Геометрические неравенства
и задачи на максимум и минимум

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Эта книга представляет собой четвертый из сборников вадач, отражающих опыт работы школьного математического кружка при Московском государственном университете и математических олимпиад московских школьниковг). Первый из сборников был посвящен арифметике и алгебре; в него, в частности, был включен раздел, посвященный неравенствам, и значительное место заняли алгебраические и арифметические задачи на отыскание наибольших и наименьших величин. Эта книга имела наиболее счастливую судьбу: она выдержала четыре издания, переводилась на языки национальных республик и на иностранные языки и, видимо, обрела свою читательскую аудиторию. Однако судьба двух последующих книг, посвященных геометрии, была совсем иной.
      Вторая книга серии была посвящена планиметрическим задачам. Впервые она вышла в свет в 1952 г. и до 1967 г. не переиздавалась. Подбор нешаблонных задач геометрического содержания, как о том свидетельствует весь опыт работы, школьного математического кружка при МГУ и математических олимпиад, является гораздо более трудным делом, чем составление арифметических, алгебраических, комбинаторных или чисто логических задач, — и ч. 2 книги «Избранные задачи и теоремы...», особенно в ее первом издании 1952 г., была, в очень большой своей части, заполнена довольно стандартными задачами на построение и доказательство, решения которых достаточно далеки от тех приемов и методов, которые встречаются сегодня в математической науке. В 1967 г., в первую очередь благодаря помощи В. П. Паламодова, удалось выпустить новое, полностью переработанное издание этой книги; однако и в своем последнем варианте она в меньшей мере является «олимпиад-ским»х) задачником, чем первая книга серии «Библиотека математического кружка». Третья книга серии, посвященная стереометрии (ее основным составителем является Н. Н. Ченцов), вышла в свет в 1954 г.; она не переиздавалась ни разу, хотя работа над подготовкой нового ее издания ведется уже давно.
      Работа над сборниками геометрических задач так затянулась еще и потому, что составители не захотели пойти по простейшему пути. В то время как геометрия в целом переживает в настоящее время определенный кризис, связанный с глубокой перестройкой всей математической науки, один довольно узкий раздел элементарной геометрии бесспорно находится сегодня на подъеме — это учение о так называемых «геометрических экстремальных2) задачах», т. е. о задачах, связанных с отысканием наибольших и наименьших значений геометрических величин и с нахождением численных
      *) То есть отличающимся нестандартностью условий задач и методов их решения (составители предлагаемых на математических соревнованиях задач должны стремиться исключить возможность того, что кто-либо из участников соревнования уже раньше встречался со сходной задачей или с рассуждением, близким к рассуждению, приводящему к решению задачи).
      2) Математический термин «экстремум» объединяет понятия наибольшего значения, или «максимума», и наименьшего значения, или «минимума»; поэтому «экстремальные задачи» — это задачи на отыскание максимумов и минимумов (т. е. наибольших и наименьших значений).
      оценок, ставящих своей целью распознавание'В- каком-либо смысле «выгодных» или «экономичных» геометрических конфигураций. Тематика этого рода породила в послевоенные годы даже целые большие направления, своего рода науки, которую смело можно назвать «элементарной геометрией второй половины XX века». Интерес к геометрическим экстремальным задачам естественно связать с расцветом тех направлений математики, которые относятся к отысканию оптимальных или экономичных режимов работы определенных механизмов или сложных систем. В последние десятилетия оформился целый ряд научных направлений («линейное программирование», «динамическое планирование», «теория игр», «исследование операций», «оптимальное управление», «теория информации» и т. д.), которые специально занимаются задачами такого рода; в некоторых из них находит прямое применение дискретная геометрия.
      Таким образом, сборники геометрических задач можно было сделать более яркими и даже, в определенном смысле, более научно актуальными, резко увеличив в них долю «экстремальных» задач. Однако при переработке 2-й части «Избранных задач и теорем» ряд «экстремальных» геометрических задач, содержавшихся в 1-м издании этой книги, был даже исключен из вышедшего в свет в 1967 г. ее 2-го издания2). Это обстоятельство тесно связано с возросшей ролью задач на оценки геометрических величин и геометрические неравенства; нам казалось, что таким задачам уместно посвятить отдельный сборник. Более того, при работе над настоящей книгой мы убедились, что количество заслуживающих внимания геометрических экстремальных задач таково, что их целесообразно разбить на два отдельных сборника, формально совершенно независимых и даже имеющих несколько разный характер: в то время как эта книга ориентирована, в первую очередь, на разбор некоторых «классических» геометрических задач на максимум и минимум (см. цикл задач 3) и непосредственно их продолжающих экстремальных геометрических проблем (цикл задач 4), подготовляемая следующая книга той же серии в значительно большей степени будет порождена теми направлениями геометрии, которые принято именовать «дискретной геометрией» и «комбинаторной геометрией».
      Эта книга представляет собой очередной выпуск серии, отражающей долголетний опыт школьного математического кружка при МГУ и московских математических олимпиад — преемственность здесь подчеркивается самим списком ее авторов. Формулировки некоторых задач сборника (например, задач 38 — 42) в какой-то степени навеяны новыми направлениями математики; однако наряду с этим здесь имеется большое число «классических задач на геометрические экстремумы», история которых восходит к XIX веку или является еще более древней (таковы, в частности, многие задачи цикла 3). Но еще важнее то, что решения собранных здесь задач, как правило, следуют традициям, сложившимся в школьной математике в начале этого века и очень сильным в течение того периода работы школьного математического кружка при МГУ, когда самой яркой фигурой кружка был студент механико-математического факультета Додик Шклярский1) — другими словами, «прямым методам» решения экстремальных задач здесь определенно отдается предпочтение перед «косвенными методами». Последнее обстоятельство представляется нам важным; поэтому мы позволим себе остановиться на нем подробнее.
      Хорошо известно, что решения «экстремальных» задач, независимо от того, относятся ли они к арифметике, алгебре, геометрии или математическому анализу, могут строиться двумя принципиально различными путями. Прямым называется такое доказательство какого-либо экстремального свойства, в котором, скажем, определенная фигура непосредственно сравнивается с произвольной другой фигурой, удовлетворяющей всем условиям поставленной задачи, и показывается, что первая фигура лучше (или не хуже) каждой другой. Напротив, косвенное доказательство сводится к рассуждению, показывающему, что все фигура, кроме какой-то одной (или нескольких), не могут служить решением задачи, поскольку для каждой такой фигуры можно найтн другую, лучшую? чем она, откуда уже и делается вывод о том, что решением задачи является та единственная фигура, которую мы не можем «улучшить» (или одна или большее число из тех нескольких фигур, которые не могут быть улучшены). Однако рассуждение такого рода содержит существенный пробел, заключающийся в том, что если наша задача вовсе не имеет решения, то полученный этим путем вывод может оказаться ошибочным; доказательство же существования решения задачи требует использования совсем других соображений, которые естественно отнести к топологии — «младшей сестре» геометрии, возникшей в XX веке и сегодня успешно конкурирующей с классической геометрией, из которой она выделилась.
      Силу косвенных методов в геометрических экстремальных задачах впервые в полной мере оценил замечательный швейцарский геометр первой половины XIX века Якоб Штейнер; большое место занимали они и в творчестве современника Штейнера, выдающегося немецкого аналиста Лежена Дирихле.
      Во второй половине XIX века с резкой критикой Штейнера и Дирихле выступил знаменитый Карл Вейерштрасс; его конструктивная критика и связанные с ней исследования явились тем зерном, из которого впоследствии выросла топология — но одновременно они настолько сильно скомпрометировали косвенные методы решения.экстремальных геометрических проблем, что в первой половине нашего века последние повсеместно считались «ненаучными» (или, во всяком случае, недостаточно строгими). «Необходимо особо остановиться на задачах отыскания наибольшего или наименьшего значения..., — писал в 1947 г. составитель решений к последним изданиям «Элементарной геометрии» знаменитого Жака Адамара проф. Д. И. Перепелкин. — Дело в том, что в более трудных задачах такого рода автор прямо рекомендует решать задачу, исходя из предположения, что существует фигура, для которой имеет место экстремум. Такой путь решения, более или менее естественный в ту эпоху, когда составлялась книга Адамара 1), мы считаем в настоящее Время неприемлемым...» (см. [13], стр. 13 — 14). Однако автор относящейся к следующему историческому периоду книги [21] присопоставлении прямых и косвенных методов решения экстремальных геометрических задач проявляет уже несколько большую умеренность. «Если оставить в стороне соображения эстетического и дидактического порядка, — говорит он, — то косвенный метод представляется более, естественным и, вообще говоря, вероятно, также и более целесообразным. Если иметь в виду лишь определение пока еще неизвестной экстремальной фигуры, то естественно отложить на дальнейшее вопрос о ее существовании; прежде всего следует задаться- вопросом о том, в каких случаях (и каким образом) заданная фигура может быть улучшена. При этом... косвенный метод доказательства не является вполне элементарным и чисто геометрическим...
      Обратимся теперь к прямому методу доказательства, который уже в силу того, что он является прямым, представляется более убедительным. Здесь вопросы существования не приходится ставить отдельно, поскольку они автоматически решаются в процессе доказательства. Кроме того, прямое доказательство часто удается свести к самым простым предложениям элементарной геометрии, в то время как в косвенном методе это принципиально невозможно. Но зато прямое доказательство часто требует большего искусства; поэтому исторически такие доказательства находились, как правило, позднее, когда уже были известны менее изящные косвенные решения соответствующих задач» (см. [21], стр. 26 — 27).
      Мы столь подробно воспроизвели разные мнения о соотношении прямых и косвенных методов решения задач на максимум и минимум, потому что считаем этот вопрос весьма принципиальным. При этом нам кажется, что если говорить о будущем, то оно бесспорно выскажется в пользу косвенных методов (значение которых в современной прикладной математике во много раз превосходит роль прямых методов). Те соображения эстетического порядка, в которых многие авторы видят дополнительные аргументы в пользу прямых методов, ни в коем случае не следует принимать во внимание: прямые методы «красивее» косвенных лишь в силу своей большей сложности, подобно тому как старинные, весьма изысканные методы нахождения площадей криволинейных фигур кажутся более красивыми, чем вытеснившая их автоматическая процедура решения соответствующих задач с помощью интегрального исчисления. Конечно, сложные методы, требующие отточенного мастерства, кажутся нам красивее простых приемов, связанных с использованием в решении задачи адекватного математического аппарата; однако они неизбежно уступают место этим простым приемам. Также и утверждение о «не-эдементарности» косвенных методов, связанных с необходимостью давать здесь доказательство существования, имеет, быть может, чисто временный характер, поскольку трудно предсказать, как изменится за ближайшие десятилетия элементарная геометрия. Однако сегодня в задачнике для школьников приходится предпочесть прямые методы решения экстремальных задач, поскольку пока мы не имеем доступной литературы, на которую можно было бы сослаться в связи с теоремами существования *). По этой причине и в настоящей книге рассматриваются почти исключительно прямые методы решения задач на максимум и минимум; однако читателю хочется порекомендовать продумать полученные результаты также и с позиций статьи [1] (см. также Дополнение I к книге [30]), резко противоречащей традициям школьного математического кружка при МГУ, но отражающей некоторые важные методологические установки наших дней.
      Эта книга содержит 120 задач, разбитых на 4 цикла, причем деление на циклы в значительной степени является условным: легко, например, усмотреть глубокое родство отнесенных к разным циклам задач 46 и 94а), 47 и 94в), 75 и 104а) или 81а) и 1046). Весь текст разбит на три части: «Задачи», «Решения» и напечатанные в конце книги «Ответы и указания» ко всем без исключения задачам. Предполагается, что читатель книги сначала попробует решить задачу самостоятельно; в случае неудачи рекомендуется посмотреть в последней части книги указание (или ответ, который тоже может подсказать решение задачи) и продолжать думать над задачей; решение же следует читать только после продолжительного раздумья над задачей или после того, как ее удалось решить 2). Приложенный к книге список литературы (см. стр. 313 — 318), ни в какой мере не претендующий на полноту и не исчерпывающий все использованные автором источники, обращен более к преподавателю, чем к учащемуся; он может оказаться полезным в случае использования книги в работе (школьного или студенческого) математического кружка.
      В работе над этой книгой автору существенно помогли ветераны школьного математического кружка при МГУ В.Г. Болтянский и Л. И. Головина, также как и он являющиеся учениками Д. О. Шклярского: они внимательно прочитали рукопись книги, и их замечания помогли устранить ряд дефектов изложения и улучшить решения некоторых задач. При подготовке книги было использовано первое издание 2-й части «Избранных задач и теорем...», составленное в сотрудничестве с Н. Н. Ченцовым и другими работниками школьного математического кружка при МГУ; в переработке и дополнении материала 2-й части «Избранных задач» большое участие принял В. П. Паламодов. Несколько задач сообщили автору составители геометрического выпуска [14] «Библиотечки физико-математической школы» Н. Б. Васильев (явившийся также основным составителем использованных в настоящей книге обзоров задач последних олимпиад, напечатанных в журнале «Математика в школе» — см. № 3 и 5 за 1965 г., № 5 за 1966 г., № 1 и 5 за 1967 г. и № 4 за 1969 г.) и В. Л. Гу-тенмахер, а также В. Л. Рабинович (Петропавловск-Казах-станский) и Г. А. Тоноян (Ереван). Э. Г. Готман (Арзамас), В. Л. Гутенмахер, В. Л. Рабинович и 3. А. Скопец (Ярославль) поделились с автором своими решениями некоторых задач. И. В. Летников принял значительное участие в подготовке эскизов чертежей; в этой работе ему помогал В. В. Фирсов. Мне приятно выразить здесь всем перечисленным лицам свою искреннюю признательность.
      И. М. Яглом