Борис Иванович Александров
Пётр Сергеевич Моденов
Пособие по математике
для подготовительных курсов МГУ
*** 1967 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
В книге приведены варианты письменных приемных экзаменов по математике в МХУ в 1965 г., а по физическому факультету, кроме того,— вопросы, предлагавшиеся на устном экзамене. Для самостоятельных упражнений имеется много примеров и задач, взятых из различных руководств (§ 9). Часть примеров разобрана. Для ряда примеров ответы даны непосредственно в тексте. Для учащихся подготовительных курсов при МГУ помещены темы контрольных работ. По просьбе дирекции курсов § 5, б, 8 написаны М. К. Потаповым и Г. В. Дорофеевым. § 1. ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ВАРИАНТЫ ПИСЬМЕННЫХ ЭКЗАМЕНОВ (дневное отделение) Вариант 1 1. Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от пункта А до пункта В пароход покрывает в полтора раза быстрее, чем катер, при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если же они плывут против течения, то пароход проходит путь от В до А в два раза быстрее катера. Найти скорости парохода и катера в стоячей воде. 2. В окружность радиуса 1 вписан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого в два раза больше основания. В этот треугольник вписана окружность. Найти ее радиус. 3. Найти все решения уравнения Вариант 2 5. Два тела движутся по окружности равномерно и в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 2 сек быстрее второго и. догоняет второе тело каждые 12 сек. За какое время каждое тело проходит окружность? 6. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны соответственно 2, 3 и 4, вписана окружность радиуса 1,2. Найти площадь этого четырехугольника. 7. Найти все решения уравнения 8. Решить неравенство Вариант 3 9. Две суммы денег — всего 5000 руб. — положены на некоторые сроки в сберкассу из расчета 3% годовых (проценты начисляются от первоначальной суммы в момент выдачи вклада пропорционально времени пребывания вклада в сберкассе). Каждая из этих сумм дала 60 руб. дохода. Первая сумма находилась в сберкассе на четыре месяца меньше, чем вторая. Как велика каждая сумма и на какой срок она была положена в сберкассу? 10. В ромб площадью 1 вписан круг площадью —. Определить длину стороны ромба. 11. Найти все решения уравнения 12. Решить неравенство Вариант 4 13. Переднее колесо повозки на некотором пути сделало на 1000 оборотов больше заднего. Если бы длина окружности переднего колеса'была в полтора раза больше, то на том же пути оно сделало бы на 200 оборотов больше заднего колеса. Чему равны длины окружностей колес, если известно, что длина окружности заднего колеса на 1,5 м больше длины окружности переднего колеса? 14. В равнобочную трапецию, верхнее основание которой равно единице, вписана окружность радиуса 1. Найти площадь трапеции. 15. Найти все решения уравнения 16. Решить неравенство 17. С двух участков земли собрано соответственно 140 т и 550 т свеклы, причем с 1 м2 второго участка собрано на 2 кг меньше, чем с 1 м2 первого участка. После применения удобрений урожай на первом участке удвоился, а на втором — утроился и с 1 ж2 второго участка собрали на 1 кг больше, чем с 1 м2 первого участка. Определить размеры участков 18. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 5 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 2 см. Найти периметр этого треугольника. 19. Найти все решения уравнения 20. Решить неравенство Решение варианта 1 1. Обозначим расстояние от Л до Б через s км, скорость течения— через Vi км/час, скорость парохода в стоячей воде через v2 км/час. По условию задачи катер каждый час отстает от парохода на 8 км, следовательно, его скорость v2—8. Когда пароход и катер плывут по течению реки, то скорость парохода равна vi + v2, а скорость катера Расстояние от пункта А до пункта В пароход покрывает в полтора раза быстрее, чем катер, следовательно, Если же пароход и катер плывут против течения, то скорость парохода v2—vu а скорость катера По условию задачи пароход проходит путь от б до Л в два раза быстрее катера, т. е. Решая систему уравнений (1), (2), найдем vx = 4 км/час, v2 = 20 км/час, значит, скорость катера в стоячей воде равна 12 км/час. 2. Так как радиус окружности 5, описанной вокруг треугольника ABC, равен 1, а основание АВ в два раза меньше боковой сто- роны (ЛС=СВ), то расстояние ОМ от центра окружности S до стороны АС равно ~ (в силу подобия треугольников CAD и СОМ), а значит СМ = Пусть 0 — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Обозначая через г радиус этой окружности, имеем Из прямоугольного треугольника AOD находим... § 2. ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ВАРИАНТЫ ПИСЬМЕННЫХ ЭКЗАМЕНОВ (дневное отделение) Вариант 1 1. Два туриста вышли из А в В одновременно, причем первый турист каждый километр пути проходит на 5 мин быстрее второго. Первый, пройдя пятую часть пути, вернулся в А и, пробыв там 10 мин, снова пошел в В. При этом в В оба туриста пришли одновременно. Каково расстояние от А до В, если второй турист прошел его за 2,5 час? 2. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 1 :3, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих трех точках меньше площади исходного треугольника? 3. Найти все решения уравнения 4. Решить неравенство Вариант 2 5. Пассажир, едущий из города А в город В, половину затраченного на путь времени ехал на автобусе, а половину на автомашине. Если бы он весь путь от А до В проехал на автобусе, то это заняло бы у него в полтора раза больше времени. Во сколько раз быстрее проходит путь от А до В автомашина, чем автобус (предполагается, что скорости автобуса и автомашины постоянны)? 6. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найти площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают (центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан). 7. Найти все решения уравнения 8. Решить неравенство 9. Из пункта А в пункт В против течения выехала моторная лодка. В пути сломался мотор, и пока его 20 мин чинили, лодку снесло вниз по реке. Определить, насколько позднее прибыла лодка в пункт В, если известно, что обычно путь из Л в В лодка проходит в полтора раза дольше, чем путь из В в Л. 10. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, в полтора раза меньше радиуса описанной окружности. Найти отношение основания к боковой стороне. 11. Найти все решения уравнения 12. Решить неравенство Вариант 4 13. Из пунктов Л и В навстречу друг другу выехали одновременно два автобуса, причем первый, имея вдвое большую скорость, проехал весь путь на 1 час быстрее второго. На сколько минут раньше произошла бы встреча этих автобусов, если бы скорость второго автобуса увеличилась и стала бы равной скорости первого автобуса? v 14. Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция, у которой одно основание вдвое больше другого. Определить среднюю линию трапеции. |
