Геометрические приложения
понятия о центре тяжести

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Эта книга выросла из бесед, проведенных мною в 1953— 1956 гг. в математических кружках школьников г. Смоленска. Материалы книги были также использованы в работе студенческого математического кружка и семинара по элементарной математике в Смоленском педагогическом институте.
      Настоящая книга в основном рассчитана на студентов-математиков и учащихся старших классов средней школы.
      Надеюсь, что книга привлечет к себе внимание и других лиц, интересующихся математикой и механикой.
      Стремление сделать книгу более доступной для широкого круга лиц существенно сказалось на стиле, на уровне строгости изложения, на степени детальности рассмотрения отдельных вопросов и т. п.
      Предупредительной звездочкой (*) отмечены те задачи и отдельные параграфы, которые трудны для девятиклассника; их можно пропустить без ущерба для понимания дальнейшего текста. Наиболее трудные (с точки зрения ученика десятого класса) задачи и параграфы, которые можно пропустить при первом чтении, отмечены двумя звездочками (**).
      Не все задачи равноценны. Наиболее интересные задачи отмечены восклицательным знаком (!).
      Книга рассчитана на активную самостоятельную работу читателя. В связи с этим материал дается в виде набора задач, снабженных ответами, указаниями и решениями.
      В § 1 вводится понятие центра тяжести нескольких материальных точек на основании «правила рычага» (по Архимеду). С помощью двух простейших свойств центра тяжести решаются около полутора десятков геометрических затач, главным образом, на доказательство предложений о прохождении некоторых прямых через отну и ту же точку, или на доказательство того, что какие-то точки лежат на одной прямой. На отдельных примерах иллюстрируется также возможность применения понятия о центре тяжести для вычисления некоторых элементов треугольника и для решения задач на построение.
      Мне много раз приходилось проводить занятия школьных математических кружков, и занятия по материалу § 1 этой книги, как правило, оказывались среди наиболее удачных. Поэтому считаю, что материал § 1 может быть рекомендован учителю как тема для интересного занятия математического кружка (даже не сильного состава).
      В § 2 вводится понятие статического момента; даются формулы, позволяющие определить положение центра тяжести системы материальных точек; эти формулы применяются для доказательства неравенств и для вычисления сумм; приводится обоснование метода, примененного в § 1. Задачи 11 —13, задачи 4—7, задачи 15—20 и задачи на вычисление сумм с помощью взвешивания могут послужить темами для отдельных сообщений в математическом кружке.
      Параграфы 3, 4 посвящены задачам, связанным с теоремами Чевы и Менелая. Эти параграфы можно использовать для занятия кружка со сравнительно сильным составом.
      В §§ 5, 6 вводится понятие материальной точки с отрицательной массой; дается представление о барицентрических координатах и излагаются простейшие идеи барицентрического исчисления. Эти параграфы несколько труднее других.
      Параграф 7 посвящен геометрическим приложениям одной замечательной теоремы Лагранжа, еще не нашедшей достойной оценки в преподавании геометрии. Этот параграф может послужить темой для занятий математического кружка девятых-десятых классов. В конце параграфа теорема Лагранжа применяется для доказательства некоторых неравенств, в частности, неравенства Буняковского—Шварца.
      Параграф 8 содержит определения понятий центров тяжести нитей и пластинок (эти понятия нужны для § 9). Набор задач, посвященных геометрическим свойствам центров тяжести отдельных фигур, может быть использован в качестве темы занятия математического или физического кружка восьмых-десятых классов. В конце этого параграфа излагается идея метода «взвешивания площадей», разработанного Архимедом.
      Задачи 1 и 3—6 из § 8 вместе с задачей 3 из § 1 могут послужить темой сообщения «Где находится центр тяжести треугольника??.
      Параграф 9 содержит материал для занятий кружка десятого класса (третья четверть) по теме «Теоремы Гюльдена». Я твердо убежден, что некоторые из этих задач (в частности № 1, 2, 7, 9, 14 и др.) полезно включить в обязательные задания для учащихся десятых классов вместо малосодержательных чисто калькуляционных упражнений.
      Параграф 10 знакомит читателя с возможностью изображения химических систем с помощью материальных точек и с принятыми в физико-химическом анализе приемами использования понятия о центре тяжести (треугольник Гиббса и родственные вопросы). Показывается, как в ряде случаев чисто химические задачи, касающиеся растворов, смесей, сплавов и т. п., очень легко и просто решаются на основании соображений статики. Этот параграф можно использовать для занятия математического или химического кружка восьмых-десятых классов.
      В «Приложении» приведены краткие биографические сведения о математиках, с именами которых читатель встречается при чтении книги.
      Наряду с известными задачами в книгу включены также некоторые новые задачи, которые мне раньше нигде не встречались. Для некоторых задач в настоящей книге, по-видимому, впервые указываются решения, основанные на «механических соображениях».
      Понятно, чго число задач в книге можно было бы значительно увеличить, например, за счет использования отдельных фактов из геометрии треугольника и геометрии тетраэдра. Но мне не хотелось в обилии задач утопить те идеи, которые положены в основу этой книги. Ибо цель книги — только ознакомление читателя с некоторыми идеями, а не изложение какого-нибудь раздела геометрии на базе этих идей.
      Как пользоваться этой книгой читателю, решившему прочесть ее (или какую-либо главу) целиком?
      Желательно, чтобы такой читатель после прочтения условия той или иной задачи попытался ее самостоятельно решить. Для самопроверки он может посмотреть в «Ответы». Если же у него возникают затруднения, то ему нужно обратиться к «Указаниям». Иногда указания к задаче даны частями — «порциями» (отмечены буквами а, б, в, ...). Прочитав первую «порцию» указаний, надо попытаться дальше самостоятельно решить задачу. Лишь в том случае, когда опять возни-
      кают серьезные затруднения, можно прочесть вторую «порцию» указаний; и опять нужно дальше попытаться решить задачу самостоятельно, и т. д.
      После того, как задача решена, полезно сравнить свое решение с тем, которое приводится в книге.
      Читать подряд сразу после условия задачи все имеющиеся к ней указания и ее решение тоже возможно, но это менее желательно и значительно менее полезно, чем самостоятельное решение задачи.
      Чтобы облегчить читателю работу с этой книгой, после каждой задачи приводятся в скобках страницы, где находятся ответ, указания и решение задачи.
      Так, например, запись «У. 119, Р. 128» означает, что указания к задаче имеются на стр. 119, а решение — на стр. 128; ответа нет.
      Несколько слов к читателю, не располагающему временем для прочтения книги целиком.
      Советуем ему предварительно прочесть начало § 1 до задач 1—3 включительно и в § 2 начало и задачи 2, 8, 10, 11, 14. После этого он может выбрать для чтения любой параграф по своему усмотрению. При этом ему, может быть, иной раз и придется обратиться за справками к другим параграфам, но это его никак не затруднит.
      При недостатке времени читатель может после прочтения условия той или иной задачи сразу (если задача его заинтересует) приступить к чтению ее решения. Если же условие задачи ему не покажется интересным, то полезно принять к сведению результат, сформулированный в этом условии; затем можно (даже не заглядывая в «Указания» или «Решения») приступить к чтению следующей задачи. Задачи, отмеченные предупредительными звездочками, такой читатель может пропустить, даже не читая их условий.
      Перечислим для такого читателя наиболее доступные места книги, которые позволят ему получить представление о наиболее интересных из ее идей. Введение; начало § 1 и задачи 1—8; начало § 2 и задачи 1, 2, 4—11; из § 3 — задачи 1—8; из § 4 — задачу 1; из § 5 — начало (до мелкого шрифта) и задачу 1; из § 6 — начало (стр. 54—62) и раздел «Идея барицентрических координат»; из § 7 — начало (включая доказательство теоремы Лагранжа), задачи 4, 5, 12, 16—18, 20; из § 8 — начало (до задачи 3 включительно),
      задачи 7, 10, а также «Способ Архимеда взвешивания площадей»; из § 9 — начало, задачи 1—5, 7—12; из § Ю — начало; задачи 1—4, 9—13 и 17—19.
      Приношу свою благодарность И. М. Яглому, прочитавшему эту книгу в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний, которые помогли улучшить книгу.
      Я благодарен А. Ф. Лапко за ту добросовестность, с которой он редактировал эту книгу. А. Ф. Лапко тщательно проверил решения всех задач, улучшил некоторые из этих решений, а в двух случаях предложил свои варианты решений, которые включены в книгу (см. § 2, задачи № 6 н 7, «Другое решение»), указал мне на отдельные пропуски и погрешности в рукописи.
      Буду признателен всем читателям, которые сообщат мне свои замечания по этой книге (адрес: г. Смоленск, ул. Интернациональная, 1, кв. 19).
      М. Балк
     
      ВВЕДЕНИЕ
      Понятие о центре тяжести было впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим геометром Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор это понятие стало одним из важнейших в механике.
      Но не только в механике оно оказалось полезным.
      Может показаться удивительным, что понятие о центре тяжести позволило сравнительно просто решить изрядное число грудных чисто геометрических задач. При этом решения получаются часто очень наглядными.
      Со времен Архимеда геометры не раз обращались к этому понятию, применяя его совершенно неожиданным образом в таких вопросах, где ни о какой механике как будто и речи не было. Уже сам Архимед использовал понятие о центре тяжести для определения площади параболического сегмента (т. е. куска плоскости, ограниченного параболой и пересекающей ее прямой) п для вычисления объема шара.
      Греческий геометр Папп, живший примерно через 500 лет после Архимеда, уже знал приемы вычисления с помощью понятия о центре тяжести объемов и поверхностей некоторых тел. Через 13 веков после Паппа, в XVII веке, эти приемы нашел (видимо, самостоятельно) швейцарский геометр Поль Гюльдён, посвятивший изучению понятия о центре тяжести обширный четырехтомный труд «Центробарика» (т. е. учение о центрах тяжести).
      В XVII веке итальянец Джованни Чева интересовался вопросом о том, при каких условиях некоторые линии треугольника проходят через одну и ту же точку. Интересная теорема, которую он в связи с этим открыл, была им доказана с помощью понятия о центре тяжести.
      Швейцарец Симон Льюилье в начале прошлого века, около 150 лет назад, применял понятие о центре тяжести для
      разыскания геометрических мест, а его современник, известный французский общественный деятель и математик Лазарь Карнб, с помощью понятия о центре тяжести устанавливал, как выражаются одни элементы геометрических фигур через другие.
      Но, пожалуй, самым интересным геометрическим исследованием, основанным на понятии о центре тяжести, была книга «Барицентрическое исчисление» (т. е. исчисление центров тяжести) немецкого математика Августа Фердинанда Мёбиуса, опубликованная 130 лет назад. В этом замечательном труде Мебиус сумел целую геометрическую дисциплину, известную сейчас под названием «проективная геометрия», построить на понятии о центре тяжести.
      Важным аппаратом для математики и ее приложений в других областях является векторное исчисление. В трудах основателей векторного исчисления (например, у немца Германа Грассмана) понятие о центре тяжести было краеугольным камнем.
      Понятие о центре тяжести находит все новые и новые применения для решения задач элементарной и высшей математики. Так, сравнительно недавно было подмечено, что с помощью понятия о центре тяжести можно легко получить некоторые неравенства.
      Применение идей и методов одной дисциплины к другой всегда, когда это оказывалось возможным, давало замечательные результаты.
      Применение стереометрии позволяет сравнительно легко решить весьма трудные планиметрические задачи (например, задачу Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных окружностей). Применение Декартом алгебры к геометрии путем введения координат было подлинной революцией в истории математики. Число таких примеров можно значительно увеличить.
      Применение методов геометрии и алгебры дает возможность справиться со многими задачами механики.
      Ниже мы увидим на большом числе примеров, как некоторые идеи механики могут в свою очередь служить подспорьем для геометрии, как применение этих идей позволяет просто решить трудные геометрические задачи.
     
      О МАТЕМАТИКАХ, УПОМЯНУТЫХ В ЭТОЙ КНИГЕ
      Архимед (287—212 до н. э.) — гениальный древнегреческий математик. Родился и почти всю жизнь провел в Сиракузах (Сицилия). Во время осады Сиракуз римлянами оказал большие услуги родному городу, изобретая различные военные орудия и заградительные сооружения. Был убит при взятии города римлянами.
      Архимед впервые изучил понятие о центре тяжести. Пользуясь приемом «взвешивания площадей , он вычислил площадь параболического сегмента. Аналогичным приемом он впервые вычислил объем шара и шарового сегмента.
      В интересной работе «Об измерении круга* он показывает, что число т: (отношение длины окружности к ее диаметру) заключено между 3-^- и 3^. Тем самым он дает
      приближение для и, достаточное почти во всех случаях, встречающихся на практике. Архимед нашел формулы для объема и поверхности шара. Он впервые обнаружил и изучил так называемые полуправильные многогранники, носящие его имя (они составлены из правильных многоугольников нескольких различных наименований, в то время как правильные многогранники составлены из правильных многоугольников одного и того же наименования; детальнее о полуправильных телах Архимеда см., например, в книге Д. И. Перепелкина «Курс элементарной геометрии*, ч. 11). Архимед указал любопытный способ деления угла на три равные части посредством циркуля и линейки с двумя пометками (если нет пометок на линейке, то задача вовсе не разрешима). Им же указан приближенный способ для деления окружности на семь равных частей, который применяют до сих пор.
      Архимед в своих исследованиях пользуется, по существу, идеями интегрального исчисления, которое было развито лишь в XVII—XVIII веках, через 2000 лет после его смерти.
      Большой интерес представляют работы Архимеда по арифметике (сочинение ' Исчисление песчинок')) и но гидростатике («О плавающих телах-/, где дан известный «закон Архимеда ).
      Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) — один из величайших математиков мира, внесший существенный вклад почти во все отрасли математики.
      Еще в детские годы Гаусса его исключительные способности к математике и языкознанию привлекли к себе внимание его земляков, и это позволило ему, сыну бедного водопроводчика из Брауншвейга (Германия), получить образование. Гаусс почти 50 лет занимал кафедру математики и астрономии в Геттингенском университете (Германия), в котором раньше учился. Уже в 19 лет Гаусс сделал замечательное открытие: он полностью выяснил, в каких случаях возможно построить правильный /г-угольник циркулем и линейкой. Й 1799 г. Гаусс доказал так называемую «основную теорему алгебры» о существовании корня у всякого алгебраического уравнения /z-й степени. Его книга «Арифметические исследования, написанная им в 1796—1801 гг., послужила основой для современной теории чисел.
      В 1801 г. была обнаружена первая малая планета, названная Церерой. Однако после нескольких наблюдений астрономы ее потеряли из виду. Гаусс разработал способ, позволяющий по трем наблюдениям восстановить всю орбиту планеты. С помощью этих вычислений было указано место, где должна была находиться Церера, и она там действительно была обнаружена.
      В связи с запросами астрономии Гаусс занялся также теорией рядов и дифференциальными уравнениями. Он опубликовал по этим разделам математического анализа фундаментальные исследования.
      Гауссу было поручено составить подробную карту Ганноверского королевства. В связи с этой работой Гаусс фактически создал новую науку «высшая геодезия» и разработал теорию поверхностей. В 1830—1840 гг. Гаусс разрабатывал отдельные вопросы теоретической физики (магнитные явления, оптика).
      Гауссу принадлежат важнейшие методы вычислительной математики (заметим, что он сам был отличным вычислителем). Независимо от Н. И. Лобачевского Гаусс пришел к идее о неевклидовой геометрии.
      Джошуа Виллард Гиббс (правильнее Джиббс, 1839— 1903 гг.) работал в областях, смежных для химии, физики и математики. Наиболее интересные его работы относятся к термодинамике.
      Гиббс родился и почти всю свою жизнь прожил в г. Нью-Хевене (США), где свыше 30 лет был профессором математической физики Иэльского университета.
      В физико-химическом анализе фундаментальное значение имеет гак называемое «правило фаз» Гиббса, позволившее объединить многочисленные разрозненные экспериментальные результаты.
      Поль Гюльдён (но-немецкиПаульГульдин, 1577—1643 гг.), родом из Швейцарии. В 20 лет стал монахом ордена иезуитов. Преподавал математику в иезуитских училищах в Риме и Граце (Австрия). Его четырехтомный труд «Центробарика* был опубликован в 1635—1641 гг. Гюльден резко критиковал тех математиков (например, Кеплера и Кавальери), которые использовали в математических рассуждениях идею предельного перехода. Он считал такие рассуждения ненаучными. Любопытно, что именно на основании идеи предельного перехода и доказывают сейчас «теоремы Гюльдена».
      Жирар Дезарг (1593—1662 гг.) — французский геометр; архитектор и военный инженер по профессии. Один из основоположников «проективной геометрии». Идеи Дезарга были поняты лишь немногими из его современников и были развиты только лет через 200 после его смерти в трудах Понселё, Штейнера, Брианшона и других геометров.
      Жозёф Жергон (1771 —1859 гг.)—французский геометр, издатель известного математического журнала. Из исследований Жергона по элементарной математике укажем на интересные работы, посвященные геометрии треугольника. Оригинален стереометрический метод, примененный Жергоном для решения задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных (см., например, об этом в «Теории геометрических построений» А. Адлера).
      Лазарь Карно (1753—1823 гг.) — видный общественный деятель Франции эпохи французской буржуазной революции. Когда реакционные правительства Европы напали на молодую французскую республику, Карно руководил организацией 14 армий, выступивших против врага, и лично участвовал в сражениях. Был прозван современниками «организатором
      побед». Будучи убежденным республиканцем, Карно энергично выступал против предоставления власти Наполеону Бонапарту (в частности, против объявления Наполеона императором Франции).
      После реставрации Бурбонов в 1815 г. Карно оставил родину и прожил до смерти в Германии.
      Наиболее ценные геометрические результаты Карно собраны в книгах «Геометрия положения* (1803 г.) и «Очерк теории трансверсалей (1806 г.). Здесь он устанавливает ряд теорем, входящих сейчас в так называемую «проективную геометрию». Понятие о центре тяжести он использует, в частности, в книге «Геометрия положения», грзчем он ограничивается тем случаем, который соответствует нагрузке точек равными массами; в связи с этим он и употребляет вместо термина центр тяжести термин центр средних расстояний.
      Карно принадлежат также книги по математическому анализу ( Размышление о метафизике исчисления бесконечно малых , 1797 г.), по военно-инженерному делу (трехтомное сочинение06 обороне крепостей», 1810 г.) и по теории машин ( Опыт о машинах вообще», 1783 г.).
      Иоганн Кеплер (1571 —1630 гг.) — видный германский астроном, последователь Коперника. Открыл носящие теперь его имя законы движения планет. Кеплер впервые правильно объяснил причину приливов и отливов и природу комет, изучал рефракцию, изобрел новую систему телескопа.
      В то же время Кеплер всегда увлекался мистикой. Так, например, его большой труд Гармония мира» (в которой дается его третий закон и где рассматривается теория иолу-правильных многогранников) в основном заполнен мистическими рассуждениями о «музыке небесных движений». Кеплер во время 30-летней войны состоял при полководце Валленштейне в качестве астролога (предсказателя событий по звездам).
      В своей книге Новая стереометрия винных бочек (1615 г.) Кеплер вычисляет объемы большого числа тел, ограниченных кривыми поверхностями ( тела Кеплера ,), пользуясь фактически идеями интегрального исчисления, которые были систематически разработаны лишь более чем через полвека после Кеплера.
      Жозёф Луи Лагранж (1736—1813 гг.) был одним из виднейших математиков и механиков XVIII века. Теперь
      в учебниках по математическому анализу и теории функций обязательно встретишь формулу Лагранжа, теорему Лагранжа, ряд Лагранжа, метод Лагранжа и т. п. Лагранж вместе с Эйлером разработал такой важный раздел математического анализа, как вариационное исчисление. В своей знаменитой «Аналитической механике» он впервые формулирует важный и плодотворный «принцип возможных перемещений;,, впервые дает уравнения движения, носящие сейчас его имя.
      Лагранж родился в итальянском городе Турине, там он начал, 17 лет от роду, свою преподавательскую деятельность в артиллерийской школе. В течение двадцати лет (1766—1787) был президентом Берлинской Академии наук. Был профессором в знаменитой Французской политехнической школе, из которой вышли многие видные французские математики и инженеры.
      Готфрид Вильгельм Лейбниц(1646—1716 гг.) — гениальный ученый, оказавший громадное влияние на развитие математики. Родился в Лейпциге (Германия).
      Лейбниц вместе с И. Ньютоном делит честь открытия исчисления бесконечно малых (дифференциального и интегрального исчислений) — открытия, послужившего поворотным пунктом в истории математики.
      Лейбниц отличался исключительной разносторонностью и необычайным богатством творческой фантазии. Он проявил себя не только как один из величайших математиков, но и как выдающийся философ, историк, юрист, дипломат, языковед. Он изобрел одну из первых вычислительных машин. Лейбниц впервые высказал идеи, предвосхитившие важный раздел современной математики — математическую логику.
      Симон Люильё (L’Huillier) (1750—1810 гг.) — швейцарский математик и философ. В течение многих лет (начиная с 1775 г.) жил и работал в Варшаве. Работал в различных областях геометрии, алгебры и анализа. В частности, хорошо известны выведенные им формулы сферической тригонометрии («формулы Люилье»),
      В качестве примера геометрической задачи, которой занимался Люилье, можно назвать задачу о вписании в данную окружность многоу гольника, стороны которого проходят через данные точки. Его исследования о применении понятия центра тяжести к решению геометрических задач (главным образом, на разыскание геометрических мест) собраны им, в основном, в книге «Элементы геометрического и алгебраического анализа,
      примененные к разысканию геометрических мест» (Париж, 1809).
      Август Фердинанд Мёбиус (1790—1868 гг.) — видный немецкий геометр и астроном. Жил в Лейпциге, где долгое время был директором обсерватории и профессором университета. Известен прежде всего своим барицентрическим методом (1827), который был им применен для разработки проективной геометрии. В 1858 г. Мёбиус первый обнаружил существование поверхностей, имеющих только одну сторону (О «.листе Мёбиуса см., например, в книге «Что такое математика» Р. Куранга и Г. Роббинса). Мёбиус занимался изучением геометрического преобразования, известного под названием «инверсия . Большой интерес представляют так же работы Мёбиуса по механике.
      Менелай из Александрии (I век н. э.) — греческий геометр и астроном. Много занимался вопросами сферической геометрии (т. е. изучением геометрических фигур на поверхности шара), в виду их приложений к астрономии. Теорема Менелая послужила отправным пунктом теории трансверсалей Лазаря Карно.
      Палп из Александрии (IV в. н. э.) — последний крупный математик древней Греции. Из его сочинений до нас дошли только Математические коллекции», в которых собрано много интересных теорем. Видимо, некоторые из них принадлежат самому Паппу.
      Мы уже выше говорили о теоремах Паппа — Гюльдена и теореме Паппа — Паскаля. Здесь уместно привести еще одну теорему Паппа: «Центр тяжести треугольника совпадает с центром тяжести другого треугольника, вершины которого лежат на сторонах данного и делят их в одном и том же отношении». Паппу принадлежит также одна теорема, обобщающая теорему Пифагора.
      Джованни Чева (1648—1734 гг.) — итальянский геометр. По профессии инженер-гидравлик. Работал и умер в г. Мантуе. Считался также видным специалистом в области экономики. В его сочинении «О прямых линиях-? (1678 г.) он дает помимо механического доказательства своей теоремы еще два чисто геометрических доказательства.
      Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) — один из величайших математиков всех времен. Работал во всех отраслях математики, решая с изумительной находчивостью многие труднейшие
      задачи. Оставил громадное научное наследство (известны 865 его сочинений). Новые сочинения Эйлера печатались еще в течение 80 лет после его смерти.
      Эйлер родился в Базеле (Швейцария) в семье пастора. В 1727 г. он был приглашен на работу в открывшуюся тогда Петербургскую Академию наук.
      В России он прожил с перерывом (с 1741 по 1766 г. он жил в Берлине) свыше 30 лет. Большинство его работ опубликовано в изданиях С.-Петербургской Академии наук. Геометрические теоремы Эйлера, о которых мы говорили выше, опубликованы там же.
      Хотя Эйлер в 1736 г. ослеп на один глаз (после выполнения срочной вычислительной работы), а лет через 30 ослеп и на второй глаз, это не сказалось ни на качестве, ни на количестве его научной продукции. Особенно многочисленны его работы в области математического анализа, где постоянно можно встретиться с формулами Эйлера, методами Эйлера, функциями Эйлера, числами Эйлера, теоремами Эйлера и т. д. Эйлера можно по праву назвать одним из создателей интегрального исчисления и вариационного исчисления (два важных раздела «высшей математики»).
      Большое влияние на развитие науки оказали труды Эйлера по теории чисел и другим разделам математики, по астрономии (например, Теория движения луны»), по мореплаванию (книга «Морская наука»), по артиллерии, по оптике и другим разделам физики.