Математика

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
     
      Пособие составлено в строгом соответствии с программой курса.* Каждому разделу программы соответствует одноименная глава учебного пособия, каждому пункту раздела — параграф или пункт параграфа пособия.
      * Программы педагогических институтов. Математика. Для специальности № 2121 «Педагогика и методика начального обучения». М., «Просвещение», 1972.
      Так как это пособие предназначено для студентов I курса, авторы, считая доступность материала своей главной задачей, вначале придерживались уровня строгости изложения школьных учебников для старших классов, а затем постепенно повышали его.
      Простейшие теоретико-множественные и логические понятия иллюстрируются многочисленными примерами, в том числе и «детскими», вполне доступными учащимся начальных классов, подсказывающими возможность перевода этих понятий на язык детей этого возраста, а следовательно, и раннего ознакомления детей с новыми базисными понятиями современной школьной математики.
      Те разделы программы, которые являются для студентов совершенно новыми, излагаются в предлагаемом пособии более детально, чем те, которые хотя бы частично в какой-то форме изучались в школе.
      Элементы теории множеств и математической логики излагаются более детально еще и потому, что они составляют основу современной школьной математики и снабжают ее соответствующим языком.
      Введенные в первых двух главах теоретико-множественные и логические понятия и соответствующий язык используются в остальных главах пособия.
      В конце книги приведены упражнения к каждой главе. Они предназначены лишь для разъяснения и закрепления теории и поэтому не исчерпывают всех видов упражнений, которые необходимо решать по данному курсу.
      Книга состоит из четырех глав. Главы разделены на параграфы, а параграфы — на пункты. Нумерация формул и теорем ведется внутри каждого пункта. При ссылках на соответствующую формулу или теорему указывается ее номер и в скобках — номер пункта, в котором она находится. Например, запись вида «теорема 3 (1.2.5)» означает ссылку на теорему 3 из пункта 5 параграфа 2 главы 1, а формула (5) п. 2.3.4 — формулу (5) пункта 4 параграфа 3 главы 2 и т. п.
      Авторы
     
      Глава 1
      ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КОМБИНАТОРИКИ
      § 1.1. МНОЖЕСТВО
      1.1.1. Множество
      Одним из основных понятий современной математики является понятие множества. Оно обычно принимается за первоначальное и поэтому не определяется через другие.
      Когда мы говорим, что под множеством предметов понимаем «совокупность, собрание или класс каких-нибудь различимых предметов, безразлично, какой природы», мы указываем лишь синонимы («совокупность», «собрание», «класс») для слова «множество» с целью достижения интуитивной ясности смьГсла, в котором оно применяется. Этот смысл поясняется и многочисленными примерами. Так, можно говорить о множестве всех студентов первого курса, о множестве всех жителей города Минска (о населении города Минска), о множестве молекул данного тела, о множестве овец (отаре) колхозной фермы, о множестве всех целых чисел, о множестве точек плоскости, отстоящих от данной точки 0 на расстоянии 1 (окружности с центром 0 и радиусом 1), о множестве рациональных корней данного уравнения и т. д.
      Когда в математике говорят о множестве объектов (чисел, точек, функций и т. д.), то понимают под этим одно целое — совокупность этих объектов. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845 — 1918) выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое».
      Слово «множество» в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу — множество деревьев, но если перед домом имеются два дерева, в обыденной речи не говорят, что перед домом имеется «множество деревьев».
      Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов.