Геометрические преобразования

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Эта книга, состоящая из двух томов, посвящена элементарной геометрии. В течение главным образом XIX века в элементарной геометрии был накоплен весьма обширный материал. Было доказано много красивых и неожиданных теорем о кругах, треугольниках, многоугольниках н т. д.; из элементарной геометрии выделились даже целые «науки», как геометрия треугольника или геометрия тетраэдра, имеющие своеобразную, достаточно обширную тематику, свои задачи и свои методы решения этих задач.
      Однако настоящая книга вовсе не ставит своей целью лишь познакомить читателя с рядом новых для него теорем. Нам кажется, что всё сказанное выше само по себе ещё никак не оправдывает появления обстоятельных монографий, посвящённых элементарной геометрии, ибо большинство теорем элементарной геометрии, выходящих за пределы школьного курса, лишь забавно, но бесполезно и лежит далеко в стороне от основной линии развития математической науки. Но, кроме конкретных теорем, элементарная геометрия содержит ещё две большие общие идеи, которые легли в основу всего дальнейшего развития геометрии и значение которых далеко выходит даже за эти достаточно широкие рамкн. Речь идёт о дедуктивном методе и аксиоматическом обосновании геометрии, во-первых, и о геометрических преобразованиях и теоретико-групповом обосновании геометрии, во-вторых. Эти идеи очень содержательны и плодотворны; так, обе они в своём непосредственном развитии приводят к неевклидовым геометриям. Раскрытие одной из этих идей — идеи теоретико-группового обоснования геометрии — и составляет основную задачу книги.
      Книга разбита на три части, последняя из которых, составляющая содержание второго тома, значительно больше остальных; причины такого разбиения на части выясняются во введениях к частям. Два тома книги по своему характеру несколько отличны один от другого (об этом см. введение к третьей части). Первый том, посвящённый движениям и преобразованиям подобия, более непосредственно примыкает к школьному материалу; может быть, поэтому он несколько скучнее второго. Во втором томе, посвящённом линейным и круговым (иными словами — проективным и конформным) преобразованиям1), основное внимание уделяется возможности применения этих преобразований к элементарной геометрии; соответственно этому изложение иногда строится в форме указаний к решению задач (см., например, начало § 3 гл. I третьей части). При этом линейные и круговые преобразования здесь трактуются совершенно одинаково, вопреки установившейся традиции, согласно которой инверсия всегда относится к элементарной геометрии, а аффинные и проективные преобразования — к высшей. Приложения к главам I и II третьей части посвящены неевклидовой геометрии Лобачевского; они тесно примыкают к соответствующим главам и широко используют их результаты.
      Скажем ещё несколько слов о характере книги. Она рассчитана на довольно широкий круг читателей (об этом см. «Указания к пользованию книгой», стр. 8), а в таких случаях всегда приходится жертвовать интересами одних читателей ради интересов других. Автор всюду старался жертвовать интересами квалифицированных читателей и более стремился к простоте и наглядности, чем к строгости и логической отточенности: Соответственно этому в книге, например, не определяется общее понятие геометрического преобразования, так как определение интуитивно ясных понятий всегда затрудняет неопытного читателя. По этой же причине пришлось отказаться от использования направленных углов и отложить до второй главы введение направленных отрезков, хотя из-за этого некоторые рассуждения в основном тексте и в решениях задач, строго говоря, приходится считать неполными (см., например, доказательства на стр. 50). Нам кажется, что во всех этих случаях более подготовленный читатель сумеет самостоятельно дополнить изложение, а для менее подготовленного некоторая нестрогость не явится дефектом. Стремлением к элементарности объясняется и то, что расширение плоскости путём введения «идеальных» элементов в третьей части книги производится с некоторым запозданием, что вынуждает в ходе изложения вносить исправления в первоначальные формулировки.
      Наконец, те же соображения играли большую роль и при выборе терминологии. Автор ещё в школьные годы на собственном опыте убедился в том, насколько затрудняет чтение книги обилие в ней незнакомых названий, и поэтому стремился быть в этом отношении максимально экономным. При этом пришлось в некоторых случаях отказаться от использования принятых наименований, т. е. и здесь пренебречь интересами квалифицированных читателей. В книге не встречаются слова «коллинеарность», «инцидентность», «инволюция», «корреляция», «гомология» и многие другие, хотя соответствующие понятия играют значительную роль и было бы удобно иметь для них специальные термины. Вместо названия «аффинные преобразования» употребляется более простой термин «линейные преобразования» (переводящие прямые линии в прямые линии), вместо «проективных преобразований» часто говорится об «обобщённых линейных преобразованиях», вместо «конформных преобразований» (в том смысле, в каком этот термин применяется в геометрии) — о «круговых преобразованиях». Наконец, в связи с тем, что в школе говорят о «перпендикулярных прямых» и о «сложении движений», в книге речь идёт о «перпендикулярных окружностях» (а не об «ортогональных») и о «сложении преобразований» (а не об «умножении»). Разумеется, такие выражения, как «сумма проективных преобразований» (вместо «произведения») или «противоположное преобразование» (вместо «обратного»), для специалистов звучат непривычно, но для неопытного читателя они, вероятно,— окажутся понятнее распространённых.
      Заметим ещё, что в связи с отсутствием книг по геометрическим преобразованиям в ряде случаев терминология оказалась совершенно не разработанной — это относится не только к материалу § 5 гл. II третьей части, никогда не излагавшемуся в учебной или в научно-популярной литературе, но даже к совершенно элементарным вопросам, которым посвящён § 2 гл. I второй части. В этих случаях автору приходилось самому предлагать новые наименования; насколько они удачны — предоставляется судить читателям. Наоборот, в геометрии треугольника, которой посвящены многие задачи, терминология является «слишком разработанной», и автор счёл нужным почти полностью отказаться от принятых названий, которые часто создают ложное впечатление о «важности» малозначительных понятий и предложений1).
      Рукопись книги проверялась автором в его работе в Орехово-Зуевском пединституте — часть первая, гл. I из второй части и §§ 1, 2 и (частично) 4 из гл. II третьей части, вместе с введениями к частям, составляли содержание раздела «Планиметрия» курса элементарной геометрии, а гл. I третьей части существенно использовалась в курсе проективной геометрии. Происхождение книги связано с работой автора в геометрической секции школьного математического кружка при Московском государственном университете. При этом программа секции была значительно шире содержания книги, — опасаясь чрезмерно увеличить объём книги, автор был вынужден весьма сильно ограничить её рамки (о материале по теории преобразований, не вошедшем в книгу, см., например, стр. 10 — 11 «Указаний к пользованию книгой»). Следует заметить, что во многих случаях такое самоограничение было вовсе не добровольным — правда, благодаря ему книга несколько выиграла в цельности, но зато заметно проиграла в содержательности.
      Автор с большой признательностью вспоминает покойного Д. И. Перепёлкина, внимательно прочитавшего рукопись книги и сделавшего ряд ценных указаний. Весьма благодарен он также А. М. Яглому, явившемуся первым, очень строгим и требовательным, редактором книги, много способствовавшим её улучшению, и Я. С. Дубнову, с которым обсуждался текст введений и приложений. Наконец, автор благодарит Т. Е. Ашкинузе и Л. В. Гольдштейн, помогавших ему при изготовлении чертежей, и Э. П. Тихонову, проделавшую большую работу по редактированию книги.
      И. М. Яглом
     
      УКАЗАНИЯ К ПОЛЬЗОВАНИЮ КНИГОЙ
      Настоящая книга может представлять интерес для довольно широкого круга читателей — учащихся старших классов и учителей средних школ, студентов и преподавателей физико-математических факультетов пединститутов. При этом разные категории читателей будут использовать её по-разному. Школьнику естественно рассматривать книгу как задачник, в котором условия задач сопровождаются обширными указаниями, облегчающими решение. Задачи не следует решать все подряд, но желательно разобрать по крайней мере одну (а ещё лучше — несколько) из каждой группы задач, отмеченных сплошной чертой сбоку страницы; книга построена так, что в эгом случае читатель не упустит ничего существенного из её содержания. После того как задача будет решена, следует ознакомиться с её решением, приведённым в конце книги. Введения к частям, а также приложения к гл. 1 и II третьей части можно вначале опустить, но так как в трёх введениях и двух приложениях сосредоточено основное идейное содержание книги, то после ознакомления с какой-либо частью следует вернуться назад и прочитать введение.
      Учителю средней школы задачи следует рассматривать лишь как иллюстрации приложимости основного материала к конкретным вопросам элементарной геометрии. При этом большой материал, собранный в задачах, может оказаться полезным ему в работе с учащимися. Книга может быть использована в школьном математическом кружке (например, по такому плану: руководитель сам излагает теоретический материал, а задачи предлагает для решения участникам); кое-что из неё, быть может, можно использовать и прямо на уроке.
      Студент пединститута может рассматривать книгу как пособие по курсам элементарной геометрии (первая и вторая части, а также гл. II третьей части), проективной геометрии (гл. I третьей части) и оснований геометрии
      И третьей части; возможно также и введения к отдельным частям). Преподаватель пединститута может использовать книгу при чтении лекций по тем же курсам и при ведении упражнений по элементарной геометрии и проективной геометрии.
      Первый том книги представляет самостоятельное целое. Однако автор рассчитывает, что большинство читателей не ограничится чтением только первого тома, так как второй том определённо содержательнее й интереснее первого. Последняя глава первого тома (гл. II второй части) является в некотором смысле «повторительной»; она показывает пути расширения предшествующего материала н возможность дальнейших приложений его к конкретным вопросам; в её содержании основную роль играют задачи. Так как материал этой главы отходит в сторону от основной линии изложения, то она вполне может быть опущена; в частности, читателю, намеревающемуся перейти ко второму тому книги, не следует особенно задерживаться на этой главе. Также и § 5 гл. I третьей части лежит несколько в стороне от остального содержания книги; он тоже может быть опущен при первом чтении.
      Задачи рассчитаны в первую очередь на школьников и на студентов и дают возможность читателю проверить, насколько он усвоил теоретический материал. Формулировки задач, как правило, никак не связаны с остальным текстом книги; решения же опираются на основной материал и показывают, насколько плодотворно применение преобразований в элементарной геометрии. Основное внимание уделяется методам, а не результатам; поэтому ряд задач повторяется в нескольких местах книги, так как сравнение разных решений одной задачи всегда поучительно. Может оказаться также интересным сравнить приведённые в книге решения с другими, не использующими геометрических преобразований (как правило, более искусственными); для того чтобы читатель имел эту возможность, в конце каждого тома помещён список задач, иные решения которых имеются в одном из трёх распространённых сборников задач.
      Задачи подбирались по возможности так, чтобы их формулировки могли заинтересовать читателя и тем самым привлечь его внимание к теоретическому материалу; в частности, здесь содержится много предложений по геометрии треугольника и многоугольника, не излагавшихся ранее в нашей литературе.
      В книге приведено также много задач на построение. При их решении нигде не ставилась задача о нахождении «самого простого» (в каком бы то ни было смысле) построения — здесь автор стоял на той точке зрения, что эти задачи представляют главным образом логический интерес и не связаны с обязательным выполнением построения. Зато книга содержит довольно большой материал по принципиальным вопросам теории построений: сюда относятся вопросы возможности построений на ограниченном куске плоскости (задачи 53 — 54 из § 1 гл. I второй части и 119 — 120 из § 2 гл. I третьей части) и построений с ограниченными средствами (построения одним циркулем — задачи 239 — 243 из § 2 гл. II третьей части; одной линейкой — задачи 109 из § 1, 119 — 120 из § 2 гл. I третьей части; ограниченной линейкой — задача 121 из § 2 той же главы; параллельной линейкой — задача 155 из § 4 той же главы; одной линейкой при наличии на плоскости окружности с центром — задачи 190 — 193 из §5 той же главы, пли дуги окружности с центром — задачи 148 из § 3 и 154 из § 4 той же главы, или нескольких окружностей с неизвестными центрами — задача 194 из § 5 той же главы).
      Для удобства преподавателей отметим несколько мест, где объём материала может быть расширен. § 1 гл. II третьей части можно рассматривать как введение в кинематическую геометрию, элементы которой послужили бы хорошим дополнением к книге; приложения к главам I и II третьей части ограничиваются неевклидовой геометрией Лобачевского (не считая весьма краткого упоминания о неевклидовой геометрии Римана во втором из этих приложений), хотя было бы желательно изложить здесь все неевклидовы геометрии Келн — Клейна. В книгу включена элементарная теория преобразований Лагерра (преобразования, переводящие окружности в окружности и прямые в прямые, но не обязательно точки в точки — см. § 5 гл. II третьей части), но в ней не содержится теория более общих преобразований Ли (преобразования, переводящие окружности в окружности, но не обязательно прямые в прямые или точки в точки), которую, повидн-мому, можно изложить столь же просто, как и теорию преобразований Лагерра.
      Кроме того, весь материал книги можно углубить в нескольких направлениях. Так, например, в ней нигде не фигурируют стереометрические предложения1). Заметим, впрочем что ограничение случаем плоскости мало отразилось на идейном содержании книги. Правда, отдел задач за счёт стереометрии можно было бы сделать значительно ярче и интереснее, но задачи в этой книге ни в какой мере не являются самоцелью.
      Больше обедняет книгу отсутствие в ней элементарной теории конических сечений. Из-за этого здесь не получает ответа естественный вопрос о преобразовании окружностей при проектировании. Кроме того, теория конических сечений представляет наиболее благодарную область для приложений материала гл. I третьей части и даёт возможность весьма изящного решения ряда элементарно-геометрических вопросов. В книге также совершенно не освещены аналитические методы теории преобразований, хотя было бы очень уместно в гл. I третьей части сказать об аффинных и проективных координатах, в гл. II той же части — о тетрацнклпческих координатах, содержание гл. I второй части и гл. II третьей части связать с комплексными числами и т. д.2). Наконец, материал книги можно расширить за счёт рассмотрения новых типов преобразований (например, квадратичных кремоновых преобразований); была бы также весьма уместна ещё одна, заключительная часть книги, посвящённая топологии3).
     
      ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
      ДВИЖЕНИЯ
     
      ВВЕДЕНИЕ ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЯ? (НАЧАЛО)
      На первой странице учебника геометрии А. П. Киселёва для средней школы сразу после определения точки, линии, поверхности и тела и указания, что «совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве, называется геометрической фигурой», даётся следующее определение геометрии: «.наука, рассматривающая свойства геометрических фигур, называется геометрией». Таким образом, создаётся впечатление, что вопрос, поставленный в заглавии настоящего введения, получает ответ уже в школьном учебнике геометрии н не нуждается в том, чтобы им ещё занимались в дальнейшем.
      Однако впечатление о простоте задачи определения геометрии является ошибочным. Определение Киселёва, разумеется, нельзя назвать неверным, но оно несколько неполно. Слово «свойство» имеет очень общий характер, и далеко не все свойства фигур изучаются в геометрии. Так, например, в геометрии совсем неважно, нарисован ли треугольник на белой бумаге или на чёрной доске: цвет треугольника не является предметом изучения геометрии. Правда, на это можно возразить, что геометрия изучает свойства геометрических фигур в смысле данного выше определения, а цвет — это свойство бумаги, на которой нарисована фигура, а не самой фигуры. Однако это возражение всё же может оставить чувство некоторой неудовлетворённости; для того чтобы придать ему большую убедительность, хотелось бы сослаться на точное «математическое» определение того, какими же именно свойствами фигур занимается геометрия, а такого определения мы не имеем. Это чувство неудовлетворённости ещё более возрастает, если попытаться объяснить, почему расстояния от вершины нарисованного на доске треугольника до некоторых прямых, например до противоположной стороны (высота треугольника), рассматриваются в геометрии, а расстояния от вершины до других прямых, например до края доски, не рассматриваются. Такое объяснение вряд ли можно дать, если исходить только из приведённого выше определения геометрии.
      Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, отметим, что нельзя упрекать школьный учебник за неполноту приведённого в нём определения. Определение Киселёва есть, пожалуй, единственное, которое можно предложить на первой ступени изучения геометрии. Достаточно сказать, что история геометрии насчитывает более 4000 лет, а первое научное определение геометрии, объяснение которого составляет одну из основных целей настоящей книги, было дано лишь около 80 лет тому назад (в 1872 г.) немецким математиком Ф. Клейном. Потребовалось создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии для того, чтобы математики ясно осознали необходимость точного определения предмета геометрии; лишь после этого выяснилось, что наглядное представление о «геометрических фигурах», предполагающее, что не может быть нескольких различных «геометрий», не может служить достаточным фундаментом для всего обширного здания геометрической науки*).
      Перейдём теперь к выяснению того, какие же именно свойства геометрических фигур изучает геометрия. Мы видели, что геометрия изучает не все свойства фигур, а лишь некоторые из них; не имея ещё точного описания тех свойств, которые относятся к геометрии, мы можем сказать только, что геометрия изучает «геометрические свойства» фигур. Это уточнение определения Киселёва, разумеется, само по себе ещё не делает определение полным: ведь на вопрос о том, что такое «геометрические свойства», мы можем пока только
      *) Хотя неевклидова геометрия явилась толчком, послужившим причиной появления того определения геометрии, о котором идёт речь, объяснить само это определение вполне возможно и лицам, не знакомым с геометрией Лобачевского. В частности, в настоящей книге неевклидова геометрия будет рассмотрена лишь в самом конце глав I и II третьей части после того, как определение геометрии по Клейну во всей его общности будет подробно обсуждено во введении к этой части. Нам кажется, что такой порядок расположения материала может более всего облегчить читателю понимание всей глубины замечательного творения Лобачевского.
      ответить, что это «те свойства, которые изучаются геометрией . Таким образом, получается порочный круг: геометрию мы определяем как науку, изучающую геометрические свойства фигур, а геометрические свойства — как те свойства, которые изучает геометрия. Для того чтобы выбраться из этого порочного круга, нам надо определить, что такое «геометрические свойства», не пользуясь словом «геометрия».
      Чтобы разобраться в вопросе о том, что такое «геометрические свойства» фигур, вспомним следующее хорошо известное утверждение: задача о построении треугольника по двум сторонам а, b и заключённому между ними углу С имеет только одно решение (черт. l.a)1). Если вдуматься в последнюю фразу, то она может показаться неправильной: ведь треугольников с данными сторонами а, b и данным углом С имеется не один, а бесконечно много (черт. 2), так что наша задача имеет не одно решение, а бесконечно много их. Что же в таком случае означает утверждение, что рассматриваемая задача имеет единственное решение?
      Утверждение, что по двум сторонам а, b и углу С можно построить только один треугольник, очевидно, имеет только тот смысл, что все треугольники, имеющие данные стороны а, b и данный угол С, равны между собой. Таким образом, точнее было бы сказать, что по двум сторонам и углу между ними можно построить бесконечно много треугольников, однако все они будут равны между собой. Когда же в геометрии говорится, что существует единственный треугольник, имеющий данные стороны а, Ь и данный угол С, то тем самым равные треугольники, отличающиеся лишь своим расположением, не считаются различными. А так как геометрию мы определили как науку, изучающую «геометрические свойства» фигур, то очевидно, что только фигуры, имеющие одни и те же геометрические свойства, нельзя отличить одну от другой. Таким образом, равные фигуры должны иметь одинаковые геометрические свойства; обратно, не равные между
      например, расстояние какой-либо вершины треугольника от края доски не изучается геометрией: это расстояние не является геометрическим свойством, так как оно может быть различным для равных треугольников. Наоборот, высота треугольника является геометрическим свойством, так как соответствующие высоты равных треугольников всегда равны.
      Теперь мы уже значительно приблизились к определению геометрии. Мы знаем, что геометрия изучает «геометрические свойства» фигур, т. е. те свойства, которые совпадают у равных фигур. Нам остаётся только ответить на вопрос о том, что такое равные фигуры.
      Последний вопрос может сначала разочаровать читателя и создать у него впечатление, что пока ещё не достигнуто никакого успеха: мы только свели один вопрос к другому, столь же трудному. Однако на самом деле это не так: вопрос о том, что такое равные фигуры, вовсе не труден, и иа него учебник Киселёва даёт совершенно удовлетворительный ответ. Согласно Киселёву «.две геометрические фигуры называются равными, если перемещением одной из них в пространстве её можно совместить со второй фигурой, так что обе фигуры совместятся во всех своих частях». Другими словами, равные фигуры — это те, которые можно совместить движением; следовательно, геометрические свойства фигур, т. е. свойства, общие всем равным фигурам, — это те свойства, которые не меняются при движении фигуры.
      Итак, окончательно мы приходим к следующему определению геометрии: геометрия есть наука, изучающая те свойства геометрических фигур, которые не меняются при движении фигуры. На этом определении мы пока и остановимся; оно допускает ещё значительное развитие, но об этом речь будет нтти в дальнейшем.
      Придирчивый критик может не удовлетвориться и последним определением геометрии и потребовать ещё, чтобы ему определили, что такое движение. На это можно ответить следующим образом: движением называется геометрическое преобразование плоскости (или пространства), переводящее каждую точку А в новую точку А, такое, что расстояние между каждыми двумя точками А и В равно расстоянию между точками А и В, в которые они переходят *). Однако такое определение является довольно абстрактным; так как мы установили, что движения играют в геометрии основную роль, хотелось бы более наглядно представить себе эти преобразования и подробно изучить все их свойства. Такое изучение и составляет основное содержание части первой настоящей книги. В конце части дано полное перечисление всех возможных движений плоскости, которое можно также принять за новое, более простое их определение (подробнее об этом см. ниже, стр. 67 — 69).