Математические игры и развлечения.

Доморяд А. П.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ И РАЗВЛЕЧЕНИЯ

* 1961 *

DJVU

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

ФPAГMEHT УЧЕБНИКА (...) Существует ряд аналогичных задач, в которых для искомой функции трудно или невозможно составить разностное уравнение. Так, например, будет обстоять дело, если короля заменить шахматным конем или если в задачах о ладье и о пауке запретить некоторые из ходов, поставив на доске перегородки или уничтожив некоторые стерженьки в пространственной сетке.
В такого рода задачах зоны, до всех клеток которых можно добраться за входов (k — \, 2, 3,...), могут иметь весьма своеобразный вид, поэтому клетки различных зон удобно либо нумеровать, либо закрашивать в разные цвета. При этом, конечно, прежде чем определять А + 1-ю зону, надо выявить все клетки k-n зоны.
Крупными цифрами на рис. 23 отмечены клетки, принадлежащие первым двум зонам в задаче о коне на неограниченной шахматной доске, мелкими цифрами указано, сколькими способами конь из клетки А может попасть в отдельные клетки этих зои.
Очевидно, третьей зоне будут принадлежать те клетки из числа незаполненных, на которые можно ходом коня перейти хотя бы с одной клетки второй зоны. Например, клетка В принадлежит третьей зоне, и так как она связана ходом коня с пятью (обведенными рамками) клетками второй зоны, то из клетки А конь может попасть в нее девятью способами (14-2 +2 +2 +2).
Аналогично найдем, что до клеток С, D и Е третьей зоны конь может добраться одним, шестью и двенадцатью способами.
Убедитесь сами, что при наличии перегородок, указанных на рис. 24, двенадцатая зона в задаче о ладье, выходящей из А, состоит из четырех клеток, и до каждой из них ладья может добраться восемью способами (4г).
Аналогичные вопросы можно поставить в задачах о короле и о пауке, причем совокупность запрещенных ходов можно выбирать по-всякому. При этом можно стремиться к тому, чтобы «/г-зоны» имели какой-нибудь замысловатый вид.
Легко убедиться, что в задаче о коне пятая, шестая и т. д. зоны имеют довольно правильный вид, причем при k 5 5 для числа Nk клеток k-й зоны имеет место формула: Nk= 120-|-28(/г — 5).
Попробуйте подумать над следующими вопросами:
1. Сколькими способами на неограниченной шахматной доске король может попасть за четыре хода в четвертую зону?(“)
2. Сколькими способами две (три, четыре) вешки, стоящие на второй линии шахматной доски, могут быть доведены до 8-й линии? (“) (Имеются в виду различные способы чередования ходов, делаемых разными пешками, а также право каждой из них воспользоваться двойным начальным ходом или отказаться от него.)
3. Не удастся ли вам найти общее решение задачи о коне, т. е. определить (хотя бы при k s5) зависимость числа способов достижения отдельных клеток неограниченной шахматной доски от положения, ими занимаемого.
Аналогичный вопрос можно поставить при тех или иных значениях р и q для «р, <7-коня», при ходе которого одна из координат меняется на р единиц, а другая на q единиц.
§ 16. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Магическим квадратом» назовем квадрат, разделенный на пг клеток, заполненных первыми пг натуральными числами так, что суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном или вертикальном ряду, а также на любой из диагоналей квадрата, равны одному и тому же п(пг4-1)
числу sn = — Если одинаковы лишь суммы чисел,
стоящих в любом горизонтальном и вертикальном ряду, то квадрат называют полу магическим. На рис. 25, а приведен магический квадрат, называемый квадратом Дюрера по имени математика и художника XVI века, изобразившего его на известной картине «Меланхолия»; два нижних средних числа этого квадрата образуют число 1514 — дату создания картины.
Заметим, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8 — в три указанные суммы и лишь число 5 входит в четыре суммы. С другой сто-роны, из восьми трехклеточных рядов: трех горизонтальных, трех вертикальных и двух диагональных — через каждую из угловых клеток квадрата проходит па три, через центральную клетку по четыре и через каждую из остальных клеток по два ряда. Следовательно, число 5 должно обязательно стоять в центральной клетке, числа 2, 4, 6, 8 — в угловых клетках, а числа 1, 3, 7, 9 — в остальных клетках
Так как числа 2, 4, 6 и 8 можно расставить лишь восьмью способами в угловых клетках квадрата так, чтобы каждая из диагональных сумм равнялась пятнадцати, а расположение этих чисел вполне определяет положение чисел 1, 3, 7, 9, то можно утверждать, что существует лишь восемь девятиклеточных магических квадратов. Два из них, являющиеся зеркальным изображением друг друга, приведены на рис. 25, б, в; остальные шесть могут быть получены из этих квадратов вращением их вокруг центра на 90°, 180°, 270°. С возрастанием л число N различных квадратов с л клетками быстро растет, и хотя общая формула, выражающая зависимость N от л, до сих пор не найдена, однако установлено, например, что существует 880 различных шестнадцатиклеточных магических квадратов, а уже при л = 7 число магических квадратов достигает сотен миллионов.

Доморяд А. П.