Н. А. Извольский
ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
(ПЛАНИМЕТРИЯ)
*** 1924 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ОГЛАВЛЕНИЕ. Введение... 1 Часть I. Чистая геометрия. I. Отрезки и углы... 8 II. Вращение луча около центра... 18 III. Параллельные прямые... 27 IV. Треугольники.. 38 V. Параллелограмм и его частные виды... 50 VI. Перпендикулярность прямых. Прямоугольные треугольники... 61 VII. Многоугольники... 73 VIII. Неравные углы и стороны в треуг-ках... 80 IX. Расстояние между двумя точками... 85 X. Дальнейшее развитие понятия о расстоянии... 92 XI. Средние ланни трсуг-кев и четыреуг-ков... 99 XII. Круг..."... 106 XIII. Углы в круге... 121 XIV. Особые точки треуг-ка... 134 XV. Деление окружности на равные части и правильные многоугольники... 139 XVI. Площади я равновеликие многоуг-ки... 143 Часть II. Измерительная геометрия. XVII. Учение об отношениях-прямол. отрезков... 159 XVIII. Измерение прямол. отрезков. 182 XIX. Измерение углов п дуг круга...189 XX. Ивмеревие площадей... 197 XXI. Подобие Trej г-кок... 208 XXII. Следствия из подобия треуг-ков... 218 XXIII. Числовые соотношения в треуг-ке... 231 XXIV. Числовые соотношения и пропорциональность в правильных многоуг-ках... 244 XXV. Подобие многоугольников... 255 XXVI. Подобие кругов. Радикальная ось... 266 XXVII. Измерение длины и площади круга... 276 ПРЕДИСЛОВИЕ. Считаю необходимым изложить тот руководящий взгляд на самый предмет геометрии, которым направляется изложение моего курса, даваемого как в настоящей книге „Геометрия на плоскоcmи", так и в книге „Геометрия в пространстве". Я должен указать на ту книгу, которая много помогла мне, чтобы придать этому взгляду определенную форму. Эта кнпга принадлежит перу покойного французского математика-философа Анри Пуанкаре и переведена на русский язык: Г. Пуанкаре. Наука и метод. Издание Mathesis (Одесса). Всякая наука отбирает в свое ведение определенный ряд фактов, составляющий тот материал, над которым работает эта наука. Материалом, подлежащим ведению геометрии, является совокунность всех точек, линий и поверхностен; наше сознание признает возможным под влиянием наблюдения и опыта (наблюдение и опыт являются всегда нервоисточником знания1) признать существование точек, лннин и поверхностей, хотя они отдельного материального существования и не имеют. Подобно тому, как человеческий гений пришел к необходимости создания чисел (в нрироде никаких чисел не существует; человечество само, под влиянием наблюдения и опыта, создало понятия о числах, чтобы лучше ориентироваться во всем окружающем), так точно явилась необходимость создать понятия н о точках, линиях н поверхностях. Можно не только мыслить эти понятия, но можно — наблюдения и опыты, под влиянием которых эти понятия были созданы, дают для этого средства — придать этим понятиям известные образы: мы можем воображать точки, линии н поверхности. ’) Но это вовсе не вначпт, что всякое внавпе состоит исключительно ив того, что наблюдение н опыт дают нашем органам чувств. Каждая наука прежде всего производит классификацию тот материала, над которым она работает, стараясь прежде всего выделить то, что признается ею, но какнм-лпбо основаниям, простейшим. Геометрия поступает так же. Пользуясь известными наблюдениями и опытами, а также темп образами, какие присвоены точкам, линиям, поверхностям, геометрия признает: 1) все точки одинаковы; 2) среди линии имеется одна, которая признается нами простейшею — прямая линия; 3) из поверхностей выделяется простейшая, а именно — плоскость. Во „Введении11 (стран. 1 — 7) даны те наблюдения и опыты, которые могли бы привести к созданию понятий о точках, липиях и поверхностях, а такж к выделению простейших линии и поверхности. Далее, каждая наука изучает ряд комбинаций из того материала, который ноддежит ведению этой науки. Эти комбинации или берутся готовыми, в том впде, как они существуют в природе, или осуществляются самою наукою. Геометрия преимущественно (а может быть и и с к лючи т слъп о) сама строит те комбинации, которые желает изучить. Построение этих комбинаций идет сначала как бы ощупью, начиная с простейших — прямая и точка (прямая н 2 точки и т. д.), причем всякий раз, построив какую-либо комбинацию, геометрия рассматривает, изучает ее с целью выяснить, не получилось ли чего-либо особенного, чего-либо достойного внимания, чего-либо интересного; геометрия изучает также те вопросы, какие возникают при построении этих комбинаций. Так, комбинируя нряму ю лшшю и точку, мы видим, что наступает некоторая особенность (прямая делится на 2 части) лишь тогда, когда точка берется на самой прямой; эта особенность ведет лишь к тому, что каждой части прямой приходится дать какое-либо название (напр., луч). Продолжая развитие комбинаций, мы рассматриваем прямую и на ней две точки: получаем два луча и еще часть прямой, которую называем отрезком. Возникает вопрос.: если точки как-либо передвигать по прямой (в одном ли направлении, пли навстречу друг другу — безразлично), не появится ли тогда какой-либо особенности? На этот вопрос, после его рассмотрения, отвечаем отрицательно. Здесь возникает руководящая мысль для дальнейшего построения комбинаций: мы рассмотрели прямую и на ной дно гонки, рассмотрим теперь tohkj ц через нее две прямых. Получаемая новая комбинация прежде всего представляет некоторую симметрию; поэтому является возможным рассмотреть более простую комбинацию: точку и пз нее два луча. Мы называем эту комбинацию именем угол, и, подобно тому, как решали подобный вопрос при получении отрезка, рассматриваем: не получится ли чего-лпбо особенного, если лучи как-либо (в одном пли противоположных направлениях — безразлично) вращать. Здесь мы приходим к заключению, что имеет место один особенный случай: два луча (стороны угла) составят в известный момент прямую линию. Таким образом мы приходим к понятию об особом угле (выпрямленный угол). Появляются также новые руководящие мысли, благодаря нашему стремлению к объектам какой-либо совокунности применять понятия: „равно", „больше" „меньше", „сумма и разность двух объектов". Чем дальше идет работа построения и изучения комбинаций, тем разнообразнее становятся руководящие мысли для построения новых комбинаций, тем больше появляется целей, достигнуть которых мы стремимся, строя все новые и новые комбинации. Все, что замечается интересного, запечатлевается нами в ело весной форме в виде теорем. Моп кпиги представляют собою лишь попытку построить курс геометрии в согласии с вышеизложенным взглядом; полное, до конца выдержанное развитие курса геометрии в согласии с этим взглядом крайне затрудняется тем обстоятельством, что мы все уже очень привыкли к традиционному курсу геометрии, представляющему собрание теорем, причем главное внимание обращается на их доказательство, а пе на причину их возникновения. Следствиями изложенного взгляда на предмет геометрии являются следующие положения: 1) Прежде всего надо уметь построить какую-либо комбинацию (фигуру), а потом уже следует изучать как саму полученную фигуру, так и вопросы, связанные с ее построением. 2) Понятия „угол", „треугольник", „параллелепипед" и т. п. получают вполне определенное толкование: каждое из них выражает собою определенную комбинацию точе к, прямых линий и плоскостей. Далее отсюда вытекает также объяснение того, что в моем курсе понятия о прямом угле, о перпендикуляре вводятся лишь тогда, когда постепенное развитие комбинаций привело к такой (ромб), что само собою оказались построенными и прямой угол и две взаимно перпендикулярные прямые. Второе издание Геометрии на плоскости отчасти сохрапило те особенности, какие имели место в первом издании (курс разделяется на „чистую геометрию" и „измерительную геометрию": учение о пропорциональности прямолинейных отрезков опирается па общий признак равенства двух отношении: два отношения равны, если не существует числа, которое было бы больше одного из отношений и меньше другого; в курсе имеются статьи о подобном расположении — гомотетии — фигур, о радикальной осц и о радикальном центре кругов, дано более широкое, чем это обычно делается, развитие ряда задал на построение кругов, проходящих через данные точки пли касающихся данных прямых пли кругов), отчасти несколько изменено. Вот наиболее крунные изменения: 1) Признаки равенства треугольников выясняются, как следствия ряда упражнении иа построение треугольников. 2) Изменен порядок начала измерительной геометрии: сначала (1С1 — 179) дано учение об отношениях прямолинейных отрезков (оно получило также, сравнительно с 1-м изданием, большее развитие), а затем уже рассматривается вопрос об измерении прямолинейных отрезков, дуг одного круга, углов и площадей. 3) Учение об измерении длины и площади круга опирается, как и в 1-м издании, на возможность рассматривать круг, как правильный многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Однако, теперь даны еще добавления, причем изложение первого издания несколько изменено, позволяющие вникнуть поглубже в сущность тех затруднений, какпе имеют место при решении этпх вопросов. В Ш издании переработано начало курса (треугольники и параллельные прямые) и изложепа иначе статья о средних линиях. Н. Извольский. ВВЕДЕНИЕ. 1. Опыт постоянно сталкивает нас с делением чего-либо на части: разрезая ножом яблоко, мы делим его на части; раскрасив различными красками (например, черной и красной — см. прилагаемый рисунок) взятый кусок белой бумаги, мы этим самым разделим поверхность этого куска бумаги на части: на белую, на черную, на красную; поверхность Европы, мы знаем, разделена на государства; налив в стакан воды, чтобы он не был наполнен, мы этим самым разделим пространство,.заключенное внутри стакана, па части: одна наполнена водою, другая — пустая (наполнена воздухом); насыпав в ящик в одну сторону песку, а в другую глины так, чтобы песок и глина не смешались (для чего их удобно намочить), мы разделим пространство, заключенное внутри этого ящика, на части: одна занята песком, другая глиною н третья, если ящик не наполнен, занята воздухом. ,Мы признаем, что во всех случаях, подобных перечисленным, существует между двумя соседними частями граница: мы постоянно говорим, рассматривая карту Европы, о границе между Россией и Китаем, между Германией и Францией п т. д.; на прилагаемом раскрашенном рисунке мы видим границу между красною и белою, между черною и белою, между красною в «ерною частями бумаги; мы также видим границу между частями пространства, заключенного в стакане, одна из которых занята водою, а другая без воды; заметим также границу между частями пространства, заключенного внутри ящика, из которых одна занята носком, другая глшгою, третья воздухом. Для геометрии является существенным вопрос о процессе деления на части и о границах между двумя соседними частями, получаемыми от этого деления. Рассмотрим подробнее процесс деления на части. Все, что мы видим — мебель в этой комнате, соседние дома, деревья, облака, солнце, луна, звезды, наконец, мы самн — все помещается в пространстве. Опродслить, что такое пространство, нельзя, но мы из опыта выработали его основные свойства, мы можем представлять в своем воображении эти свойства, можем о них размышлять. Прежде всего нам ясны два свойства пространства: 1) пространство безгранично, и 2) можно вообразить его разделенным на части (опыт постоянно иам говорит о последнем свойстве: всякий предмет, например,наше тело, выделяет из беспредельного пространства некоторую часть, т.-е. делит его на части: на часть, занимаемую этим телом, и на все остальное) способность пространства быть разделенным на части выражают иногда словами: пространство имеет протяжение. Граница между двумя соседними частями пространства называется поверхностью (например, поверхность земли отделяет часть пространства, занимаемую земным шаром от всего остального пространства). Поверхность, в свою очередь, имеет протяжение, т.-е. се можно вообразить разделенною на части (например, поверхность земли разделяется на водную и материковые часто; лист бумаги выделяет из пространства часть, занятую веществом бумаги; граница, выделяющая эту часть пространства от остального, есть поверхность этого листа бумаги; она делится на несколько частей: 2 части предназначаются- для письма на них, п 4 части, ускользающие благодаря своей незначительности от нашего внимания, — те, по которым обрезай этот лист). Граница между двумя соседними частями поверхности называется линией (рассмотреть границы между областями различных цветов на данном выше раскрашенном рисунке). Линия, в свою очередь, имеет протяжение, т.-е. ее можно вообразить разделенною на части (например, граница, отделяющая на выше данном раскрашенном рисунке белую часть бумаги от цветной, разделяется на 2 части: одна отделяет белую от красной, другая — белую от черной; граница, отделяющая Германию от остальной Европы, разделяется на части: одна отделяет Германию от Франции, другая — от Австро-Венгрии и т. д.). Граница между двумя соседними частями линии называется точкою. Точку мы уже не можем вообразить разделенной на части, — точка не имеет протяжения. Из выше данного исследования вопроса о делении на части следует, что мы признаем существование поверхностей, линий и точек, которые все помещаются в пространстве. Раз мы признаем их существование, мы должны выработать способность представлять их, хотя они и невещественны, и рассуждать о них. Цель геометрии состоит в изучении особенностей поверхностей, линий и точек, как отдельно взятых, так и взятых в сочетании друг с другой. Всякая совокунность поверхностей, линий и точек называется геометрическою фигурою (иногда геометрическим Образом или геометрическою формою). Каждая поверхность, каждая линия, каждая точка, входящая в состав фигуры, называется ее частью. Так как всякая фигура помещается в пространстве, то, изучая фигуры, мы тем самым изучаем свойства пространства, причем это изучение состоит в том, что 1) мы устанавливаем, какие фигуры можно осуществить в пространстве, и 2) изучаем особенности этих фигур. Поэтому говорят иногда, что Геометрия есть наука о пространстве. 2. Мы должны развить способность воображать как бы существующими невещественные геометрические фигуры. Эта способность называется геометрическим представлением. Некоторые свойства фигур мы открываем путем геометрического представления, и иным путем выяснить их невозможно. Такие свойства называются аксиомами. Вот аксиома, общая для всевозможных фигур: Всякую фигуру можно переносить из одного места пространства в другое, — от этого фигура не претерпевает никаких изменений. В основе этой аксиомы положена мысль, что пространство однородно. Таким образом мы можем фигуру переносить в пространстве: если перенесением одной фигуры можно добиться, чтобы она совпала с другою, то такие две фигуры называются равными или конгруэптными. Итак, равными фигурами называются такие, которые при наложении совпадают всеми частями. 3. При дальнейшем изучении фигур получают ряд свойств, пользуясь, с одной стороны, непосредственным геометрическим представлением, а с другой — рассуждениями, построенными по правилам логики. Такие свойства называются теоремами. Рассуждения, при помощи которых выясняется справедливость теоремы, называются ее доказательством. Одним на глубоких вопросов является вопрос об отделении того, что узнано нами только непосредственным представлением, и того, чего достигли путем логики. Этот вопрос, несмотря на много работ в этом направлении, нельзя до сих пор считать решенным. В курсе ялемеитар-пой геометрпи и непосредственное геометрическое представление, н логика должны взаимно помогать друг другу, чтобы найденное свойство, но возможности, обрисовалось для нас со всех сторон. отличаться друг от друга формою. На чер. 1 нарисованы линии разных форм. Является вопрос: какую форму линии надо признать простейшею? Для сравнительного разбора форм линий вообразим 2 точки А и Б (точки называют, обыкновенно, большими буквами латяп- Нногда случается, что раз найдена какая-либо теорема, то тотчас же становятся ясными и другие свойства фигуры. Эти свойства называют следствиями из теоремы. 4. Все точки сходны между собою, и одна от другой могут отличаться только своим положением и пространстве. Наоборот, линии, кроме положения, занимаемого ими в пространстве, могут окого алфавита) и какую-либо линию, произвольной формы, проходящую через эти точки, лпппю АС В (чер. 2). Следует заметить, что точки и линии, нарисованные на чертеже, не настоящие точки и линии, а только их грубые изображения, которыми мы пользуемся, чтобы облегчить свое воображение. Эту линию АС В можно вообразить вращающеюся около точек А и 2>; от этого она не изменяет своей формы (на основании аксиомы 2). При вращении она, вообще говоря, занимает последовательно бесчисленное множество различных положений, всякий раз, однако, проходя чрез точки А и В. Одно из таких положений нарисовано на чер. 2 пунктиром. Следовательно, линий взятой формы удалось провести через 2 взятые точки бесчисленное множество. Если случится, что взятая линия вращается так, что остается на месте, не меняет своего положения (паше воображение позволяет нам утверждать, что такой случай возможен, какие бы 2 точки мы ни взяли), то окажется, что линии этой особенной формы возможно чрез 2 точки провести только одну. Па черт. 2 такая форма изображена лнниею AM Естественно признать эту особенную форму линии простейшею, — называют такую линию прямою. Итак, мы признаем: 1) существуют прямые липии; 2) чрез всякие 2 точки можно провести прямую линию и только одну. Кроме того, мы еще признаем, что прямая линия не имеет концов (бесконечна). 5. Более трудным является вопрос об изыскании самой простой поверхности. Сначала разберем чисто-практическую сторону дела. Если хотим узнать, как много неровностей и как они велики иа поверхности стола, мы берем линейку, получше выверенную (ребро ее должно возможно приближаться к прямой липии), укладываем ее ребром в разных направлениях на поверхность стола н всякий раз смотрим на свет, много ли остается промежутков между столом и ребром линейки. Чем их меньше, тем ровнее испытуемая поверхность. Что значит прикладывать к поверхности стола ребро линейкн? Если сделать так, чтобы ребро имело с поверхностью стола лишь одну общую точЕсу (чер. 3), то ребро еще не будет приложено к столу. Надо вращением добиться того, чтобы какая-либо другая точка ребра пришла в совпадение с какою-лпбо точкою поверхности: тогда у ребра линейки и у поверхности стола окажется непременно 2 общих точки, и мы скажем, что ребро линейки приложено к столу. Возможно, что других общих точек у них вовсе но будет; возможно, что их будет бесчисленное множество. Перейдем теперь к невещественным геометрическим формам. Пусть имеем какую-нибудь поверхность и так же, как на практике, вообразим прямую линию, которая приложена к нашей поверхности, т.-е. имеет с лею 2 общих точки. Здесь мы можем вообразить случай, на практике невозможный : между поверхностью и приложенного прямою вовсе нет промежутков, т.-е. прямая совпадает с нашею поверхностью не только двумя, но и всеми ее точками. Теперь можно сказать, что по направлению нашей прямой поверхность вовсе пе имеет неровностей. Можно вообразить поверхность, которая по всем направлениям не имеет неровностей, и такая поверхность признается нами простейшею, — она называется плоскою поверхностью или плоскостью. Итак, мы признаем: 1) существуют плоскости; 2) всякая прямая, имеющая с плоскостью две общих точки, совпадает с нею всеми своими точками. 6. Геометрические фигуры разделяются на плоские и пространственные: плоскою фигурою называется фигура, всеми своими частями умещающаяся на одпой плоскости, а пространственною называется фигура, не умещающаяся всеми частями на плоскости. Геометрия разделяется на 2 части: первая часть изучает плоские фигуры, — и она называется плоскою геометриею или планиметриею; вторая часть изучает пространственные фигуры, — и она называется пространственною геометриею илп стере-ометрисю. Геометрию нодразделяют еще 1) на чистую геометрию, где изучаются особенности расположения частей фигуры, и 2) на измерительную, где геометрические фигуры рассматриваются с точки зрения измерения. В чистой геометрии число появляется лишь как результат счета н не имеет первенствующего характера; в измерительной же геометрии число является основою (измерить значит выразить числом), и здесь геометрия сближается с арифметикою и алгеброю. |
