|
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей вузов.
Книга рекомендуется студентам-математикам всех специальностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 5
Введение 9
Глава I. Исторический очерк обоснования геометрии 10
§ 1. «Начала» Евклида 10
§ 2. Попытки доказательства пятого постулата 13
§ 3. Открытие неевклидовой геометрии 15
§ 4. Работы по основаниям геометрии во второй половине XIX в. 19
Глава II. Современное аксиоматическое построение евклидовой геометрии 22
§ 1. Аксиомы связи. Следствия из аксиом связи 22
§ 2. Аксиомы порядка. Взаимное расположение точек на прямой и плоскости 24
§ 3. Взаимное расположение лучей в пучке. Угол 28
§ 4. Аксиомы движения. Конгруэнтность фигур 30
§ 5. Конгруэнтность отрезков, углов, треугольников 33
§ 6. Сравнение отрезков и углов и операции над ними 37
§ 7. Некоторые соотношения между сторонами и углами треугольника 39
§ 8. Аксиома непрерывности 42
§ 9. Пересечение прямой с окружностью, пересечение двух окружностей 45
§ 10. Измерение отрезков и углов 47
§ 11. Аксиома параллельности. Подобие треугольников 50
Глава III. Исследование аксиом евклидовой геометрии 54
§ 1, Декартова реализация системы аксиом евклидовой геометрии 54
§ 2. Выполнимость аксиом евклидовой геометрии в декартовой реализации 55
§ 3. Непротиворечивость и полнота системы аксиом ерклидовой геометрии 61
| 4. Независимость аксиомы непрерывности 63
§ 5. Независимость аксиомы параллельности 65
§ 6. О зависимости некоторых аксиом движения 68
Глава IV. Геометрия Лобачевского
§ 1. Некоторые предложения абсолютной геометрии
§ 2. Некоторые вспомогательные функции
§ 3. Теорема Пифагора «в малом»
§ 4. Линейный элемент плоскости
§ 5. Полнота системы аксиом геометрии Лобачевского. Изоморфизм всех ее реализаций
§ 6. Важнейшие интерпретации геометрии Лобачевского
§ 7. Некоторые факты геометрии Лобачевского
Глава V. Основы проективной геометрии
§ 1. Акоиовд связи. Теорема Дезарга
§ 2. Гармонические четверки точек
§ 3. Аксиомы порядка. Аффинная плоскость
§ 4. Векторы на аффинной плоскости
§ 5. Аксиома непрерывности. Умножение вектора на число
§ 6. Декартовы и проективные координаты
§ 7. Непротиворечивость и полнота системы аксиом проективной геометрии на плоскости
§ 8. Проективные преобразования
§ 9. Другие предложения проективной геометрии
§ 10. Различные геометрии в проективной схеме
Литература
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Мне неоднократно приходилось читать университетский курс оснований геометрии. При этом возник ряд соображений относительно изложения отдельных разделов курса. Эти соображения были руководящими при написании настоящего пособия.
Традиционный курс оснований геометрии, не считая исторического обзора, которым обычно курс начинается, содержит четыре темы: аксиоматическое построение евклидовой геометрии, анализ аксиом евклидовой геометрии, геометрию Лобачевского, проективную и другие геометрии.
Излагая вопрос об аксиоматическом построении евклидовой геометрии, ставят перед собой задачу, отправляясь от аксиом, развить систему вытекающих из них следствий до такого объема, когда изложение в школьном курсе геометрии становится достаточно безупречным. Практически здесь приходится строго обосновать измерение отрезков и углов, доказать основные теоремы о конгруэнтности простейших фигур, вывести известные неравенства для сторон и углов треугольника, рассмотреть подобие треугольников и закончить теоремой Пифагора.
Несмотря на элементарность этой части курса, изложение ее в указанном объеме требует значительного времени. И фактически дело обстоит примерно так. Когда, наконец, устанавливается естественный порядок следования точек на прямой и для отрезков доказывается существование длины, аудитория становится настолько подозрительной, что начинает сомневаться вообще в возможности когда-нибудь дойти до теоремы Пифагора таким путем. Это сомнение дальнейшим изложением не только не рассеивается, а еще больше
укрепляется тем, что из-за недостатка времени лектор обычно ограничивается очень немногими следствиями аксиом конгруэнтности и переходит к рассмотрению различных предложений, эквивалентных пятому постулату.
Мне представляется, что дело здесь можно в какой-то мере поправить следующим образом.
Во-первых, необходимо вместо аксиом порядка Гильберта вводить систему аксиом, основанную на отношении следования для пар точек. Такая система, как известно, эквивалентна системе аксиом Гильберта, но отличается от нее простотой, близостью к привычным представлениям о расположении точек на прямой и позволяет двумя-тремя простыми следствиями, из нее вытекающими, подготовить вопрос о введении меры для отрезков и углов.
Во-вторых, вместо аксиом конгруэнтности надо bbos дить аксиомы движения. Именно на аксиомах движе-. ния основано изложение в школьном курсе геометрии. Вводить аксиомы конгруэнтности, основанные на отношении для фигур, которое можно представить себе только с помощью движения для того, чтобы потом доказать существование этого самого движения, вряд ли целесообразно. 9
В-третьих, надо формулировать только аксиому непрерывности Дедекинда, не устанавливая ее эквивалентность аксиоме Кантора и аксиоме Архимеда, Этому вопросу слишком много уделяется времени в теории вещественных чисел, уже знакомой учащемуся.
Что же касается эквивалентов пятого постулата, то о них следует только упомянуть и то в соответ-, ствующем месте исторического обзора. Все эти утверждения эквивалентности становятся тривиальными, после установления полноты системы аксиом Лобачевского.
Указанные соображения хотя и не новы, позволяют, настолько облегчить начало изложения, непосред-. ственно примыкающее к аксиомам, что представляется возможным действительно развить элементарную геометрию в указанном объеме без особого труда. А этого нельзя игнорировать, если принять во внимание будущую профессию основной массы слушателей — учителя средней школы.
Следующая тема курса — анализ аксиом элементарной геометрии — имеет своей задачей рассмотреть вопросы непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом элементарной геометрии.
Здесь прежде всего необходимо четко формулировать основные вопросы, возникающие при аксиоматическом построении любой теории и геометрии в частности, доказать непротиворечивость и полноту системы аксиом элементарной геометрии. Что же касается их независимости, то достаточно ограничиться доказательством независимости аксиомы непрерывности в форме Дедекинда и аксиомы параллельности. В последнем вопросе предпочтительно пользоваться интерпретацией Клейна. Дело в том, что в этой интерпретации проверка всех аксиом, кроме аксиом движения, действительно тривиальна, а проверка аксиом движения также может быть проведена достаточно просто путем приведения произвольной точки к центру некоторым стандартным образом, а затем использования евклидовых вращений около центра абсолюта и зеркальных отражений в его диаметрах.
Существенно, нам кажется, надо изменить изложение темы — геометрия Лобачевского. Традиционное изложение ее начинается теорией параллельных по Лобачевскому. Задача, которую при этом ставят, заключается не в том, чтобы показать, какие парадоксальные свойства взаимного расположения прямых можно вывести из аксиомы параллельности Лобачевского, а в том, чтобы доказать полноту системы аксиом и вывести метрическую форму плоскости Лобачевского. Задача эта не легкая и ее решение в своей существенной части обычно переходит в так называемый необязательный раздел курса, который подается в описательном плане без доказательств.
Представляется более естественным и современным начать со второй части поставленной задачи — вывода линейного элемента плоскости в рамках абсолютной геометрии без использования каких-либо предположений о параллельных. Такой подход оказывается не только не безнадежным, но более простым и экономным. Строго установленная полнота системы аксиом геометрии Лобачевского и изоморфизм всех ее реализаций позволяют просто и без особого труда изложить основные факты геометрии Лобачевского, в том числе и теорию параллельных, используя наиболее подходящие для этого интерпретации.
В последней, теме курса — проективная и другие геометрии — основная задача состоит в строгом аксиоматическом обосновании проективной геометрии. Другие геометрии обычно подаются в описательном плане. Обоснование проективной геометрии — также довольно большая по содержанию тема. Некоторое облегчение ее изложения достигается следующим образом.
Во-первых, вместо аксиом порядка, относящихся к понятию разделения пар, можно принять аксиомы следования троек. Это особенно целесообразно, если через отношение следования пар вводятся аксиомы порядка евклидовой геометрии, так как получается преемственность в этих системах аксиом.
Во-вторых, после классического разрезания проективной плоскости по «бесконечно удаленной прямой» надо немедленно приступить к построению теории векторов, максимально используя при этом следствия Аксиом связи, порядка, непрерывности и параллельности евклидовой геометрии, а затем ввести аффинные координаты. При этом оказывается возможным избежать дублирования соответствующего раздела евклидовой геометрии и по Х9ду действия установить полноту системы аксиом аффинной геометрии. Кроме того, строгое геометрическое обоснование теории векторов также весьма полезно. Установив полноГу системы аксиом проективной геометрии, основные ее факты можно получить в аналитической реализации.
В предлагаемом пособии мы следовали указанным соображениям.
Общий план построения курса, а также детали некоторых доказательств заимствованы нами преимущественно из книги Н. В. Ефимова «Высшая геометрия».
|
