геометрии в соответствии с общей схемой Евклида — Киселева (м. указанные на стр. 300 учебники [1]—[7]). В с ту чае же перехода на другую систему изложения (на чем настаивают многие математики и педагоги) оно частично утратит свое значение.
      относительно сложной; так, например, она определенно сложнее обычной геометрии Евклида. Напротив, излагаемая в этой книге геометрия является самой простой из всех геометрических систем Клейна: можно даже сказать, что она настолько же проще геометрии Евклида, насколько геометрия Евклида проще геометрии Лобачевского. Относительная простота этой геометрии является ее самым главным достоинством; она позволяет без большой затраты времени и интеллектуальной энергии учащихся изучить ее со сравнительно большими подробностями —а ведь только развернутое построение новой геометрической системы позволяет сопоставить ее с евклидовой и только оно психологически способно по-настоящему убедить в непротиворечивости рассматриваемой схемы! Другим достоинством развиваемой в этой книге геометрической системы является возможность ознакомления на ее базе со столь плодотворным геометрическим инструментом, как принцип двойственности. Наконец (последнее, но безусловно не наименее важное обстоятельство!), очень глубокой и содержательной является иллюстрируемая на примере рассматриваемой в настоящей книге геометрии общая идея о связи «Эрлангенской программы» Клейна с физическими принципами относительности, по-новому раскрывающая как содержание концепции Клейна, так и место принципов относительности в физике г). Вот почему мне представляется заслуживающим серьезного внимания вариант построения курса математики педагогического института, содержащий параллельное освещение трех самых простых геометрических систем — геометрии Евклида, «геометрии принципа относительности Галилея»и «геометрии принципа относительности Эйнштейна» (геометрии Минковского; см. § 11 этой книги) с одновременным изложением основ (специальной) теории относительности.
      Разумеется, настоящая книга, богатая, быть может и любопытными, но мало принципиальными деталями2) и рассчитанная на учащихся старших классов средней школы, на учителей ¦математики, на студентов и преподавателей университетов и педагогических институтов, готовящих учителей математики, никак не преследует своей целью столь серьезную реформу нашего высшего педагоги-
      *) Достоинством геометрии Лобачевского часто считают возможности обсуждения на ее базе различных космологических гипотез — однако уже сама постановка вопроса о реализуемости во Вселенной геометрии Евклида или геометрии Лобачевского способна затруднить восприятие идей теории относительности. С этой точки зрения мне кажется более ценной связанная с принципом относительности Галилея геометрия, способная сильно облегчить понимание соответствующих идей.
      2) Так, например, здесь содержатся даже три доказательства аналога известной из геометрии треугольника теоремы Фейербаха, в силу которой окружность девяти точек треугольника касается вписанной и трех вневписан-ных окружностей (см., например, пп. 44—45 указанной на стр. 301 книги Зетеля [33]), между тем как научное значение этой теоремы ничтожно.
      ческого образования. Да сейчас определенно еще не время для такой реформы: обсуждение поднятых здесь вопросов требует серьезного знакомства с геометрическими системами, порождаемыми принципами относительности Галилея и Эйнштейна, а эта книга, видимо, является первым сочинением в научно-популярной литературе, в котором подробно анализируется «геометрия принципа относительности Галилея».
      Да и в научной литературе эта геометрическая система была серьезно изучена сравнительно недавно. Упоминание о соответствующей геометрической системе можно найти уже у Ф. К лей на (см., например, указанную на стр. 302 книгу «Неевклидова геометрия») и в излагающих идеи Клейна учебниках (см., скажем, указанную на стр. 301 книгу В. Ф. Кагана «Основания геометрии» — однако ссылки на эту геометрию имеют здесь эпизодический характер, и содержание этой геометрической схемы, по существу, остается нераскрытым. Более обстоятельной была трактовка той же темы в относящихся к 1913—1915гг. научных статьях ряда немецких геометров (Г. Бек, Ф. Бём, Л. Бер вальд 1)). В 1925—1928 гг. эта геометрия снова всплыла в публикациях английского математика Л.Силберстейна, поляка С. Г л а-с а, казанского геометра А. П. Котельникова и датчанина Д. Фога2); в этих публикациях, видимо, впервые была отмечена связь рассматриваемой геометрии с принципом относительности Галилея. Однако обстоятельное изучение рассматриваемой в настоящей книге геометрической системы, при котором она в некоторых отношениях была проанализирована даже глубже евклидовой геометрии, относится к 50-м годам нашего столетия; это изучение связано с именами замечательного голландского геометра Николааса К ей пера, видного немецкого геометра Карла Штрубеккера, а также моей ученицы Нели Михайловны Макаровой (см. список литературы в конце книги).
      Отдельно приходится остановиться на вопросе о наименовании рассматриваемой в этой книге геометрической системы. В научной литературе эта геометрия именуется «полуевклидовой», «флаговой», «параболической», «изотропной» или «галилеевой»; однако ни одно из этих названий нельзя признать полностью удачным. Термины «флаговая геометрия», «параболическая геометрия» (или «дважды параболическая геометрия») и «изотропная геометрия» оправдываются обстоятельствами, которые никак не могут быть раскрыты в элемен-
      Э См. Н. Beck, Zur Geometrie in der Minimalebene, Sitzungsberichte der Leipziger und Berliner Math. Gesellschaft 12 (1913), стр. 14—30; F. Bohm, Beitrage zum Aquivalenzproblem der Raumkurven, Sitzungsberichte der Acad, zu Miinchen 2 (1915), стр. 257—280; L. Berwald, Uber Bewegungsinvari-anten und elementare Geometrie in der Minimalebene, Monatshefte fur Math-und Phys. 26 (1915), стр. 211—228.
      z) См. L. Silberstein, Projective geometry of Galileian space-time, Philos. Magazin 10 (1925), стр. 681—696; S. Glass, Sur les geometries de Galyley et sur une geometrie plane particuliere, Annales de la Societe Polonaise de Math. 5 (1926), стр. 20—36; А. П. Котельников, Принцип относительности и геометрия Лобачевского, Сборник «In memoriam Lobatschevskii», вып. 2, Казань, Главнаука (1927), стр. 37—66; D. Fog, Den isotrope Plans elementare Geometri, Math. Tidskrift, Сер. В (1928), стр. 21—33.
      тарном сочинении, рассчитанном на лиц, не обладающих серьезной математической подготовкой — поэтому здесь они полностью отпадают. Достоинством термина «полуевклидова геометрия» является его близость к названию «псевдоевклидова геометрия», принятому для геометрии, связанной с принципом относительности Эйнштейна; кроме того этот термин звучит достаточно обыденно и не апеллирует к неизвестным читателю этой книги понятиям вроде «флага», «изотропной плоскости» или «параболической метрики». Однако первое достоинство названия «полуевклидова геометрия» могут оценить лишь лица, знакомые с «псевдоевклидовой геометрией Минковского»; второе же является одновременно и недостатком, поскольку для читателя, неискушенного в современной научной терминологии, наименование «полуевклидова геометрия» будет звучать слишком уж «чудно» (это нечто вроде «евклидовой полугсометрии»?). Наконец, наиболее укоренившееся за последние годы название «геометрия Галилея» исторически неточно — Галилео Галилей, творчество которого относится к началу XVII столетия, разумеется, не знал этой геометрии, так как идея о существовании ряда равноправных геометрических систем относится к числу наибольших научных достижений XIX века. Более точным является наименование «геометрия, связанная с принципом относительности Галилея», близкое к названию этой книги, однако оно слишком длинно для того, чтобы его можно было употреблять систематически. Вот почему мы все же остановились здесь на названии «(неевклидова) геометрия Галилея», некоторым оправданием которого может служить та блистательная ясность и полнота, с которой сформулировал Галилей свой «принцип относительности», непосредственно приводящий к рассматриваемой (неевклидовой!) геометрии.
      Наконец, несколько слов о структуре книги. Она является нестандартной: наличие в книге обширного Введения, состоящего из двух отдельных параграфов, Заключения, состоящего из трех цараграфов, двух Приложений, обстоятельного списка литературы, даже непривычно (или здесь следует сказать «неприлично»?) большой объем настоящего Предисловия — все это, конечно, не часто встречается в сочинениях, рассчитанных на начинающего читателя, частично даже на школьника. Эта сложная структура книги связана как с необычностью темы (предпослать книге длинное Предисловие меня вынудило то обстоятельство, что, как я убедился, даже само ее название вызывает известное недоумение), так и (главным образом!) с ориентацией на разные категории читателей. Ясно, что Литература (в которой, впрочем, собрано много доступных малоопытному читателю книг и статей) обращена в первую очередь к преподавателю; учащийся средней школы может полностью ее игнорировать. Также и текст, напечатанный мелким шрифтом (частично он обращен к учителю математики средней школы) может
      быть свободно пропущен без ущерба для понимания остальной части книги. Ознакомление с Введением необходимо для понимания всего последующего. В противоположность этому Заключение вполне может быть при первом чтении и опущено; однако мне кажется, что в дальнейшем, после некоторого перерыва быть может, целесообразно вернуться к §§ 10 и 11 Заключения. При этом следует иметь в виду, что написано Заключение довольно конспективно — так, например, автор никакие имел своей целью увеличить на единицу и без того достаточно обширный список существующих в русской литературе популярных изложений основ (специальной) теории относительности Эйнштейна, и весьма краткий § 10 бесспорно будет легче для тех читателей, которые предварительно ознакомились с какой-либо из перечисленных на стр. 301—302 книг [37]— [53в](в первую очередь здесь хочется рекомендовать замечательные книги Макса Борна [38] [38а]). Посвященный «неевклидовой геомет-
      рии Минковского» § 11 также является довольно конспективным и не рассчитан на быстрое чтение. В частности, он почти не содержит доказательств упоминаемых в нем теорем; инициативному читателю можно порекомендовать попытаться найти эти доказательства самостоятельно (тут может оказаться полезной литература, указанная в конце книги). Отмечу также, чго я всюду стремился сопоставлять феномены «неевклидовой геометрии Галилея» с родственными им фактами обычной («школьной») геометрии Евклида; с этим параллельным изложением двух геометрических систем частично связан сравнительно большой объем книги.
      Специального разговора заслуживают завершающие книгу Приложения А и Б. Формально их можно считать рассчитанными на того же читателя, что и основной текст книги: они также не требуют никаких предварительных знаний и поэтому доступны даже достаточно настойчивому школьнику. Следует, однако, предупредить, что слова «достаточно настойчивому» в предыдущей фразе никак не являются лишними: крайне лаконичные по манере изложения
      (и также почти не содержащие доказательств) Приложения составляют самую сложную часть книги — они заметно труднее для понимания, чем остальные разделы, и рассчитаны на вдумчивого читателя. Мне кажется даже, что хотя в тексте Приложений п отсутствуют прямые ссылки на понятия и теоремы, незнакомые читателю с минимальной подготовкой, на которую рассчитана эта книга, фактически Приложения будут доступны лишь несколько более подготовленному читателю,— скажем, знакомому с аналитической геометрией и владеющему основами неевклидовой геометрии Лобачевского. Понятно, что весь предшествующий Приложениям материал от них никак не зависит, так что эти Приложения можно и не читать. Однако, хотя Приложения А п Б и не составляют органической части книги, они представляются достаточно важными; изложив с большими подробностями
      содержание самой простой из известных мне «неевклидовых» систем, я счел уместным также слегка приоткрыть перед читателем дверь в обширный мир иных, более сложных «геометрий», включающих «геометрию Галилея» как простейший частный случай, — и в меру своего умения выполнил это в Приложениях к настоящей книге.
      Нумерация формул является независимой в пределах каждой главы книги; иными словами эта нумерация начинается с формулы (1) во Введении и затем снова — в главе Г в главе 11, в Заключении и в Приложениях. Поэтому ссылка на какую-либо формулу в тексте книги, не сопровождаемая указанием страницы или номера параграфа, отсылает читателя к формуле с соответствующим номером в той же главе (причем самостоятельными главами считаются также Введение, Заключение и Приложения); во всех остальных случаях наряду с номером формулы обязательно указывается параграф книги, в котором эта формула приведена, или страница, на которой она напечатана.
      В основу книги положено содержание лекции, которую я прочел в 1956/57 учебном году учащимся двух старших классов московских школ — участникам Школьного математического кружка при Московском государственном университете. В 1963,64 учебном году эта лекция в несколько расширенном виде была повторена в ряде выступлений перед учащимися восьмых классов, посещавшими Вечернюю математическую школу при МГУ; эти выступления были подытожены зачетом, который сдало несколько десятков школьников. Некоторое отражение в настоящей книге нашел также (менее элементарный и значительно больший по объему) специальный курс «Принципы относительности и неевклидовы геометрии», прочитанный автором некогда в МГПИ им. В. И. Ленина.
      Приятная обязанность автора каждой книги состоит в том, чтобы поблагодарить лиц, которые ему помогли. Я рад исполнить здесь этот долг и выразить искреннюю признательность Г. Б. Гуревичу, дружеская критика которого бесспорно пошла на пользу этой книге. Традиционной уже для моих книг становится глубокая благодарность их редактору <Г. И. Кизнер, помощь которой в подготовке окончательного варианта книги я склонен ценить весьма высоко. Наконец, я не могу не отметить того огромного труда, который вложила М. С. Королева в изготовление эскизов чертежей — без ее помощи и энтузиазма настоящая книга вряд ли бы смогла увидеть свет.
      И. М. Яглом
      Март 1967 г.