|
Первая часть (гл. I—VIII) представляет собой основной курс высшей алгебры. Сюда входят комплексные числа, детерминанты, решение систем уравнений, алгебраическое решение уравнений 3-й и 4-й степеней. Основная теорема алгебры и общая проблема вычисления корней.
Вторая часть (гл. IX—XIV) содержит теорию матриц, теорию инвариантов и ковариантов, теорию групп, основы теории Галуа и введение в современную алгебру.
Книга является ценным пособием для студентов математиков. Она утверждена Наркомпросоы в качестве учебника для университетов.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее, третье издание моего учебника высшей алгебры значительно отличается от двух предыдущих его изданий. Первая часть (главы I - VIII) представляет собой основной курс высшей алгебры - до теории симметрических функций включительно: это - основы, включая сюда и основную теорему о существовании корня, и алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степеней и общую проблему вычисления корней. Вторая часть (главы IX - XIV) включает теорию матриц, теорию инвариантов, теорию групп, теорию Галуа и начала новой алгебры.
При подготовке этого, третьего издания я принял во внимание современные программы по алгебре наших университетов, а также те довольно многочисленные советы, указания, просьбы и даже жалобы на мой учебник, которые до меня дошли, и со стороны моих коллег по специальности, и со стороны моих нынешних и бывших учеников, и со стороны вообще преподающих и учащихся в вузах. Главная жалоба — та, что мой учебник слишком краток и сух, — что это скорее конспект, а не учебник, что поэтому он и труден для начинающих. Я вполне соглашаюсь с этим мнением и стараюсь в этом, третьем издании исправить указанный недостаток, но исправить его не так, как многие, может быть, ожидают. Дело в том, что я совсем не собираюсь разжевывать и класть в рот учащимся довольно элементарные вещи: по моему мнению, для учащихся будет только полезно, если они эту мою книгу прочтут не как легкий роман, а с некоторым трудом, с карандашом и бумагой в руках, другими словами, усвоят не «пассивно», а «активно». Поэтому «разжевывал» я только те места, которые уже действительно были весьма сжаты. Но зато я расширил или ввел заново места, разъясняющие значение вводимых или исследуемых понятий, дающие принципиальные установки или указывающие дальнейшие возможные обобщения. Я счел целесообразным уже с самого начала ознакомить читателя с основными понятиями новой алгебры; так, уже в конце главы I я ввожу понятия тела и области целости, а в главе II даю понятие группы. Эти понятия сами по себе ничего сложного не представляют, и чем раньше их себе усвоит учащийся, тем лучше.
Некоторые из моих коллег по специальности возражали против введения символа Кронекера в теории детерминантов, считая его слишком сложным для начинающих; было даже такое возражение, что символ этот «выхолащивает» содержание (?). Я никак не могу согласиться со всем этим и просто думаю, что в этих возражениях большую роль играет рутина, привычка преподавать так, а не иначе. Арабы в своей чисто риторической алгебре ввели даже особые названия «аль джебр» и «аль мукабала» для операций, которые для нас, с нашей развитой символикой, являются простыми следствиями одной общей и простой теоремы. И надо полагать, что Алькархи, который избегал употреблять даже индусские цифры, вероятно, тоже находил, что они «выхолащивают» содержание. Во всяком случае я символ Кронекера оставляю, ибо нахожу, что этот, весьма удачный, символ придает четкость всем доказательствам и формулам теории детерминантов.
Укажу теперь конкретно на главнейшие изменения и дополнения в этом, третьем издании. Первая глава почти вся совершенно переработана, причем ей предпослана довольно обширная вводная часть, а в конце ее дается понятие о теле и об области целости. В главе II после перестановок дается сейчас же понятие о подстановках и о группе; в конце дана общая теория линейных уравнений, которая в предыдущих изданиях помещалась в начале главы VIII. Третья глава осталась почти без изменения. В главе IV выброшена теорема Вейерштрасса, весьма трудная для начинающих, и вследствие этого несколько изменен ход дальнейших доказательств; в конце этой главы помещена теорема о непрерывности корней как функций от коэфициентов, далее, в связи с этим, — понятие об алгебраических функциях, об алгебраических числах и общие замечания об основной теореме. В главе V вставлен параграф о сферических функциях, как пример ряда Штурма, полученного не при помощи Эвклидова алгорифма; значительно изменен и расширен отдел о вычислении корней: введен метод итерации и переработаны способы Горнера и Ньютона-Фурье, причем в последнем оказалось возможным отбросить условие, чтобы одновременно с функцией f (x) ее две первые производные не обращались в нуль. Шестая глава дополнена: в конце включены понятия о функциях и уравнениях в каком-либо теле и о расширении тела. Седьмая глава есть объединение глав IX и X предыдущих изданий. Восьмая глава (в предыдущих изданиях - VII) трактует о симметрических функциях и их приложениях. Тут я вставил формулы Варинга, непосредственно выражающие суммы степеней через элементарные симметрические функции, и обратно, немного расширил параграф об обобщениях основной теоремы и добавил в конце главы общие замечания о функциях нескольких переменных.
Вторая часть содержит высшие отделы алгебры, которые только теперь начинают входить в общеобязательный курс высшей алгебры математических факультетов наших университетов, хотя эти отделы, как, например, теория матриц, теория инвариантов, теория групп, уже давно зарекомендовали себя большими приложениями как в самой математике, так и вне ее.
По сравнению с предыдущими изданиями моего курса высшей алгебры, во вторую часть вошел материал глав VIII, XI и XII этих изданий, при этом в значительно расширенном виде. Так, вместо одной главы VIII даются две главы (и, кроме того, общая теория линейных уравнений отошла к главе II первой части) — теория матриц и теория инвариантов и ковариантов. Теория матриц (глава IX) значительно расширена: введены ортогональные матрицы, элементарные делители и т. п. Все эти вещи в настоящее время являются совершенно необходимым математическим багажом для каждого математика. Теорию инвариантов можно излагать весьма разнообразными способами. Я в своем изложении придерживался книги Dickson’a «Hohere Algebra», у нас мало распространенной, но — с моей точки зрения — весьма хороша и систематично излагающей главу об инвариантах.
Расширена также глава XI (теория групп); глава XII (теория Галуа) осталась почти без изменения. Затем добавлены еще две главы, которых не было в предыдущих изданиях: глава XIII, трактующая о некоторых специальных типах уравнений (в частности об уравнениях деления окружности и о метациклических уравнениях) и являющаяся продолжением теории Галуа, и глава XIV, озаглавленная: «Введение в новую алгебру». Здесь я вкратце указываю на дальнейшее развитие современной алгебры: даю основы абстрактной теории тел, упоминаю о кольцах и о гиперкомплексных числах. Эту последнюю главу я рассматриваю как первое введение к изучению современных монографий по алгебре, в первую очередь — книги Ван-дер-Вардена «Современная алгебра».
А. Сушкевич.
30/IX-1935 г.
|
