ПРЕДИСЛОВИЕ
Прежде чем приступить к изложению части геометрии, обозначеной в заголовке предлежащего произведения, я считаю полезным познакомить читателей в общих чертах с историей этого предмета. История же эта полна странностями и может быть по своему характеру совершенно исключительна посреди других отделов математических наук.
Самою большою странностью является то обстоятельство, что этот в высшей степени простой отдел элементарной геометрии, каковы, впрочем, и все ее отделы, но в то же время полный математического изящества в такой мере, какой, может быть, не обладает никакой другой отдел того же предмета, остается до сего времени совершенно неразработанным. Притом, отдел этот имеет интерес не только как гармонично связанная в своих частях система простых математических соотношений, но, наоборот, практическая потребность в нем так настоятельна, что за разработку его частей по необходимости брались представители других конкретных наук и прежде всего минералоги. Этот аномальный факт, конечно, не мог быть благоприятным для его развития. Минералоги, побуждаемые к тому практической необходимостью, конечно, выхватывали из него лишь то, что необходимо было для развития разрабатываемого ими самими отдела знаний, т. е. минералогии. Неизбежным результатом такого чуждого вмешательства была односторонность развития самого отдела, неудовлетворительность номенклатуры и т. п. С другой стороны, чистые математики, разрабатывая вопросы этого отдела с более общей, и следовательно более правильной, точки зрения, были незнакомы иногда с результатами, полученными минералогами, и потому приходили к совершенно иной постановке предмета и его номенклатуры. Но что особенно характерно для истории этого отдела знаний, это разрозненность работ отдельных исследователей. Сплошь и рядом ученые оказывались незнакомыми даже с трудами, помещавшимися по тому же вопросу в том же журнале, в котором они помещали свои труды. Вследствие этого в этой области мы встречаем примеры столь частого повторения открытий, как, может быть, ни в какой другой научной области. Я приведу теперь для примера повторение открытий по одному весьма важному вопросу этого отдела, а именно определения так называемых полуправиль-ных фигур. Что же касается второстепенных вопросов этой области, то повторения открытий представляют собою такую запутанную сеть, для распутывания которой не хватило бы сил единичного лица.
Ряд этих фигур был известен еще в древности, и в средние века тела эти нызавались архимедовыми; отчасти за ними держится это название и теперь. Но в 1808 г. независимо, и пользуясь несовершенным методом, вывел их Лидонне; в 1819 г. вывод этот в третий раз и опять в несовершенной форме был повторен анонимным автором в „Annales de Ger-gonne“ (по Бадуро — самим Жергоном). В 1865 г. вывод этот, но уже на основании более совершенного метода, был произведен Каталаном (и был увенчан со стороны Французской Академии наук большой премией). Наконец, в 1878 г. той же Академии был представлен труд Бадуро, часть которого повторяет тот же вывод в пятый раз, и опять автор незнаком с работами своих предшественников.1) Дерзну смиренно прибавить, что вывод тех же фигур, как он сделан в предлежащем произведении, в гл. 5 II отдела, был шестой независимый вывод.1) Производя его, автор и не подозревал существования своих предшественников. Произошло это, конечно, потому, что автор не мог предполагать, чтобы имеющий такое значение вывод, и притом всецело принадлежащий области элементарной геометрии, мог бы ускользнуть от внимания последовательного сонма составителей элементарных руководств. Не в этом ли, т. е. в запоздалом развитии самого отдела, и кроется причина разрозненности принадлежащих сюда исследований и повторения открытий?
Некоторые авторы приписывают этому отделу специальные трудности, совершенно подобные тем, какие встречаются в исследованиях по теории чисел. Связь обоих отделов математики действительно несомненна, и я старался оттенить ее как при выводе типических изоэдров, так и при выводе зоноэдров. Но самая простота предмета в его основных началах исключает вообще особые трудности, и я полагаю, что только предвзятыми опасениями можно объяснить, к сожалению, весьма частый в этой области факт вывода каких-нибудь соотношений или фигур ощупью. Таким способом вывел, например, в первый раз свою знаменитую формулу великий математик Эйлер, и лишь во второй статье он отчасти заполнил этот очевидный пробел. Таким же спо-
suis console en pensant avec M. Catalan au vieux proverbe de jour en jour plus vrai: nil novi sub sole.2
A) Однако вывод этих фигур, как он предлагается в этом произведении, является в первый раз не только по новости употребленного метода, но отчасти и по самой его цели. В гл. 5 делается именно вывод „всех возможных изогонов и типических изоэдров"; мои же предшественники ограничились лишь наиболее правильными представителями этой группы, т. е. собственно телами Архимеда или „полуправильными" многогранниками, которые Каталан назвал „semireguliers", а Бадуро „isosceles"; значит вывод этот относится к предшествующим, как общий к частному, а в такой только форме он и пригоден для приложений, например к минералогии.
2 Начала учения о фигурах
собом знаменитый математик Пуансо вывел правильные многогранники высшей степени, которые получили впоследствии название тел Пуансо; но он сначала и не подозревал, что сделал полный их вывод. Таким же способом те же Эйлер и Пуансо делали перечисление возможных многогранников с определенным числом вершин или граней. Я не говорю уже о менее известных математиках, у которых такого рода прием встречается весьма часто. Даже из наиболее замечательных и новейших работ, как, например, в упомянутой уже работе Бадуро (Badoureau. Memoire sur les figures isosceles) употребляются приемы, граничащие с выводом ощупью. Выводя особые изогоны высшей степени, автор этот пользуется методом построения, который, конечно, не дает никакого ручательства его полноты и, по необходимости, в некоторой неуверенности оставляет самого автора. В главе о многогранниках высшей степени действительно указываются [попутно его промахи, которыми он обязан употребленному методу.
Достаточно сказанного, чтобы показать, что центральные ученые учреждения не могли не сознавать заброшенности этого отдела знаний и не принять со своей стороны каких-нибудь мер для устранения этой ненормальности. Поэтому становится вполне понятною и естественною выставление со стороны Французской Академии наук в 1863 г. следующей темы для конкурса на получение большой премии: ctionner, еп quelque point important, la theorie geometrique des polyedres“.z Самая неопределенность этой темы служит лучшим свидетельством того, что авторы этой постановки вопроса отчетливо сознавали всю неразработанность этого отдела геометрии. Со времени этого призыва знаменитого ученого учреждения внимание математиков к этой области действительно значительно возросло, и с того времени непрерывным потоком является на страницах различных математических журналов ряд исследований, принадлежащих этой области.
Однако, несмотря на обилие работ и продолжительность истекшего времени, дело подвинулось еще мало вперед. Число систематических работ, вышедших в течение этого времени, крайне невелико. Громадное же их большинство имеет весьма узкие цели и нередко ведено с помощью весьма несовершенного метода, так что и до сих пор многие светила математики относятся к самому отделу с большим недоверием.1)
Переходя к общему взгляду на состояние этого отдела в настоящую минуту, мы замечаем, и это можно было предвидеть из вышесказанного, что обработка разных входящих сюда вопросов крайне неравномерна. Тогда как одни вопросы вызвали целую литературу, например вывод численных соотношений между элементами многогранника, ушедшую далеко из области реальных приложений вглубь отвлеченных математических спекуляций, другие важные вопросы и даже целые отделы остались нетронутыми; сюда относятся именно отделы о зоноэдрах и выполнении пространства, отделы, могущие доставить неисчерпаемую пищу математическим спекуляциям. Особенно замечательна неприкосновенность отдела о выполнении пространства равными фигурами, так как со времени Гаюи в отделе этом минералогия ощущала безусловную потребность. Достаточно вспомнить камень преткновения для теории кристаллической структуры этого замечательного минералога, чтобы убедиться в справедливости сказанного. Камень преткновения для этой теории, как известно, состоял в том факте, что имеется спайность по октаэдру. Если бы Гаюи знал о существовании и свойствах
) Этим недоверием только могу я объяснить случай, относящийся к самому предлежащему произведению. Когда в первый раз (в 1881 г.) я представил его в здешнюю Академию наук в лице г. академика Чебышева, то последний отказался принять его, мотивируя свой отказ тем, что этим отделом современная наука не интересуется. Из слов почтенного академика видно, что он не представляет возможности систематических выводов в этой области и думает, что все они производятся ощупью.
особого притупленного октаэдра, то ему не пришлось бы прибегать к натяжкам для объяснения этого факта, натяжкам, заставившим его последователей отрешиться от его первоначальной гипотезы и прибегать к помощи других. Если бы современные минералоги были знакомы с теорией паралле-лоэдров, им не пришлось бы за элементы структуры кристаллов правильной системы принимать в некоторых случаях ромбоэдры.
Я имел честь, начиная с 1881 г., представить имп. Минералогическому обществу ряд докладов по теории кристаллической структуры4 и, так как доклады эти подразумевают знакомство со многими выводами, в первый раз изложенными в предлагаемом произведении, то этим и объясняется появление самой работы на столбцах „Записок" этого общества.
Обращаясь теперь к предлежащему произведению, я должен сказать, что громадное большинство выводов произведено самостоятельно, все заимствования всегда точно указаны, и лишь те выводы, которые стали обязательным достоянием общепринятых руководств, не снабжены ссылками. Многочисленные же другие ссылки приведены лишь с целью ознакомить читателей с литературой предмета.
В основе произведения лежит отчетливое сознание аналогии, существующей между плоскими и телесными фигурами, и потому как плоский угол является основным строительным элементом плоских фигур, так и в предлагаемом произведении все главнейшие выводы строятся на изучении телесного угла как строительного элемента телесных фигур. Различные соображения заставили меня придать этому элементу новое и, как я полагаю, более общее и удобное название — юно-эд/7.5 Вообще же, стараясь, где можно, достичь улучшения номенклатуры по отношению ее рациональности и общности, я избегал уклоняться от общепринятых терминов и решался изменять их лишь в тех случаях, где я полагал в том необходимость. Геометрические термины, заимствованные от реальных предметов, например лейцитоэдр, гранатоэдр и т. д., впрочем и без того не особенно твердо установившиеся, я не допускал совершенно, так как, полагаю, этим нарушается самая общность математических терминов; и действительно, раз является доказанным, что лейцит не принадлежит к минералам правильной системы, какой смысл остается за термином лейцитоэдр? Но такого рода противоречие всегда может явиться, если отвлеченное понятие закреплено конкретным одеянием, и я полагаю, что такие любители нововведений, как, например, Вакернагель, которые даже вместо куба говорят „галоэдр“, а вместо правильного додекаэдра — „пятичленный галоэдр“, наиболее способствуют хаотическому состоянию номенклатуры.
Цель этого произведения — изучение телесных фигур, но для достижения самой цели потребовалось во многих случаях остановиться и над плоскими фигурами. В этих случаях изложение сделано возможно сжато, и притом соответственные термины телесных фигур нередко прямо переносились на плоские, как, например, типический многоугольник и т. п. Вообще я стремился достичь возможного равновесия в изложении и уделять каждому вопросу место, соответствующее его важности. Поэтому при вообще сжатом изложении столь громадного отде\а, те его части, которые не находят пока непосредственных практических приложений, как, например, теория многогранников высшей степени, представлены здесь лишь в своих основных принципах.
Отдавая это свое произведение на суд ученой публики, я вполне сознаю многие его несовершенства и промахи и надеюсь, что приговор будет снисходителен ввиду того обстоятельства, что труд этот представляет первую попытку систематического изложения всех существенных отделов элементарного учения о телесных фигурах.
Анизоэдры 155 Архимедовы фигуры 16 Асимметрическая система 77
Бипирамида 166 Бипризмоиды 151 Бискаленоэдр 144
Вид многогранников 80, 82 Винтовые параллелоэдры 314 Внешний угол сфеноида первого рода 65
— второго рода 65, 66
Возможная плоскость 315
— прямая 315 Вторичные фигуры 238 Вторичный параллелоэдр 314 Выполнение плоскости 234
— — в параллельном положении 234
— пространства 283
— — в параллельном положении 284
Галоэдр 21
Гексакис-икосаэдр 127, 166
— -октаэдр 126, 166
— -тетраэдр 125, 166 Гексапараллелоэдр 294
— вогнутый 306
— обыкновенный 298
— удлиненный 298
Гемиморфия 218, 225—226 Гемиэдрия 218, 225—226 Генетический закон симметрии 218 Гептапараллелоэдр 298
— вогнутый 306 Гироэдрическая гемиэдрия 197 Гироэдрическое отделение кубической системы 197
Голоэдрия 225—226 Гомоэдрия 218, 225—226 Гоноэдр 20, 25, 35, 37
— вогнутый 41
Гоноэдрические зеркала 224, 225,, 366
Гоноэдры выпуклые 36
— дополнительные 36
— острые 41
— полигональные 36
— полярные 36
— правильные 36
— равномерные 38
— равные 35
— симметричные 35
— тупые 41
Гранатоэдр 20
Декагональная система 210 Дельтоид-додекаэдр 133, 134, 168 Дельтоэдр 135, 168 Дипараллелогон 238
— второго порядка 246
Дисфеноид 74 Додекаэдр 90, 127 Додекаэдрическая гемиэдрия 194 Додекаэдрическое отделение кубической системы 194 Додекаэдроиды 152 Додекаэдро-икосаэдр 134, 164
— -икосаэдрическая система 201
Зоноэдр 256 Зоноэдры, вывод 259
— второго рода 267
— пентагональные 263
— первого рода 267
— полярные 276
— равнобедренные 271, 289
— с различными гранями 266
— тетрагональные 263
— тригональные 263
Измененный подтипический многогранник 87 Изогон (равноугольник) 100
— пентагоноэдрический 109, 138, 164
— тетрагоноэдрический 108, 164
— тригоноэдрический 108, 162 Изогоноэдры 259, 262 Изогоны высшей степени 344 Изокойлоэдр 323
Изоэдр (равногранник) 98
— элементарный 182
Изоэдры пентагональные 138, 139, 168, 169
— тетрагональные 168, 169
— тригональные 166, 167 /Икосаэдр 89, 127
Индивидуальность многогранников 81
Квадратная система 76 Койлогоны 336 Койлоэдр типический 323 Койлоэдры 321
Конический угол 42, 50
— прямой 51
Косой тетрагоноэдрический притупленный кубо-октаэдр 136
— три" ональный пентагон-изоэдр (тетраэдр) 141
призмоэдр 141
Куб 90
Кубическая система 188 Кубо-дитетраэдр 133, 134, 164
— -октаэдр 132, 134, 164
— -октаэдрическая система 188
Левый сфеноид 76 Лейцитоэдр 21 136
Мера растяжения 247, 278
— сдвига 249, 280 Многогранник подтипический 84
— — измененный 87
— правильный 89
— типический 79, 80
— — измененный 80 Многогранника род 97
— центральный угол 88 Многогранники высшей степени 341
— дигональные 116
— пентагоноэдрические 107
— с несплошной поверхностью 322
— со сплошной поверхностью 323
— тетрагоноэдрические 106
— тригоноэдрические 106
— эйлеровы 322
Многогранников индивидуальность 81
— разновидности 81 Многоугольники высшей степени 336
— дигональные 116
— первой степени 336 Моноклиноэдрическая система 76 Моносимметрическая система 76 Мэроэдрия 204, 205
Направление сдвига 249, 280
Неравнограцники (анизоэдры) 155 Нетипические изоэдры 142 Нечетнореберники 154
Обратная параллельность 284 Обратное равенство 285 Обыкновенный гексапараллелоэдр
298 Октаэдр 89 Ось растяжения 247 4— сдвига 248
— симметрии 179
Отрицательное растяжение 247, 278
Параллелогон аномальный 317
— вторичный 238
— второго порядка 242
— нормальный 317
— первичный 237
— первого порядка 242
— простой 237
— сложный 237, 238 Параллелогоны 234, 235
— , систематический вывод 242 Параллелограмма площадь 251 Параллелоэдры 285, 286
— аномальные 318
— винтовые 314
— вогнутые 305
— вторичные 289, 314
— вывод 292
— выпуклые 305
— нормальные 318
— объем 289
— первичные 289
— простые 290
— сложные 290
Параллельногранная гемиэдрия 194 Параллельное положение 284 Параметры направления 315 Парногранник 271 Парносторонник 235 Пемптоэдрия 148
Пентагональные изоэдры (пентагон-изоэдры) 138, 139, 168, 169 Пентагон-изоэдр пентагональныш 141, 168
— равнобедренный 140
— тетрагональный 168
— тригональный 168 Пентагональный призмоэдр 141 Пентагоноэдрические изогоны 109, 138, 164, 165 Пирамидальный додекаэдр 128, 166
— икосаэдр 124, 162, 166
— куб 125, 162, 166
— октаэдр 123, 166
— ромбоэдр 144
— тетраэдр 122, 123, 166 Плагиэдрическая гемиэдрия 197 Планигоны 235, 252
Плоская сетка 239, 288 Плоский пояс 272 Плоскоконические углы 52 Подобие фигур 232 Подтипический многогранник 84 Полногранное отделение кубической системы 188 Положительное растяжение 247 Полюс грани 257 Пояс 256
Пояс вторичный 256
— главный 256
— основной 256
— первичный 256
— побочный 256
перекрестный 256
поперечный 256
Порядок многогранника 96 Правильная система 76, 188 Правильная система точек 310
— двойная система точек 313
— простая система точек 313 Правильные многогранники,вывод8? Правильный додекаэдр 162
Правильный икосаэдр 166
— многогранник 89
— тригональный дельтоэдр 132
— — пентагон-изоэдр (додекаэдр) 140
— тригональный призмоид 132, 140 Правый сфеноид 76 Преломленный пентагональный додекаэдр 136, 168
Призмоид 130, 164
— пентагональный 164
— тетрагональный 164
— трапецоидальный 120, 162
— тригональный 164 Призмопирамида 150 Призмоэдр пентагональный 141, 164
— тетрагональный 164
— тригональный 164 Призмоэдры 139
Притупленный дитетраэдр 125, 162
— додекаэдр 124, 162
— додекаэдро-икосаэдр 127, 162
— икосаэдр 128,162
— куб 123, 162
— кубо-октаэдр 126, 162
— октаэдр 125, 162
— тетраэдр 122, 123, 162 Промежутки ряда системы парал-
лелоэдров 287 Пространственная решетка 288 Прямая бипирамида 121
— призма 121
Прямой тетрагоноэдрический притупленный кубо-октаэдр 136 Пятичленный галоэдр 21
Равнобедренный тригональный пентагон-изоэдр (пентагональный додекаэдр) 140
— тригональный призмоэдр 140 Равногранник (= изоэдр) 74, 98 Равноугольник (= изогон) 100 Равноугольный сфеноид 64, 73, 74
Разновидность многогранников 81 Растяжение 247
Растяжение плоской фигуры 247
— положительное 247
— телесной фигуры 278 Род многогранника 97 Ромбическая система 76 Ромбический додекаэдр 78, 132, 134,.168
— триаконтаэдр 134, 168 Сдвиг 248
Сдвиг отрицательный 249
— плоской фигуры 248
— положительный 249
— телесной фигуры 280 Сдвига направление 249, 280 Симметрия 179 Симметричность 285 Система асимметрическая 77
— декагональная 210
— квадратная 76
— кубическая 188
— кубо-октаэдрическая 188
— моноклиноэдрическая 76
— моносимметрическая 76
— параллелогонов 239
— параллелограммов 239, 240
— параллелоэдров 289
, соответственные направления 287 , промежуток ряда 287
— ромбическая 76
— соответственных точек 239
— триклиноэдрическая 77 Скаленоэдр 120, 121, 166 Сложные фигуры 238
Смежные слои параллелоэдров 288- фигур 288
Соответственные направления 239, 240
системы паралеллоэдров 287
Соответственная плоскость системы
параллелоэдров 290 Соответственные плоскости второго порядка 299, 301
— — первого порядка 301 Соответственные прямые второго
порядка 299
— точки 98, 239
— — второго порядка 298, 300
— — фигур 287, 288 Спайность 19 Стереоэдры 285, 308 Сфеноид 63
— левый 76
— парногранный 64
— постоянный 63
— равнобедренный 64
— равноугольный 64, 73, 74 Сфеноэдр 119, 162, 166 Сферические трехугольники 32, 33,
34
Тессеральная система 188 Тетартоэдрия 199, 218,226 Тетрагональные изоэдры 168, 169 Тетрагоноэдр 35
Тетрагоноэдрические изогоны 164, 165
Тетрагоноэдрический притупленный додекаэдро-икосаэдр 137, 164
— притупленный кубо-октаэдр 135, 164
Тетрапараллелоэдр 298 Тетрапирамида 144 Тетраэдр 63, 89 Тетраэдр правильный 74
— постоянный 63 Тетраэдрическая гемиэдрия 192 Тетраэдрическое отделение кубической системы 192, 199
Типическая фигура 262 "Типический изокойлоэдр 324
— койлоэдр 323
Типический изоэдр 98
— многогранник 79, 80 Трапецоэдр 130, 168 Трапецоэдральный призмоид 120, 162
Триакис-икосаэдр 137, 168
— -октаэдр 135, 136, 146, 168
— -тетраэдр 133 Тригональные изоэдры 166, 167
— призмоэдры равнобедренные 140 Тригоноэдр 35, 41, 45 Тригоноэдрические изогоны 162, 163 Тригоноэдры косолежащие 43
— накрестлежащие 42, 43
— противолежащие 42, 44
— прямые 41
— смежные по грани 40 по ребру 40
— соответственно косолежащие 43, 44
— соответственные 42 Триклиноэдрическая система 77 Трипараллелогон 238, 292
— второго порядка 246 Трипараллелоэдр 298 Тритоэдрия 146
Углы взаимодополнительные трехгранные 30
— плоскоконические 52
— полярные трехгранные 30
— противоположные 40
Угол вертикальный трехгранный 25
— многогранный 35
— правильный трехгранный 26
— прямой трехгранный 25
— прямоугольный трехгранный 25
— равнобедренный трехгранный 26
— симметричный трехгранный 25
— трехгранный 25, 26, 28, 29, 35
— четырехгранный 35 Удлиненный гексапараллелоэдр 298
— ромбический додекаэдр 294
Фигуры аномальные 315
— архимедовы 16
— вторичные 238
— нормальные 315
— открытые 23 —, подобие 232
— полярные 275
— сложные 238
— сомкнутые 61
— элементарные 181
Формула основная полярно-зоно-эдрическая 275
Центральный дополнительный угол 89
— угол многогранника 88.
Центры граней 299
— системы 298
— фигур 298
Четнореберники 154 Четноугольник 235
Шар 90
Эйлеровы многогранники 322
|
