Гершон Ихелевич Дринфельд
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И СПОСОБ
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
*** 1984 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ФPAГMEHT УЧЕБНИКА (...) Интерполяционная формула Ньютона. Рассмотренная в § 3 формула Лагранжа пригодна для любого набора узлов интерполирования, но имеет два существенных недостатка. Первый из них заключается в том, что формула громоздка — каждое слагаемое формулы является многочленом п-й степени. Второй недостаток заключается в следующем. Случается, что’сначала задается, допустим, т узлов и вычисляется интерполяционный многочлен Лагранжа. Затем по какой-то причине добавляются дополнительные узлы интерполирования (потому, например, что полученная интерполяционная формула оказалась недостаточно точной). Приходится тогда все вычисления выполнять снова — ни одно из слагаемых формулы Лагранжа не сохраняется.
Ньютон1 нашел такую форму для интерполяционного многочлена, которая лишена указанных недостатков формулы Лагранжа, но эта форма проста лишь в том случае, когда заданные значения аргумента образуют арифметическую прогрессию. Чтобы написать формулу Ньютона, введем понятие о так называемых конечных разностях функции.... Это и есть формула линейного интерполирования, имеющая простой геометрический смысл (рис. 17) и удобная для вычислений. Величины Мх, Му называются выборочными средними, величина — выборочной дисперсией, угловой коэффициент... называется выборочным коэффициентом регрессии, прямая (4) — эмпирической линией регрессии. Обратим внимание на то, что прямая (4) проходит через точку (Мх, Му). Конечно, предположение (1) не единственно возможное. Можно, например, ввести квадратичную (параболическую) регрессию... Если точки (хх, ух), (х2, у2),..., (хп, Уп) расположены достаточно близко к эмпирической линии регрессии, то можно полагать, что предположение (1) оправдано. § 10. О приближенном решении нормальной системы. Способ Гаусса решения нормальной системы уравнения применяется широко. Он используется при решении любой системы п уравнений первой степени с п неизвестными. С помощью этого способа получаем формулы П. Л. Чебышева и приходим к уравнения для нахождения многочленов ортогональных на данной конечном множестве значений аргумента. Наконец, получаем полезную формулу Гаусса (см. § 6, формула (10)). Следует заметить, однако,, что способ Гаусса не использует важную особенность таблицы (матрицы) коэффициентов нормальной системы уравнений. — ее симметричность. Эта симметричность упрощает решение нормальной системы, особенно при решении системы с помощью определителей. Если число уравнений великб, то вычисления и с помощью определителей очень сложны. В том случае, когда коэффициенты [аа\, [bb],..., находящиеся в таблице коэффициентов нормальной системы на диагонали, больше остальных коэффициентов, а это бывает очень часто, удобен такой приближенный способ решения нормальной системы. В качестве, первого.приближенного решения нормальной системы берется то, которое~получаем, если в левых частях уравнений оставить только члены, стоящие по диагонали. |
