ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Книга 1: АРИФМЕТИКА. — 1961 г.
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
Издание "Энциклопедии элементарной математики" задумано Академией педагогических наук РСФСР как пособие для учителей математики средней школы и студентов физико-математических факультетов педагогических и учительских институтов. Его назначение дать систематическое изложение научных основ школьного предмета математики. Книга не может служить для первоначального изучения предмета. Она предназначена для людей, изучавших элементарную математику и уже ставших или готовящихся стать преподавателем элементарной математики. Она не следует, как правило ни порядку, ни способу изложения математики в средней школе, так как то и другое обусловлено возрастными особенностями учащихся и образовательными целями средней школы, т.е. соображениями, которые не играют роли по отношению к подготовленному читателю-профессоналу. Логика издания - это логика систематического, по возможности простого и доступного, изложения тех вопросов математической науки, из которых строится школьный курс, а также и тех, которые хотя и не находят в этом курсе прямого выражения, однако необходимы для правильного и сознательного его понимания и создают перспективы для дальнейшего развития содержания и методов школьного курса. Книга начинается статьей, посвященной системам счисления и нумерации. Далее идет статья о построении теоретических основ арифметики - рассматриваются весьма общие математические понятия (множества, группы, кольца и поля), а также аксиоматическое изложение теории натуральных чисел, на основе которой вводится теория целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Следующая статья посвящена вопросам, связанным с теорией делимости, в частности, теории цепных дробей. Последняя статья посвящена вопросам округления чисел, правилам приближенных вычислений, подсчета погрешностей и вспомогательным средствам вычислений. Содержание Предисловие. Происхождение систем счисления. (И.Г.Башмакова и А.П.Юшкевич) Введение. § 1. Начальная стадия развития счёта. § 2. Непозиционные системы счисления. § 3. Алфавитные системы нумерации. § 4. Поместные или позиционные системы счисления. § 5. Распространение позиционного принципа записи чисел в Западной Европе и в России. § 6. Дроби. Заключение. Понятие множества, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики. (И.В.Проскуряков) Введение. Глава I. Множества. § 1. Понятие о множестве. § 2. Операции над множествами. § 3. Функция, отображение, мощность. § 4. Конечные и бесконечные множества. § 5. Упорядоченные множества. Глава II. Группы, кольца и поля. § 6. Группа. § 7. Кольцо. § 8. Поле. § 9. Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм. § 10. Расположенные кольца и поля. Глава III. Натуральные числа. § 11. Аксиомы натуральных чисел. § 12. Сложение. § 13. Умножение. § 14. Порядок. § 15. Индуктивные определения. Сумма и произведение нескольких чисел. § 16. Вычитание и деление. § 17. Замечания о системе аксиом натуральных чисел. Глава IV. Кольцо целых чисел. § 18. Принцип расширения в арифметике и алгебре. § 19. Эквивалентность и разбиение на классы. § 20. Определение кольца целых чисел. § 21. Свойства целых чисел. Глава V. Поле рациональных чисел. § 22. Определение поля рациональных чисел. § 23. Свойства рациональных чисел. Глава VI. Поле действительных чисел. § 24. Полные и непрерывные поля. § 25. Определение поля действительных чисел. § 26. Свойства действительных чисел. § 27. Аксиоматическое определение действительных чисел. Глава VII. Поле комплексных чисел. § 28. Определение поля комплексных чисел. § 29. Свойства комплексных чисел. § 30. Гиперкомплексные числа, кватернионы. Литература. Элементы теории чисел. (А.Я.Хинчин) Глава I. Делимость и простые числа. § 1. Введение. § 2. Однозначное разложение чисел на простые множители. § 3. О простых числах. Глава II. Метод сравнений. § 4. Введение. § 5. Сравнения и их основные свойства. § 6. Классификация чисел по данному модулю. § 7. Сравнения, содержащие неизвестные. Глава III. Алгорифм Евклида и цепные дроби. § 8. Алгорифм Евклида. § 9. Элементарная теория цепных дробей. Глава IV. Представление чисел систематическими и цепными дробями. § 10. Введение. § 11. Систематические дроби. § 12. Цепные дроби. Глава V. Цепные дроби и диофантовы приближения. § 13. Подходящие дроби в роли наилучших приближений. § 14. Диофантовы приближения. Глава VI. Алгебраические и трансцендентные числа. § 15. Теорема Лиувилля и первое появление трансцендентных чисел. § 16. Метод Кантора. § 17. Арифметическая природа классических постоянных. Литература. Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычислений. (В.М.Брадис) Глава I. Общие сведения о счёте и приближённых вычислениях. § 1. Общие соображения об изучении счёта в школе. § 2. Счёт устный. § 3. Счёт письменный. § 4. Вспомогательные средства вычисления. § 5. Приближённые значения. § 6. Различные способы оценки точности приближённых значений. § 7. Обработка результатов измерений. Глава II. Учёт погрешностей. § 8. Вычисления со строгим учётом погрешностей по способу границ. § 9. Вычисления со строгим учётом погрешностей по способу границ погрешностей. § 10. Предельные погрешности результатов действий над приближёнными значениями. Правила подсчёта цифр. § 11. Средние квадратические погрешности результатов действий над приближёнными числами. Принцип академика А.Н.Крылова. § 12. Распределение погрешностей в результатах вычислений. § 13. Практические применения правил подсчёта цифр. Сводка этих правил. Глава III. Различные вопросы. § 14. Приближённые формулы. Сокращённые приёмы действий. § 15. Математические таблицы. § 16. Графические вычисления. § 17. Счётная логарифмическая линейка. § 18. Вычислительная работа в разные годы обучения. Литература. Алфавитный указатель. ФPAГMEHT УЧЕБНИКА (...) Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм Каждая математическая теория изучает множества с теми или иными отношениями элементов, обладающими темп или иными свойствами. Содержание теории заключается в определении одних отношений (или понятий) через другие и в доказательстве одних свойств этих отношений (или понятий) на основании других свойств. Так, в теории упорядоченных множеств одно из отношений «больше» и «меньше» определяется через другое, с их помощью определяется понятие «первый элемент» и т. д. (§ 5); в теории колец отношение а — Ь = с и понятие «нуль» определяются через отношение a -j- Ь — с. Ясно, что определить все понятия и отношения и доказать все их свойства невозможно по причинам чисго логического характера: каждое определение лишь сводит данное понятие к другим, а каждое доказательство лишь выводит данное свойство из других. Приходится поэтому некоторые отношения (или понятия) ославлять без определения. Они называются основными отношениями или понятиями. Точно так же приходится некоторые свойства этих основных отношений оставлять без доказательства. Эти свойства называются основными свойствами или аксиомами. Список основных понятий и аксиом и составляет фундамент данной математической теории, на котором вся она строится логическими средствами. Основной особенностью, придающей современному построению математических наук абстрактный характер, является изучение свойств интересующих нас понятий и отношений в применении к любым множествам, в которых данные понятия и отношения могут быть определены. При этом конкретный смысл элементов множеств и все их конкретные свойства (помимо изучаемых в данной математической теории) для данной теории совершенно безразличны. Так именно было, например, в трёх последних параграфах при определении группы, кольца и попя как множеств элементов с данными отношениями (операциями сложения и умножения), обладающими данными основными свойствами; так обстоит дело при аксиоматическом построении геометрии (см. [8] и [9]), где точки, прямые и плоскости — объекты, природа которых для формального построения геометрии Совершенно безразлична, лишь бы между ними были основные отношения («точка лежит на прямой» и т. п.), удовлетворяющие основным условиям (аксиомам геометрии). Но если так, то можно думать, что существует не одна, а много теорий колец и полей, не одна, а много различных геометрий в зависимости от того, какое конкретное множество положено в основу данной теории. Выход из этого затруднения следует, однако, уже из сказанного выше и заключается в точном определении содержания данной математической теории. Ведь данная теория, как было указано, изучает не все свойства элементов множества, а лишь те из них, которые относятся к основным отношениям, заданным для этих элементов, и которые вытекают из основных свойств (аксиом), которым подчиняются основные отношения. Все остальные свойства (сами по себе, можег быть, весьма важные) просто не являются предметом изучения в данной теории. Она абстрагируется от этих свойств. Поэтому все множества, для элементов которых определены (для каждого множества по-своему, на основе конкретных свойств его элементов) основные отношения и у которых все свойства этих отношений одинаковы, с точки зрения данной теории неразличимы между собой. Но так как основные отношения определяются для каждого множества, исходя из конкретных свойств его элементов, то, изучая в абстрактной форме свойства основных отношений, данная теория изучает, таким образом, некоторые конкретные свойства целого класса конкретных множеств. Эт0 диалектическое единство абстрактного и конкретного свойственно всякой науке, но в математике оно проявляется, пожалуй наиболее ярко. Конечно, математика изучает не все свойства материальных тел, а лишь те из этих свойств, которые поддаются количественной оценке или пространственному описанию. Основные для всей математики понятия числа и фигуры являются абстрактным выражением именно этих свойств материальных тел. Таким образом, несмотря на абстрактный характер построения современной математики, для неб остаётся в силе определение, данное Энгельсом *): «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира». Понятие множеств, имеющих одинаковые свойства отношений между их элементами и поэтому неразличимых в рамках данной математической теории, получает точное выражение в следующем общем понятии изоморфизма: Определение 1. Два множества М и М', в каждом из которых определены отношения элементов, образующие некоторую *) Ф. Энгельс, Антн-Дюринг, 1918, стр. 37. систему отношений S, называются изоморфными (запись М ^ М') относительно данной системы отношений (короче просто изоморфными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее все отношения системы S, т. е. такое, что если любые элементы М находятся в любом из отношений системы S, то соответствующие им элементы М' находятся в том же отношении, и обратно. Можно сказать, что аксиоматическая теория изучает множества лишь с точностью до изоморфизма относительно системы основных отношений данной теории. Понятие изоморфизма обладает, очевидно, тремя основными свойствами: 1) MggM, 2) если М ^ М, то М' дд М, 3) если М^М' и М'е^М", то М^М”. Например, в случае отсутствия каких-либо отношений (в случае, когда система отношений S’ есть пустое множество) определение 1 обращается в определение эквивалентности (§ 3), а в случае одного отношения «а предшествует b» при выполнении соответствующих аксиом — в отношение подобия (§ 5). То, что понятие изоморфизма действительно выражает одинаковость всех рассматриваемых свойств множеств, можно формулировать в виде следующего общего положения: Если множества М и М' изоморфны относительно некоторой системы отношений S, то любое свойство множества М, формулированное в терминах отношений системы S (и, значит, и отношений, определяемых через отношения системы S), переносится на множество М', и обратно. |
