Геометрические преобразования
Часть 2
Линейные и круговые преобразования

DjVu

      Настоящий второй том «Геометрических преобразований» посвящён так называемым линейным и круговым преобразованиям, которые проходятся на математических отделениях пединститутов и университетов, но совсем не затрагиваются программой средней школы (в вузах эти преобразования чаще называют проективными и конформными). Однако книга эта адресована в первую очередь читателям, так или иначе связанным именно со средней школой, — учащимся и учителям школ, студентам и преподавателям институтов. Соответственно этому основная цель её состоит в том, чтобы показать тесную связь рассматриваемых здесь преобразований с элементарной геометрией; от изложения более высоких теорий, связанных с геометрическими преобразованиями, автору пришлось отказаться почти полностью, так как книга и без того оказалась более толстой, чем это ему бы хотелось. Единственные значительные отступления в область «высшей геометрии» представляют собой приложения к главам I и И, посвящённые неевклидовой геометрии Лобачевского; впрочем, и здесь автор стремился к максимальной элементарности, так что эти приложения также должны быть вполне доступны интересующимся математикой школьникам старших классов.
      Существенную часть содержания книги составляют задачи, сопровождаемые решениями, приведёнными в конце. Основной текст нигде не зависит от задач; однако нам кажется, что ознакомление по крайней мере с частью из них будет очень значительно способствовать глубине понимания материала книги. Все задачи относятся к элементарной геометрии; исключение представляют лишь задачи приложений, которые преследуют цель хотя бы немного ознакомить читателей с конкретными теоремами неевклидовой геометрии. Решения задач иногда сопровождаются замечаниями общего характера, относящимися
      к методике использования рассматриваемых в книге преобразований; в одном случае автор не удержался от соблазна приложить к решению задачи более обширное примечание, указывающее возможность довольно широкого развития .изложенных в книге теорий (см. решение задачи 300). Второй том книги в основном не зависит от первого; в частности, первый том вполне может быть заменён планиметрической частью какого-либо из «больших» учебников элементарной геометрии («Элементарная геометрия» Ж. Адамара или «Курс элементарной геометрии» Д. И. Перепёлкнна). Однако введение к третьей части книги и приложения к главам I и II этой части непосредственно апеллируют к введениям к первой и второй частям первого тома. Также и в части терминологии второй том, естественно, весьма строго следует за первым. Для того чтобы облегчить читателям возможные обращения к первому тому книги, в конце помещён предметный указатель, относящийся сразу к обоим томам.
      Каждая глава третьей части представляет собой самостоятельное целое; вторую из них вполне можно читать раньше первой. Введение к части третьей, а также приложения к главам I и II при первом чтении книги могут быть опущены; однако было бы жалко, если бы читатель совсем пропустил их. В первой главе может быть опущен также последний параграф, стоящий в книге особняком. Во второй главе можно считать дополнительными последние три параграфа; читать их можно в любом порядке. Из этих параграфов мне бы хотелось в первую очередь порекомендовать читателям весьма принципиальное заключение § 4 (стр. 246 — 253; мелкий шрифт здесь, как и всюду в книге, можно считать необязательным), а также изящный (хоть и большой по объёму) § 5, который, вероятно, многим покажется довольно неожиданным.
      И. М. Яглом
     
      ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
      ЛИНЕЙНЫЕ И КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
      ВВЕДЕНИЕ ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЯ? (ОКОНЧАНИЕ)
      Во введении к первой части книги мы определили геометрию как науку, изучающую те свойства геометрических фигур, которые ие меняются при движениях. Во введении ко второй части мы дали новое определение геометрии как науки, изучающей свойства геометрических фигур, не меняющиеся при преобразованиях подобия. Возникает вопрос о том, совпадают ли эти определения полностью, т. е. являются ли они различными определениями одной и той же науки, или же существуют две различные геометрии, причём во введении к первой части мы говорили об одной из них, а во введении ко второй части — о другой. Мы покажем здесь, что в действительности правильным является второй ответ па наш вопрос, т. е. что существуют две разные геометрии (хотя и очень близкие между собой). Логическим развитием этого факта явится предложение о существовании многих различных геометрий; одной из наиболее интересных геометрий, существенно отличающейся от обычной, является неевклидова геометрия Лобачевского, которой будут посвящены приложения к главам I и II настоящей части.
      Во введении ко второй части мы признали нецелесообразным предложенное ранее определение геометрии как науки, изучающей свойства фигур, не меняющиеся при движениях. При этом мы основывались на следующих доводах. Движения — это такие преобразования плоскости, которые не меняют расстояния между двумя точками. Но величина, выражающая расстояние, зависит от той единицы длины, при помощи которой это расстояние измеряется. А так как геометрическое предложение не может зависеть от выбора единицы длины,
      то отсюда следует, что в геометрических теоремах не могут фигурировать длины отрезков, а только отношения этих длин; это н означает, что подобные между собой фигуры не различимы для геометрии.
      Однако это рассуждение, вполне верное, когда речь идёт о теоремах элементарной геометрии, перестаёт оставаться справедливым при переходе к геометрическим задачам, в частности — к задачам на построение. В этих задачах длина отрезка задаётся не числом, а при
      помощи отрезка, равного данному. Так, например, если в задаче требуется построить треугольник ABC, зная длины двух его сторон АС и АВ и длину медианы CD, то это значит, что нам даны отрезки, равные отрезкам АС, АВ g и CD (черт. 1). Таким образом, здесь у нас фигурируют непосред-Черт. 1. ственно длины отрезков, а не отношения длин, и теперь подобные (но не обязательно равные!) треугольники уже не будут для нас равноправны; если один из этих треугольников является решением нашей задачи, то другие (не равные ему) условиям задачи не удовлетворяют. Итак, мы видим, что, в то время как все теоремы элементарной геометрии охватываются определением геометрии, которое было дано во введении ко второй части книги, задачи на построение выпадают из этих рамок (они существенно опираются на определение геометрии, приведённое во введении к первой части). Это обстоятельство и является главной причиной того, что в учебнике Киселёва изложение базируется
      на первом определении геометрии и соответственно этому начинается с теорем о равенстве треугольников; если считать, что подобные треугольники не различимы между собой, то эти теоремы являются бессодержательными, так как само понятие равенства в этом случае не имеет смысла.
      Таким образом, мы приходим к выводу, что во введении к первой части и во введении ко второй части мы определили две различные геометрии. При этом все свойства фигур во второй геометрии (которую удобно называть геометрией подобий) относятся также и к первой геометрии (к геометрии движений): действительно, каждое свойство фи-
      гуры, сохраняющееся при преобразованиях подобия, сохраняется также и при движениях. Однако обратное предложение неверно: в геометрии движений фигуры имеют больше свойств, чем в геометрии подобий (в геометрии движений расстояние между двумя точками фигуры является её геометрическим свойством, а в геометрии подобий можно рассматривать только отношения расстояний). Это обстоятельство является причиной того, что в геометрии подобий имеется значительно меньше задач на построение, чем в геометрии движений *).
      Вдумаемся теперь в то, каким образом мы пришли к определению наших двух геометрий. Геометрия движений определялась как наука, изучающая свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при движениях; в этой геометрии две фигуры, переводимые одна в другую движением, т. е. две равные фигуры, являются неразличимыми. Геометрия подобий определялась как наука, изучающая свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при преобразованиях подобия; в этой геометрии «равными», т. е. не различимыми между собой, являются подобные фигуры. Но можно дальше пойти по этому пути, выбрав ещё какую-нибудь совокупность преобразований и объявив «равными» между собой в смысле новой геометрии фигуры, переводимые друг в друга преобразованиями нашей совокупности ’). При этом мы придём к новой геометрии, которая определится как наука, изучающая свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при преобразованиях выбранной нами совокупности геометрических преобразований.
      Теперь мы подошли уже совсем близко к окончательному ответу на вопрос, стоящий в заголовке введений ко всем частям этой книги. Для того чтобы дать полное определение геометрии (или, точнее, определение множества различных
      *) В геометрии подобий возможны лишь такие задачи на построение, в которых задаются какие-либо углы между линиями фигуры и отношения расстояний между её точками, так как в этой геометрии только углы и отношения расстояний являются геометрическими свойствами фигуры. Так, например, в геометрии подобий можно поставить задачу: построить треугольник ABC, зная угол А и отношения длин биссектрисы и высоты, проведённых из вершины В. При этом решить эту задачу — это значит иайти какой-нибудь из множества подобных между собой треугольников (неразличимых в геометрии подобий), имеющих данный угол и данное отношение биссектрисы к высоте.
      *) Примеры совокупностей преобразований более общих, чем преобразования подобия, читатель найдёт ниже в главах I и II этой части книги.
      геометрий), нам осталось, только выяснить, всякая ли совокупность геометрических преобразований может быть положена в основу определения геометрии.
      Нетрудно понять, что ответ на последний вопрос является отрицательным. Так, например, нельзя определить «геометрии симметрий», т. е. науки, изучающей такие свойства геометрических фигур, которые одинаковы у двух фигур, симметричных относительно прямой, и только у таких фигур (свойства, не меняющиеся при симметриях относительно прямой). Действительно, в этой геометрии две фигуры F и F', симметричные относительно прямой, должны были бы обладать одинаковыми «геометрическими свойствами», так же как и
      фигуры F и F", симметричные отно-т снтельно прямой т (черт. 2). В то же время свойства фигур F' и F' должны быть уже различными (эти фигуры не симметричны между собой, а следовательно, «не равны» в смысле нашей геометрии). Но это противоречит тому, что свойства обеих фигур, как F, так и F', совпадают со свойствами фигуры F.
      После этого примера становится Черт. 2. довольно ясным, какими свойствами должна обладать совокупность преобразований для того, чтобы, исходя из этих преобразований, можно было определить некоторую «геометрию». «Равенство» фигур определяется в нашей геометрии следующим образом: фигура F «равна» фигуре F в том и только в том случае, если F можно перевести в F каким-либо преобразованием заданной совокупности преобразований. Для того чтобы это «равенство» имело смысл, необходимо, очевидно, чтобы оно обладало следующими свойствами:
      (...)
      Также не составляет группы и совокупность симметрий относительно всевозможных прямых плоскости: здесь не выполняются ни условие 3е («сумма» двух симметрий относительно прямых представляет собой уже не симметрию, а вращение или параллельный перенос; см. § 1 гл. II первой части), ни условие 1° (тождественное преобразование нельзя представить себе как симметрию относительно какой-либо прямой).
      Теперь определение геометрии, которое мы дали выше, можно сформулировать так: геометрия есть наука, изучающая свойства фигур, не меняющиеся при преобразованиях некоторой группы преобразований. Согласно этому определению имеется не одна, а много геометрий; чтобы придти к какой-либо из них, достаточно выбрать каким-либо образом группу преобразований. Частными случаями рассматриваемых геометрий являются «геометрия движений» и «геометрия подобий», изучаемые в школе. В приложениях к главам I и II третьей части книги мы покажем, что и к неевклидовой геометрии Лобачевского можно также придти естественным путём, если исходить из приведённого общего определения геометрии.
      Определение геометрии как науки, изучающей свойства фигур, не меняющиеся при преобразованиях какой-либо группы преобразований, также принадлежит немецкому математику Ф. Клейну. Несмотря на то, что это определение не является самым общим (им не охватываются некоторые важные разделы современной геометрии), оно оказалось очень полезным и сыграло важную роль в развитии науки. В частности, поня-тпе группы преобразований ныне является одним из самых важных понятий всей современной математики *).
      Элементарная геометрия изучает только те геометрические фигуры плоскости, которые образованы прямыми линиями и окружностями. Ниже мы покажем, что преобразования подобия можно определить как такие преобразования плоскости, которые переводят каждую прямую линию в прямую линию и каждую окружность в окружность (см. теорему 1 из § 4 гл. И, стр. 247). В последующих двух главах мы рассмотрим преобразования плоскости, переводящие прямые линии в прямые линии, но не обязательно окружности в окружности
      *) Общему понятию группы, являющемуся основным в современной алгебре, посвящена хорошая популярная книга П. С. Александрова «Введение в теорию групп», Москва, Учпедгиз, 1951.
      (такие преобразования мы будем называть линейными преобразованиями), и преобразования, переводящие окружности сновСа в окружности, но не обязательно прямые в прямые (эти преобразования мы будем называть круговым и преобразованиями). Обе эти совокупности преобразований составляют группы *).
      Геометрия, определяемая с помощью группы линейных преобразований, называется проективной геометрией*). Геометрия, определяемая с помощью группы круговых преобразований, называется конформной или аналагматн-ческой геометрией. В настоящей книге мы не ставим своей целью изложить начальные сведения из проективной или аналагматической геометрий или хотя бы только познакомить читателя с основными методами и понятиями этих интересных и важных геометрий3). Задача нашего дальнейшего изложения будет значительно проще.
      Факт существования различных геометрий может принести большую пользу, если даже и не выходить за рамки элемен-
      *) Ясно, что если преобразование П переводит прямые в прямые, то и противоположное преобразование Р переводит прямые в прямые; если два преобразования П, и П, переводят прямые в прямые, то н их сумма 113 обладает этим свойством; при тождественном преобразовании прямые остаются прямыми — значит, линейные преобразования составляют группу. Аналогично показывается, что и совокупность круговых преобразований является группой.
      *) Точнее, проективная геометрия есть иаука, изучающая свойства геометрических фигур, не меняющиеся при обобщённых линейных (или проективных; см. § 2 гл. I) преобразованиях. Наука, изучающая свойства геометрических фигур, не меняющиеся при обыкновенных линейных (или аффинных; см. § 1'гл. 1) преобразованиях, называется аффинной геометрией.
      *) Проективная геометрия служит предметом обязательного изучения на математических факультетах пединститутов и университетов. Для первоначального ознакомления с этой замечательной наукой можно рекомендовать очень хорошую (хотя и не очень лёгкую) популярную книгу О. А. Вольберга «Основные идеи проективной геометрии», Москва, Учпедгиз, 1949; для более подготовленного читателя (например, уже прочитавшего книгу Вольберга) очень интересной может оказаться книга Дж. В. Юнга «Проактивная геометрия», Москва, ГИИЛ, 1949. По конформной (аналагматической) геометрии у нас, к сожалению, пока отсутствуют элементарные книги. Некоторое представление об этой науке читатель может получить нз прибавления М «Аналагматические свойства окружностей в пространстве» ко второму тому «Элементарной геометрии» Ж. Адамар а (1-е издание, Москва, Учпедгиз, 1939); заметим только, что это прибавление является довольно трудным.
      тарной геометрии Киселёва. Зная, что та или иная теорема на самом деле относится, например, к проективной геометрии, т. е. что свойства, о которых идёт речь в этой теореме, не меняются при произвольном линейном преобразовании, мы можем зачастую значительно упростить доказательство теоремы. Пусть, например, нам требуется доказать, что некоторые три прямые пересекаются в одной точке. Подвергнем чертёж задачи подходящим образом выбранному линейному преобразованию. При этом прямые llt lt и 13 перейдут в три новые прямые если три первые прямые пересекались в одной точке А, то три преобразованные прямые тоже будут пересекаться в одной точке А' (в которую переходит точка А при линейном преобразовании); обратно, если 1’г и Г3 пересекаются в одной точке, то пересекаются в одной точке. Таким образом, нам достаточно доказать, что преобразованные прямые пересекаются в одной точке, что может оказаться проще, чем доказательство аналогичного факта для исходных прямых. Подобный метод доказательства геометрических теорем иллюстрируется ниже большим числом разнообразных примеров.
      Заметим, что приёмы решения задач в третьей части книги несколько отличны от тех, с которыми читатель мог познакомиться по двум первым частям. Если применение движений или преобразований подобия в задачах первых двух частей сводилось к тому, что мы преобразовывали тем или иным образом известную часть чертежа задачи, то ниже нам весьма часто придётся преобразовывать весь чертеж. Ясно, что раньше преобразование чертежа в целом не могло принести нам никакой пользы: так как при движении чертёж не меняется (ибо в элементарной геометрии фигуры, различающиеся своим расположением, не отличаются одна от другой), то он не может стать проще первоначального. Однако при доказательстве теорем элементарной геометрии, на самом деле относящихся к проективной или аналагматической геометрии, преобразование чертежа в целом часто может принести значительную пользу.
      В связи с другим подходом к решению задач в последней части книги несколько изменяется и характер самих задач. В то время как в первых двух частях ббльшую часть задач составляли задачи на построение, в последней чаще встречаются задачи на доказательство. Однако иногда и при решении задач на построение использование линейных или круговых преобразований может оказаться полезным. Для примера можно назвать три следующие интересные задачи:
      а) вписать в данную окружность л-угольник, стороны которого проходят через л заданных точек плоскости (см. § 5 гл. I, задача 183а), стр. 119; § 2 гл. 11, задача 232, стр. 207; § 4 гл. И, задача 259, стр. 237);
      б) описать вокруг данной окружности л-угольннк, вершины которого лежат на л заданных прямых (см. § 5 гл. I, задача 1836), стр. 120 и § 5 гл. П, задача 283, стр. 303);
      в) вписать в данный л-уголышк другой л-угольник, стороны которого проходят через л заданных точек плоскости (см. § 5 гл. I, задача 189, стр. 122).
      Решение первой из этих задач, не использующее свойств линейных или круговых преобразований, является весьма сложным (см., например, указанные на стр. 606 книги Ж. Адамара (задача 391) п Д. О. Шклярского и др. (задача 80)). Для второй и третьей задач подобное решение вовсе не известно.
      Отметим ещё, что использование линейных и круговых преобразований позволяет решить интересный вопрос о том, какие построения являются возможными, если пользоваться только одной линейкой или только одним циркулем (см. ниже § 5 гл. 1 и § 2 гл. II).