Новые встречи с геометрией

DjVu

      ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
     
      «Вновь я посетил...»
      А. С. Пушкин
     
      Дословным переводом названия этой книги является «Вновь посещенная геометрия». Авторы как бы проводят читателя по наиболее красивым местам древней, но нестареющей страны — Геометрии. »
      Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Но математика росла и развивалась, особенно бурно в последние 200 лет. Возникли новые направления; математический анализ, теория множеств, топология, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить ее к числу второстепенных математических направлений. Это мнение нашло свое отражение и в содержании школьных программ по математике, как в США, так и в ряде других стран.
      Книга Г. С. М. Коксетера и С. Л. Грейтцера является ярким документом в защиту геометрии, за утверждение геометрии на подобающем ей месте в системе школьного образования.
      В то же самое время она является прекрасным материалом для работы школьных математических кружков. Изучение этой книги дает возможность взглянуть на геометрию в целом и в то же время познакомиться с отдельными ее жемчужинами. Именно поэтому книга включена в серию «Библиотека математического кружка».
      Большинство книг этой серии (исключение составляет лишь «Числа и фигуры» Г. Радемахера и О. Теплица) написано в «эвристической» манере изложения, а именно, читатель входит в круг рассматриваемых вопросов, решая последовательно серию задач. Если задача оказывается для него слишком сложной, он может прочесть ее решение. Таким образом, читатель сам становится как бы исследователем, самостоятельно открывающим эту область математики. Однако, при этом полностью исчезает исторический аспект рассматриваемого вопроса.
      Книга Г. С. М. Кокстера и С. Л. Грейтцера, хотя и содержит много задач, но написана в обычной манере последовательного изложения материала. При этом авторы насытили изложение большим количеством интересных сведений по истории появления идей и результатов, что делает книгу еще более привлекательной.
      Несколько слов об авторах книги. Гарольд Скотт Макдональд Коксетер — профессор университета в Торонто (Канада) — один из крупнейших современных геометров, автор ряда книг, две из которых «Введение в геометрию» и «Действительная проективная плоскость» ([17] и [18]) переведены на русский язык. Заметим, что транскрипция его имени в этих книгах (Г. С. М. Кокстер и X. С. М. Кокстер) отличается от примененной здесь; однако было решено перейти на эту более правильную транскрипцию, тем более, что она уже стала встречаться в русской литературе по математике.
      Самуэль Грейтцер, профессор математики Рутгер-ского университета (США), более 25 лет проработал школьным учителем математики. Он является основным организатором Всеамериканских математических олимпиад, которые по стилю сходны со Всесоюзными математическими олимпиадами. В течение ряда последних лет он руководит командой США на Международной математической олимпиаде школьников.
      Перевод книги был осложнен двумя обстоятельствами: во-первых, в настоящее время средняя школа СССР только-только перешла на новые программы по математике и одновременно на новую терминологию и новые обозначения, непривычные для лиц, закончивших среднюю школу до 1977 года, а, во-вторых, Кок-сетером разработана своя стройная и логичная система обозначений, например, площадь треугольника ABC обозначается через (ABC), и т. д. В результате перед переводчиками встал трудный вопрос о выборе терминологии и обозначении.
      Поскольку эта книга адресована в первую очередь школьникам, то за основу была взята система обозначений, применяющаяся сейчас в средней школе. При этом были сделаны небольшие отклонения, позволяющие без труда читать эту книгу и человеку, незнакомому с новой терминологией и новыми обозначениями.
      В частности, здесь употребляется термин «конгруэнтность фигур» вместо ранее существовавшего термина «равенство фигур», однако, во многих случаях по отношению к отрезкам и углам сохранен термин «равенство», причем имеется в виду равенство длин отрезков и величин углов. Этого же принципа придерживаются и авторы учебников, принятых в настоящее время в школе. Заметим, что пунктуальное применение терминов «конгруэнтность» и «равенство длин отрезков» привело бы к существенному утяжелению текста, не говоря уже о появлении таких «монстров», как «равновеличинобедренный треугольник» или «конгруэнтносторонний треугольник».
      Длина отрезка АВ здесь обозначается через |АВ|, как и принято сейчас в школе, но не применяются обозначения [АВ], ]АВ[, (АВ) для отрезка, интервала и прямой, а просто указывается, что именно имеется в виду: прямая АВ, отрезок АВ или интервал
      АВ. Такое указание невозможно в формуле, однако там фигурирует лишь длина отрезка, для которой есть четкое обозначение. Однако в этой книге рассматриваются также и направленные отрезки. В формулах они обозначаются просто через АВ, CD и т. д., а произведение направленных отрезков (лежащих на одной прямой), например, АВ и CD обозначается через АВ X CD, в то время как произведение длин этих отрезков обозначается через
      Употребление знака X в качестве знака умножения направленных отрезков существенно еще и потому, что через АВ-CD авторы книги обозначают точку пересечения прямых АВ и CD.
      Теперь несколько слов о терминологии. Существенную роль в тексте книги имеет поворот плоскости на 180°, названный авторами «half-turn» и переведенный как разворот. Хотя такое преобразование плоскости и совпадает с хорошо известной центральной симметрией, однако употребление термина центральная симметрия оказалось невозможным, поскольку свойства этого преобразования выводились из свойств поворота.
      Далее, сохранен термин «изометрия» вместо более привычного термина «движение», так как в тексте акцентируется именно сохранение расстояний при таких преобразованиях.
      Систематическое использование в книге термина «коллинеарность» привело к сохранению авторского термина «коллинеация» (collineation) для преобразований, переводящих прямые в прямые, вместо обычно употребляемого термина «аффинные преобразования».
      Последним терминологическим новшеством книги является употребление термина «дилатация» (от dilatation — расширение) для обозначения преобра-8
      зований плоскости, при которых каждая прямая переходит в параллельную ей прямую. Этот класс преобразований состоит из гомотетий и параллельных переносов, однако в русской математической литературе еще не было термина для обозначения этого весьма естественного класса преобразований.
      При переводе была существенно расширена библиография (добавленные книги отмечены звездочками). В их числе широкодоступные книги из серии «Популярные лекции по математике» [1], [2], [6], [12], [25], [32], [35], изучение которых даст возможность взглянуть на изложенные в этой книге вопросы с другой точки зрения (в частности, на конические сечения, изложение которых в этой книге весьма нетрадиционно). Желающим глубже познакомиться с рассматриваемой тематикой окажут помощь книги [14], [15], [18], [33], [44], [45], [46], достаточно доступные для широкого круга читателей.
      Я приношу искреннюю благодарность И. М. Яглому, чьи замечания и предложения существенно содействовали улучшению перевода этой книги.
      Также благодарю В. Г, Шнитке за помощь при переводе эпиграфов.
      А. П. Савин
     
      ПРЕДИСЛОВИЕ
     
      Тот. кто ни во что не ставит евклидову геометрию, подобен человеку, который, вернувшись из чужих краев, поносит свой дом.
      Г. Фордер
     
      В программу по математике средней школы (США) входит годичный курс геометрии плоскости или курс геометрии и элементарной аналитической геометрии, называемый «математика-10». Обычно для ученика средней школы на этом и заканчивается знакомство с геометрией. В противоположность этому, математически одаренным школьникам программы средней школы дают возможность дальнейшего изучения элементарной алгебры, дополнительных ее глав и даже высшей алгебры. Поэтому естественно наблюдаемое пристрастие к алгебре и предубеждение против геометрии. Более того, введенные в заблуждение энтузиасты пытаются убедить учащихся, что геометрия находится «где-то в стороне от основного направления математики» и что анализ или теория множеств должны вытеснить ее.
      Возможно, тот факт, что в школьной программе геометрия занимает одно из последних мест, объясняется тем, что педагоги мало знают о природе геометрии и об успехах, которые были достигнуты ее исследователями. Мы имеем в виду многие блестящие результаты, такие, как теорема Брианшона (§9 гл. 3), теорема Фейербаха (§6 гл. 5), теорема Петерсона — ю
      Шута (§8 гл. 4) и теорема Морлея (§9 гл. 2). Как известно из истории, Евклид писал для зрелых людей, которые готовились изучать философию. И вплоть до нашего столетия одной из основных причин обучения геометрии было то, что ее аксиоматический метод считался лучшим введением в дедукцию. Естественно, что на этот формальный метод делался акцент в процессе обучения. Однако ни древние, ни современные геометры не боялись использовать менее ортодоксальные методы, когда это их устраивало. Если методы тригонометрии, аналитической геометрии или векторные методы подойдут, геометры их используют. Кроме того, они создали свои собственные современные методы, элегантные и мощные. Один из них — применение преобразований таких, как поворот, симметрия и подобие, что дало возможность доказать ряд теорем более рациональным способом, а также связать геометрию с кристаллографией и искусством. Этому «динамическому» аспекту геометрии посвящена глава 4. Другим является метод инверсивной гео-метрии, рассматривающий точки и окружности, при этом и прямая считается окружностью, проходящей через бесконечно удаленную точку. О некоторых особенностях этой геометрии рассказывается в главе 5, И, наконец, третий — метод проективной геометрии, который совсем не рассматривает расстояния и углы, а выделяет аналогию между точками и прямыми. В проективной геометрии не только через любые две точки проходит прямая, но и любые две прямые имеют точку пересечения; при этом параллельные прямые пересекаются на «бесконечно удаленной прямой». Изложению небольшого фрагмента этой темы посвящена глава 6.
      Геометрия и сейчас обладает всеми теми достоинствами, за которые ее ценили педагоги прошлых поколений. На свете еще есть геометрия, которая ждет,
      чтобы ее познали и оценили. Геометрия (особенно проективная геометрия) остается отличным средством введения учащихся в аксиоматику. Геометрия сохранила всегда присущую ей эстетическую привлекательность, и не поблекла красота ее результатов. Более того, для специалистов в чистой и прикладной математике геометрия стала еще более полезной и необходимой, чем она была когда-либо раньше. Возьмите, например, формы орбит искусственных спутников и четырехмерную геометрию пространства-времени.
      Геометрия росла. На протяжении веков были разработаны новые понятия и методы, которые будут для учащихся интересными и удивительными, если мы. приложим все усилия, чтобы донести до них эти -понятия. Так давайте же вновь перелистаем Евклида, познакомимся с некоторыми новыми результатами. Возможно, мы снова сможем испытать тот же восторг и трепет, как и при первых встречах с геометрией.
      Авторы приносят искреннюю благодарность доктору Аннелии Лаке за ее терпеливое сотрудничество и многие полезные предложения.
      Г. С. М. Коксетер С. Л. Грейтцер
      Торонто н Нью-Йорк, 1967