|
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия, для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика».
Книга охватывает основные разделы геометрии для математических специальностей университетов и пединститутов. Она содержит аналитическую геометрию, теорию кривых и поверхностей, основания геометрии, в том числе проективную геометрию, и некоторые вопросы элементарной геометрии, в частности, вопросы геометрических построений. Книга отличается безупречностью изложения, снабжена достаточным числом упражнений различной трудности.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости 9
§ 1. Введение координат на плоскости (9). § 2. Расстояние между точками (10). § 3. Деление отрезка в данном отношении (11). § 4. Понятие об уравнении кривой. Уравнение окружности (13). § 5. Уравнения кривой в параметрической форме (14). § 6. Точки пересечения кривых (16). § 7. Взаимное расположение двух окружностей (17). Упражнения к главе I (18).
Глава II. Векторы на плоскости 21
§ 1. Параллельный перенос (21). § 2. Абсолютная величина и направление вектора (23). § 3. Координаты вектора (25). § 4. Сложение векторов (26). § 5. Умножение вектора на число (27). §6. Коллинеарные векторы (28). § 7. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам (28). § 8. Скалярное произведение векторов (29). Упражнения к главе II (31).
Глава III. Прямая на плоскости 33
§ 1. Общий вид уравнения прямой (33). § 2. Расположение прямой относительно системы координат (34). § 3. Условие параллельности и перпендикулярности прямых (35). § 4. Уравнение пучка прямых (36).
§ 5. Уравнение прямой в нормальной форме (37). § 6. Преобразование координат (38). § 7. Движения в плоскости (40). § 8. Инверсия (41). Упражнения к главе III (42).
Глава IV. Конические сечения 45
§ 1. Полярные координаты (45). § 2. Конические сечения (46).
§ 3. Уравнения конических сечений в полярных координатах (48).
§ 4. Уравнения конических сечений в декартовых координатах в канонической форме (49). § 5. Исследование формы конических сечений (50).
§ 6. Касательная к коническому сечению (53). § 7. Фокальные свойства конических сечений (56). § 8. Диаметры конического сечения (58).
§ 9. Кривые второго порядка (60). Упражнения к главе IV (62)
Глава V. Декартовы координаты и векторы в пространстве 65
§ 1. Введение декартовых координат в пространстве (65). § 2. Параллельный перенос в пространстве (67). § 3. Векторы в пространстве
§ 4. Разложение вектора по трем некомплакарным векторам (69). §?5. Векторное произведение векторов (70). § 6. Смешанное произведение векторов (72). § 7. Общие декартовы координаты (73). § 8. Преобразование координат (74). § 9. Уравнения поверхности и кривой в пространстве (76). Упражнения к главе V (78).
Глава VI. Плоскость прямая в пространстве
Уравнение плоскости (82). § 2. Расположение плоскости относительно системы координат (83). § 3. Уравнение плоскости в нормальной форме (84). § 4. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (85). § 5. Уравнения прямой (85). § 6. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых (87). § 7. Основные задачи на прямую и плоскость (88). Упражнения к главе VI (89).
Глава VII. Поверхности второго порядка
§ 1. Специальная система координат (93). § 2. Классификация поверхностей второго порядка (95). § 3. Эллипсоид (97). § 4. Гиперболоиды (98). § 5. Параболоиды (100). § 6. Конус и цилиндры (101). § 7. Прямолинейные образующие на поверхностях второго порядка (102). § 8. Диаметры и диаметральные плоскости поверхности второго порядка (103). § 9. Оси симметрии кривой. Плоскости симметрии поверхности (105). Упражнения к главе VII (106).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава VIII. Касательная и соприкасающаяся [плоскости кривой
§ 1. Понятие кривой (108). § 2. Регулярная кривая (109). § 3. Особые точки кривой (110). § 4. Вектор-функция скалярного аргумента (111). § 5. Касательная кривой (113). § 6. Уравнения касательной для различных случаев задания кривой (114). § 7. Соприкасающаяся плоскость кривой (116). § 8. Огибающая семейства плоских кривых (117). Упражнения к главе VIII (118).
Глава IX. Кривизна и кручение кривой
§ 1. Длина кривой (121). § 2. Естественная параметризация кривой (122). § 3. Кривизна кривой (123). § 4. Кручение кривой (125). § 5. Формулы Френе (127). § 6. Эволюта и эвольвента плоской кривой (128). Упражнения к главе IX (128).
Глава Х Касательная плоскость и соприкасающийся параболоид поверхности
§ 1. Понятие поверхности (130). § 2. Регулярные поверхности (131). § 3. Касательная плоскость поверхности (132). § 4. Уравнение касательной плоскости (134). § 5. Соприкасающийся параболоид поверхности (135). § 6. Классификация точек поверхности (136). Упражнения к главе X (138).
Г лава XI Кривизна поверхности
§ 1. Линейный элемент поверхности (139). § 2. Площадь поверхности (141). § 3. Нормальная кривизна поверхности (142). § 4. Индикатриса кривизны (144). § 5. Сопряженные сети на поверхности (145).
§ 6. Линии кривизны поверхности (146). § 7. Средняя и гауссова кривизна поверхности (148). § 8. Пример поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны (149). Упражнения к главе XI (151).
Глава XII. Внутренняя геометрия поверхности 152
§ 1. Гауссова кривизна как объект внутренней геометрии поверхностей (152). §2. Геодезические линии на поверхности (155). § 3. Экстремальное свойство геодезических (156). § 4. Поверхности постоянной гауссовой кривизны (157). § 5. Теорема Гаусса — Бонне (158). § 6. Замкнутые поверхности (158). Упражнения к главе XII (161).
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Глава XIII. Исторический очерк обоснования геометрии 162
§ 1. «Начала» Евклида (162). § 2. Попытки доказательства пятого
постулата (164). § 3. Открытие неевклидовой геометрии (165). § 4. Работы по основаниям геометрии во второй половине XIX века (167). § 5. Система аксиом евклидовой геометрии по Гильберту (169).
Главка XIV. Система аксиом "евклидовой геометрии и их ближайшие следствия
§ 1. Основные понятия (171). § 2. Аксиомы принадлежности (171).
§ 3. Аксиомы порядка (172). § 4. Аксиомы меры для отрезков и углов (174). §5. Аксиома существования треугольника, равного данному (176).
§ 6. Аксиома существования отрезка данной длины (177). § 7. Аксиома параллельных (178). § 8. Пространственные аксиомы (179).
Г лава XV. Исследование аксиом евклидовой геометрии
§ 1. Постановка вопроса (180). § 2. Декартова реализация системы аксиом евклидовой геометрии (181). § 3. Отношение* «между» для точек на прямой. Проверка аксиом порядка (182). § 4. Длина отрезка. Проверка аксиомы меры для отрезков (183). § 5. Определение градусной меры для углов. Проверка аксиомы 1112 (185). § 6. Выполнимость остальных аксиом в декартовой реализации (187). § 7. Непротиворечивость и полнота системы аксиом евклидовой геометрии (188). § 8. Независимость аксиомы существования отрезка заданной длины (191). § 9. Независимость аксиомы параллельных (192). § 10. Геометрия Лобачевского (195).
Г лава XVI, Проективная геометрия .
§ 1. Аксиомы принадлежности в"проективной геометрии (198). § 2. Теорема Дезарга (199). § 3. Пополнение евклидовапространства несобственными элементами (201). § 4. Топологическое строение проективной прямой и плоскости (203). § 5. Проективные координаты и проективные преобразования (204). § 6. Ангармоническое отношение (206). § 7. Гармоническое разделение пар точек (208). § 8. Кривые и поверхности второго порядка (209).
§ 9. Теорема Штейнера (211). §10. Теорема Паскаля (212). § И. Полюс и поляра (214). § 12. Полярное преобразование. Теорема Брианшона (216).
§ 13. Принцип двойственности (217). Различные геометрии в проективной схеме (219). Упражнения к главе XVI (221).
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава XVII. Методы решения задач на построение
§ 1. Постановка задачи на построение (222). § 2. Метод геометрических мест (223). §3. Метод подобия (225). § 4. Метод симметрии (226). § 5. Метод параллельного переноса (227). § 6. Метод поворота (227). § 7. Метод инверсии (228). § 8. О разрешимости задач на построение (230). Упражнения к главе XVII (232).
Глава XVIII. Измерение длин, площадей и объемов 233
§ 1. Измерение отрезков (233). § 2. Длина окружности (235). § 3. Площади фигур (237). § 4. Объемы тел (241). § 5. Площадь поверхности (242).
Глава XIX. Элементы проекционного черчения 244
§ 1. Изображение точки на эпюре (244). § 2. Задачи на прямую (245).
§ 3. Определение длины отрезка (245). § 4. Задачи на прямую и плоскость (246). § 5. Изображение призмы и пирамиды (248). § 6. Изображение цилиндра, конуса и шара(249). § 7. Построение сечений (250). Упражнения к главе XIX (252).
Глава XX. Многогранные углы и многогранники 253
§ 1. Теорема косинусов для трехгранного угла (253). § 2. Трехгранный угол, полярный данному трехгранному углу (254). § 3. Теорема синусов для трехгранного угла (254). § 4. Соотношение между плоскими углами многогранного угла (255). § 5. Площадь сферического многоугольника (256). § 6. Выпуклые многогранники. Понятие выпуклого тела (258).
§ 7. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников (259). § 8. Теорема Коши (260). § 9. Правильные многогранники (262). Упражнения к главе XX (263).
Ответы и указания к упражнениям 265
Предметный указатель 284
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга предлагается в качестве учебного пособия для студентов педагогических специальностей университетов и пединститутов и содержит обязательный курс геометрии, предусмотренный программой. Особенностью этого курса является то, что он во всех своих частях обращен к элементарной геометрии и поэтому обеспечивает высокую профессиональную подготовку будущего учителя школы или преподавателя вуза.
Предлагаемый курс геометрии органически связан со школьным изложением этого предмета. Он начинается темой координаты и векторы, что для хорошо подготовленного абитуриента будет приятным повторением. Вообще, первая часть пособия — аналитическая геометрия — усваивается легко и, по существу, сводится к приобретению навыков в применении метода координат и векторной алгебры к решению элементарных геометрических задач.
Вторая часть книги — дифференциальная геометрия — содержит основные факты теории кривых и поверхностей.
Оригинальной является третья часть книги — основания геометрии. В отличие от традиционных курсов, где основные вопросы, связанные с аксиоматическим построением геометрии, решаются на основе аксиоматики Гильберта (или Вейля), в данном курсе все это изложение опирается на школьную аксиоматику. Таким образом, вопросы непротиворечивости, полноты и независимости аксиом решаются по отношению к аксиоматике, которая хорошо известна и исследование которой представляет безусловный профессиональный интерес. Третья часть книги заканчивается изложением основных фактов проективной геометрии в ее аналитической интерпретации.
Четвертая часть книги посвящена некоторым вопросам элементарной геометрии. Сюда вошли вопросы, которые в школьном
^курсе либо излагаются недостаточно полно, например, геометрические построения, либо излагаются недостаточно глубоко, напри* мер, вопросы измерения длин, площадей и объемов.
Характеризуя пособие в целом, можно сказать, что оно начинается школьным изложением и возвращается к нему на более высоком уровне, давая обширные и глубокие знания по пред мету школьного преподавания. Мы полагаем, что такое изложение должно вызвать безусловный интерес к профессии учителя в школе и преподавателя вуза.
Пользуюсь случаем поблагодарить моих сотрудников Ю. А. Аминова, А. И. Медяника, А. Д. Милку, Ю. С. Слободяна за критические замечания и помощь в работе над пособием.
|
