Исаак Моисеевич Яглом
КАК РАЗРЕЗАТЬ КВАДРАТ?
*** 1968 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие о Введение 7 §1 Складывание прямоугольника из квадратов и разрезание квадрата 12 §2 Графы и электрические цепи 34 § 3 Основная теорема 51 § 4 Дальнейшие задачи и результаты 67 1 Простые и составные разбиения прямоугольника и квадрата 67 2 Разбиения прямоугольников на квадраты и числа Фибоначчи 71 3 Оценки для числа квадратов, нЗ которые может быть разбит данный прямоугольник 75 4 Как разрезать поверхности цилиндра и конуса? 89 5 Как разрезать треугольник? 91 6 Как разрезать куб? 98 Некоторые нерешенные задачи 105 Литература 109 ПРЕДИСЛОВИЕ В 1965 г. в серии «Математическая библиотечка» были изданы две книги, посвященные так называемой «комбинаторной геометрии», т. е. разделу геометрии, изучающему связанные с целыми числами комбинаторные задачи, относящиеся к дискретным расположениям точек или геометрических фигур 1). Можно считать, что настоящая книга продолжает этот ряд книг по комбинаторной геометрии, поскольку рассматриваемая здесь задача является, по существу, комбинаторной проблемой о расположениях на плоскости конечных систем квадратов, удовлетворяющих некоторым наперед заданным условиям. Конечно, задачу, которой посвящена эта книга, вряд ли кто-либо сочтет особенно серьезной — это есть типичный вопрос из области «математических развлечений», какие охотно печатают журналы для семейного чтения в разделе «В субботний вечер». Однако вокруг на первый взгляд достаточно простого вопроса возникает так много любопытных соображений, относящихся к разным разделам математики и физики, вопрос этот с такой легкостью приводит к иным вопросам, явно безнадежно трудным (да и сама основная задача долго казалась неразрешимой даже таким серьезным ученым, как один из виднейших наших математиков первой половины этого века академик Н. Н. Лузин), первоначальная постановка вопроса так естественно обрастает разнообразными аналогами и вариантами, что мне захотелось побеседовать на столь, казалось бы, несолидную тему (см., впрочем, список литературы на стр. 109—111) с начинающими математиками. Мне кажется, что книга эта, рассчитанная на интересующихся математикой учащихся старших классов средней школы, на учителей математики и на будущих учителей — студентов математических отделений педагогических институтов или университетов, может дать некоторое представление о «математическом мышлении»: здесь мы имеем определенный «фрагмент математики», иллюстрирующий на одном примере некоторые достаточно характерные для математики ходы мысли, приемы, методы. Именно это обстоятельство явилось для автора книги решающим — здесь интересны, в первую очередь, не результаты, а приводящие к этим результатам рассуждения, заслуживает внимания не столько «что» (доказывается), сколько «как» (доказывается). И я хочу заранее подчеркнуть, что собранные в конце книги «нерешенные задачи» 1—X (точнее было бы сказать — задачи, решение которых неизвестно автору книги), большинство из которых являются, вероятно, достаточно трудными, не заслуживают, по моему мнению, того, чтобы тратить на них серьезные усилия: эти задачи приведены для иллюстрации сложности рассматриваемой здесь проблематики, а не как рекомендуемые темы самостоятельной научной работы. В противоположность этому включенные в основной текст книги задачи 1—20 (некоторые из которых, впрочем, тоже вовсе не просты) могут доставить читателю возможность полезной самопроверки; поэтому всякому, пожелавшему убедиться в полном овладении излагаемым в книге материалом, стоит попробовать решить эти задачи. При написании этой книги автор частично использовал составленный им некогда цикл задач для указанной на стр. 111 книги [24]. Рукопись книги была внимательно прочитана В. Г. Болтянским, дружеская критика которого бесспорно способствовала улучшению текста. Много выиграла книга также от тщательной и компетентной работы ее редактора Ф. И. Кизнер. В процессе работы над книгой автор неоднократно советовался с А. М. Ягломом; при выполнении эскизов чертежей ему помогали М. С. Королева и Л. Н. Кузнецова. Автору приятно поблагодарить всех перечисленных лиц за помощь и внимание к его книге. ВВЕДЕНИЕ Эта книга посвящена следующей задаче: разрезать квадрат К на некоторое число меньших квадратов. Правда, в такой формулировке поставленная задача не представляет ни малейшего интереса: совершенно ясно, как разрезать квадрат на 4 (рис. 1,а) или на 9 (рис. 1,6) меньших квадратов; если же не требовать, чтобы квадраты, на которые разрезается квадрат К, были обязательно все равны между собой, то число квадратов, на которые разрезается квадрат К, может быть сделано рапным и 6 (рис. 1,в) или 7 (рис. 1 ,г) В течение длительного времени математики предполагали даже, что эта последняя задача вообще не имеет реше ния. В изданной в 1930 г. в Брюсселе книге известного знатока «математических развлечений» И. Крайчика [3]х) говорилось: «Невозможно разбить данный квадрат на конечное число попарно неравных квадратов. Это предложение, которое пока не доказано, по-видимому, верно; нам это сообщил г-н Лузин, профессор из Москвы». Более осторожно отозвался' об этой задаче замечательный польский математик Гуго Штейнгауз в своей книге «Математический калейдоскоп» [6], вышедшей в свет первым изданием во Львове в 1938 г.: «Неизвестно, можно ли разбить квадрат на неповторяющиевя квадраты» в); однако и он как будто предполагал, что это невозможно. Гипотеза о том, что квадрат нельзя разбить на попарно неравные квадраты, подкреплялась тем, что, хотя исследованиями японского математика М. А б е [4] и немецкого геометра А. Ш т ё р а [81 была установлена разрешимость многих задач, близких к задаче о разрезании квадрата на неповторяющиеся меньшие квадраты, сама эта задача оставалась нерешенной. Известный немецкий математик и педагог Г. Меш-к о в с к и й рассказывает в своей книге [251, что немецкий геометр Р. Шпраг также первоначально принадлежал к лицам, считавшим, что квадрат нельзя разрезать на попарно различные квадраты. Он с увлечением искал доказательство этого — ив процессе поиска пришел к совершенно неожиданным для самого себя выводам: в 1939 г. Р. Шпраг [9] показал, что каждый квадрат можно разрезать на 55 попарно различных квадратов. Число 55 довольно скоро было уменьшено, причем неожиданным образом последующие успехи в рассматриваемом здесь направлении оказались связанными с физическими соображениями: очень существенную роль здесь сыграла установленная группой сотрудников Кембриджского университета в Англии связь между *) Цифры в квадратных скобках отсылают читателя к списку литературы, помещенному в конце книги. 2) Это утверждение было воспроизведено и в вышедшем в 1949 г. русском переводе книги Штейнгауза, хотя к этому времени вопрос был уже решен. ыдачей о разрезании квадрата и задачей составления электрической цепи, удовлетворяющей определенным условиям (см. § 2 настоящей книги). Опираясь на эту связь, в 1940 г. английские математики А. Г. С т о н и У. Т. Т а т т и 1111 установили, что каждый квадрат можно (и притом даже днумя различными способами!) разрезать на 28 попарно различных квадратов. В появившейся же почти сразу вслед ia этим большой статье английской группы (Р. Л. Б р у к с, К. А. Б. С м и т, А. Г. С т о н и У. Т. Т а т т и [13]) был приведен пример разбиения квадрата на 26 попарно неравных квадратов (это разбиение было воспроизведено в русских книгах [23] и [24]). Однако и это разбиение не является «самым экономным»: в 1948 г. в популярном среди шахматистов журнале Fairly Chess Review1) появилась заметка англичанина Ф. Г. Вилькокса [18], в которой он указал, что каждый квадрат можно разрезать на 24 попарно неравных квадрата (см. также [21]; это разбиение воспроизведено во 2-м издании «Математического калейдоскопа» Г. Штейнгауза [6], изданного в Варшаве в 1954 г.). До сих пор неизвестно, можно ли разрезать квадрат меньше чем на 24 попарно различных квадрата (см. задачу 1а) на стр. 105). Можно пытаться разрезать на квадраты и иные выпуклые многоугольники. Впрочем, легко понять, что из квадратов (или даже из произвольных прямоугольников!) нельзя сложить никакого выпуклого многоугольника М, отличного от прямоугольника. В самом деле, нетрудно видеть, что если какой-то выпуклый многоугольник М покрыт прямоугольниками без просветов и двойных покрытий, то стороны всех этих прямоугольников взаимно параллельны. Действительно, выберем какую-либо сторону I многоугольника М. Очевидно, все прямоугольники, примыкающие к /, имеют сторону, параллельную все прямоугольники, примыкающие к какому-либо из уже рассмотренных прямоугольников, имеют еторону, параллельную I, и т. д. Так как таким путем мы можем исчерпать все прямоугольники покрытия, то все они имеют сторону, параллельную I. Отсюда следует, что все стороны многоугольника М параллельны I или перпендикулярны к I. А так как выпуклый многоугольник не может иметь более двух параллельных сторон (это следует из определения выпуклого многоугольника как такого, который лежит по одну сторону от каждой своей стороны), то многоугольник Л1 должен быть прямо угольником. Таким образом, остается выяснить, можно ли разрезать на попарно различные квадраты какой-пибо прямоугольник Р. В книге М. К р а й ч н к а |3], в которой одна глава была специально посвящена подобным вопросам, фигурировали лишь примеры разбиения прямоугольника на квадраты, некоторые из которых равны — возможно, что в 1930 г. он еще не знал, что существуют прямоугольники, которые можно разбить на неповторяющиеся квадраты. Однако в это время примеры такого рода уже были известны: по-видимому, первое разбиение прямоугольника на попарно неравные квадраты было указано польским математиком 3. Мороном [21 в 1925 г.—за 5 лет до выхода книги [3]. (В 1939 г. это разбиение было повторно найдено индийским математиком С. Ч о у л о й [71.) Г. Штейнгауз в первом издании книги [61 отмечает, что «из девяти квадратов со сторонами 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 18 можно сложить прямоугольник» (разбиение Морона), но указывает, что «неизвестно, можно ли составить прямоугольник из неповторяющихся квадратов с "меньшими сторонами». Однако во втором издании той же книги уже сообщается, что указанное разбиение прямоугольника на девять попарно различных квадратов является самым простым из всех возможных разбиений такого рода — к моменту выхода в свет 2-го издания книги [61 вопрос о простейших разбиениях прямоугольников на попарно неравные квадраты был решен полностью. Второе разбиение прямоугольника на девять квадратов (со сторонами 2, 5, 7, 9, 16, 25, 33 и 36) было указано впервые в 1940 г. в уже называвшемся обширном мемуаре P. J1. Б р у к с а, К. А. Б. См и-т а, А. Г. Стона и У. Т. Т а т т и [131 и одновременно в маленькой заметке немецких геометров Г. Тёпфкена и Г. Рейхардта [101; при этом в обеих статьях указывалось, что меньше чем из девяти попарно различных квадратов сложить прямоугольник нельзя. В статье [13] были также указаны все возможные (довольно многочисленные!) разложения прямоугольника на 10 или 11 попарно неравных квадратов. В 1946—1947 гг. начатый английскими авторами список был продолжен голландским математиком Е. Я. Б а-у к а м п о м [151, который, опираясь на развитые в статье [13] методы, перечислил все возможные разложения прямоугольника на 9, 10, 11, 12 или 13 попарно неравных квад-ршов; всех таких разложений оказалось 585 (!). В 1941 г. на VII Московской математической олимпиаде учащимся 7—8 классов было предложено доказать, что ни из каких пчти попарно неравных квадратов сложить прямоугольник нельзя, а учащимся 9—10 классов была задана аналогичная 1лдача, где только число «п ять» было заменено на число «шест ь» (см. [30]); эти задачи получили довольно много решений и при разборе решений задач олимпиады школьникам было предложено дома попытаться самостоятельно установить, что также и из с е м и или из восьми попарно различных квадратов сложить прямоугольник нельзя. После того как было показано, чтб* по крайней мере некоторые прямоугольники — ив том числе все квадраты — можно разрезать на попарно неравные квадраты, встал вопрос о том, не справедливо ли это утверждение для всех без исключения прямоугольников. Впрочем, в такой форме утверждение было опровергнуто очень давно — задолго до установления всех упомянутых выше фактов. Еще в 1903 г. известный немецкий математик Макс Д е н опубликовал статью [11, которую можно считать первой в ряду интересующих нас здесь исследований; в этой статье он показал, что никакой прямоугольник с несоизмеримыми сторонами не может быть разрезан на квадраты (безразлично — попарно различные или такие, среди которых встречаются и одинаковые!). С другой стороны, было установлено, что весьма многие прямоугольники могут быть разбиты на попарно различные квадраты: еще в 1932 г. М. А б е [4] показал, что среди таких прямоугольников существуют сколь угодно близкие к квадрату, а в обширной диссертации А. Штёра [8] было установлено, что среди них есть прямоугольники, сколь угодно близкие к любому наперед заданному прямоугольнику. Окончательное решение вопроса о том, какие прямо-уг ольники можно разложить на попарно неравные квадраты, было дано Шпрагом, который, как уже отмечалось, первым решил и вопрос о возможности разбиения квадрата на попарно неравные квадраты. После работы М. Дена [1] «под подозрением» оставались лишь прямоугольники с соизмеримыми сторонами — и для таких прямоугольников Р. Ш п р а г [12] доказал, что каждый из них может быть разрезан на попарно неравные квадраты. Другие многочисленные задачи н теоремы, родственные только что перечисленным, читатель найдет в тексте этой книги. |
