Вячеслав Всеволодович Мултановский
Анатолий Семёнович Василевский
Курс теоретической физики
*** 1990 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
HEKOTOPЫЕ БECCИCTEMHO И HEУBEPEHHO PACПOЗHAHHЫE
ФPAГMEHTЫ КНИГИ Классическая электродинамика Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. В нниге в соответствии с программой курса теоретической физики разобраны понятия и законы макроскопической электродинамики. В основу положены уравнения Максвелла для непрерывной системы зарядов в вакууме. Курс дает возможность студентам работать самостоятельно по лекциям и практическим заданиям. ПРЕДИСЛОВИЕ Классическая электродинамика является второй книгой курса теоретической физики для студентов физико-математических специальностей пединститутов. При изучении электродинамики иногда необходимо возвращаться к отдельным вопросам, изложенным в первой книге курса «Классическая механика» (М., Просвещение, 1989). В пособии выделен основной материал: фундаментальные понятия, принципы и положения электродинамики, изучение которых должно осуществляться на лекциях. Для облегчения организации самостоятельной работы студентов курс снабжен методическими указаниями и рекомендациями к главам. Этой же цели служат примеры и упражнения, раскрывающие основные положения теории, иллюстрирующие ее законы, обеспечивающие в отдельных случаях связь со школьным курсом (но не заменяющие задачники по теоретической физике). По мере изучения курса все большее значение приобретают выкладки, приводящие к конкретным физическим выводам: решения уравнений, преобразования формул и т. д. Предполагается, что студенты будут проделывать намеченные в каждом вопросе расчеты, для чего можно использовать дополнения и приложения, помещенные в конце книги, а также пособия и справочники по математике. ВВЕДЕНИЕ Электродинамику можно определить как науку об электромагнитном поле и его связи с электрическими зарядами, а также о действии поля на заряды. В классической механике рассматривается движение тел под действием заданных сил, причем зависимость сил от координат, времени и скорости материальной точки указывается как найденная экспериментально либо заимствуется из других физических теорий. Например, нами изучались проявления гравитационных и электромагнитных взаимодействий в виде ускоренных движений тел в пространстве, а природа соответствующих сил оставалась в тени. Электродинамика в известной мере восполняет этот пробел, описывая электромагнитное взаимодействие со стороны сил, вызванных электрически заряженными телами и действующих на тела, несущие заряды. Понятие электрического заряда является в электродинамике одним из исходных. Здесь обычно говорят о заряде как о самостоятельной субстанции, т. е. отделяют это свойство от его носителей — тел и частиц. Величина заряда определяется той силой, которая действует между двумя точечными зарядами, один из которых принимается за эталонный. Но основной объект, изучаемый электродинамикой, не заряд, а электромагнитное поле — переносчик электромагнитного взаимодействия между зарядами. Важно, что электромагнитное поле — реальный физический объект, вид материи, существующий в природе наряду с веществом. Хотя поле создается электрическими зарядами, оно может существовать и независимо от зарядов — в так называемом свободном состоянии, утратив связь с зарядами. Так, например, свет от Солнца движется к Земле 8,3 мин после излучения его атомами солнечной фотосферы. Все электромагнитные излучения, фиксируемые и используемые человеком, возникают за счет движения электрических зарядов, но далее существуют в вакууме самостоятельно. Электромагнитное поле занимает макроскопические области пространства, не имеющие в отличие от тел четких границ, и судят о наличии поля по силе, действующей в этих областях на заряженные тела. В механике уже было использовано понятие силового поля. Однако там поле — объект вспомогательный математический. Это не физический материальный объект. Согласно механической концепции на тело действует сила со стороны другого тела на расстоянии без какого-либо материального посредника. Но в природе реально не существует взаимодействие между телами на расстоянии (это только модель, применяемая в механике со сравнительно медленным движением тел), а имеет место взаимодействие зарядов с полем в точках, где заряды находятся. В электродинамике, изучающей самого переносчика взаимодействия — электромагнитное поле, механическая концепция дальнодействия заменяется концепцией близ-кодействия. Теперь переносчиком или носителем силы является электромагнитное поле. Сила определяется состоянием поля в заданной точке, а передача взаимодействия между заряженными телами осуществляется через поле с конечной скоростью с. Такова в общих чертах полевая концепция взаимодействия электродинамики. Полевая или релятивистская модель взаимодействия рассматривалась нами во второй части курса (см. [l]). По скорости передачи взаимодействия электромагнитное поле является предельно релятивистским объектом, а изучающая его электродинамика по природе изучаемого объекта — релятивистской теорией (но это не исключает возможность движения заряженных тел со скоростями v с), где для описания полей, как и в механике для описания движения тел, применяются инерциальные системы отсчета. С достаточной степенью точности для многих электромагнитных явлений инерциальной системой может служить система, связанная с Землей. (Во многих задачах электромагнитные силы на несколько порядков превышают силы инерции, так что в этой системе последними можно пренебречь.) При переходе от одной инерциальной системы к другой в электродинамике необходимо использовать преобразования Лоренца. В классической электродинамике как поле, гак и заряд считаются непрерывными. Это модели макроскопических полей и зарядов. В то же время известна дискретная микроструктура поля и заряда: свободное электромагнитное поле состоит из элементарных частиц — фотонов, а заряд — из элементарных зарядов частиц, входящих в состав вещества, — электронов и протонов. Классическая электродинамика относится к макроскопическим теориям и имеет хотя и очень широкую, но ограниченную область применимости. Она справедлива при условии, когда дискретный характер поля и заряда не сказывается при протекании явлений. Как правило, в ней речь идет о макроскопических областях пространства, о скоплениях огромного множества электронов, протонов и соответственно фотонов; рассматривается некое усредненное взаимодействие макроскопических зарядов и полей. Что касается электромагнитного взаимодействия на элементарном уровне, то законы макроскопической электродинамики имеки к нему ограниченную применимость и существенно дополняются в так называемой квантовой электродинамике. Теоретическое ядро электродинамики — система дифференциальных уравнений Максвелла, устанавливающая связь между характеристиками электромагнитного поля: напряженностью электрического поля и индукцией магнитного, а также расположением и движением электрических зарядов (плотностями тока и заряда). Большая часть задач электродинамики сводится к нахождению поля по заданному расположению и движению зарядов путем интегрирования исходных уравнений для различных частных случаев. Область применимости электродинамики необычайно широка в силу распространенности электромагнитных взаимодействий в природе, важности их технических применений, существенной роли этой теории в понимании свойств и структуры вещества и т. д. Созданию современной теории электричества предшествовал длительный период накопления эмпирических фактов и открытий отдельных фундаментальных законов. Начало научного изучения электричества и магнетизма было положено У. Гильбертом во второй половине XVI века, который объяснил поведение магнитной стрелки взаимодействием полюсов магнитов, открыл намагничивание, электризацию ряда тел и, наконец, ввел термин «электричество». Г. Кавендиш в 1771 г. впервые экспериментально показал, что силы взаимодействия электрических зарядов обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними, а в 1784 — 1785 гг. Ш. Кулон установил фундаментальный закон взаимодействия точечных неподвижных электрических зарядов. В 1791 г. Л. Гальвани открыл электрический ток, А. Вольта (1800 г.) построил первый источник тока — «вольтов столб», и в 1820 г. X. Эрстед открыл магнитное действие тока. Начало электродинамики как самостоятельной науки связывают с работами А. Ампера. Он около 1820 г. ввел понятия «напряжение» и «ток», установил закономерности механических взаимодействий токов, сделал попытку объяснить природу магнитных полей постоянных магнитов микроскопическими «молекулярными» токами в веществе. Вскоре (1827 г.) Г. Ом открывает закон, названный его именем, а в 1831 г. следует открытие М. Фарадеем явления электромагнитной индукции, установившее важную связь между магнитным полем и электрическим. Характерная особенность первоначальных эмпирических знаний об электричестве и магнетизме состояла в их разобщенности: например, рассматривалось до пяти видов электричества, а электрические и магнитные явления трактовались как самостоятельные. Процесс теоретического обобщения в этой области знания особенно наглядно выявляет установление единой природы и единых начал явлений и объектов, кажущихся различными. Вершиной такого обобщения является теория электромагнитного поля, развитая Д. К. Максвеллом в 1860 — 1865 гг. Как электрическое поле, так и магнитное оказываются в ее рамках проявлениями единой сущности — электромагнитного поля, а все эмпирические законы электромагнетизма могут быть выведены из исходных уравнений. Теория Максвелла утвердилась в физике после открытия в 1888 г. Г. Герцем электромагнитных волн, предсказанных Максвеллом. В истории познания природы замена механической концепции взаимодействия полевой имела революционное значение. Поле как таковое можно считать введенным в физику М. Фарадеем. Окончательно взгляды на поле как на вид материи утвердились после работ А. Эйнштейна по специальной теории относительности (1905 г.). В теории Максвелла электромагнитные свойства вещества учитывались феноменологически. В 1895 г. Г. Лоренц в электронной теории синтезирует идеи теории поля с представлениями о дискретности электрических зарядов. И хотя электронная теория Лоренца оказалась ограниченной в силу отсутствия в ней неизвестных тогда квантовых положений, в принципиальном отношении анализ электрических и магнитных свойств вещества, а также особенностей электромагнитного поля в нем на основе изучения взаимодействия зарядов вещества с полем является крупным эвристическим шагом вперед. Современная электронная теория — фундаментальная отрасль физики, опирающаяся не только на электродинамику и классическую механику, но и на квантовую механику и статистическую физику. В настоящее время по причинам методического характера не представляется возможным построить курс электродинамики в соответствии с исторической последовательностью ее развития. Целесообразно начинать с изучения электромагнитного поля в вакууме как нового (по отношению к веществу) вида материи, а затем на этой основе переходить к изучению поля в веществе. Если рассматривать вещество как систему связанных между собой электрических зарядов, то некоторые особенности электромагнитного поля в веществе становятся понятными в рамках простейшей модели вещества. По этим причинам в нашем курсе изложение электродинамики подчинено следующей схеме: — за основу взято учение об электромагнитном поле макроскопической системы электрических зарядов в вакууме (т. е. без учета влияния на поле тел, на которых заряды располагаются); — электромагнитное поле в веществе рассматривается как результат наложения на внешнее поле электромагнитного поля перестраивающихся в нем зарядов вещества. В связи с избранным подходом в курсе выделены две части: учение о поле в вакууме и учение о поле в веществе. Постановка во главу угла изучения электромагнитного поля в вакууме характерна и для современного школьного курса физики. С историей развития теории электричества можно ознакомиться по специальным пособиям (см. [4]). УЧЕНИЕ ОБ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В этой главе курса рассмотрены общие вопросы электродинамики как учения об электромагнитном поле. Ее положения и выводы необходимы для изучения каждой из остальных глав. § 1. Электрический заряд и электромагнитное поле 1.1. Заряд. Плотность заряда и плотность тока. Исходными для всей электродинамики являются такие понятия, как «электрический заряд» и «электромагнитное поле». Понятие «электрический заряд» тесно связано с особыми свойствами заряженных тел и частиц, которые проявляются в образовании электромагнитного поля, сопутствующего заряду, и в силовом действии поля на заряд. Эти два, вообще говоря, разных свойства заряженных тел — создавать поле и испытывать на себе действие поля других зарядов — характеризуются одной и той же величиной — электрическим зарядом Q. Величина заряда определяется в физических измерениях по тем или иным проявлениям электромагнитного взаимодействия. Так, для точечных покоящихся зарядов предполагают, что сила взаимодействия между ними пропорциональна величине зарядов (закон Кулона). Поэтому, выбирая единичный заряд, можно определить величину другого заряда, сравнивая силы взаимодействия зарядов: единичного с единичным и единичного с неизвестным. В метрологии в настоящее время принят другой (не прямой) способ определения величины заряда, основанный на магнитном взаимодействии движущихся зарядов, образующих токи. По определению сила постоянного тока равна отношению заряда ко времени: где Q — заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника. На основании предположения о пропорциональности механической силы взаимодействия двух линейных проводников силам тока в них установлена основная единица силы тока — ампер. (Ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 -ИГ7 ньютона на каждый метр длины.) Поэтому единица заряда — кулон — является производной единицей 1 Кл=1 Ас. Заряд — величина скалярная и выражается действительными числами: может иметь положительные, нулевые и отрицательные значения. Существенно, что заряд также и скаляр (инвариант) преобразований Лоренца, т. е. заряд некоторого тела или частицы выражается одним и тем же числом во всех инерциальных системах отсчета. Наконец, заряд — величина аддитивная: при соединении, например, двух точечных зарядов в один «результирующий» заряд будет равен алгебраической сумме соединенных зарядов. Заряд любой системы заряженных тел и частиц равен сумме зарядов отдельных тел и частиц. Заряд макроскопического тела равен сумме зарядов его частей. Не следует думать, что перечисленные свойства заряда самоочевидны или априорны; все они результат обобщения опыта, отражение объективно существующих природных свойств тел и частиц. Опыт отвечает и на вопрос о непрерывности или дискретности заряда. Как известно, пределом дробимости электрического заряда является элементарный заряд, присущий электронам, протонам и другим заряженным элементарным частицам, модуль его е — 1,6021892 10-19 Кл. (Субэлементарные частицы — кварки — имеют заряды + у е или + е, но они в свободном состоянии не наблюдаются.) Таким образом, электрический заряд по природе дискретен. Однако в классической электродинамике рассматривают макроскопические заряды, которые считаются непрерывными, а непрерывными заряды можно считать лишь без учета существования наименьшего элементарного заряда. Отсюда следует, что понятие бесконечно малого заряда dQ имеет физический, а не буквально математический смысл: dQ мало по сравнению с некоторым полным зарядом Q, но все еще так велико по сравнению с элементарным зарядом, что дискретность элементарных зарядов можно не принимать во внимание. Непрерывность электрического заряда допускает и непрерывное его распределение в пространстве; оно описывается плотностью заряда, определяемой соотношением где dQ — заряд в элементе объема пространства dV. Рассматривая плотность зарядов, расположенных на телах, следует также учитывать, что элементарный заряд dQ сосредоточен в физически малом объеме пространства dV, размеры которого малы по сравнению с другими размерами в задаче. Однако этот объем все еще очень велик по сравнению с объемом отдельного атома. (Такое физическое, а не только математическое толкование dQ и dV следует иметь в виду на протяжении всего курса классической электродинамики.) В целом ряде задач электродинамики можно отвлечься от материальных тел и частиц — носителей зарядов — и иметь дело только с зарядами, распределенными в пространстве тем или иным образом. Заряды рассматриваются условно как особая субстанция, распределенная в пространстве с плотностью д. Обсудим еще понятие «точечный заряд». Ему в классической электродинамике может быть придан двоякий смысл. Во-первых, за точечный заряд принимается бесконечно малый заряд dQ, находящийся в бесконечно малом элементе объема пространства. Эта модель точечного заряда соответствует его непрерывному распределению в пространстве. В таком случае dQ = gdV. (1.1-а) Во-вторых, в отдельных случаях используется модель дискретного в пространстве точечного заряда. Согласно этой модели любой величины макроскопический заряд q может быть сосредоточен в геометрической точке пространства. Плотность заряда в таком случае выражается формулой д (f) = q6 (f- г0), (1.1-6) где 6 (г — г0) — дельта-функция Дирака (см. П. III), а г0 — радиус-вектор точки, где расположен заряд. (Здесь и далее буква q используется для обозначения величины точечного заряда.) Элементарный электрический заряд электрона е также является точечным. Но что касается дискретных зарядов элементарных частиц, то в рамках классической электродинамики нет возможности ставить вопрос об особенностях, вносимых в электромагнитное взаимодействие дискретностью зарядов как по величине, так и по пространственному распределению, ибо здесь отдельные элементарные заряды и их поля не рассматриваются. Взаимодействия элементарных зарядов между собой и особенности их полей описываются квантовой электродинамикой. Чтобы подсчитать заряд в конечном объеме пространства, нужно знать его плотность д(г) в каждой точке и произвести суммирование: Как известно, движущиеся электрические заряды создают ток. Для описания этого явления используется понятие плотности тока /, которую определим соотношением где д — плотность заряда в некоторой точке пространства, a v — ско-ю рость движения заряда gdV в ней. (Если учитывать, что dV не является точкой, то речь идет о некоторой средней скорости частей заряда dQ в элементе объема dV с центром в точке г.) Модуль плотности тока численно равен заряду, проходящему в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной траекториям движения зарядов — линиям тока; направлен вектор / по касательной к линии тока. От плотности тока нетрудно перейти к силе тока — заряду, протекающему через площадку S за единицу времени (рис. 1.1): где js ~ проекция вектора на нормаль к площадке dS. Сила тока — скалярная величина; это поток вектора плотности тока через некоторую поверхность. Если электрические заряды движутся, то плотность зарядов в пространстве может изменяться с течением времени, т. е. плотность заряда есть функция координат точки пространства и момента времени: Итак, распределение и движение электрических зарядов в пространстве описывается скалярной и векторной величинами: плотностью заряда д и плотностью тока . В классической электродинамике эти две величины определяют действие некоторого заданного поля на движущиеся заряды и электромагнитное поле, созданное этими зарядами. 1.2. Закон сохранения заряда. Насколько это сейчас известно, в число точных (абсолютных) законов природы наряду с законами сохранения энергии, импульса, момента импульса входит и закон сохранения электрического заряда: при любых известных взаимодействиях элементарных частиц между собой сумма (алгебраическая) электрических зарядов частиц до взаимодействия равна сумме электрических зарядов частиц после взаимодействия. В процессе взаимодействия необязательно сохраняются частицы как таковые; не сохраняется их общее число, так как одни частицы исчезают, а другие возникают, но суммарный их заряд остается неизменным. Закон проверен на множестве реакций с элементарными частицами с высокой оепенью точности. Классическая электродинамика изучает процессы, при которых не происходит взаимных превращений заряженных частиц, так что закон сохранения заряда здесь есть простое следствие сохранения его носителей — электронов и протонов. В изолированной системе электрический заряд сохраняется. Изменение его в неизолированной системе определяется только токами зарядов, текущими из системы или в систему. Поэтому убыль величины заряда в любом объеме пространства в единицу времени равна току, вытекающему через поверхность, ограничивающую объем. Математическая формула закона сохранения имеет вид Это интегральное равенство эквивалентно дифференциальному равенству Для доказательства следует взять интеграл по объему от обеих частей равенства (1.6) и в правой части применить теорему Гаусса. Соотношение (1.6) называется уравнением непрерывности тока зарядов, оно выражает закон сохранения заряда в каждой точке пространства. (...) 1.3. Электромагнитное поле. Напряженность электрического поля. Индукция магнитного поля. Электромагнитное поле — основной объект, изучаемый в электродинамике. Электрический заряд есть свойство заряженных частиц и заряженных тел, а электромагнитное поле, как уже говорилось, — вид материи, в макромире отличный от вещества. Существенное отличие поля от тел состоит в отсутствии локализации его в четко ограниченных областях пространства: электромагнитное поле, сопутствующее заряженным телам, занимает области без резкой границы, характерной для макроскопических тел. Кроме того, поля обладают проницаемостью: в одной и той же области пространства могут существовать одновременно несколько полей, тогда как поместить несколько тел в одну и ту же область пространства без изменения их свойств не удается. В общем случае мы имеем дело с переменным электромагнитным полем, рассеивающимся в пространстве и стремящимся занять возможно большую пространственную зону. Так, например, система электрических зарядов, ускоренно движущихся в некоторой пространственной области, излучает поле в виде электромагнитных волн в пространство, окружающее указанную область. Часто для конкретных систем зарядов приходится рассматривать поле во всем безграничном пространстве. При этом необходимо знать характер ослабления поля по мере удаления его от источника. (Вспомним, например, поле покоящегося точечного электрического заряда.) Единство материи в виде вещества и поля проявляется в том, что имеются универсальные физические понятия, равно применимые ко всем физическим объектам: энергия, импульс, момент импульса. Эти величины присущи полю и в макроскопической модели поля считаются непрерывно распределенными с определенной плотностью по всему объему, занимаемому полем. Действия поля на тела, а также на органы чувств человека связаны с названными характеристиками поля; при взаимодействии поля с веществом меняется состояние поля и тел, изменяются энергии, импульсы, моменты. |
