Н. А. Извольский
МЕТОДИКА ГЕОМЕТРИИ
*** 1924 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящем сочинении мне приходится выступить с критикою многих воззрений, которые имеют место на вопросы методики геометрии у современников. Критика сводится, в сущности, к двум основным пунктам: 1) приходится протестовать против широко распространенного обыкновения разучивать „доказательства“ взамен разучивания самой геометрии; 2) приходится остановить внимание читателей, что то новое течение в области методики геометрии, которое требует введения так называемого пропедевтического, курса геометрии, где бы маленькие учащиеся знакоми1 лись опытным путем с рядом геометрических свойств, стоит на ложном пути: опыт не является тем средством, которым совершается и совершалось накопление геометрических знаний, и в этом пропедевтическом курсе, образцы которого мы имеем в ряде вышедших за последние годы учебников (Астряб, Кулишер, Маркус, Гебель по Горнбруку и др.), обучение геометрии велось бы, в сущности, методом, уже давно осужденным. В самом деле, если на протяжении всего курса учащимся предлагают проделать целый ряд опытов (вроде: возьми циркулем такой-то отрезок и сравни его с таким-то, — убедись из этого, что первый отрезок в 2 раза меньше второго; или: вырежь из бумаги такие-то треугольники, наложи их один на другой и убедись, что они равны и т. п.), из которых учащиеся должны убедиться в справедливости того или иного геометрического предложения, то ведь в конце концов дело здесь сводится к тому, -что учащимся просто предлагают запомнить целый ряд положений, а опыты, здесь рекомендуемые, являются лишь мнемоническим средством. Те воззрения, какие проводятся в настоящем сочинении, явились для меня результатом многолетней моей практической работы, которая заставляла вдумываться в целый ряд вопросов, задававмых практикою. Конечно, я имел предшественников. Уже давно под влиянием неудовлетворенности результатами обучения геометрии, началось искание новых путей. И если, в общем, как указано выше, педагогическая мысль встала на ложный путь, то в работах отдельных лиц, хотя бы затем и уклонившихся на тот же ложный путь, можно встретить целый ряд мыслей, близких к гем, которые развиваются мною в настоящем сочинении. Укажу, напр., на имена: Борель, Симон, Ройтман (предисловие к его курсу геометрии заслуживает большого внимания), Шохор-Троцкий и др. Особенно мне приходится обратить внимание на книгу французского математика-философа Анри Пуанкаре — „Наука и метод". Эта книга помогла мне привести в отчетливость те мысли по поводу преподавания геометрии, которые до чтения этой книги, были недостаточно оформлены. Я знаю; привычка к обычному взгляду на преподавание геометрии настолько укоренилась среди преподавателей математики, что нет надежды в ближайшем будущем рассчитывать иа радикальное изменение дела обучения геометрии, — для этого мало тех докладов, тех лекций. Которые мне неоднократно приходилось читать, тех статен, какие мне приходилось писать, и, наконец, факта появления в печати настоящей книги. Для этого надо, чтобы еще целый ряд педагогов-математиков, ищущих новых путей, примкнул к тому направлению, какое развивается в настоящей книге. Пусть появится целый ряд новых работ, — тогда, в будущем, явится надежда на обновление дела обучения геометрии. Н. Извольский. I. Общие методические соображения. 1. О взгляде кэ геометрию, как на логическую систему. В основу построения методики геометрии должно прежде всего положить определенный взгляд на самый предмет геометрии — руководящий взгляд: исходя пз него, явится возможным установить и основные пункты методики; опираясь на негр, можно развить и детальный план обучения в каждой школе; в нем можно найти указания и на те средства, которыми должно пользоваться для развития геометрического содержания курса; он, наконец, явится опорою для преподавателя во время его работы в классе. Уже благодаря "Началам" Евклида, составился взгляд на геометрию, как на логическую систему, в основе которой заложен ряд постулатов, а содержание которой состоит из ряда предложений (теорем), выводимых из основных постулатов и из предыдущих предложений средствами формальной логики. За последнее время ряд работ в этом направлении привел к построению нескольких систем. Одна из таких систем построена Д. Гильбертом в его знаменитых „Grundlagen der Geometrie. Уже самое начало этой книги („мы мыслим три различных системы объектов: объекты первой системы мы называем точками..., второй — прямыми... и третьей — плоскостями“) ясно выражает желание автора отказаться от всякого образпого представления этих объектов трех систем и свести все дело к формальной логике. Вопросы: удалось ли это? И может ли вообще это удаться? — остаются открытыми. И в сочинении Анри Пуанкаре (см. русский перевод: Г. Пуанкаре — „Наука и метод) ыоясно найти выражение больших сомнений в возможности выполнения такой задачи. Вот выписка из „Науки п метод: „Он (Гильберт) хотел довести до minimum’a число основных акспом геометрии и перечислить их все без Остатка. Но в тех суждениях, в которых наш ум обнаруживает активность, в которых интуиция еще играет роль, трудно отделаться от внесения постулата или аксиомы, которые незаметно входят в суждение. Лишь в случае, если бы все геометрические суждения приняли чисто-механическую форму, Гильберт мог бы быть уверенным в том, что он исполнил свое намерение и успешно закончил свою задачу. Остановимся на одном месте этой выписки: «трудно отделаться от постулата или аксиомы, которые незаметно входят в суждение. И сразу же, с нервых слов книги Гильберта, выясняется та почва, где такое внесение может иметь место. «Мы мыслим три системы объектов: объекты первой называются точ-ка ми и обозначаются буквами А, В, С... и т. д. Раз мы мыслим, то уже значит, что мы признаем их существование, независимое от всего дальнейшего, чтб имеет место в книге Гильберта. Уже это обстоятельство позволяет думать, что здесь имеет место интуиция, и она не модет не отразиться на всем последующем. А далее: мы мыслим три системы объектов — стало быть, мы умеем как-то различать объекты одной системы от ооъектов другой, от объектов третьей. Так как дальнейшее развитие геометрии Гильберта все время отделяет объекты этих трех систем, то еще более усиливается уверенность, что Гильберт опирается в развитии содержания своей геометрии не только на свои постулаты, но и на нечто иное, что позволяет ему отличать объекты разных систем. Это „нечто иное", конечно, сводится к интуиции и является тою почвою, на которой нельзя обойтись без внесения неуловимых новых постулатов и аксиом, и, может быть, их число бесконечно велико. Однако, задача сведения всего содержания геометрии в логическую систему может быть поставлена и до тех пор, пока не будет доказано, что число постулатов, нужных для этого, бесконечно велико (Анрп Пуанкаре делает, в этом направлении некоторые, но еще не достаточные шаги); работа в этом направлении должна быть признана имеющей право на существование, и эта работа должна быть полна интереса для тех специалистов-мате-матиков, которые 1) верят в конечность числа аксиом, нужных для формального обоснования геометрии и 2) работают именно в этом направлении. Но не является ли преступлением по отношению к тем молодым математическим силам, которые хотят работать в ином, более материальном, направлении, заставлять их штудировать ряды томов, посвященных этим схоластико-формаль-ным изысканиям? А еще большим преступлением явится введение такого направления геометрии в школу, хотя бы даже в старшие классы средней школы. Нет, с таким взглядом педагогу делать нечего и направлять им дело обучения геометрии он не может и не должен. А на всякие возражения против предыдущих соображений для математика-педагога есть еще один аргумент: пусть система Гильберта безукоризнена, пусть, если это не удалось Гильберту или Веронезе, удастся в будущем кому-либо другому построить безукоризненную логическую систему геометрии, но все же должно признать, что такая работа есть работа лишь по приведению в систему геометрических знаний, но приобретение эгих знаний ведь совершалось иным путем, где и интуиция и логика играли равноправные роли лишь орудий для изысканий, но ни одно из них не являлось целью. И обучение геометрии должно иттп по тому пути, по которому шло накопление геометрических знаний, а не по тому пути, на который вступили желающие привести эти знания в формально логическую систему. 2. Традиционная система преподавания и ее результаты. Та система преподавания геометрии, которая обычно имеет место в нашей средней школе и направляется учебниками типа А. Давыдова, А. Киселева и т. п., отчасти отразила в себе вышеизложенный взгляд на геометрию, как на логическую систему, но отразило крайне искаженно: логическая система, в сущности, отсутствует, но логика в форме ряда Силлогизмов имеется налицо. Достаточно указать лишь один пример, чтобы понять, что в нашем традиционном курсе о.системе11 не может быть и речи: напр., тщательно доказывается, что диагонали параллелограмма взаимно делятся пополам, но не дается доказательства, что эти диагонали пересекаются внутри параллелограмма, да и не дастся руководящей нити, как это доказать (да и возможно ли это?). Вся суть нашего традиционного курса геометрии сводится к разучиванию доказательств ряда теорем: сперва объявляется теорема, затем она доказывается, после чего следует классическое „что и требовалось доказать". Методические работы по геометрии (см., напр., характерную в этом отношении книгу Юнг — „Как преподавать математику") сводятся в огромном большинстве случаев к изысканию более удобных для классного изложения, более простых для запоминания доказательств и к рассуждениям о ценности различных доказательств. Мало того, укрепившийся за последнее время принцип наглядности повел по отношению курса средней школы к изготовлению ряда пособий, иллюстрирующих также... доказательства теорем. Нет ничего удивительного, что под влиянием такой постановки - дела преподавания геометрии у учащихся в средней школе слагается взгляд на геометрию, как на собрание ряда теорем, неизвестно почему или зачем появившихся, причем к этому присоединяется еще (неприятная — для многих) обязанность доказывать эти теоремы. Неудивительно это потому, что при обычном ходе преподавания ни учебник, ни преподаватель не делают ничего, чтобы гак или иначе осветить вопрос о происхождении теорем. И только в редких случаях мы имеем исключение: некоторые преподаватели в той или другой форме выдвигают на видное место вопрос о происхождении теорем, и тогда для учащихся у этого преподавателя курс геометрии принимает иной характер и перестает быть только собранием теорем. А иногда некоторые из учащихся, независимо и от учебника и от преподавателя, сами полусознательно приходят к представлению или к мысли о том, что такая-то теорема появилась не потому, что этого захотел автор учебника или преподаватель, а потому, что она служит ответом на вопрос, естественно возникший во время предыдущей работы. И для таких учеников (это, может быть, самые способные и не только „к математике", но и вообще) геометрия принимает характер, существенно отличный от вышеуказанного:-геометрия сводится к ряду изысканий, имеющих целью. найти ответы на ряд вопросов, естественно возникающих по мере течения геометрической работы, вопросов, которые следуют друг за другом и образуют как бы цепь, разветвленную в ее многих местах. 3. Взгляд на геометрию, как па систему изысканий, имеющих целью найти ответы на последовательно возникающие вопросы. Наиболее продуктивным для педагогических целей следует ститать взгляд на геометрию, намеченный, хотя и кратко, в вышеупомпнаемом мемуаре А. Пуанкаре — „Наука и метод"; этот взгляд является объединяющим для всех иаук, придавая им характер изысканий в области комбинаций, которые, постепенно усложняясь, создаются каждой наукой из материала, относящегося к ее ведению. Каждая наука отбирает в свое ведение ряд фактов, которые составляют тот материал, над которым наука производит свою работу. Происходит как бы отбор фактов: такой-то факт известная наука бррет в свое ведение, а другой отбрасывает, как не подлежащий ее компетенции. Так, факт существования какоп-лпбо звезды берет в свое ведение астрономия, те события, какие имеют место в России в настоящее время (1918 г.) возьмет в свое ведение история и т. д. и т. д. Иногда удается более или менее удачпо общими словами охарактеризовать тот материал, который принадлежит ведению известной науки. Например, механику определяют, -как науку о движении, указывая этим, что к ведению механики относятся факты, так или иначе связанные с движением. Иногда, наоборот, бывает чрезвычайно трудно выделить при помощи общего определения тот материал, который относится к ведению известной науки. Например, мы знаем, что чрезвычайно трудно отделить те факты, которые относятся к области физики, от тех, которые относятся к химии. Каждая наука на разных стадиях своего развития стремится классифицировать свой материал; иногда эта классификация происходит уже на первых стадиях развития науки, иногда — лишь на последующих. При этом всегда имеет место стремление из всего материала, которым наука в данный момент владеет, выделить тот, который по тем или иным признакам признается нами за простейший. Исполним стремление хнмип выделять те эле- менты, которые не удалось разложить на другие и которые называются простыми. Содержание главной работы, при помощи которой происходи развитие науки, во всех науках сводится к изучению различных комбинаций из материала этой науки, причем эти комбинации либо берутся, как отдельные факты, в готовом виде, либо искусственно составляются в связи с известною руководящею мыслью или определенною целью. Это изучение приводит в открытию ряда особенностей каждой комбинации, из которых одни более, а другие менее привлекают наше внимание. Если у ряда комбинаций удается подметить аналогичные особенности, то это обстоятельство ведет в установлению закона для этой науки. Если когда-то, очень давно, обратила на себя внимание особенность комбинации, получаемой от трения палочки смолы-о мех, особенность, состоящая в том, что после этого смола начинает притягивать легкие тела, то эта особенность послужила исходным пунктом для изучения ряда других комбинаций, особенности которых заставили построить целый ряд новых комбинаций и т. д., и в результате мы теперь имеем учение об электричестве с целым рядом законов. Развитие математики, а в частности геометрии, должно было совершаться таким же путем. За исходный пункт числовой ветви математики (арифметика, алгебра, анализ) следует признать тот факт, что человек умеет выделять из всего окружающего группы предметов. Под влиянием этого факта были созданы числа, сначала целые, а затем, по мере развития работы, дробные, относительные и т. д., и эти числа являются тем материалом, иад которым работает числовая ветвь математики. За исходный пункт геометрии следует признать тот факт, что мы всюду вокруг себя видим различные границы: вот облако на синем небе — мы видим границу между небом и облаком; вот линия горизонта — она нам представляется границею между небом и землею; вот стена — и мы видим границу между нею и внутренностью комнаты и т. д. и т. д. Ориентируясь в этом факте, мы приходим к заключению, что можно все наблюдаемые нами границы разделить на 3 категории, разницу между которыми трудно выразить словами, но легко подметить эту разницу, если станем показывать различные границы: в одних случаях придется делать движение всею ладонью руки, как бы мазать, в других — делать движения лишь пальцем — обводить и в третьих «случаях придется лишь указывать. После внимательного рассмотрения разных наблюдаемых границ, мы приходим в убеждению, что иного сорта границ не существует (точнее: мы не наблюдаем). Далее, рядом опытов, рядом попыток мы приходим к убеждению, что отделить эти границы от предметов нельзя, что эти границы, хотя мы их н видим, самостоятельного материального существования не имеют. Однако, это обстоятельство не может помешать нашему воображению представлять нх так, как будто они отдельно существуют, и не может помешать нашему мышлению мыслить об них, как о существующих отдельно. Раз этот акт выполнен нашим сознанием, то этим самым наше сознание создало нематериальные границы трех видов, и мы называем их поверхностями, линиями и точками. Эти нематериальные, геометрические, поверхности, линии и точки и являются тем материалом, над которым работает геометрия. Возникает потребность разобраться в этом материале: нельзя ли выделить из него какие-либо элементы, которые но некоторым признакам могли бы быть признаны за простейший материал. Придется прн этом, конечно, руководиться лишь представлениями, которые возникают на почве наблюдения и опыта, так как иного критерия в нашем распоряжении еще не имеется. И прежде всего эти представления заставляют нас признать, что все точки сходны между собою — среди них выбирать простейших не приходится. Среди линий — -указывают нам те же представления — имеется большое разнообразие, и мы можем поставить задачу об изыскании линий, которые по каким-либо признакам можно было бы признать за простейшие. Наилучшим средством для решения этого вопроса является опыт вращения проволоки, закрепленной в двух местах (точках). Эгот опыт говорит нам, что если мы вообразим через две точки какую-либо линий, то таких же линий мы можем через эти 2 точки вообразить бесконечно много. Однако, этот опыт говорит нам и о том, что может выйти случай, что линия при ее вращении вокруг двух точек не меняет своего положения. Это значит, что мы можем вообразить, можем мыслить особую линию, положение которой определяется двумя точками. Этот признак достаточен, чтобы признать ее за самую простую линию, чтобы назвать ее особым именем — прямая линия, и чтобы наделить ее особым свойством, отличающим ее от других: через 2 точки можно вообразить лишь одну прямую линию. Становится на очередь следующая задача: выделить, если удастся, среди поверхностей такие, которые по известным признакам могли бы быть сочтены за простейшие. К решению ее можно подойти двояко: 1) при помощи известного опыта прикладывания к поверхности стола, стены и т. п. ребра линейки, обрезанного по прямой линии (ею уже можно пользоваться), с целью увидать промежутки между испытуемой поверхностью и ребром линейки — под влиянием этих опытов возникает мысль о возможности признать существование поверхности, на которой прямая линия укладывается всюду, и как бы ее ни положили, без промежутков; 2) при помощи образования поверхности посредством движения прямой линии — если прямая а движется так, что всегда проходит через точку М и все!да встречает прямую т (не проходящую через точку Ж), то прямая а описывает особую поверхность, которую мы можем признатьза самую простую (не вкладывая в это слово „простую" ничего более, как только то, что способ образования этой поверхности нам очень ясен). Оба приема позволят признать полученные поверхности существующими, дать им особое имя — плоские поверхности — и наделить их свойствами: при первом приеме само собою выясняется, что всякая прямая совпадает с плоскостью, если имеет с ней две общих точки, а при втором непосредственно выясняется, что прямая и точка вне ее определяют положение плоскости. Конечно, в свое время должен быть решен вопрос, тождественны ли те поверхности, которые являются результатами этих двух определений. С точки зрения методики не следует поэтому вводить сразу оба приема для выделения из множества поверхностей особой, плоскости, так как вряд ли возможно сейчас же поставить естественно возникающий из сопоставления обоих приемов вопрос на разрешение. Комбинационная работа, благодаря которой развивается содержание геометрии, должна начаться с рассмотрения ‘ наиболее простых комбинаций. Комбинируем самую простую линию, прямую, и точку. Если мы вообразим (построим) как-нибудь прямую линию и как-нибудь точку, то в этой комбинации мы не замечаем ничего особенного до тех пор, пока точка не будет взята на прямой линии. Тогда мы подметим некоторую особенность: прямая разделилась на 2 части, каждая часть идет от точки без конца. Эта особенность требует лишь введения новых названий: каждз ю часть называем л у ч е м. Возникает вопрос: не будет ли в какой-нибудь момент чего-либо еще особенного, если точка станет передвигаться по этой прямой? Представав себе это перемещение точки, отвечаем: нет, ничего нового не будет — всякий раз будет получаться 2 луча. Тогда усложним комбинацию: возьмем прямую и на ней 2 точки. В этой комбинации мы, кроме двух лучей, замечаем еще новое: прямая разделилась на 3 части, две из которых суть лучи, а третья часть идет от точки до другой точки; эту третью часть мы называем опять новым именем — „прямолинейный отрезок" или просто „отрезок". Станем 2 точки перемещать по прямой: в одном или в противоположных направлениях, навстречу друг другу или обратно, — мы представляем, что чего-либо нового, чего-либо особенного здесь ни в один момент не будет: всякий раз будут получаться те же 3 части. Тогда является мысль построить комбинацию, обратную (в известном смысле слова) рассмотренной: здесь были скомбинированы одна прямая и на ней 2 точки; возьмем теперь одну точку и через нее 2 прямых. Полученная комбинация обладает известною епмметриею и, благодаря этому, возникает мысль сначала рессмотреть более простую комбинацию: точку и из нее два луча — даем ей название „угол". Подобно тому, как выше мы передвигали 2 точки по прямой, теперь станем вращать лучи вокруг точки, и, в противоположность предыдущему, здесь наступает момент, когда замечается особенность: в известный момеш оба луча расположатся по прямой линии. Комбинация по своему составу осталась такою же: точка и из нее 2 луча: поэтому должно ей оставить прежнее название „угол", но у нее есть особенность: лучи расположены по одной прямой; поэтому это — особенный угол, выпрямленный или развернутый. Тот факт, что среди углов есть особенный угол, чрезвычайно важен для геометрии. Отсюда, между прочим, вытекает то обстоятельство, что для отрезков нет абсолютной единицы — меры, а для углов есть. Возможно, но это для педагогической стороны дела менее удобно, за основной особенный угол принять „пол-ный“ угол: при вращении один луч, описав полный оборот, совпадает с другим. Далее возникает потребность комбинировать между собою уже образованные комбинации: отрезки мезкду собою и углы между собою. Здесь, так или иначе, долзкна возникнуть мысль о сближении с арифметикой, и мы находим возможным применять в отрезкам, а также к углам, понятие „столько же, больше и меньше", понятие о сложении и вычитании отрезков и углов. Относительно отрезков дело чрезвычайно просто, и мы остановимся здесь лишь на одном моменте. Сложение чисел в арифметике появилось, как отражение процесса „сдвижения11 двух групп предметов: из двух групп образуется одна. Аналогично этому возникает возможность сдвижения двух отрезков, чтобы из двух отрезков получился один. Это слово „получился" можно понимать и в более широком смысле: чтобы двумя отрезками определился один. И если мы „сдвинем" два отрезка так, как на черт. 1, то мы увидим, что „сдвинутые" (сближенные) отрезви А В и АС дазке и в данном на. чертеже расположении определяют новый отрезок ВС. Мы можем хотя бы один из этих отрезков вращать около точки А, и определяемый 0>трезок ВС будет все время оставаться, хотя и будет деформироваться; мы мозкем, наконец, остановиться и на том особенном расположении, когда точки В, А и С расположатся на одной прямой, и принять этот случай за наиболее удобный и наиболее простой (здесь получается не какая-либо новая комбинация — фигура, как на чертеже, а прежняя). Вопрос, какое именно расположение сдвигаемых отрезков выбрать за расположение, определяющее их сумму, зависит от того, как мы можем перемещать отрезов в пространстве, чтобы считать, что при этом перемеще- лив он оставался бы равным самому себе. И мы знаем различите отношения к этому вопросу: если, например, мы признаем, что отрезок остается равным самому себе, как бы он в пространстве ни перемещался, то Нь1 выбираем из предыдущего определения суммы такой случай, какой нам представляется наиболее удобным и простым (чер. 2): к отрезку АВ придвинут другой отрезок так, чтобы один его конец совпал с точкою А, а другой попал бы в какую-либо Чер 2. точку С, лежащую на одной прямой с В и А; если мы признаем, что направление отрезка существенно и что отрезок остается равным сиыому себе лишь тогда, когда он перемещается параллельно самому себе, то мы принуждены при выполнении сложения отрезков ограничиться только этим параллельным перенесением (чер. 3): к отрезку АВ придвинут другой отрезок так, что новое положение АС параллельно первоначальному. Первым способом мы пользуемся qep з в геометрии, а вторым в теории векторов. По отношению к углам возникает затруднение: мы, поводимому, не можем, рассматривая угол, лишь как комбинацию.точка и из нее два луча", и не присоединяя к нему еще чего-либо, ни выполнять сравнения углов, ни вьуюлнять действий над углами. Является надобность присоединить к углу еще что-либо, й поводом для этого является то обстоятельство, что мы всегда можем рассматривать угол расположенным на плоскости и что эта плоскость делится углом на 2 области. Присоединим одну из них к углу, какую именно — безразлично, так как нет непосредственных признаков, как-либо отличающих одну от другой. Эту присоединенную к углу область называют внутреннею областью угла (она лежит „внутри" угла), а другую назыв. внешнею (она ле- жит „вне“ угла1). Внутреннюю область угла следует, если не сделано по этому поводу каких-либо добавочных условий, отмечать, например, как на чер. 4. В зависимости от того, какая именно область принята за внутреннюю п присоединена к углу, мы, после построения точки и из нее двух лучей, получаем 2 разных угла Теперь является возможность выполнять сравнение углов (т.-е. отличать равные углы и больший от меньшего), для чего имеет место способ наложения: накладывают один угол на дру- гой, чтобы совпали их вершины и по одной их стороне и чтобы их внутренние области пошли бы друг по другу. Если построен выпрямленный угол, то сравнение двух углов, получаемых от присоединения к нему одной или другой части плоскости, показывает, что оба угла следует считать равными. Если присоединить сюда еще сравнение двух выпрямленных углов, построенных в разных местах плоскости, то явится возможным установить, что все выпрямленные углы равны, и тогда все остальные углы явится возможным разделить на 2 класса: углы, меньшие выпрямленного, и углы, большие выпрямленного. Возможно, как это обычпо J) D. Hilbert так смотрит на понятие угол: пусть из точки О построены на плоскости 2 луча h и к. Тогда система этих лучей h и к называется углом. Эта система (лучей h и к и точки О) все остальные точки равделяет на 2 области. Если точка А в одной области и В — в другой, то ломаная, соединяющая А и В, непременно или проходит через О пли имеет общую точку с h или к. Если А и А в одной области, то можно соединить эти точки такою ломаною, что она не проходит через О и не пересекает лучей Ъ и к. Одна из этих областей отличается от другой лишь тем, что в одной можно взять такую пару точек, что прямолинейный отрезок, их соединяющий, пересекает h и к, а в другой таких двух точек найти нельзя. Первая называется внешнею областью угла, а вторая — внутреннею. и делают, ограничиться на первых порах только одним из этих классов, а именно — углами, меньшими выпрямленного. Тогда вводится условие: если внутренняя область угла не обозначена как-либо (например, как это обозначалось на предыдущем чертеже), то предполагается угол, меньший выпрямленного. Нетрудно также теперь изобрести процесс сдвижения углов, который соответствовал бы действию сложения. Если ввести в дело углы, большие выпрямленного, то выполнение сложения двух, каждый из которых больше выпрямленного, углов потребует дальнейшего расширения взгляда на угол, а именно, введения углов, бблыних полного. После введения в дело действий над углами, возникает целый ряд вопросов, ведущих к построению новых комбинаций и к изучению их особенностей. Тот факт, что при сложении двух углов явится возможность случая, когда получаемая сумма есть выпрямленный угол, ведет к понятию о смежных углах. Задача „дополнить данный угол до выпрямленного", которая может быть решена двумя приемами (продолжить или одну сторону или другую данного угла), ведет к изучению фигуры, какую мы уже построили, а именно — к комбинации, состоящей из точки и двух прямых, проходящих через эту точку. Зд( особенность, которая, после введения термина углы", формулируется предложением: „вертикалы между собою". Это предложение является первою Теперь ясен тот путь, который поведет к прог гих теорем; в дальнейшем придется разучивать в жет, более сложные комбинации, построенные с< то эту особенность мы запечатлеваем в словесной образом получается ряд теорем геометрии. Мы остановились на комбинации, состоящей из точки и двух прямых, через нее проходящих. Здесь возникают две руководящих мысли для продолжения работы: 1) до сих пор мы имели дело лишь с прямыми пересекающимися; возникает вопрос: нельзя ли получить две прямых, вовсе не пересекающихся? Этот вопрос ведет к учению о параллельных прямых. 2) Мы рассмотрели либо естественно возникшему вопросу, либо согла цели; если при этом разучивании удастся подмет особенность, какую мы признаем и интересною и комбинацию, состоящую из двух пересекающихся прямых; усложним ее присоединением третьей прямой, — эта, мысль ведет в изучению треугольников. Возможно, в зависимости от того, как нам это больше понравится, направить дальнейшее развитие геометрических знаний и в том и в другом направлении. В дальнейшем также являются возможности направиться или в том или в другом направлении. Таким образом все содержание геометрии представится в виде ряда подмеченных особенностей, являющихся результатами работы над рядом вопросов, естественно возникающих, последовательно один за другим, но не располагающихся в одну непрерывную цепь, а располагающихся, скорее, в форме скелета дерева (ствол, суки и ряд ветвей). Следует отбросить взгляд на геометрию, как на цепь необходимых логических заключении. Логика прежзе всего не есть цель геометрии; логика является лишь орудием, и не единственным, для приобретения геометрических знаний. Роль логики двоякая: 1) она принимает участие в постановке тех вопросов и в установлении тех целей, которые ведут и к построению новых комбинаций и к изучению их; 2) она принимает участие и в изыскании ответов на поставленные вопросы и в той работе, благодаря которой удается подметить особенностп разучиваемых комбинаций. Пусть этот взгляд на развитие содержания геометрии не отражает в большой мере исторический ход этого развития, но зато этот взгляд является ответом на естественный вопрос: как могло бы быть объяснено развитие содержания геометрии? Для преподавания геометрии иметь такой взгляд на предмет преподавания является чрезвычайно ценным, и он положен в основу дальнейшего построения настоящего курса методики геометрии. 4. Средства приобретения геометрических знаний. Из предыдущего мы видим, что основная геометрическая работа есть работа построения и изучения ряда постепенно усложняющихся комбинаций, которые возникают в согласии с известною руководящею мыслью. Раз наше сознание признало существование линий, точек и поверхностей, то „построить известную комби-нацию“ можно понимать и в том смысле, что наш разум может одновременно мыслить об элементах, составляющих эту комбинацию, или в том, что наше воображение может одновременно представлять элементы, составляющие эту комбинацию. Но этого для выполнения основной работы изучения комбинаций нам недостаточно. Необходимо для нас, по нашей природе, придать этому более материальную форму. И вот вводятся постулаты: мы умеем строить точки, строить прямые линии, строить плоскости, т.-е. мы признаем будто бы возможным осуществлять в материальной форме те элементы геометрии, которые были признаны нами самыми простыми. Впоследствии к этому мы прибавляем еще необходимый посту-, лат: мы умеем строить круг. Пусть все эти постулаты — фикция. На самом деле мы не можем получить ни точек, ни прямых, ни плоскостей, ни круга, ибо они не материальны, но эта фикция необходима, без нее мы затрудняемся выполнять работу, какая предстоит при изучении комбинаций, — и эта фикция получает характер законного средства в геометрии. К словам „мы умеем строить можно также отнестись различно. Греческая геометрия уже с давних пор (конечно, задолго до Евклида) для осуществления этих постулатов ввела два инструмента, циркуль и линейку, и мы теперь обычно, говоря о построениях, имеем в виду построение при помощи линейки и циркуля. Но для педагогических целей мы можем в известных случаях отнестись к этим словам и иначе,.мы можем на помощь призвать и некоторые процессы (например, процесс перегибания; при построении середины отрезка возможно иногда взять этот отрезок на бумажную линейку и перегибанием ее разделить отрезок пополам, а, следовательно, получить его середину) и построение моделей из палочек, дощечек н т. п. Теперь остановимся на словах „изучить известную комбинацию". Построение определенной комбинации должно явиться следствием какой-либо руководящей мысли, имеющей или форму вопроса или форму достижения известной цели. Тогда может случиться, что уже самый факт построения такой комбинации явится ответом на поставленный вопрос или будет свидетельствовать о возможности или невозможности достижения намеченной цели. Но часто может иметь место случай, что при получении желаемой комбинации становится ясным, что эта комбинация обладает известным свойством; на это свойство (или на эти свойства) нам могут указать или известная симметрия получаемой комбинации или самый процесс, при помощи которого данная комбинация получена. Напомним для примера, что при решении вопроса о дополнении данного угла до выпрямленного удается подметить возможность двоякого решения задачи, откуда становится ясным свойство вертикальных углов. Конечно, и здесь играет некоторую роль логика: если один угол дополняет данный до выпрямленного и другой дополняет до выпрямленного, то мы делаем заключение о равенстве этих двух углов. В дальнейшем роль логики усиливается: если новая комбинация — фигура — не обладает какою-либо симметриею, если для получения ее мы не пользовались каким-либо процессом (перегибания, вращения, перемещения и т. п.), а пользовались построением циркулем и линейкою, то это построение позволяет сопоставить вновь полученную комбинацию — фигуру — с изученными ранее. Наблюдательность, отмечающая отдельные моменты построения, укажет, с какими именно уже разученными фигурами следует сопоставить новую, а логика позволит это сопоставление провести так, чтобы не притти к ложным результатам. Схема этого сопоставления такова: так как мы видим здесь такую-то знакомую фигуру, так как о ней мы знаем такое-то свойство, то для нашей новой фигуры должно иметь место следующее. Мы вправе, дабы помочь своему воображению, как-либо иллюстрировать нужные процессы (подобно тому, как мы это постоянно делаем при построении циркулем п линейкою) прп помощи предметов. Например, мы можем для иллюстрирования процесса перегибания плоскости взять кусок бумаги н перегибать его в соответствии с условиями, определяющими нужную нам комбинацию. И вот случается, что при такой образной иллюстрации требуемого процесса нам сразу становится ясным какое-либо свойство для изучаемой комбинации, становится ясным н е п р е- ложность и всеобщая необходимость этого свойства при соответствующих условиях. Здесь имеет место та наша способность, которая носит название „интуиция". Вопрос, что такое интуиция, не так просто решается, и иногда этим именем называют нечто иное, а именно — простое физическое зрение, а также неуясненный до отчетливости жизненный опыт. Так, при начальном обучении геометрии часто вводят в дело прямой угол, не уяснив его происхождение, и учащихся „на глаз“ заставляют определять, получился ли или нет прямой угол. И если учащийся, рассматривая нарисованный квадрат, установит, что у него все углы прямые, то здесь интуиции нет. Здесь имеет место только физическое зрение учащихся и жизненный опыт, хотя бы и маленький, уже приучивший несколько учащихся к тому виду углов, которые в большом числе встречаются в окружающей обстановке — ведь плотники, столяры и т. д. стремятся в своих работах использовать прямые углы. Интуиция здесь могла бы иметь место лишь тогда, когда был бы, с одной стороны, выяснен процесс, приведший к образованию понятия о прямом угле, а с другой стороны, для получения квадрата был бы придуман процесс (или построение), который так осветил бы вопрос об углах квадрата, что сделалась бы сразу ясной неизбежность того, что всегда (а не только у того квадрата, который мы видим нарисованным, либо, как грань деревянного куба) углы квадрата должны быть прямыми. Наилучшее поясненые понятия „интуиция" дает арифметика: из образного представления умножения чисел 4 и 3 (см. прилагаемый чертеж) нам ясно не только то, что 4X 3=3X4, но и что подобную же группу предметов мы можем составить для любых двух чисел, и ясна непреложность переместительного закона умножения (аЪ = Ъа). На границе между физическим зрением и пнтуициею стоит свойство: две прямые пересеваются лишь в одной точке (чер. 5); всякий чертеж qep 5 пересекающихся прямых дает, в сущности, возможность видеть много общих точек у нарисованных прямых, но нам ясно, что должно считать лишь одну общую точку. Бывают, однако, случаи, когда физическое зрение как бы заменяет интуицию. Так, объем треугольной призмы должно рассматривать, как сумму объемов трех треугольных пирамид, полученных при помощи определенных сечении; площадь параллелограмма равна площади прямоугольника, получаемого от перенесения части этой площади с одной стороны на другую и т. п. |
