Геометрия

DjVu

      Полный текст книги

      А. П. ЮШКЕВИЧ
      ДЕКАРТ И МАТЕМАТИКА
     
      Математику последних трех веков характеризует несколько признаков, чуждых античности и средневековью. Новая математика — это прежде всего наука о переменной величине. Благодаря введению переменной она в состоянии изучать общие соотношения между общими величинами, что позволяет ей решать общими же методами бесчисленное множество частных задач, каждую из которых математика античности рассматривала в отдельности, самое по себе.. Идея функциональной зависимости, центральная в анализе, предполагает понятие переменной величины, а бесконечно большие и бесконечно малые составляют частные ее виды. Основанием новой математики является алгебра — учение о простейших операциях над переменными, в частности о свойствах целых многочленов.
      С алгебраизацией математики связано возникновение в ней повсюду алгорифмов. Мы называем теперь алгорифмом всякое приведенное в систему исчисление, пользующееся определенными символикой и правилами преобразования. Таков в первую очередь алгорифм буквенного исчисления, т. е. самой алгебры, таковы, далее, алгорифмы математической логики, диференциального и интегрального исчислений, теории определителей и пр. Алгориф-мический процесс играет в новой математике исключительную творческую роль.
      Главнейшей заслугой Декарта и было введение переменной величины и буквенной алгебры, заменившей словесную. И хотя революция, начатая Декартом, была произведена им в сфере конечных величин, но плодотворное воздействие ее быстро сказалось и в математике бесконечного. Алгорифм анализа бесконечно малых явился неизбежным распространением на этот вид переменных новых алгебраических идей и приемов. Поворотным пунктом в математике, писал Энгельс в "Диалектике природы", была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым диференциальное и интегральное исчисление, зачатки которого вскоре были заложены и которое было в целом завершено, а не открыто Ньютоном и Лейбницем" *).
      Другой характерной чертой новой математики является глубокое проникновение арифметики в геометрию. Древность связала некоторым частным образом пространство и величину. Однако возможность исследования непрерывных пространственных образов с помощью чисел не была известна до Декарта, создавшего первые основания аналитической геометрии1). И здесь решающей была выработка алгебраического алгорифма. Чтобы понять и оценить должным образом переворот, произведенный в математике "Геометрией", нам придется коснуться математики древних и рассказать о работах математиков, предшествовавших Декарту.
      Еще за два тысячелетия до н. э. вавилоняне решали числовым путем задачи на системы линейных уравнений и полные квадратные уравнения. Совершенно иной характер приняло развитие алгебры в классических работах Л С ВО Эвклида, Архимеда, Аполлония.
      Совокупность соответствующих античных приемов была названа в XIX в. "геометрической алгеброй". "Геометрическая алгебра" оперировала не числами, а отрезками, площадями и телами. Она приспособлена была к их исследованию и выросла из проблем геометрии. Это было приложение геометрических построений и преобразований к задачам, у нас выражающимся уравнениями первой и второй степени. Например, требовалось построить сторону правильного вписанного в круг данного радиуса десятиугольника. Мы, обозначив радиус а, сторону х, получили бы пропорцию , затем уравнение (...)
      несмотря на соответствие решений, речь шла у древних о чисто геометрическом построении некоторого отрезка. Этому не мешало то, что греки знали связь между указанным построением и правилом решения квадратного уравнения. Аналогично были решены задачи на другие квадратные уравнения1) и представлены многие важные тождества.
      -В силу описанного характера задач и метода "геометрической алгебры", равенства в ней могли иметь место лишь между элементами одинакового измерения и все уравнения подчинялись принципу однородности. Действиям умножения и деления, в чистой арифметике порождающим из чисел числа, здесь соответствовали операции, порождающие величины нового числа измерений. Произведению двух чисел у древних отвечал прямоугольник, построенный на двух отрезках, а трех — параллелепипед.
      Древние не знали иррационального числа. Однако несоизмеримость целого ряда отрезков ими была доказана. Желание свести отношения непрерывных величин к отношениям между целыми числами привело Эвдокса (IV в. до н. э.) к созданию замечательной общей теории пропорций. В ней роль вещественного положительного числа играло отношение двух однородных геометрических величин, а сами отношения последних вводились через определение, устанавливавшее равенство двух любых отношений посредством сравнения целочисленных отношений2). Геометрические образы заменяли также в некоторой степени произвольные величины. Так, правило суммирования геометрической прогрессии выводилось с помощью величин, представленных отрезками. Являясь геометрическими знаками величин и фиксируя внимание исследователя, эти отрезки все же не могли служить базой для алгебраического исчисления. Теорема и ее доказательство излагались и проводились словесно.
      "Геометрическая алгебра" и теория пропорций Эвдокса нашли у древних обширные применения. Работы Эвклида и Архимеда без них немыслимы. Важные приложения получили они и в учении о конических сечениях, с высоким совершенством и полнотой изложенном во второй половине III в. до н. э. Аполлонием 3). Исходным пунктом теории является установление планиметрических свойств, так называемых "симптомов", плоских сечений конуса. Пусть, например, конус с круговым основанием пересечен плоскостью, не параллельной основанию, но так, что сечение является замкнутой линией (на чертеже оно представлено линией ?D)4). PR представляет круг, образуемый в сечении, параллельном основанию и содержащем произвольную точку (...)
      Дальнейшее изложение теории конических сечений, свойств их диаметров, хорд, касательных, радиусов-векторов и т. п. строилось на этих определяющих свойствах. Особенно важен был перенос "симптомов", первоначально установленных для некоторого определенного диаметра и сопряженных с ним хорд, на любые диаметры и сопряженные хорды. Выдающуюся роль с самого начала играло, как видно, "приложение площадей".
      За сложной внешней формой аполлониевой теории можно заметить некоторый общий подход к изучению конических сечений. Во многих случаях теоремы сперва доказываются для параболы, затем они или их модификации выводятся для гиперболы и, наконец, для эллипса. Эта последовательность доказательств играла в исследовании Аполлония большую роль1). Однако наличие такого приема и употребление "приложения площадей" не означают, что у Аполлония имелся алгебраический метод исследования. Вывод теорем из определяющих свойств кривых совершенно не опирался на формулы и уравнения; там же, где нет общих формул и уравнений, там нет и алгебраического метода2). Не располагавшее единым методом исследования учение Аполлония было направлено больше на особенности отдельных кривых, чем на их общие свойства. Богатая по содержанию предложений теория Аполлония страдала поэтому крайней расчлененностью.
      Теория конических сечений дала древним средства решения задач высшего порядка. Особенно известна "делосская задача" об удвоении куба, т. е. нахождении ребра куба, объем которого вдвое больше данного куба; эта задача нами выражается уравнением je3 = 2а3. Около 400 г. до н. э. Гиппократ Хиосский привел "де-лосскую задачу" к определению х, у из соотношений а: х = х :у = — у :2а. После этого заметили, что искомый отрезок является, выражаясь по-современному, абсциссой общей точки каких-нибудь двух из трех кривых: х2 = ау, у2 = 2ах, ху = 2а2.
      Наряду с удвоением куба, геометрической трактовке подверглись трисекция угла, квадратура круга и т. д. Решение всегда достигалось при помощи тех или иных кривых (конхоиды, квадра-трисы, спирали).