Проф. И. В. Арнольд
ПРИНЦИПЫ ОТБОРА И СОСТАВЛЕНИЯ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
*** 1946 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
I. Постановка вопроса Арифметические задачи, если исключить имеющие характер простых упражнений в производстве арифметических действий, преследуют довольно разнообразные и притом не слишком определённые цели. Имеется в виду и закрепление теоретического материала курса арифметики, и ознакомление с простейшими зависимостями между величинами, и тренировка сообразительности учащихся, развитие у них умения ориентироваться во всё более и более сложных „арифметических ситуациях". Однако более точно эти цели никогда не фиксировались, подбор и расположение задач определяются до сих пор в значительной мере исторической традицией: нет никаких твёрдо установленных принципов, которые позволили бы судить о том, что именно до ажно быть достигнуто, в каком порядке, какой степени сложности задачи должны решаться, каковы должны быть тематика и оформление задач, в какой связи эти задачи должны быть с другими частями курса математики, какие требования следует предъявлять к подбору числовых данных и т. д. По всем этим вопросам в методической литературе можно найти довольно разноречивые указания весьма расплывчатого характера, в практике же преподавания встречается самое разнообразное разрешение этих вопросов как в программах, так и в содержании соответствующих учебных пособий. Уже в дореволюционное время в среде наиболее активных и прогрессивных деятелей русской начальной и средней школы росли и крепли течения, стремившиеся отразить в практике преподавания те тенденции к обновлению материала и методов преподавания, которые с необходимостью вытекали из чрезвычайно быстрого количественного роста математических дисциплин и резкого увеличения удельного веса математических методов в современном естествознании и технике. С особенной остротой эти задачи возникают перед советской школой, призванной, в невиданных доселе масштабах, осуществить необходимую для овладения современной наукой и техникой подготовку работников первого в мире социалистического государства. Для советской школы, поэтому, совершенно нетерпимо такое положение, при котором как содержание, так и методы преподавания математики и, в частности, основы основ — арифметики, сохраняют ещё следы застывших и устаревших схем и традиций и не приведены в достаточно полное и точное соответствие с потребностями современности. Положение осложняется ещё тем, что кон- кретные условия обучения, его массовость и унификация требуют особенно осторожного подхода при внесении не только значительных, но даже и сравнительно небольших изменений. Но именно массовость и унификация преподавания обязывают произвести тщательный пересмотр материала с тем, чтобы, освободившись от всего того, что в настоящее время является излишним балластом, заполнить остающееся время и место действительно насущно необходимым материалом, без которого преподавание арифметики будет лишь в очень неполной мере разрешать стоящие перед ним задачи. Мы позволим себе сослаться для сравнения на разработанность методики преподавания таких предметов, в которых наличие или отсутствие нужных навыков констатируется не по косвенным признакам (недостаточная подготовленность к дальнейшему обучению, беспомощность в решении практических вопросов), а непосредственно очевидно. Сюда относятся, например, обучение музыкальной технике или иностранному языку. Здесь с чрезвычайной тщательностью подобраны и составлены упражнения самого различного типа, известно, для чего они нужны, как их нужно дозировать, что должно быть достигнуто в результате. Изучены часто встречающиеся ошибки и дефекты исполнения (или — в случае обучения языку — дефекты произношения, словоупотребления и т. д.) и придуманы специальные упражнения для устранения этих дефектов. Достаточно сравнить любые два пособия, любые два методических руководства для того, чтобы убедиться, что в этом отношении арифметика плетётся в хвосте, хотя здесь-то и надо бы потребовать наиболее тщательной и продуманной методической детализации. Итак, мы считаем, что для того чтобы в сложившихся у нас условиях правильно подойти к разрешению частного вопроса о содержании, форме и расположении арифметических задач, необходимо (учитывая весь имеющийся в распоряжении опытный материал и общие задачи математической подготовки учащихся советской средней школы в современных условиях) установить с достаточной полнотой и определённостью, какие именно частные цели должны быть достигнуты в результате соответствующей работы учащихся над решением арифметических задач. Несмотря на то, что такой тезис может показаться трюизмом, на деле, в конкретном применении к арифметическому материалу, он оказывается далеко не тривиальным, так как подобного рода работа, насколько нам известно, у нас ещё не была проделана с необходимой тщательностью. Отдельные, „не претендующие на исчерпывающую полноту" экскурсии в эту область почти бесполезны — здесь, нужна именно „претендующая на полноту" работа. Автор настоящей статьи не претендует на производство этой работы во всём её объёме (да и вряд ли силами одного человека может быть достигнута нужная степень объективности). Имеется в виду лишь более скромная цель — наметить те ochobi ые положения, из которых, по мнению автора, следует исходить при отборе и составлении задач по курсу арифметики, в особенности на позднейших стадиях обучения. 2. О требованиях, которые следует предъявить при отборе и составлении арифметических задач Попытаемся прежде всего конкретизировать характер тех требований, которые мы считаем необходимым предъявлять к содержанию арифметических задач, входящих в обязательный минимум. Подчерк- нём, что общее число задач, которые каждый учащийся должен решить в процессе обучения, не так-то уж велико Поэтому уместно потребовать, чтобы каждая задача (ведь, с ней могут встретиться несколько миллионов учащихся детей!) была настолько полноценной во всех отношениях, что можно было бы обосновать и защищать её право на миллионный тираж. Нам кажется, чго эти требования вполне естественны в отношении каждой задачи, включённой в сборник упражнений для начальной и средней школы. Авторы задач должны были бы, в идеале, быть в состоянии ответить на вопросы, скажем, такого типа: — Какую цель преследует данная задача? Какие именно элементы арифметического обучения, воспитания и тренировки мысли имеются в виду? Необходимо ли помещение именно этой задачи в сборник для этих целей? Почему именно такие, а не другие конкретные величины, именно такая, а не другая „фабула" задачи выбраны? Почему такие, а не другие числовые данные? Отвечают ли они реальной обстановке, в которой могло бы понадобиться решать такую задачу? Интересна ли фабула задачи для учащихся, увлекательна ли, естественна ли постановка вопроса, вызывает ли она у учащихся интерес к ответу или к способу решения, чем именно? Нельзя ли этот интерес повысить? Когда именно учащийся сможет самостоятельно решить данную задачу, что он для этого должен помнить, знать, уметь, представлять себе? А если он не сможет этого сделать, о чём это свидетельствует? Чем и в какой мере ему должен помочь учитель и чего он должен добиваться от учащегося? Как эга задача связана с предшествующей и последующей работой учащегося, почему она помещена именно в этом месте сборника, а не в другом? и т. п. Может показаться, на первый взгляд, что эги требования к составителям задач чрезмерны. Есть, скажут, сборники задач: научите детей решать эти задачи, — и всё будет ладно, а в деталях учитель разберётся. Но мы хотим подчеркнуть, что одна из основных целей настоящей статьи—показать, во-первых, насколько такая традиционная терпимость к бросающимся в глаза дефектам преподавания недопустима, к каким последствиям она ведёт, и, во-вторых, наметить пути к устранению этих дефектов. 3. Фабула задачи и выбор числовых данных Начнём с вопроса, в разрешении которого рутинность проявляется на практике с особенной рельефностью и в отношении которого сравни 1ельно легко указать, что здесь необходимо предпринять. Мы имеем в виду фабулу иди оформление задачи, естественность постановки вопроса и подбора числовых данных. Принято считать, чго всё это имеет второстепенное значение, что суть дела в арифметическом содержании задачи, в тех усилиях воображения, в том процессе логического рассуждения, в тех числе вых выкладках, которые предлагаются учащемуся, а вовсе не в степени реал ности содержания задачи. Даже если в принципе с этим тезисом и можно было бы согласиться, всё же только что высказанные утверждения не являются достаточным основанием для того, чтобы отбрасывать всякую заботу о фабуле задачи. Отсутствие заботы о фабуле приводит, в итоге, к нагромождению задач с искусственными, подчас прямо смехотворными, условиями, лишь по чисто внешним признакам, имеющим реальную обо- лочку. Хуже всего то, что обилие задач, заставляющих учащегося на протяжении нескольких лет обучения пережёвывать один и тот же традиционный материал, неминуемо навевает скуку, переходящую в отвращение к арифметике, в особенности, если обучение и по существу сводится к навязыванию учащимся рецептов и неукоснительных бюрократических правил арифметической бухгалтерии — записи хода решения и т. д. Необходимо здесь подчеркнуть, что мы вовсе не собираемся совершенно отказываться от общеизвестных типов арифметических задач (задачи с путешественниками и поездами, встречающими и догоняющими друг друга, задачи на „бассейны", на „смешение" и т. п.). Эти классические задачи представляют собой достаточно наглядные и удобные схемы тех арифметических ситуаций, в которых должен уметь ориентироваться учащийся. Но нельзя ограничиваться этими задачами-схемами и вращаться в кругу одной и той же, очень скоро приедающейся, тематики. Иначе не избежать искусственных постановок вопроса и нудного повторения одних и тех же мотивов. С другой стороны, внося разнообразие в оформление и тематику задач и стремясь к возможно большему приближению к действительности используемых соотношений между данными и искомыми задачи и к соответственному выбору числовых данных, нельзя, конечно, перегибать палку и загромождать текст задачи такими техническими и статистическими данными, которые порождают для учащихся дополнительные трудности. Но эта последняя опасность сейчас меньше первой,—линия „наименьшего сопротивления" проходит именно там, а не здесь. Если бы нельзя было нужное арифметическое содержание задачи облечь в более живую форму, подобрать интересное, конкретное и вместе с тем доступное для учащихся оформление, достигающее— в отношении умственной тренировки и воспитания арифметических навыков — нужных целей, тогда, конечно, пришлось бы мириться и с этим. Но всё дело в том, что почти всегда такое оформление найти можно, и если это не делается, то только потому, что легче переписать из составленных раньше сборников условия задач, слегка их осовременив, нежели подумать о том, как оформить задачу с соблюдением указанных требований. Я уже не говорю о том, что и над вопросом о нужном арифметическом содержании часто составители сборников не слишком-то задумываются. PRINCIPLES OF SELECTING AND COMPOSING ARITHMETICAL PROBLEMS BY PROF. V. ARNOLD Summary The structure and subject-matter of arithmetical problems in the books of exercises used at school seems to a great extent casual and not meeting natural requirements. Questions of principle in this connection are not being treated with sufficient penetration in methodical literature. In order to eliminate these drawbacks we consider it necessary in the first line to fix distinctly the aims of teaching arithmetics. This will require the making up of a sufficiently detailed and complete list of the elements of arithmetical reasoning and imagination of the school children that are to be developed, in order to base the selection and composing of arithmetical problems on these elements. These elements, as well as the corresponding combinations in arithmetical problems, are characterized not only by the abstract feature of their „algebraic structure", but are essentially defined by their specific qualitative character in various interpretations, upon which to a great extent depends the process that takes place in the minds of school-children while solving a problem. The aggregate of these elements is defined, on the one hand, by the peculiarities of functional relations studied in arithmetics (direct and inverse proportion, linear relation between variables) and on the other., by the requirement that the process of reasoning should follow natural ways of thinking, and the corresponding comparisons and manipulations, should be capable of concrete interpretation. This is the chief limiting factor in making a distinction between the arithmetical problems and those requiring the application of algebraic methods. It is by the methodical task of teaching pupils to master these elements in their various combinations that the arithmetical content of the ploblems, their disposition, the degree of complexity and so on should be determined. As to the subject-matter of problems and the selection of numerical facts it Is absolutely indispensable to give up the unhealthy tradition of regarding these as of minor importance, this attitude leading to harmful consequences: the topics become monotonous and the putting of question in the problems artificial. It is essential that the putting of questions In the problems, as a rule, should be concrete, the solution interesting for the pupils, the subject-matter of the problem and the numerical data either of educational value, or possess an emotional colouring and broaden the numerical scope of the pupils. The preliminary stage of work on composing problems on these lines should be the making up of a sufficiently detailed and complete reference book of numerical facts and of concrete knowledge, which might be made use of in composing problems and which would contain material practically useful and interesting for pupils. |
